A parte 1 desta série mostrou que a credibilidade de Bühlmann-Straub bate os atalhos de mercado para o shrinkage do beta de uma ação. Este artigo muda de problema, para outro capítulo da mesma teoria do risco coletivo (KAAS et al., 2008): como somar, com exatidão até o limite da própria discretização, a distribuição de uma soma aleatória de parcelas aleatórias, sem simulação. A recursão de Panjer (PANJER, 1981) e a transformada rápida de Fourier (FFT, do inglês Fast Fourier Transform) fazem isso para a classe (a,b,0). Essa classe reúne as distribuições do número de eventos N em que a probabilidade de k eventos, pₖ, vem da probabilidade de k−1 eventos multiplicada por (a + b/k), com a e b constantes próprias de cada distribuição. O “0” indica que essa regra vale desde k=1, a partir de p₀=P(N=0). Dela fazem parte a Poisson, a binomial e a binomial negativa, as frequências mais usadas em crédito e em seguros. O que segue explica os dois métodos, testa os dois numa carteira calibrada em dado público brasileiro e lista as condições que decidem se o resultado sai certo.

A carteira usada no teste é hipotética, construída a partir de parâmetros calibrados em dado público. Cada evento é um default numa operação de empréstimo a uma pessoa jurídica, num período de um ano. A frequência N conta quantos defaults acontecem no período, com E[N] variando de 1, carteira pequena, a 1.000, carteira grande, nos quatro níveis testados adiante. A severidade X é a perda de cada default, em unidades da perda média, lognormal, com dispersão ancorada na perda dado o default (LGD, do inglês loss given default) do Working Paper 193 do Banco Central. A carteira tem um único fator de risco, sem a correlação entre setores que o CreditRisk+ completo modela com um fator Gama por setor. O valor em risco (VaR, do inglês Value at Risk) a 99,9% é a perda agregada tal que, em 999 de cada 1.000 períodos anuais como esse, a carteira perderia menos do que isso.

O problema de somar perdas sem simular

Uma carteira de crédito sofre, num período, um número aleatório de eventos de default N, cada um causando uma perda aleatória X. A perda agregada da carteira é a soma

uma distribuição composta, porque mistura a incerteza sobre quantos eventos ocorrem (a frequência) com a incerteza sobre o tamanho de cada um (a severidade). O capital de crédito sob a abordagem de classificações internas (IRB, do inglês Internal Ratings-Based) de Basileia II é dimensionado no percentil 99,9% dessa distribuição: a essa confiança, espera-se que uma instituição sofra perdas acima do capital de nível 1 e 2 em média uma vez a cada mil anos (BASEL COMMITTEE ON BANKING SUPERVISION, 2005). O VaR a 99,9% é o quantil da perda agregada nesse nível, e a perda esperada condicional (Expected Shortfall, ES) é a média das perdas que excedem esse quantil, mais sensível ao formato da cauda do que o quantil isolado:

Simular S é conceitualmente simples. Sortear N, sortear N valores de X, somar, repetir milhares ou milhões de vezes, e ler o percentil 99,9% da amostra. O problema está na própria definição do percentil. A uma confiança de 99,9%, apenas uma em mil simulações cai na região que define o quantil, de modo que o erro de amostragem do estimador de VaR e ES não cai à mesma taxa que o erro de uma média simples, mais lento e mais ruidoso quanto mais extremo o percentil.

A recursão de Panjer e a transformada de Fourier

A alternativa que a atuária desenvolveu evita simular ao explorar essa propriedade recursiva da frequência. Em termos formais, a razão entre probabilidades consecutivas de N é afim em 1/k, para (a,b) fixos por distribuição:

A classe (a,b,1) desloca o início da recursão para k=2, com p₀ e p₁ livres, fora do escopo aqui. Sundt e Jewell (1981) provaram que, entre as distribuições não degeneradas, só a Poisson, a binomial negativa e a binomial satisfazem essa recursão. A tabela abaixo traz a, b e p₀ de cada uma. O sinal de a já indica a dispersão da frequência, com a<0 na binomial correspondendo a subdispersão, a=0 na Poisson a equidispersão e a>0 na binomial negativa a superdispersão, o mesmo a>0 que, calibrado no SCR.data, a base de dados abertos do Sistema de Informações de Crédito do Banco Central, explode o domínio mais adiante.

Panjer mostrou que essa relação se propaga para a distribuição agregada S, após discretizar a severidade num grid de largura h (PANJER, 1981). Discretizando X em múltiplos inteiros de h pelo método do arredondamento, a massa de cada intervalo [(k−½)h, (k+½)h) é atribuída ao ponto kh,

a recursão de Panjer entrega a distribuição agregada inteira, ponto a ponto, num único laço:

onde P é a função geradora de probabilidade (PGF, do inglês probability generating function) da frequência, P(z)=E[zᴺ]. O detalhe que costuma passar batido é a condição inicial, g₀=P(f₀), a PGF avaliada na massa que a própria discretização colocou no ponto zero (KLUGMAN; PANJER; WILLMOT, 2019). Ela coincide com P(N=0) só quando f₀=0, caso comum em exemplos de livro-texto, e a igualdade deixa de valer quando o arredondamento empurra massa real para o ponto zero, o que acontece quando h não é pequeno o bastante perto da escala da severidade, o assunto central deste artigo.

Quando λ é grande, exp(−λ) sofre underflow de representação em ponto flutuante, um problema conhecido da recursão de Panjer com frequência grande (GERHOLD; SCHMOCK; WARNUNG, 2010). A mitigação usada aqui reescala a recursão para começar de g₀=1, reescalonando de novo sempre que o valor foge de uma faixa segura em ponto flutuante, e revertendo a escala só ao final por normalização direta da soma, sem mudar a forma relativa da distribuição.

A FFT resolve o mesmo problema convertendo a convolução em produto no domínio da frequência. A função característica da severidade discretizada é calculada nos n pontos da grade de uma só vez, a PGF de N é aplicada ponto a ponto a esse vetor, e a transformada inversa devolve a distribuição agregada, em O(n log n) em vez do O(n²) da recursão direta:

A FFT trata a grade como circular, de modo que a massa que deveria cair acima do limite superior do domínio reaparece perto de zero, o fenômeno de aliasing (EMBRECHTS; FREI, 2009). A mitigação padrão estende o domínio com zeros antes da transformada (zero-padding), empurrando essa massa residual para fora do resultado final. Uma segunda mitigação, o exponential tilting, pondera a severidade por exp(θkh) antes da transformada, deslocando a massa de interesse para uma região menos sujeita ao enrolamento circular.

Os detalhes de implementação, incluindo os dois mecanismos de reescala contra underflow e a aplicação do tilting, estão no módulo AggregateLoss.jl do repositório público, em Julia.

Frequência calibrada no SCR.data, severidade ancorada no Working Paper 193

Testar os dois algoritmos exige escolher uma frequência e uma severidade. A escolha aqui evita o parâmetro arbitrário de um exemplo de livro-texto e ancora os dois nos dados públicos brasileiros disponíveis, declarando onde a cobertura desses dados termina e onde a calibração vira aproximação.

A frequência vem do SCR.data, publicado mensalmente desde julho de 2012, com a carteira ativa e a inadimplência acima de 90 dias por célula de unidade da federação (UF), modalidade, porte, pessoa física ou jurídica e setor da Classificação Nacional de Atividades Econômicas (CNAE). O recorte usado aqui soma, por setor CNAE, pessoa jurídica, modalidade Empréstimos, todo o Brasil, nos quatro trimestres completos de 2025, excluindo células com até 15 operações, suprimidas por sigilo bancário. Como o SCR.data não registra uma contagem direta de eventos de default, o número de operações inadimplentes por setor é aproximado por número de operações × (carteira vencida acima de 90 dias ÷ carteira ativa), assumindo que elas têm, em média, o tamanho médio das operações do setor.

A dispersão entre os setores CNAE é bem maior do que uma Poisson permitiria. No corte transversal de 2025, a razão entre variância e média da frequência implícita de default ficou entre 11.659 e 17.362 nos quatro trimestres, coerente com a estrutura do CreditRisk+, em que a taxa de default de cada setor carrega um fator sistemático Gama-distribuído, que torna a mistura Poisson-Gama equivalente a uma binomial negativa (CREDIT SUISSE FINANCIAL PRODUCTS, 1997). Ajustando essa binomial negativa pelo método dos momentos (variância μ+μ²/r) em cada ano completo do SCR.data, de 2012 a 2025, a mediana do parâmetro de forma entre os 14 anos disponíveis é r≈0,542, adotado na grade de teste principal. Os dois extremos, r≈0,413 em 2021 e r≈0,720 em 2025, são examinados numa seção de robustez mais adiante. O r mediano entra em todos os cenários sintéticos da grade, de E[N]=1 a E[N]=1.000, uma extrapolação explícita da escala de milhares de operações para cenários muito menores.

A severidade não tem o mesmo tipo de dado público, já que nenhuma fonte aberta brasileira registra a perda por operação em nível individual, por sigilo bancário. A referência mais próxima é o Working Paper 193 do Banco Central, que estima a LGD em 9.557 operações prefixadas não-varejo do Sistema de Informações de Crédito (SCR) entre 2003 e 2007, encontrando uma distribuição bimodal, com média entre 47% e 92% a depender da metodologia (SILVA; MARINS; NEVES, 2009). Tratando os dois números como os modos de uma mistura de dois pontos com peso igual, o coeficiente de variação (CV) implícito é 0,324, adotado como CV “médio”, com os níveis “baixo” e “alto” em metade e o dobro desse valor. A severidade é lognormal, com média normalizada em 1 unidade de perda, já que o teste compara métodos numéricos entre si, não a escala monetária absoluta.

A grade fatorial e a referência de Monte Carlo

O teste cruza quatro níveis de frequência esperada, E[N] igual a 1, 10, 100 ou 1.000, com Poisson e binomial negativa de mesma média, três CVs de severidade e três tamanhos de grade, m igual a 100, 1.000 ou 10.000, totalizando 72 células. Em cada célula, Panjer, FFT sem e com tilting, e Monte Carlo rápido de 10⁴ e 10⁵ simulações são comparados contra uma referência de Monte Carlo de 10⁷ simulações, cinco sementes de 2×10⁶ cada, nas métricas de erro relativo do VaR e do ES a 99,9%, e distância de Kolmogorov-Smirnov na cauda acima do percentil 99. O domínio é dimensionado pelas fórmulas de momento do composto, E[S] mais 15 desvios-padrão de S, antes de escolher h=domínio/m.

A própria referência de Monte Carlo carrega ruído de amostragem, medido entre as cinco sementes. Para a Poisson, o desvio-padrão entre sementes do VaR 99,9% fica entre 0,02% e 0,20% da média, em cenários de E[N]=1 a E[N]=1.000. Para a binomial negativa do SCR.data, mais dispersa, o ruído é maior, de 0,30% a 0,66%, relevante o bastante para que diferenças de erro abaixo de meio ponto percentual nesses cenários não sejam lidas como sinal forte sobre o método.

Precisão de Panjer e FFT numa grade bem ajustada

Restrito aos cenários em que a largura de discretização h fica abaixo de 0,3 vez o desvio-padrão da severidade, a condição que a seção seguinte mostra ser a que de fato importa, são 16 dos 24 cenários da grade de 10.000 pontos. Panjer e FFT acertam o VaR 99,9% com folga nesses 16, medido contra a referência de Monte Carlo de 10⁷ simulações.

O erro absoluto médio do VaR 99,9% nesses 16 cenários já é pequeno, perto de 0,1% tanto para Panjer quanto para a FFT, mas essa referência de Monte Carlo carrega ruído de amostragem da mesma ordem de grandeza. Contra uma referência determinística, a FFT em m=1.000.000 no mesmo domínio, o erro real de Panjer e da FFT em m=10.000 cai para entre 0,0004% e 0,0098% nesses 16 cenários, mediana de 0,0056%, abaixo de 0,01% em todos eles. Essa referência de alta resolução se sustenta na convergência entre algoritmos e resoluções diferentes: Panjer em m=10.000 já bate com a FFT em m=1.000.000 dentro de 0,01%, e o Monte Carlo de 10⁷ confirma essa referência dentro do próprio ruído, com diferença entre 0,004% e 0,30%.

Pela raiz do erro quadrático médio (RMSE) entre sementes independentes, o erro esperado do Monte Carlo a 10 milhões de simulações só fica abaixo do erro de Panjer em m=10.000 em 1 dos 16 cenários. Nos outros 15, a distribuição calculada por Panjer ou pela FFT já é mais precisa do que o Monte Carlo alcança mesmo na maior amostra testada aqui.

O padrão de Expected Shortfall acompanha de perto o de VaR em toda a grade, sem nenhum cenário com os dois se descolando, e a distância de Kolmogorov-Smirnov na cauda segue a mesma lógica, perto de zero nos cenários bem discretizados e saltando para perto do máximo exatamente nos cenários em que a largura de discretização falha, o assunto da próxima seção.

A largura da grade decide o resultado

A largura h certa depende do desvio-padrão da própria severidade, não de uma unidade absoluta de perda. O erro absoluto do VaR 99,9% de Panjer e FFT cresce de forma abrupta, não gradual, em torno de h entre 0,3 e 1 desvio-padrão da severidade.

Abaixo de h=0,1 desvio-padrão, o erro absoluto médio é 0,09%, e sobe a 0,24% entre 0,1 e 0,3, ainda dentro do ruído da referência. Entre 1 e 3 desvios-padrão, a média salta para 1,0%, mediana de 0,4%, com casos isolados chegando a 5,2%. Entre 3 e 10, o erro médio é 24,6%, entre 10 e 30 é 54,9%, e acima de 30 o resultado colapsa por completo, erro próximo de 100%, em todos os cenários testados nessa faixa.

O mecanismo por trás desse colapso aparece nos próprios números calculados. Quando h é grande em relação ao desvio-padrão da severidade, o método do arredondamento concentra quase toda a massa de probabilidade em um ou dois pontos da grade, deslocando a média efetiva da severidade para longe da verdadeira. Severidade com desvio-padrão 0,16 (CV baixo), discretizada com h=1,48 num cenário de E[N]=1.000 com Poisson, teve sua média efetiva deslocada em 43%, distorção que se propaga para toda a distribuição composta. Panjer e FFT calculam o resultado exato para a severidade discretizada que receberam, mas essa severidade já não era a certa, antes mesmo de a recursão ou a transformada entrarem em ação.

A dispersão real do crédito setorial explode o domínio

A binomial negativa calibrada na dispersão setorial do SCR.data torna esse problema de largura bem mais severo do que a Poisson de mesma média, porque sua variância é dominada pelo termo μ²/r. No cenário de E[N]=1.000, o domínio necessário salta de cerca de 1.480 unidades de perda na Poisson para cerca de 21.380 na binomial negativa, confirmado por simulação direta, refletindo dispersão real da frequência, não um artefato da fórmula usada para dimensioná-lo.

Combinado com a exigência de largura pequena perto do desvio-padrão da severidade, esse domínio maior deixa a grade de 10.000 pontos, a maior testada aqui, sem resolução suficiente nos cenários de binomial negativa com E[N]=1.000. O erro do VaR 99,9% nessa grade variou de 23,8% a 33,6%, contra erro abaixo de 0,01% no cenário de Poisson equivalente. É justamente aqui que a vantagem de Panjer e da FFT se inverte, com o Monte Carlo errando menos, de 0,92% a 5,84%, mesmo com apenas 10⁴ simulações. Alcançar h abaixo de 0,3 vez o desvio-padrão nesse cenário exigiria uma grade de 110.000 a mais de 440.000 pontos, uma a quase duas ordens de grandeza acima do maior grid testado aqui.

O regime medido aqui é a dispersão de frequência observada nos próprios dados públicos do SCR.data, não um cenário hipotético escolhido para forçar uma falha. Um analista que aplicasse Panjer ou FFT com uma grade redonda, 10.000 pontos por exemplo, sem checar h contra o desvio-padrão da severidade, correria o risco real de um VaR errado em dezenas de pontos percentuais, até cerca de 77% no extremo mais disperso observado, sem nenhum aviso do algoritmo.

Testando os dois extremos da série, não só a mediana

O r≈0,542 usado na grade principal é a mediana entre 14 anos de dispersão setorial medida no SCR.data, mas o r de um ano específico pode ficar bem longe dessa mediana. Repetindo a mesma estimativa, ano a ano, desde 2012, o r anual varia de 0,413 em 2021, o ano de maior dispersão setorial observada, a 0,720 em 2025, o ano de menor dispersão.

Rodando a mesma grade de binomial negativa (E[N]=100 e E[N]=1.000, três CVs, grade de 10.000 pontos) nos dois extremos, o padrão medido com a mediana se confirma nas duas pontas. Em E[N]=100, o erro de Panjer e da FFT fica pequeno nos três valores de r: 0,07% a 0,25%. Em E[N]=1.000, o erro cresce de forma acentuada à medida que r cai, de 2,3%-18,4% no extremo menos disperso até 33,7%-76,5% no mais disperso, porque o domínio necessário cresce junto. O Monte Carlo passa a errar menos que Panjer e a FFT na mediana e no extremo mais disperso, nos três CVs, e em dois dos três no extremo menos disperso.

Nesta amostra, a vantagem de Panjer e da FFT quando a grade é bem ajustada à severidade, e a perda dessa vantagem quando a frequência é muito dispersa, se mantêm nos dois extremos da série, não só na mediana da grade principal, condicionado a este período e a este método de estimação.

Underflow e aliasing, medidos

O underflow de exp(−λ) apareceu, nesta grade, apenas nos cenários de Poisson com E[N]=1.000, onde λ≈745 já ultrapassa o limite de representação em ponto flutuante duplo, resolvido pela reescala descrita acima. Em nenhum cenário de binomial negativa o underflow de P(N=0) ocorreu, porque essa probabilidade, perto de 0,017 para r=0,542 e média 1.000, decai bem mais devagar com a média do que o exp(−λ) de uma Poisson. Com zero-padding de quatro vezes o tamanho da grade de interesse, nenhum cenário mostrou efeito de aliasing mensurável nos 72 cenários testados, e o exponential tilting não mudou nenhum resultado nesta grade específica.

Quanto custa chegar à mesma precisão

Panjer e a FFT entregam a distribuição inteira da perda agregada de uma vez, sem simular nenhum cenário, ao custo de resolver a recursão ou a transformada na grade escolhida. O Monte Carlo chega ao mesmo VaR por simulação direta, e o tempo que isso leva depende de quanta tolerância de erro é aceitável. Nos 16 cenários bem discretizados descritos acima, medindo o tempo até cada tolerância de erro do VaR 99,9% (remedido num único ambiente, com aquecimento da compilação e mediana de sete execuções, incluindo discretização e extração do quantil tanto para Panjer e a FFT quanto para o Monte Carlo):

A 1% de tolerância, a FFT já é mais rápida que o Monte Carlo em 10 dos 16 cenários, 2,6 vezes na mediana desses 10 (1,8 vez na mediana dos 16, que inclui os cenários em que o Monte Carlo vence). O Monte Carlo ainda vence os outros 6, todos de Poisson com E[N]=1 ou E[N]=10, por margem pequena. A 0,5% de tolerância, a FFT vence nos 16 cenários, mediana de 6,3 vezes, e Panjer já compensa nos cenários de binomial negativa. Contra Panjer, porém, o Monte Carlo continua mais rápido em nove dos dez cenários de Poisson, com empate técnico em E[N]=1.000, travado no piso de 10 mil simulações testado aqui. A 0,1% de tolerância, Panjer e a FFT vencem nos 16 cenários, Panjer de 3 a 26 vezes mais rápido (mediana de 8,3) e a FFT de 35 a 242 vezes (mediana de 99). Em 8 desses 16 cenários, o Monte Carlo não chegou a 0,1% nem com 10⁷ simulações, e a razão é um limite inferior.

O Monte Carlo fica competitivo justamente onde a tolerância é frouxa e a frequência é baixa, Poisson com poucos eventos esperados, caso em que poucas simulações já bastam. Quando a tolerância aperta ou a frequência é fortemente dispersa, como a binomial negativa calibrada no SCR.data, a vantagem determinística de Panjer e da FFT cresce rápido, e o Monte Carlo precisaria de ordens de magnitude mais simulações para alcançar a mesma precisão.

O que checar antes de usar Panjer ou FFT

As seções anteriores medem cada um desses pontos em separado. Reunidos, formam uma lista curta de checagens a fazer antes de confiar num resultado de Panjer ou FFT, condicionada a esta amostra, a este desenho de teste e aos métodos implementados aqui.

1. A largura de discretização h importa em relação ao desvio-padrão da severidade, não em unidade absoluta de perda nem ao tamanho nominal da grade. Nesta amostra, o erro cresce de forma abrupta a partir de h entre 0,3 e 1 desvio-padrão da severidade. Abaixo de 0,3 desvio-padrão da severidade, o erro fica perto do próprio ruído de amostragem da referência.

2. Panjer e FFT não avisam quando erram. Com h grande demais, os dois devolvem um número plausível, mesmo com a severidade discretizada já distorcida. O Monte Carlo, nesse mesmo regime mal condicionado, degrada de outro jeito, ficando mais ruidoso com menos simulações, sem produzir esse tipo de erro sistemático silencioso.

3. Vale dimensionar o domínio de discretização e checar h contra o desvio-padrão da severidade antes de confiar no resultado, sobretudo quando a frequência é fortemente dispersa, como a binomial negativa do SCR.data. Foi nesse regime, E[N]=1.000 com binomial negativa, que o domínio necessário excedeu a grade de 10.000 pontos testada aqui, e o Monte Carlo passou a errar menos que Panjer e a FFT.

4. Em grades grandes, a FFT tende a ser a rota determinística mais barata, porque seu custo O(m log m) cresce bem mais devagar que o O(m²) da recursão direta de Panjer. Já em m=10.000, Panjer perdeu em tempo para o Monte Carlo na maior parte dos cenários de Poisson a 1% e a 0,5% de tolerância.

5. O underflow de exp(−λ) é um problema específico de Poisson com frequência grande. Nesta implementação, apareceu só a partir de λ≈745 e foi resolvido por reescala. P(N=0) da binomial negativa decai bem mais devagar com a média, e o underflow não ocorreu em nenhum cenário testado.

6. Com zero-padding de quatro vezes o tamanho da grade de interesse, o aliasing não apareceu em nenhum dos 72 cenários testados, e o exponential tilting não mudou nenhum resultado. Isso não torna o tilting inútil em geral, mas mostra que aqui quem de fato limitava a precisão era a largura de discretização, não o enrolamento circular da convolução.

Limitações

A grade testa um único fator de risco para a carteira inteira, mais próximo de dependência total entre setores do que de independência, sem a estrutura multissetorial do CreditRisk+, que usa um fator Gama por setor. O parâmetro r da binomial negativa carrega outra hipótese. Ele vem da heterogeneidade entre os 19 setores CNAE dentro de um mesmo trimestre, usada como proxy da variabilidade de um fator sistemático ao longo do tempo, não uma medição direta.

A soma composta também assume severidade independente da frequência, o que significa que a perda dado o default não piora quando o número de defaults sobe. A evidência em crédito aponta o contrário, com LGD maior em recessões, a razão de existir uma LGD de downturn no arcabouço de Basileia. Essas hipóteses afetam primeiro o nível da distribuição, e podem mudar a comparação de forma indireta, por exemplo se alterarem a dispersão o bastante para mudar o domínio de discretização necessário. O mecanismo central medido aqui, h pequeno perto do desvio-padrão da severidade, continua sendo o que decide a precisão de Panjer e da FFT, qualquer que seja o nível.

A severidade é paramétrica, ancorada no LGD agregado do Working Paper 193, sem validação contra perdas por operação, inexistentes em fonte pública. A frequência de default é aproximada a partir do número de operações e da taxa de inadimplência de cada setor, já que o SCR.data não registra uma contagem direta de eventos. O domínio é dimensionado por uma fórmula de momentos que funciona bem para Poisson, mas pode subestimar o necessário para frequências muito assimétricas, por isso checada aqui caso a caso. A grade testada vai até 10.000 pontos, e grades maiores poderiam mudar a leitura dos cenários de binomial negativa com E[N] grande. A referência de Monte Carlo usa 10⁷ simulações, no limite inferior recomendado na literatura, com o ruído remanescente medido e reportado.

Nesta amostra, neste desenho de teste e com os métodos implementados aqui, Panjer e a FFT calculam a distribuição inteira da perda agregada com precisão alta e custo previsível, desde que h fique pequeno perto do desvio-padrão da severidade. Quando essa condição não se verifica, nenhum aviso indica a falha, e a escolha depende de medir, não de assumir, se a combinação real de frequência e severidade permite uma grade viável.

Referências

BASEL COMMITTEE ON BANKING SUPERVISION. An Explanatory Note on the Basel II IRB Risk Weight Functions. Basileia: Bank for International Settlements, jul. 2005.

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KAAS, R.; GOOVAERTS, M.; DHAENE, J.; DENUIT, M. Modern Actuarial Risk Theory: Using R. 2. ed. Berlin: Springer, 2008.

KLUGMAN, S. A.; PANJER, H. H.; WILLMOT, G. E. Loss Models: From Data to Decisions. 5. ed. Hoboken: Wiley, 2019.

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SCHECHTMAN, R. Descrição e uso de um modelo de risco de crédito ao nível de portfólio. In: BANCO CENTRAL DO BRASIL. Economia Bancária e Crédito: Avaliação de 3 Anos do Projeto Juros e Spread Bancário. Brasília: Banco Central do Brasil, 2002. cap. 8, p. 107-120.

SILVA, L.; MARINS, J.; NEVES, M. Loss Given Default: um estudo sobre perdas em operações prefixadas no mercado brasileiro. Working Paper 193. Brasília: Banco Central do Brasil, 2009.

SUNDT, B.; JEWELL, W. S. Further results on recursive evaluation of compound distributions. ASTIN Bulletin, v. 12, n. 1, p. 27-39, 1981.

O mercado resolve esse dilema há décadas com dois atalhos. O primeiro, atribuído a Marshall Blume, contrai o beta estimado na direção de 1 usando um peso fixo, a fórmula que o terminal Bloomberg aplica por padrão a qualquer beta que ele reporta (BLUME, 1971). O segundo, de Oldrich Vasicek, pondera o beta de cada ação pela precisão da própria estimativa antes de combiná-lo com a média do mercado (VASICEK, 1973). Os dois já são shrinkage, no sentido de que puxam uma estimativa ruidosa na direção de uma referência mais estável. Nenhum dos dois, porém, explica por que o peso deveria ser 2/3 e não 1/2, ou de onde vem a fórmula de ponderação por precisão usada por Vasicek. A atuária resolveu exatamente essa pergunta poucos anos antes de Blume publicar seu ajuste, dentro de um problema que parece distante de finanças: quanto confiar na sinistralidade própria de um segurado, contra a sinistralidade de toda a carteira de segurados semelhantes.

Este artigo abre a série “Atuária para quants”, baseada no capítulo 8 de Modern Actuarial Risk Theory, de Kaas, Goovaerts, Dhaene e Denuit (KAAS et al., 2008). Cada parte pega uma ferramenta da caixa atuarial e testa se ela ainda tem alguma coisa a ensinar a quem lida com carteiras, crédito e risco de mercado. Esta primeira parte aplica a credibilidade de Bühlmann-Straub ao beta de ações da B3, mostra que Blume e Vasicek já são, cada um à sua maneira, um caso particular da mesma fórmula atuarial, e que a própria fórmula de Bühlmann-Straub termina à frente das outras três, por uma margem pequena sobre a segunda colocada.

Uma ressalva organiza o resto do texto. Beta não serve para prever o retorno de uma ação. O que está em jogo aqui é a precificação de risco sistemático, para custo de capital, proporção de hedge e decomposição de risco de carteira. Em nenhum desses usos o analista quer saber se a ação vai subir ou descer. Quer saber o quanto ela se move, em média, junto com o mercado, e qual é a melhor estimativa desse número quando o beta estimado é pouco preciso, por causa da liquidez da ação ou da volatilidade do seu retorno idiossincrático.

Dois ajustes que o mercado já usa sem nomear credibilidade

Blume observou, numa amostra de ações americanas entre 1926 e 1968, que os betas estimados numa janela tendem a se aproximar de 1 na janela seguinte. Uma ação de beta 1,8 num período tende a mostrar um beta menor, embora ainda acima de 1, no período seguinte. Uma ação de beta 0,3 tende a subir. Blume não tratou isso como ruído a ignorar. Tratou como um padrão a incorporar na própria estimativa, propondo corrigir o beta bruto por uma combinação linear fixa com 1,0 (BLUME, 1971). A versão popularizada pelo mercado, usada por padrão pelo terminal Bloomberg no campo de beta ajustado, fixa os pesos em 2/3 para o beta bruto e 1/3 para 1,0, não importa a ação, o setor ou quantos anos de histórico ela tem (DAMODARAN, 1999):

Vasicek discordou de um ponto específico dessa fórmula. Por que usar o mesmo peso 2/3 para uma ação muito líquida, com um beta estimado com precisão alta, e para uma ação pouco negociada, cujo beta pode ter um erro-padrão três ou quatro vezes maior? Vasicek propôs ponderar cada beta individual pela própria precisão, medida pelo erro-padrão da regressão que o gerou, contra a dispersão de betas observada na seção transversal de todas as ações do período (VASICEK, 1973):

onde ŝe_i² é o erro-padrão ao quadrado do β̂ᵢ de MQO da própria ação, β̄ é a média simples dos betas estimados no período, e τ²_V é a variância dessa mesma amostra de betas. Uma ação com beta pouco preciso (ŝe_i² grande) recebe peso wᵢ baixo e seu beta é puxado com força na direção de β̄. Uma ação líquida, com beta preciso, mantém peso próximo de 1 e fica quase inalterada. A ideia já resolve a objeção central contra o peso fixo de Blume. Comparações diretas entre os dois ajustes já apareceram na literatura de finanças corporativas (LALLY, 1998), mas sem a moldura teórica que explica de onde vêm os pesos de cada um, e qual dos dois, se algum, está correto.

O debate não é só acadêmico nem estrangeiro. Uma dissertação de mestrado da USP sobre o setor elétrico brasileiro já discutia os dois ajustes e documentava a tendência de alta dos betas do setor a partir de 2005 (PINTO, 2008). Dez anos depois, o debate chegou à ANEEL. Numa audiência pública sobre a metodologia de custo de capital do setor elétrico, distribuidoras propuseram formalmente que o beta regulatório passasse a usar o ajuste de Blume, citando o costume do mercado como justificativa. A ANEEL rejeitou, argumentando que sair do modelo então vigente conferiria “mais discricionariedade ao processo” (ANEEL, 2019). Sem usar esse vocabulário, a objeção do regulador ecoa a crítica deste artigo ao peso fixo de Blume: a discricionariedade está em fixar Zᵢ = 2/3 sem nenhum critério ligado aos dados daquela ação. A instabilidade do beta estimado por MQO também está documentada diretamente no Brasil. Um estudo com as ações líquidas negociadas na B3 e na NYSE encontrou quebras estruturais relevantes na maioria dos setores das duas economias, e os betas reestimados depois de identificar essas quebras se aproximam de 1,0 em mais de 78% dos setores (OLIVEIRA; CUNHA, 2017).

A credibilidade de Bühlmann-Straub

A teoria da credibilidade nasceu dentro da tarifação de seguros, não de finanças. Uma seguradora de acidentes de trabalho precisa definir o prêmio de uma empresa cliente com poucos anos de sinistralidade própria. A experiência dessa empresa é a informação mais específica sobre o risco dela, embora poucos anos de sinistralidade pesem pouco sozinhos. A experiência de toda a carteira de empresas semelhantes é mais estável, embora ignore o que é próprio daquela empresa específica. Hans Bühlmann respondeu essa pergunta em 1967 com uma fórmula fechada (BÜHLMANN, 1967), estendida por Bühlmann e Erwin Straub em 1970 para carteiras com exposição desigual entre grupos, cada uma pesada por uma medida de quanta informação ela carrega (BÜHLMANN; STRAUB, 1970). Tratando cada ação i como um “grupo” e seu beta estimado β̂ᵢ como a “experiência própria”, a exposição natural é a precisão da própria estimativa, wᵢ = 1/Var(β̂ᵢ), o inverso do erro-padrão ao quadrado que a regressão de MQO já entrega:

wᵢ mede quanta informação a regressão da própria ação carrega sobre seu beta. Ações com beta impreciso (ŝeᵢ² grande) têm wᵢ baixo. σ̂² é a variância “dentro” (quanto o β̂ᵢ de uma ação oscilaria se fosse reestimado em amostras diferentes) e τ̂² é a variância “entre” ações (quanto os betas verdadeiros realmente diferem de uma ação para outra, livre do ruído de estimação). μ̂₀ é a média coletiva, a referência para a qual Zᵢ puxa o beta individual. Como wᵢ já é definido a partir da variância de cada ação individualmente, Var(β̂ᵢ) = 1/wᵢ é exata, não estimada por pooling, e a variância “dentro” σ̂² fica igual a 1 por construção: não sobra heterogeneidade de precisão nenhuma para o pooling capturar, porque cada grupo já chega com sua própria precisão conhecida. Só τ̂² precisa ser estimado a partir dos dados, pelo estimador não paramétrico de momentos popularizado por Bühlmann e Gisler (BÜHLMANN; GISLER, 2005):

com β̄w a média dos betas ponderada por wᵢ e m o número de ações no corte. O truncamento em zero existe porque, em amostras pequenas, a subtração do ruído de estimação pode resultar negativa, caso em que o modelo assume heterogeneidade real nula entre ações e credibilidade zero para todas.

Blume e Vasicek são dois casos particulares dessa fórmula, cada um simplificando de um jeito diferente os dois passos de estimação.

Blume é credibilidade com Zᵢ fixo. Em vez de estimar Zᵢ = wᵢ/(wᵢ+κ̂) a partir da precisão e da variância entre ações, Blume fixa Zᵢ = 2/3 para toda ação e todo período, e fixa o alvo do shrinkage em 1,0 em vez de estimar a média coletiva μ̂₀ a partir dos dados. É credibilidade sem os dois passos de estimação, substituídos por uma constante calibrada décadas atrás, na mesma amostra de ações americanas entre 1926 e 1968 mencionada acima.

Vasicek é parente próximo de Bühlmann-Straub, não uma fórmula concorrente independente: os dois chegam à mesma forma funcional, Zᵢ = τ̂²/(τ̂²+ŝeᵢ²), ponderando cada beta pela precisão da própria estimativa contra a dispersão da população, relação que a literatura mais recente também formaliza (MEYER-BULLERDIEK, 2024). A diferença entre os dois está só em como τ̂² é estimado. Vasicek usa a variância amostral bruta dos β̂ᵢ, sem corrigir pelo ruído médio de estimação que infla essa variância. Bühlmann-Straub usa o estimador de momentos não paramétrico acima, que subtrai esse ruído antes de atribuir o resto à heterogeneidade real entre ações. Quando o ruído médio de estimação é pequeno relativo à dispersão real dos betas, as duas fórmulas convergem. Quando não é, elas discordam, e o restante deste artigo mede qual discordância importa mais nos dados.

Ações da B3 sem viés de sobrevivência

A B3 publica, nas séries históricas de cotações (COTAHIST), um registro diário de preço, volume e quantidade negociada para todo papel-mercado, organizado em arquivos anuais desde 2005. Esse arquivo não exige nenhum cadastro de ações atualmente listadas, condição importante para evitar viés de sobrevivência. O universo de cada ano-teste é construído só com o que o próprio COTAHIST daquele ano contém, sem filtrar pelo que ainda está listado hoje, de modo que ações hoje deslistadas entram na amostra nos anos em que efetivamente negociaram.

O filtro de elegibilidade restringe o universo a ações ordinárias e preferenciais simples (ESPECI igual a ON ou PN, excluindo classes preferenciais A a H e outros papéis-mercado), negociadas em lote padrão no mercado à vista (código BDI 02, tipo de mercado 010). Esse recorte produz, ao longo de 2005 a 2025, 964 tickers distintos com ao menos uma cotação válida.

O COTAHIST não ajusta preços retroativamente por desdobramentos, grupamentos ou bonificações. Um desdobramento 1:2 aparece como uma queda mecânica de 50% no preço de um pregão para o outro, sem relação com o retorno econômico do acionista. O código deste artigo detecta esses saltos comparando a razão de preço entre pregões consecutivos contra uma tabela de razões redondas plausíveis (desdobramentos e grupamentos de 1:2 a 1:10, bonificações de 5% a 100%), dentro de uma tolerância de 4%, e reescala retroativamente a série inteira quando encontra correspondência. Dois cuidados adicionais evitam falsos positivos. Primeiro, a detecção é vetada em dias de dispersão transversal anormalmente alta entre todas as ações (mercado em crise ou rali), porque um salto de 32% num único papel pode ser apenas um dia extremo de mercado, não um evento societário isolado. O caso real corrigido por essa regra foi CVCB3 em 26 de março de 2020, no auge da crise da Covid, cujo salto de preço de 32,4% coincidia por acaso com a razão de uma bonificação de 33%, mas ocorreu num dia em que a dispersão entre todas as ações já estava em 4,1 pontos percentuais, bem acima do piso de 2,5 pontos percentuais usado para vetar a detecção nesse tipo de dia. Segundo, abaixo de R$ 1 por ação o detector é desligado, porque ações a centavos oscilam 2x ou mais por puro ruído de tela, e essas ações já ficam fora da amostra de estimação pelo filtro de liquidez de qualquer forma. Dividendos em dinheiro não são somados de volta ao preço. O retorno usado é retorno de preço, não total return, a convenção mais comum para estimar beta, cuja diferença tende a ser pequena para a maior parte das ações líquidas e maior para as de alto dividend yield, uma limitação reconhecida explicitamente aqui.

Os retornos usados são semanais. Retorno diário carrega ruído de microestrutura (o efeito bid-ask, a não sincronia de negociação) que infla a variância idiossincrática sem acrescentar sinal sistemático. Retorno mensal, numa janela de treino de três anos, deixa poucas dezenas de observações por ação, pouco para estimar um erro-padrão individual com alguma estabilidade, insumo central tanto de Vasicek quanto de Bühlmann-Straub. Retorno semanal equilibra os dois lados, com cerca de 150 observações numa janela de três anos. A carteira de mercado é construída com os próprios dados do COTAHIST, igual-ponderada entre todas as ações elegíveis com retorno válido naquela semana. A B3 não publica, no arquivo de cotações, a quantidade de ações em circulação de cada papel, de modo que um índice ponderado por valor de mercado exigiria uma fonte de dados adicional. A igual-ponderação evita essa dependência e mantém o pipeline inteiro reproduzível a partir de uma única fonte pública, ao custo de produzir uma carteira de mercado com nível e composição diferentes dos do Ibovespa, que é ponderado por valor em free float.

O filtro de liquidez exige, na janela de treino de cada corte, pelo menos 26 semanas de retorno válido e volume financeiro semanal mediano de R$ 50 mil ou mais. O mesmo piso de 26 semanas se aplica à janela de teste, para que o beta realizado usado como alvo também tenha uma base mínima de observações. O código do pipeline, em Julia, processa diretamente os arquivos COTAHIST anuais publicados pela B3. O código está publicado no repositório pq_credibilidade_beta, no GitHub.

Desenho da avaliação

O beta de cada ação é estimado por MQO contra a carteira de mercado numa janela de treino de três anos, e avaliado contra o beta realizado da mesma ação na janela de teste de um ano imediatamente seguinte, sem sobreposição. O beta realizado usa exatamente a mesma regressão, só que calculada com os retornos do período de teste, que fica fora da etapa de estimação. O corte é repetido para todo ano-teste entre 2008 e 2025, 18 cortes completos, cada um usando os três anos de treino imediatamente anteriores. O agregado reportado adiante soma os 18 cortes completos, sem excluir nenhum deles por conveniência.

O beta realizado também é uma estimativa ruidosa, não a verdade. Ele vem de uma regressão sobre cerca de 52 semanas de teste, com seu próprio erro-padrão, discutido na próxima seção. Qualquer comparação entre um estimador de beta e o beta realizado carrega esse piso de ruído do alvo, que nenhum estimador, por melhor que seja, consegue eliminar.

A métrica de erro é a raiz do erro quadrático médio (RMSE), com o erro médio absoluto (MAE) reportado em paralelo, agregados (pooled) sobre todas as ações de todos os 18 cortes, não a média simples dos RMEs por corte. A significância das diferenças entre estimadores usa bootstrap pareado por ação dentro de cada corte, com 5.000 reamostras, preservando a correlação entre os quatro estimadores ao reamostrar os mesmos índices para todos eles em cada repetição, e bootstrap por bloco de ano, que reamostra quais dos 18 cortes entram em cada repetição mantendo cada corte inteiro, para não ignorar condições de mercado comuns a todas as ações no mesmo ano-teste.

O piso de ruído do alvo

O beta realizado usado como alvo não é a verdade sobre o risco sistemático de uma ação. É ele mesmo uma estimativa, com seu próprio erro de medição, pela mesma razão que o beta de treino tem: poucas dezenas ou centenas de observações semanais carregam ruído de amostragem em torno do parâmetro verdadeiro. Se o alvo contra o qual os quatro estimadores são julgados já carrega esse ruído, parte do erro medido entre estimativa e alvo não é falha de nenhum estimador. É ruído de medição do próprio alvo.

Para medir esse piso sem depender de um pressuposto sobre a forma do erro, as semanas de teste de cada ação foram divididas em duas metades, de duas formas. Semanas pares contra ímpares, intercaladas no tempo, isolam ruído de amostragem puro. Primeira metade do ano-teste contra segunda metade também captam deriva real do beta dentro do próprio ano, além do ruído de amostragem. A correção split-half clássica estabelece que a variância do ruído se aproxima de um quarto da variância da diferença entre as duas metades:

Pares e ímpares dão um desvio de ruído de 0,473. Primeira e segunda metade dão 0,495, um pouco mais alto porque a diferença entre essas duas metades também inclui deriva real do beta dentro do ano, além do ruído de amostragem puro. Uma checagem independente, que não depende de dividir nada em metades, soma o quadrado do erro-padrão de cada regressão de beta realizado ao longo dos 18 cortes e tira a raiz: 0,444, cerca de 12% abaixo das duas estimativas split-half, possivelmente porque a fórmula clássica de erro-padrão do MQO, que assume resíduos independentes e identicamente distribuídos, subestima um pouco o ruído real dos retornos semanais. As três estimativas, por métodos diferentes, convergem para a mesma faixa, entre 0,44 e 0,50 de desvio.

Esse piso entra na comparação porque o erro quadrático médio medido contra o alvo é, aproximadamente, a soma do erro quadrático médio que um estimador perfeito ainda exibiria por causa do ruído do próprio alvo com o erro quadrático médio que de fato reflete imprecisão do estimador:

Aplicando essa correção aos quatro estimadores testados aqui, usando a estimativa central split-half de pares e ímpares:

Entre 44% e 62% do erro quadrático medido, a depender do estimador e do método usado para estimar o ruído, é ruído de medição do próprio alvo contra o qual os quatro estimadores são comparados. A fração é um pouco maior para os três regularizados (entre 49% e 62%) do que para o bruto (entre 44% e 55%), porque o ruído do alvo é praticamente fixo entre estimadores, mas o erro total medido é menor para quem já erra menos, de modo que o mesmo numerador pesa proporcionalmente mais sobre um denominador menor. Essa é a explicação mais direta, nesta amostra, de por que os quatro erros reportados neste artigo parecem altos e parecidos entre si. Uma fração grande e comum aos quatro é piso de medição.

Resultados

Nos 4.471 pares ação-ano reunidos pelos 18 cortes, com janela de treino de três anos, o RMSE agregado vai de 0,668 no beta bruto a 0,622 no melhor dos três regularizados (Bühlmann-Straub), passando por 0,633 (Blume) e 0,626 (Vasicek).

A referência de incerteza usada aqui é o bootstrap por bloco de ano, mais conservador que o bootstrap pareado por ação porque preserva a correlação entre ações dentro do mesmo ano-teste. O intervalo de confiança do RMSE de Bühlmann-Straub não encosta no intervalo de nenhum dos outros: a diferença RMSE(bruto) menos RMSE(Bühlmann-Straub) fica entre 0,024 e 0,074, RMSE(Blume) menos RMSE(Bühlmann-Straub) entre 0,002 e 0,024, e RMSE(Vasicek) menos RMSE(Bühlmann-Straub) entre 0,001 e 0,008, todas inteiramente acima de zero. A vantagem sobre Vasicek é a menor das três, mas ainda assim não cruza zero. Um bootstrap pareado por ação dentro de cada corte, mais otimista porque ignora a correlação entre ações do mesmo ano, encontra o mesmo padrão: [0,028; 0,067] contra o bruto, [0,002; 0,023] contra Blume e [0,002; 0,006] contra Vasicek.

A tabela com os 18 cortes completos, sem nenhum recorte favorável, mostra que, nestes cortes, nenhum dos quatro estimadores vence em todos os anos: Bühlmann-Straub é o melhor em dez cortes, Blume em seis e Vasicek em dois, enquanto o beta bruto não vence em nenhum deles. A vitória de Bühlmann-Straub no agregado reflete uma vantagem pequena, mas espalhada pela maioria dos cortes, não um resultado dominado por um ou dois anos atípicos.

Separando a amostra por liquidez (tercis de volume financeiro semanal mediano na janela de treino, calculados dentro de cada corte), o ganho do shrinkage se concentra exatamente onde a teoria prevê que deveria se concentrar: na precisão do beta bruto. Com a janela de três anos usada neste artigo, o tamanho do histórico de treino disponível pesa pouco nessa precisão, porque a maior parte das ações já chega com histórico quase completo. A mediana de semanas de treino fica em 157, de um máximo de 158, e 987 dos 4.471 pares ação-ano (22%) têm menos de 90% das semanas possíveis. O que de fato diferencia a precisão do beta bruto de uma ação para outra é a liquidez e a volatilidade do retorno idiossincrático, os dois ingredientes do erro-padrão de cada beta. No tercil de liquidez mais baixa, o RMSE cai de 0,760 (bruto) para 0,680 (Bühlmann-Straub, o melhor ali), uma redução de 10,5%. No tercil de liquidez mais alta, a mesma comparação vai de 0,611 para 0,601 (Vasicek, o melhor nesse grupo), uma redução de 1,6%. Ações pouco líquidas são, ao mesmo tempo, as que têm o beta bruto mais ruidoso e as que mais se beneficiam de qualquer uma das três correções. A quebra por tamanho de histórico de treino aparece na tabela, para registro.

Prateleiras de liquidez, em mais detalhe

A quebra por tercil de liquidez já mostra que o ganho do shrinkage é maior onde a ação é menos negociada. Para ver com mais detalhe onde esse ganho se concentra, a mesma amostra foi dividida em cinco quintis de liquidez, calculados dentro de cada corte a partir só do volume financeiro semanal mediano na janela de treino, sem olhar o futuro. Uma mesma ação pode mudar de quintil de um corte para outro, conforme o volume negociado muda ao longo do tempo.

No quintil menos líquido (902 pares ação-ano, volume semanal mediano em torno de R$ 143 mil, exemplos como ALPA3, BGIP4 e WHRL4), o RMSE cai de 0,796 (bruto) para 0,705 (Bühlmann-Straub, o melhor ali), com o MAE caindo de 0,505 para 0,472. O intervalo de confiança por bloco de ano para a diferença RMSE(bruto) menos RMSE(Bühlmann-Straub) fica entre 0,032 e 0,177, inteiramente acima de zero, e o ganho sobre o erro redutível (a diferença entre o bruto e o piso de ruído do próprio alvo naquele quintil) chega a 57%. Esse ganho cai rápido conforme a liquidez sobe: 32% no segundo quintil, 18% no terceiro, 5% no quarto e 8% no quinto (R$ 358 milhões de volume mediano, exemplos como LREN3, GGBR4 e VALE3). Nos quintis 3, 4 e 5, pelo menos uma das duas comparações por bloco de ano (bruto contra Vasicek ou contra Bühlmann-Straub) tem o intervalo de confiança cruzando zero, de modo que a vantagem da regularização ali não se distingue de zero com a confiança usada neste artigo.

O Z médio de Bühlmann-Straub varia com a liquidez, de 0,756 no quintil menos líquido a 0,865 no mais líquido. Z depende da precisão de cada beta, que por sua vez depende da liquidez da ação e de quão volátil é seu retorno idiossincrático, não do tamanho do histórico de treino: com a janela de três anos usada aqui, a maior parte das ações já chega com histórico quase completo. Ações menos negociadas tendem a ter betas menos precisos, então a fórmula puxa mais peso para a média coletiva ali, e menos peso nas ações mais líquidas, cujo beta próprio já é preciso o bastante para pesar mais na estimativa final. A fração do MSE que é ruído do alvo também é maior no quintil menos líquido (64%) do que nos demais (41% a 52%), reforçando que ações pouco negociadas têm, ao mesmo tempo, o beta mais difícil de estimar e o beta realizado mais ruidoso como alvo de comparação.

A janela de treino de três anos é uma escolha entre várias. Repetindo o exercício inteiro com janelas de dois anos (19 cortes, 2007-2025, 4.639 pares ação-ano) e de cinco anos (16 cortes, 2010-2025, 3.993 pares ação-ano), a ordem entre os quatro estimadores não muda. Na janela de dois anos, o RMSE agregado vai de 0,675 (bruto) a 0,612 (Bühlmann-Straub), passando por 0,628 (Blume) e 0,618 (Vasicek). Na janela de cinco anos, de 0,680 (bruto) a 0,639 (Bühlmann-Straub), com Blume em 0,650 e Vasicek em 0,643. O RMSE absoluto piora um pouco com janelas mais longas, provavelmente porque um beta de cinco anos atrás descreve pior o regime de risco do ano-teste do que um beta mais recente, mas a conclusão qualitativa (Bühlmann-Straub à frente, Vasicek em segundo, bruto atrás) se mantém nas três durações testadas.

O que mais foi testado, e não resolveu o piso

O piso de ruído do alvo levanta a pergunta óbvia: existe algum ajuste, além dos quatro estimadores já comparados, que reduza o erro restante por uma margem relevante? Cinco frentes adicionais foram testadas sobre o beta bruto, cada uma isolada das demais para separar o efeito de cada mudança.

Duas correções clássicas para negociação não sincrônica, conhecidas como beta de Dimson e beta de Scholes-Williams, pioram o ajuste em dados semanais, a de Dimson piorando mais justamente no tercil de ações menos líquidas, onde a teoria previa que ajudaria mais. Em dados diários a piora é bem menor, consistente com a ideia de que a não sincronia pesa mais nessa frequência. Ainda assim, a correção não chega a virar melhora nesta amostra. Um prior de liquidez, usado como substituto aproximado de setor econômico porque a B3 não publica um arquivo de classificação setorial em lote, melhora pouco, porque tercil de liquidez é um proxy fraco de setor de fato. Winsorizar os retornos de treino no percentil 2% melhora um pouco, de forma barata e sem mudar a escala do beta. Usar o número de semanas como exposição em vez da precisão do beta, dentro do próprio Bühlmann-Straub, piora o RMSE de 0,622 para 0,632, porque o peso fica quase constante entre ações em vez de refletir quanta informação cada uma carrega.

Trocar a carteira de mercado igual-ponderada por uma ponderada por volume financeiro negociado, não por valor de mercado (o COTAHIST não traz ações em circulação para ponderar por capitalização), reduz bastante o RMSE em termos absolutos. Essa carteira concentra 27,5% do volume mediano em dez papéis, entre eles PETR4, ITUB4, B3SA3 e os principais bancos listados, o que muda a escala típica do beta (média 0,695 contra 1,074 sob a carteira igual-ponderada usada no restante deste artigo) e torna a comparação direta de RMSE entre as duas carteiras enganosa. Essa concentração levanta uma hipótese específica. Para os papéis mais negociados, o retorno da própria ação entra no cômputo do mercado contra o qual ela é regredida, o que poderia inflar mecanicamente a correlação medida. Recalculando o beta de cada ação com essa autoinclusão removida (leave-one-out, em forma fechada), o RMSE do mercado ponderado por volume melhora só entre 0,6% e 0,8% a mais, e a diferença de RMSE entre os dois mercados continua quase a mesma com ou sem autoinclusão (0,214 contra 0,208, no beta bruto). A autoinclusão é um viés real, na direção esperada, mas pequeno demais para explicar a diferença grande entre as duas carteiras de mercado. O que distingue as duas é composição e escala do fator.

Por que regularizar ajuda, mesmo com esse piso

Diante desses números, nesta amostra, os três estimadores regularizados (Blume, Vasicek e Bühlmann-Straub) batem o beta bruto nos 18 cortes completos e nos dois métodos de bootstrap usados aqui, com o tamanho da redução seguindo de perto a liquidez de cada ação: de 10,5% no tercil menos líquido a 1,6% no mais líquido. Isso sustenta regularizar o beta como padrão de uso nesta amostra, com o bruto reservado a casos em que a correção já teria pouco a corrigir: ação líquida, com beta já preciso, onde o peso dado ao beta próprio tende a 1 de qualquer forma, em Vasicek e em Bühlmann-Straub. Fora desse caso, que não é a maioria da amostra, usar o bruto abre mão de uma redução de erro de dois dígitos sem necessidade.

Entre os três regularizados, porém, a vantagem de Bühlmann-Straub é pequena. Bühlmann-Straub vence Blume com folga e vence Vasicek por margem estreita, nos cortes de ações líquidas da B3 analisados aqui. Esse resultado não se generaliza automaticamente para outros mercados. Um estudo recente com dez ações do índice alemão DAX encontrou um padrão diferente, com o ajuste simples de Blume à frente de Vasicek (MEYER-BULLERDIEK, 2024). O que a credibilidade de Bühlmann-Straub entrega não é só a vitória entre os três, é a explicação de por que todos batem o bruto, e de onde vem a vantagem pequena sobre Vasicek. Os dois chegam à mesma forma funcional, Zᵢ = τ̂²/(τ̂²+ŝeᵢ²), mas discordam em como τ̂² é estimado. Vasicek usa a variância amostral bruta dos β̂ᵢ, que mistura heterogeneidade real entre ações com o ruído médio de estimação. Bühlmann-Straub usa o estimador de momentos não paramétrico, que desconta esse ruído antes de atribuir o resto à heterogeneidade real, o que ajuda quando o ruído médio de estimação é grande relativo à dispersão real dos betas.

O ganho do shrinkage, em qualquer uma das três versões testadas, está concentrado onde a teoria prevê que deveria estar: ações pouco líquidas, cujo beta bruto é menos preciso. Para uma ação líquida, com beta já preciso, as três correções convergem para números parecidos, e esses números já estão próximos do beta bruto. A credibilidade não substitui precisão, organiza a falta dela.

Limitações

Três limitações merecem destaque para quem for usar esses números fora deste exercício. Um prior setorial genuíno não foi testado, porque a B3 não publica um arquivo de classificação setorial em lote, e o substituto usado na frente de sensibilidade, tercil de liquidez, é um proxy fraco de setor econômico de fato. Qualquer carteira de mercado construída a partir do COTAHIST herda a concentração setorial da própria B3, pesada em commodities (petróleo, mineração) e bancos, de modo que o beta medido aqui descreve a relação com essa composição específica, diferente de uma carteira diversificada por setor ou geografia. E o alvo contra o qual os quatro estimadores são julgados é, como a seção sobre o piso de ruído mostrou, ele mesmo ruidoso, o que limita o quanto qualquer comparação de RMSE nesta amostra consegue separar precisão real de ruído de medição. Toda comparação numérica deste artigo vale para a amostra, o período e o método usados aqui: ações ON/PN de lote padrão da B3, COTAHIST 2005 a 2025, retornos semanais, janela de treino de três anos. Nenhum desses números é propriedade geral de qualquer um dos quatro estimadores fora desse escopo.

Referências

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VASICEK, O. A. A note on using cross-sectional information in Bayesian estimation of security betas. The Journal of Finance, v. 28, n. 5, p. 1233-1239, 1973.

Em risco de crédito, quando uma carteira só informa quantos contratos estão em cada faixa de atraso em cada mês, e não a trajetória de cada contrato, a matriz de migração entre faixas precisa ser inferida das proporções agregadas, exatamente como a matriz de transição entre os turnos. A equivalência é formal (TEN CATE, 2018), e as técnicas usadas para o fluxo de votos, como mínimos quadrados com restrições, ajuste proporcional iterativo, bootstrap por agrupamento e calibração das faixas por simulação, reaparecem em matrizes de rating, na reconstrução de exposições interbancárias e na leitura de fluxos de fundos. O texto percorre o modelo aplicado às 500 mil seções de 2026, os resultados e as correspondências com finanças quantitativas.

O problema da inferência ecológica

Para cada seção a, com eleitorado E_a, conhecem-se as frações do eleitorado em cinco grupos no 1º turno (Lula, outros candidatos, Flávio, brancos e nulos, abstenção) e em quatro grupos no 2º turno (Lula, Flávio, brancos e nulos, abstenção). A incógnita é a matriz de transição B, de dimensão 5×4, cujo elemento β_ij é a probabilidade de um eleitor do grupo i no 1º turno estar no grupo j no 2º. Cada linha de B soma 1 e cada elemento fica entre 0 e 1.

A equação diz que a composição do 2º turno em cada seção é a mistura das linhas de B, ponderada pela composição do 1º turno. Se Flávio cresceu mais justamente nas seções onde os candidatos eliminados eram fortes, a regressão atribui aos eleitores desses candidatos uma taxa alta de migração para Flávio. É a variação entre centenas de milhares de seções que permite separar as linhas da matriz, e essa é a ideia da regressão ecológica (GOODMAN, 1953), que supõe B igual em todas as unidades.

A suposição é forte, porque os dados agregados não distinguem o comportamento individual de um efeito do lugar. Se, nas seções com mais brancos e nulos no 1º turno, o bairro inteiro foi mais para Lula no 2º, a regressão atribui esse movimento aos próprios eleitores de branco e nulo, quando ele vem dos vizinhos (ACHEN; SHIVELY, 1995). Formalmente, a regressão observa apenas a soma de um termo individual e de um termo de contexto, e infinitos pares dos dois explicam os dados igualmente bem.

Problema de identificação da inferência ecológica (paráfrase de Achen e Shively, 1995). Com dados agregados, o modelo y_a = B^⊤x_a + Γ g(x_a) + e_a, em que Γ g(·) representa o efeito de contexto, reproduz os totais igualmente bem para muitos pares (B, Γ). Toda estimativa de B depende de uma hipótese sobre o contexto, que os próprios agregados não permitem testar.

O modelo adotado ataca esse problema comparando apenas seções do mesmo local de votação, que compartilham o bairro e, portanto, o contexto.

Mínimos quadrados com restrições, covariáveis e encolhimento

A estimação parte de mínimos quadrados ponderados pelo eleitorado, dentro do conjunto de matrizes válidas. A suposição de matriz única é relaxada de duas formas. Primeiro, a matriz varia, dentro de cada estado, com o perfil do eleitorado da seção, medido pela fração com baixa escolaridade, pela fração com ensino superior e pela fração com 60 anos ou mais, dados que o TSE publica por seção. Com z_a o vetor dessas frações, centradas na média nacional,

em que u é o estado da seção. As linhas de B⁽⁰⁾ somam 1 e as dos blocos de covariáveis somam 0, de modo que a matriz de cada seção continua com linhas somando 1, e a restrição de ficar entre 0 e 1 é imposta num conjunto de valores observados de z. Assim, se os brancos e nulos são mais comuns onde a escolaridade é baixa e Lula cresceu ali por outros motivos, o modelo consegue separar uma coisa da outra.

Em segundo lugar, cada estado tem a própria matriz, mas ela é puxada para a matriz nacional por uma penalidade quadrática, o equivalente a uma priori normal centrada na estimativa nacional (Bayes empírico):

Com o peso κ da ordem de 2 milhões de eleitores, São Paulo, com 34 milhões, quase não é afetado, enquanto estados pequenos ficam perto da média. O problema é uma programação quadrática convexa, com objetivo quadrático e restrições lineares. A consequência para a leitura dos resultados por estado é que as diferenças entre estados pequenos aparecem atenuadas.

Comparação dentro do local de votação e a restrição de totais

Um local de votação, que em cerca de 80% dos casos é uma escola, reúne várias seções que compartilham bairro, clima político e campanha local. O que muda entre elas é basicamente quais eleitores foram alocados a cada uma, por critérios administrativos. Comparando apenas seções do mesmo local, tudo que é comum ao local se cancela. É a lógica do efeito fixo em dados em painel, aplicada aqui ao local de votação. Com L(a) o local da seção a, p_a = x_a/E_a e q_a = y_a/E_a, e as médias de cada local ponderadas pelo eleitorado,

Um contexto constante no local, q_a = B^⊤p_a + c_L(a), desaparece na diferença. O custo é de identificação, já que as frações de cada seção somam 1 e, portanto, os desvios em relação à média do local somam zero. Somar a mesma constante a todas as linhas de uma coluna de B não altera o ajuste, de modo que as diferenças só revelam quanto cada grupo foi a mais ou a menos que os outros. O nível de cada coluna vem de uma restrição de igualdade, que obriga a matriz de cada estado a reproduzir o resultado do 2º turno no estado:

A hipótese embutida é que o efeito de contexto se cancela na média do estado, o que é a leitura natural de um deslocamento comum a todos os eleitores do estado. Locais com alguma seção cujo eleitorado mudou entre os turnos, por fusão ou remanejamento, ficam fora das diferenças, porque ali os eleitores do 1º e do 2º turno de uma seção não são os mesmos, e cerca de metade das seções está nessa situação. Como cada eleitor carrega menos informação na diferença dentro do local, o κ do encolhimento é reduzido na proporção entre os traços das duas matrizes de informação. A literatura de inferência ecológica trata o viés de contexto com covariáveis agregadas e modelos de vizinhança, mas não foi encontrada aplicação de efeito fixo de unidade com essa estrutura, de modo que a escolha deve ser lida como uma hipótese de modelagem que a validação por simulação testa diretamente.

Ajuste proporcional iterativo

A matriz estimada não reproduz exatamente os totais de cada seção. O passo final aplica o ajuste proporcional iterativo (IPF), que parte de N_a,ij = X_a,i β_a,ij, em número de eleitores, e alterna o ajuste das colunas aos totais do 2º turno e das linhas aos do 1º (DEMING; STEPHAN, 1940):

Após 60 iterações, cada tabela tem os totais oficiais da seção nos dois turnos, e os fluxos de um estado ou do país são somas de tabelas de seção, que conferem com o TSE. O IPF converge para a tabela que respeita as marginais e fica mais próxima, em divergência de Kullback-Leibler (uma medida de distância entre distribuições), do ponto de partida, e por isso o ponto de partida importa. Para que nenhuma célula comece em zero, cada taxa recebe um piso. Com piso de 0,1%, a validação mostrou que o ajuste espalhava eleitores demais para fluxos quase nulos e tirava a diferença dos fluxos de quem manteve o voto, um desvio sistemático que a reamostragem não enxerga. Com 0,01%, o desvio caiu cerca de um terço, e pisos menores não mudaram o resultado.

Incerteza, versões do modelo e calibração por simulação

A faixa de cada fluxo combina duas fontes de incerteza. A primeira é a amostragem. Como seções vizinhas se parecem, sortear seções isoladas subestimaria a variabilidade, e o bootstrap sorteia municípios inteiros, com reposição, dentro de cada estado (CAMERON; GELBACH; MILLER, 2008), refazendo o cálculo 400 vezes. O eleitorado de cada grupo de origem é conhecido exatamente, e só as taxas são incertas, por isso cada reamostragem é convertida em taxas e aplicada ao eleitorado real. Sem esse passo, a variação no tamanho das amostras (uma capital pode entrar zero ou duas vezes) alargaria a faixa dos fluxos grandes sem motivo.

A segunda fonte é a especificação. O mesmo cálculo é feito em cinco versões razoáveis do modelo, que diferem no agrupamento (estado com covariáveis, só estado, região, matriz nacional) e no nível de comparação (local ou zona eleitoral). Escolher uma versão e ignorar as demais subestima a incerteza (DRAPER, 1995), e a faixa bruta é o envelope que vai da menor estimativa entre as versões, menos a distância da principal até o seu percentil 5, à maior, mais a distância até o percentil 95.

Nenhuma dessas fontes garante que a faixa contém o valor verdadeiro, e a única forma de verificar é criar eleições em que a verdade é conhecida. Sobre a estrutura real de 146 mil seções de 2022, a validação sorteia a transição de cada seção, gera as contagens do 2º turno por sorteios multinomiais e roda exatamente o mesmo procedimento, em 96 eleições simuladas divididas em quatro cenários. O primeiro usa a transição estimada pelo próprio modelo (A). O segundo acrescenta desvios aleatórios por município e por seção na escala logit, o logaritmo da razão de chances (B). O cenário C introduz um efeito de contexto que muda de seção para seção dentro do mesmo local de votação, e o D, um efeito de contexto do local de votação inteiro, a forma realista do fenômeno.

A verificação é a mesma lógica do teste de cobertura de intervalos de previsão (CHRISTOFFERSEN, 1998), aplicada a fluxos em vez de retornos. O envelope bruto continha a verdade em apenas 69% dos fluxos relevantes nos cenários A e B, abaixo dos 90% pretendidos, porque os limites da matriz produzem desvios sistemáticos pequenos que se repetem em todas as reamostragens. A faixa publicada é, por isso, calibrada:

em que c multiplica a distância até cada ponta do envelope e d acrescenta uma fração do próprio fluxo, para cobrir o desvio dos fluxos grandes. Os dois parâmetros são os menores que levam a cobertura a 90% nos cenários A, B e D, ajustados nas eleições simuladas pares e conferidos nas ímpares, o que resultou em c = 1,5 e d = 0,8%, com cobertura de 92% nas eleições reservadas.

O cenário D confirma o papel da comparação dentro do local, já que o viés em brancos e nulos → Lula fica em 60 mil votos, enquanto a mesma especificação comparando seções da mesma zona erra 450 mil. No cenário C, quando o contexto muda de uma seção para outra dentro do mesmo local de votação, todas as versões superestimam esse fluxo em 1,1 milhão de votos, e nenhuma faixa cobre o erro. É uma situação pouco plausível, porque a divisão em seções é administrativa e o eleitor não sabe quem mais vota na sua seção, mas os dados não permitem descartá-la, razão pela qual os fluxos que saem de brancos e nulos nunca recebem a etiqueta de maior confiança na tabela de resultados.

Implementação em Julia

O modelo está implementado em Julia, linguagem de programação voltada à computação científica, no repositório pq_inferencia_ecologica, que reproduz desde o download dos arquivos do TSE até a validação por simulação. Cada estimação é um problema de programação quadrática convexa, com objetivo quadrático e restrições lineares, e (1 + K)·20 variáveis, em que K é o número de covariáveis. O problema é montado no JuMP, a biblioteca de modelagem de otimização do Julia, e resolvido pelo Clarabel, um otimizador de pontos interiores escrito na própria linguagem. As equações das seções anteriores correspondem uma a uma às restrições do código, de modo que o repositório pode ser lido junto com o texto.

Resultados para 2026

O diagrama e a tabela abaixo resumem os fluxos estimados para o Brasil. Os eleitores dos candidatos eliminados se dividiram quase ao meio entre os finalistas, enquanto Lula levou vantagem clara entre os abstencionistas do 1º turno e entre os eleitores de branco e nulo. As trocas diretas entre Lula e Flávio têm as faixas mais largas, de zero a cerca de 2 milhões nos dois sentidos.

Decompondo a virada de 6,6 milhões de votos na diferença entre os candidatos, as trocas diretas respondem por cerca de 2,9 milhões, os abstencionistas que voltaram às urnas por 2,2 milhões, os eleitores de branco e nulo por 1,5 milhão e os eleitores dos eliminados por 0,4 milhão, descontados 0,4 milhão porque eleitores de Lula deixaram de votar ou anularam um pouco mais que os de Flávio. A maior parcela é também a menos determinada, e essa assimetria levou a uma mudança na forma de apresentar os resultados.

“Dois milhões foram de Flávio para Lula e setecentos mil fizeram o caminho inverso” explica os totais quase tão bem quanto um movimento muito menor nos dois sentidos, porque só o saldo altera as marginais. Em termos de identificação parcial (MANSKI, 2003), os dados restringem bem a diferença entre ida e volta e mal cada uma delas. Por isso a estimação calcula também o saldo de cada par de grupos, com faixa própria, montada com o bootstrap do próprio saldo e a mesma calibração. O saldo entre abstenção e Lula, de 2,4 milhões a favor de Lula, tem faixa de 2,0 a 5,1 milhões, e o saldo entre brancos e nulos e Lula, de 2,5 milhões, fica entre 2,3 e 3,0. Já o saldo das trocas diretas, estimado em 1,4 milhão a favor de Lula, tem faixa de 0,7 milhão a favor de Flávio a 1,7 milhão a favor de Lula, de modo que nem o sentido dessa troca está garantido.

Entre os estados, a divergência mais robusta está na volta dos abstencionistas. Na Bahia, em Pernambuco, no Ceará, na Paraíba, em Sergipe e no Rio Grande do Norte, entre 14% e 17% dos abstencionistas do 1º turno votaram em Lula no 2º, contra 4% a 7% no Acre, em Roraima e em Rondônia, com faixas que não incluem a taxa nacional de 12%. O Norte foi a única região em que a abstenção subiu entre os turnos, com altas de 8,1 pontos no Amapá, 6,0 em Roraima e 5,6 no Acre. A explicação usual, a ausência de 2º turno para governador, não se sustenta, porque o Acre teve disputa estadual e registrou uma das maiores altas.

Onde a mesma estrutura aparece em finanças quantitativas

A regressão de Goodman é um caso particular de um problema que finanças quantitativas enfrentam com frequência, que é estimar uma matriz de transição a partir de marginais. O paralelo mais direto é a cadeia de Markov observada só por proporções agregadas. Se π_t é o vetor com as frações de uma carteira em cada estado no período t e P a matriz de transição, então π_t+1 = P^⊤π_t + ε_t, com linhas de P somando 1 e elementos não negativos, a mesma estrutura da equação dos turnos com o tempo no lugar das seções. A estimação por mínimos quadrados restritos dessa equação remonta a Lee, Judge e Zellner (1970), e ten Cate (2018) mostra que o modelo de Markov com macrodados e o modelo de inferência ecológica compartilham a mesma verossimilhança.

Em risco de crédito, a aplicação aparece quando as trajetórias individuais não estão disponíveis. Jones (2005) estima matrizes de transição de crédito nos Estados Unidos a partir de proporções agregadas, como a de empréstimos inadimplentes, condicionando a matriz ao ciclo econômico, e a ideia de deixar a matriz variar com variáveis macroeconômicas é a mesma da migração de rating condicionada ao regime de Bangia et al. (2002). No modelo eleitoral, o papel do ciclo é feito pelas covariáveis de escolaridade e idade. Carteiras de varejo em que só se observam os saldos por faixa de atraso, como as que alimentam estimativas de perda esperada e o estagiamento contábil (a classificação dos créditos em estágios de risco da norma IFRS 9), enfrentam o mesmo dilema de identificação, já que a migração bruta entre faixas não se separa da migração líquida sem hipóteses adicionais.

Em estabilidade financeira, quando um supervisor conhece apenas o total de ativos e de passivos interbancários de cada banco, a matriz de exposições bilaterais é estimada por máxima entropia, com o algoritmo RAS (o nome vem da notação r·A·s, em que a matriz A é multiplicada por fatores de linha r e de coluna s), que é o IPF aplicado a matrizes (UPPER; WORMS, 2004). Mistrulli (2011), comparando com exposições observadas no mercado italiano, mostra que a máxima entropia, ao supor uma rede completa, em que todos os bancos se expõem a todos, tende a superestimar o contágio, dependendo da estrutura da rede e das hipóteses de perda. O piso do IPF no modelo eleitoral produz o mesmo tipo de viés, porque o ponto de partida uniforme espalha massa para células que deveriam ser quase nulas, e nos dois casos o desvio só aparece quando se compara com uma verdade conhecida.

Nos fundos de investimento, a captação líquida, calculada como variação do patrimônio menos o retorno, é o análogo do saldo entre dois grupos de eleitores, e a captação e o resgate brutos são o análogo da ida e da volta. Cashman et al. (2012) mostram que captação e resgate reagem de forma assimétrica ao desempenho e que essa assimetria some no fluxo líquido, o que reforça a cautela de interpretar fluxos brutos estimados a partir de totais líquidos, seja de fundos, de clientes entre instituições ou de eleitores entre candidatos.

Verificar se um intervalo de 90% contém a verdade em 90% das eleições simuladas é o mesmo exercício de um teste de cobertura do valor em risco (VaR), com a vantagem de que a simulação permite conhecer a verdade e testar cenários específicos de falha do modelo. A tabela abaixo resume as correspondências.

Conclusão

Com 500 mil unidades, comparação dentro do local e faixas calibradas, os movimentos que alteram as marginais (abstencionistas que voltaram, brancos e nulos que escolheram um lado, eleitores dos eliminados que se dividiram) ficam bem determinados. A divisão de um saldo em ida e volta depende de hipóteses que os dados não testam, e a validação por simulação mostrou que mesmo a faixa mais cuidadosa falha quando o contexto varia dentro da unidade de comparação.

Para quem estima matrizes de migração de crédito, exposições interbancárias ou fluxos brutos de fundos a partir de totais, a lição transfere sem adaptação. A identificação do efeito de contexto precisa de uma escolha explícita de comparação, o ponto de partida do IPF ou da máxima entropia introduz viés nas células quase nulas, os saldos merecem mais confiança que os fluxos brutos, e a cobertura das faixas só é conhecida depois de testada contra uma verdade simulada que inclua os cenários em que o modelo pode falhar.

Referências

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BANGIA, A.; DIEBOLD, F. X.; KRONIMUS, A.; SCHAGEN, C.; SCHUERMANN, T. Ratings migration and the business cycle, with application to credit portfolio stress testing. Journal of Banking & Finance, v. 26, n. 2-3, p. 445-474, 2002.

CAMERON, A. C.; GELBACH, J. B.; MILLER, D. L. Bootstrap-based improvements for inference with clustered errors. The Review of Economics and Statistics, v. 90, n. 3, p. 414-427, 2008.

CASHMAN, G. D.; DELI, D. N.; NARDARI, F.; VILLUPURAM, S. Investors do respond to poor mutual fund performance: evidence from inflows and outflows. The Financial Review, v. 47, n. 4, p. 719-739, 2012.

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DEMING, W. E.; STEPHAN, F. F. On a least squares adjustment of a sampled frequency table when the expected marginal totals are known. The Annals of Mathematical Statistics, v. 11, n. 4, p. 427-444, 1940.

DRAPER, D. Assessment and propagation of model uncertainty. Journal of the Royal Statistical Society: Series B (Methodological), v. 57, n. 1, p. 45-97, 1995.

GOODMAN, L. A. Ecological regressions and behavior of individuals. American Sociological Review, v. 18, n. 6, p. 663-664, 1953.

JONES, M. T. Estimating Markov transition matrices using proportions data: an application to credit risk. Washington, DC: International Monetary Fund, 2005. (IMF Working Paper, WP/05/219).

LEE, T. C.; JUDGE, G. G.; ZELLNER, A. Estimating the parameters of the Markov probability model from aggregate time series data. Amsterdam: North-Holland, 1970. (Contributions to Economic Analysis, 65).

MANSKI, C. F. Partial identification of probability distributions. New York: Springer, 2003.

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TEN CATE, A. Maximum likelihood estimation of the Markov chain model with macro data and the ecological inference model. Journal of Economic and Social Measurement, v. 43, n. 1-2, p. 1-9, 2018.

UPPER, C.; WORMS, A. Estimating bilateral exposures in the German interbank market: is there a danger of contagion? European Economic Review, v. 48, n. 4, p. 827-849, 2004.

Entre 1999 e 2019, uma geração inteira de papers refinou a discussão, mapeou alternativas e acabou propondo o expected shortfall (ES) como candidato preferencial. Em janeiro de 2019, o Comitê de Basileia publicou a versão final do Fundamental Review of the Trading Book (BCBS, 2019). O documento cobra de bancos com modelo interno de risco de mercado que o cálculo de capital passe a usar o ES a 97,5% no lugar do VaR a 99%. No Brasil, a Resolução BCB 470, de 30 de abril de 2025, incorporou essa estrutura para vigência obrigatória em 1º de janeiro de 2027 (BANCO CENTRAL DO BRASIL, 2025). O que começou como uma discussão axiomática em uma revista especializada virou, duas décadas depois, a regra prudencial de toda mesa de negociação com modelo interno aprovado.

Este artigo se apoia em Modelling Economic Capital, de David Jamieson Bolder (2022), e reconstrói a lógica que leva da discussão axiomática à migração regulatória. Apresentamos os quatro axiomas de coerência, o contra-exemplo canônico em que o VaR falha, a construção formal do ES como medida coerente, a calibração do FRTB, e a fragilidade teórica do ES (a não-elicitabilidade), e como a literatura e a regulação deram conta disso. O código Julia complementar implementa os estimadores e simula a carteira de crédito que ilustra os resultados.

O que uma medida de risco deveria fazer

Uma medida de risco é, no final, uma função que pega o perfil aleatório de perda de uma carteira e devolve um número, interpretável como quanto de capital a instituição precisa segregar. Como muitas funções diferentes podem servir para esse papel, a pergunta sensata é quais propriedades a função deveria respeitar. Artzner e coautores propuseram quatro, enunciadas abaixo para uma medida ρ definida sobre perdas aleatórias L:

1. Monotonicidade. Se L₁ ≤ L₂ quase certamente, então ρ(L₁) ≤ ρ(L₂). Uma carteira que sempre perde menos não pode exigir mais capital.

2. Invariância por translação. ρ(L + c) = ρ(L) + c para qualquer constante c. Somar uma perda certa c desloca a exigência de capital em c.

3. Homogeneidade positiva. ρ(λL) = λρ(L) para λ ≥ 0. Dobrar a carteira dobra o capital.

4. Subaditividade. ρ(L₁ + L₂) ≤ ρ(L₁) + ρ(L₂). Combinar duas carteiras não pode criar risco. É a versão formal do princípio de diversificação.

Uma medida que satisfaz os quatro axiomas é chamada coerente. A subaditividade, em particular, formaliza por que bancos gostam de grandes livros diversificados, já que o benefício da diversificação deveria aparecer no número de capital. Artzner e coautores mostraram que o VaR falha justamente nessa propriedade, e essa falha não é patológica, pois acontece em casos perfeitamente razoáveis do ponto de vista econômico.

Onde o VaR quebra

O contra-exemplo que sustenta o argumento envolve dois títulos de dívida zero-cupom de emissores independentes, cada um com probabilidade de default de 4% no horizonte de um ano. Se o default ocorrer, a loss-given-default é de 70%, ou seja, o credor perde 70% do valor de face. Vamos calcular o VaR a 95% da perda de cada título isoladamente e compará-lo com o VaR a 95% da carteira que contém os dois. O nível 5% significa que estamos buscando o menor valor de perda tal que a probabilidade de uma perda menor que esse valor seja pelo menos 95%.

Para cada título individual, a perda é zero com probabilidade 96% e 70% com probabilidade 4%. Como a probabilidade de perda zero já excede os 95% de referência, o VaR a 95% individual é exatamente zero. Somados, os dois VaR individuais dão zero também. Para a carteira, porém, a história muda. A probabilidade de nenhum default é 0,96² ≈ 92,16%, abaixo dos 95% de referência. Precisamos subir para o próximo patamar de perda, que corresponde a pelo menos um default, cuja probabilidade cumulativa de perda menor ou igual é 99,84%. O VaR a 95% da carteira é, portanto, 70% do valor de face de um título.

Combinar as duas posições, independentes entre si, aumentou a exigência de capital medida por VaR. É o oposto do que a intuição sobre diversificação prescreve, e é o oposto do que o axioma de subaditividade exige. A raiz da falha está na estrutura da medida, porque o VaR considera apenas um quantil da distribuição de perdas. Se as caudas de duas distribuições individualmente magras se combinam em uma cauda agregada mais gorda, o quantil pula, mesmo sem correlação linear positiva.

O resultado tem várias formas agravadas e tem uma forma de exceção importante. Embrechts, McNeil e Straumann (2002) demonstraram que o VaR é subaditivo quando a distribuição conjunta de perdas é elíptica, o que inclui a gaussiana multivariada como caso particular. Fora desse universo (caudas pesadas, assimetria, defaults independentes com probabilidade pequena), a violação pode acontecer. Como o mundo financeiro quase nunca é estritamente elíptico, a cláusula de exceção protege pouco.

Expected shortfall como resposta coerente

Resta perguntar se existe alguma medida de risco que capture a ideia de perda ruim na cauda e seja coerente. A resposta positiva veio em uma sequência de papers no começo dos anos 2000, com um número temático do Journal of Banking & Finance em julho de 2002 que reuniu, entre outros, Rockafellar e Uryasev (2002) e Acerbi e Tasche (2002) no mesmo volume. A medida central é o expected shortfall, que circula na literatura sob outros nomes. Rockafellar e Uryasev (2000, 2002) a chamam de conditional value-at-risk (CVaR), e average value-at-risk (AVaR) e expected tail loss (ETL) são rótulos equivalentes, todos designando a perda média na cauda além do VaR.

Em vez de olhar para o quantil 1 − α da distribuição de perdas, o ES olha para a perda média condicional em ultrapassá-lo. A definição formal rigorosa, que funciona para qualquer distribuição (incluindo as com átomos, em que a versão condicional ingênua falha), é dada pela integral sobre os quantis de cauda.]

Quando L tem distribuição contínua, essa integral coincide com E[L | L ≥ VaR_α(L)], a forma que aparece em Bolder (2022). Para distribuições com massa pontual no quantil, a versão de Acerbi e Tasche (2002) é a única que preserva coerência, e é por isso que ela é a usada em implementações cuidadosas. Rockafellar e Uryasev (2000) também ofereceram uma representação variacional que transforma o cálculo do ES em um problema de otimização linear, usada hoje em larga escala para alocação de portfólios sujeitos a restrições de cauda.

Acerbi e Tasche (2002) provaram que o ES satisfaz os quatro axiomas. O ES é monotônico por construção, ao passo que a invariância por translação sai do deslocamento dos quantis e a homogeneidade positiva vem de que tanto os quantis quanto a integral são homogêneos. A subaditividade exige mais trabalho, e os autores mostram que, para quaisquer L₁, L₂ e qualquer α, vale ES_α(L₁ + L₂) ≤ ES_α(L₁) + ES_α(L₂). O contra-exemplo dos dois bônus, que quebrava o VaR, é absorvido. Aplicando a definição rigorosa ao problema anterior, verifica-se que a soma dos ES individuais é maior ou igual ao ES agregado.

Como o VaR é um ponto e o ES é a média de tudo que está além dele, o ES responde ao formato da cauda, enquanto o VaR ignora-o. Dois perfis de perda com o mesmo VaR podem ter ES muito diferentes, e a diferença é maior quanto mais pesada a cauda.

VaR e ES em uma carteira de crédito realista

Uma forma concreta de ver essa diferença é estimar VaR e ES sobre uma carteira de crédito calibrada a parâmetros de mercado. A carteira reúne 100 tomadores corporativos com probabilidades de default por rating, das médias de um ano da S&P, que vão de 0,01% no AAA a 26% no CCC. As exposições são concentradas, com poucos nomes grandes ao lado de muitos pequenos, num índice de Herfindahl equivalente a 42 nomes efetivos. A loss-given-default é estocástica, com média de 45%, e a correlação de ativos segue a fórmula do IRB de Basileia, que liga ρ à PD de cada nome. A dependência entre defaults é modelada de duas formas, por cópula gaussiana e por cópula t de Student com dez graus de liberdade, e a perda da carteira é simulada por Monte Carlo. A diferença entre as duas cópulas está na cauda, porque a t gera defaults conjuntos nos cenários ruins que a gaussiana não captura.

O efeito da dependência de cauda aparece na comparação entre as duas cópulas. No nível 99%, o ES da carteira sob a t é 5,50% da exposição, contra 3,97% sob a gaussiana, uma diferença de 39%. No nível 99,9%, a distância abre para 62%, com ES de 11,39% contra 7,02%. Modelar os defaults como gaussianos, ignorando o agrupamento em crises, subestima o capital de cauda em mais da metade justamente onde ele mais pesa. O ES também recompensa a diversificação, porque ao separar a carteira em dois sub-livros o ES a 99% do conjunto fica cerca de 12% abaixo da soma dos ES isolados, o benefício que a subaditividade garante e que o VaR pode violar. A causa está na estrutura da medida, porque a cauda além do quantil carrega massa que o VaR ignora, e essa massa explode quando os defaults deixam de ser independentes.

A calibração do FRTB e a regulação brasileira

A migração regulatória do VaR para ES tem datas específicas. O primeiro documento consultivo do Fundamental Review of the Trading Book saiu em 2012, e o segundo, em outubro de 2013, já propôs explicitamente a troca (BCBS, 2013). O padrão final chegou em janeiro de 2016 (BCBS, 2016) e foi revisado em janeiro de 2019 (BCBS, 2019). A versão vigente exige que o capital para risco de mercado sob modelo interno seja calculado com ES em nível 97,5% sobre uma janela de stress calibrada ao pior período histórico observado.

A escolha de 97,5% não é arbitrária. Ela foi calibrada para dar números próximos aos do VaR a 99% em uma distribuição normal, facilitando a transição de bancos com modelos antigos. Analiticamente, se L ~ N(0, 1), então VaR a 99% é o quantil padrão 2,326 e ES a 97,5% é 2,338, uma diferença da ordem de meio por cento. Conforme a cauda engorda, porém, a coincidência se desfaz, e para uma t-Student com dez graus de liberdade o ES a 97,5% já supera o VaR a 99% em cerca de 2%. Na carteira de crédito sob cópula t, em que a dependência de cauda engorda ainda mais a distribuição, o ES a 97,5% (3,83% da exposição) fica cerca de 12% acima do VaR a 99% (3,41%). A escolha de 97,5% preserva o nível de capital sob a hipótese gaussiana e o aumenta, na direção certa, quando a distribuição real tem cauda mais pesada do que a normal prevê.

No Brasil, o Banco Central adotou uma implementação por fases. A Resolução BCB 313, de 6 de dezembro de 2023, tratou da primeira parcela, relativa ao risco de spread de crédito no trading book, com cálculo diário obrigatório a partir de 1º de janeiro de 2025. A Resolução BCB 470, de 30 de abril de 2025, completa o arcabouço com a abordagem padronizada baseada em sensibilidades (sensitivities-based approach). A vigência obrigatória para instituições S1, S2 e S3 é 1º de janeiro de 2027. O calendário está alinhado ao adiamento europeu do FRTB para a mesma data via delegated act de junho de 2025. Nos Estados Unidos, o Basel III Endgame foi reproposto em março de 2026 com janela de comentários até junho, e o FRTB ainda não tem data firme de entrada em vigor.

Por que o ES é mais difícil de validar

A coerência não é a única propriedade desejável em uma medida de risco. Para estimar a medida a partir de uma amostra, comparar previsões concorrentes ou fazer backtesting, importa a elicitabilidade. Uma quantidade é elicitável quando existe uma função de scoring S(previsão, observação) cujo valor esperado é minimizado, de forma única, pela previsão correta. Com ela, dado um histórico de previsões e realizações, vence o modelo de menor score médio. O VaR é elicitável pela função pinball, em que o quantil α é o único minimizador do score esperado S_α(x, y) = (𝟙_{{y ≤ x}} − α)(x − y), o que permite comparar modelos, estimar quantis por quantile regression e montar testes diretos de aderência.

Gneiting (2011) mostrou que, para o expected shortfall isolado, nenhuma função de scoring desse tipo existe. A obstrução está numa condição necessária para a elicitabilidade, a de que os conjuntos de nível da medida sejam convexos. Se duas distribuições de perda têm o mesmo valor da medida, qualquer mistura entre elas deveria preservá-lo. O quantil cumpre a condição, porque o ponto em que a função de distribuição cruza o nível α sobrevive à mistura. O ES falha, porque é a média de toda a cauda além do quantil, e misturar duas distribuições desloca o ponto de corte e reembaralha a massa de cauda, levando essa média a um valor diferente dos dois originais. A primeira reação da literatura foi ler esse resultado como argumento contra a migração regulatória. Se o ES não pode ser avaliado sozinho, como validar um modelo que o usa?

Fissler e Ziegel (2016) mostraram que, embora o ES sozinho não seja elicitável, o par (VaR_α, ES_α) é conjuntamente elicitável. Existe uma família de funções de scoring bidimensionais estritamente consistentes para o par, todas com estrutura não-separável. O resultado reabilitou o ES para backtesting comparativo e abriu caminho para testes aplicados como Acerbi e Székely (2014), que propuseram três testes para backtesting direto de ES. A solução regulatória do FRTB foi mais pragmática. A BCBS d457 exige backtesting de VaR em dois níveis, 97,5% e 99%, que juntos servem como validação indireta do ES na janela de interesse (KRATZ; LOK; McNEIL, 2018).

Estimação em Julia

Os dois estimadores se constroem a partir de uma amostra de perdas, e a função abaixo recebe um vetor de perdas simuladas e o nível α, devolvendo VaR e ES na forma não-paramétrica.

Para o leitor interessado em reproduzir os números desta discussão, com a simulação da carteira de crédito sob as duas cópulas e o contra-exemplo dos dois bônus, o código completo está disponível em pq_bolder_cap2.

O ES como padrão regulatório global

O que Bolder (2022) sistematiza a partir do modelo de capital econômico que reconstruiu no Nordic Investment Bank tornou-se, com o FRTB, o padrão de toda a indústria. O Comitê de Basileia fez do ES a 97,5% a métrica de capital de risco de mercado de qualquer banco com modelo interno aprovado. O Japão passou a exigi-lo em 2024, o Canadá e a Suíça em 2025, e as demais jurisdições escalonam a adoção nos anos seguintes. Para os bancos de importância sistêmica global (os G-SIBs), o número de capital passou a repousar no ES, ainda que muitos optem pela abordagem padronizada e deixem o modelo interno de lado pelo custo de implementá-lo.

O argumento de fundo, comum a Bolder e ao Comitê, começa na coerência, já que o VaR não satisfaz subaditividade enquanto o ES satisfaz. Soma-se a isso o fato de o ES incorporar por construção toda a massa além do quantil, que o VaR ignora, e por isso entregar uma medida mais conservadora. Em carteiras de crédito com caudas pesadas, essa diferença se traduz em múltiplos não-triviais no requerimento de capital, como a Tabela 3 mostra.

O argumento restante envolve a atribuição de capital a instrumentos individuais. Quando se procura decompor a medida de risco agregada em contribuições por tomador, via teorema de Euler aplicado à função homogênea, o estimador natural para VaR é uma condicional num conjunto singular (o evento L = VaR), o que o torna ruidoso. Para ES, o estimador é uma condicional num conjunto de medida positiva (o evento L ≥ VaR), estável. Em simulações, a diferença de precisão é de ordens de grandeza, e para um banco que precisa comunicar contribuições de risco a áreas de negócio isso tem consequência concreta.

O VaR, porém, segue em uso. Perdeu para o ES o papel de medir o capital, em que a captura da cauda inteira e o respeito à diversificação pesam mais, mas conserva a função de validar o modelo, porque, ao contrário do ES, é elicitável e admite backtesting direto. O próprio FRTB formaliza essa divisão ao exigir o backtesting de VaR em dois níveis para chancelar o cálculo de capital feito com ES. Longe de ser coisa do passado, o VaR ainda valida o modelo de ES que o substituiu no cálculo de capital.

Referências

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BANCO CENTRAL DO BRASIL. Resolução BCB nº 470, de 30 de abril de 2025: dispõe sobre os procedimentos para o cálculo, mediante abordagem padronizada, do valor diário da parcela dos ativos ponderados pelo risco (RWA) relativa às sensibilidades dos instrumentos sujeitos ao risco de mercado (RWA_SENS). Brasília: BCB, 2025.

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KRATZ, M.; LOK, Y. H.; McNEIL, A. J. Multinomial VaR backtests: A simple implicit approach to backtesting expected shortfall. Journal of Banking & Finance, v. 88, p. 393-407, 2018.

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O artigo de abertura da série sobre estruturas a termo de liquidez apresentou as curvas que diagnosticam o estado de liquidez do banco. A TSAA mostrou os ativos em posse, a TSLGC mostrou a capacidade de gerar caixa por venda, repo e captação unsecured, e a TSLe sintetizou o gap por horizonte. Esse aparato responde à pergunta “estou solvente em cada horizonte futuro?”. A TSFu responde uma pergunta complementar. Dado o funding levantado e o cenário de estresse adotado, como o montante deve ser alocado entre as maturidades para garantir que cada gap de rolagem seja coberto?

Este texto desenvolve a definição formal e aplica o aparato a um banco brasileiro estilizado com poupança, CDB, Letras Financeiras e capital próprio. O acompanhamento computacional está no pacote pq_tsfu, em código aberto, com testes que validam o cálculo numérico contra o exemplo canônico da referência principal.

O mecanismo de rolagem com gap estressado

O ponto de partida é o exemplo introdutório de Castagna e Fede. Um banco emite um título de dívida de valor K em t₀ com prazo τ, que vai sendo rolado até a data terminal Tᵦ. A cada data de rolagem, a hipótese de estresse postula que uma fração x% do montante a ser rolado não consegue ser refinanciada. O banco precisa cobrir esse gap com recursos próprios, e a única forma de fazê-lo sem improvisação é alocar parte do funding inicial em ativos líquidos que vencem exatamente nas datas de rolagem.

Para a primeira rolagem o gap é FG(1) = x%·K. Esse valor precisa estar disponível em forma líquida no momento da rolagem. Para a segunda, o saldo após a primeira rolagem é K(1−x%) e o gap correspondente é FG(2) = x%·K·(1−x%). O padrão se repete. Após N rolagens, o saldo residual disponível para investimento de prazo terminal é K·(1−x%)^N. Essa cascata determina exatamente como o K inicial deve ser fatiado entre as várias maturidades.

A intuição-chave é que cada fatia da TSFu corresponde a um investimento ilíquido que vence em uma data de rolagem específica para cobrir o gap previsto naquela data. O termo “available funding” no nome é literal. A TSFu enumera, maturidade por maturidade, quanto do funding levantado está disponível para ser comprometido a um ativo que vence naquele exato horizonte.

Definição formal multi-fonte

Castagna e Fede generalizam o mecanismo acima para um banco real, com M fontes de captação distintas, cada uma com seu prazo típico τₘ e sua taxa de gap xₘ%. Sob a hipótese simplificadora de que cada fonte é levantada em t₀ e segue um ciclo regular de rolagens, o número de rolagens da fonte m no horizonte é

e o gap previsto na n-ésima rolagem é

Esse gap precisa ser provisionado, e a decisão central da tesouraria é em qual ativo alocar a parcela do funding que cobre cada rolagem. A fonte m está do lado do passivo do balanço. O parâmetro β define em que ativo o banco compra a posição que pré-posiciona caixa nas datas de rolagem, não classifica a captação em si. Uma fração β ∈ [0, 1] do gap fica em ativos genuinamente líquidos com mercado secundário robusto, e a fração complementar (1−β) é investida em ativos ilíquidos vencendo exatamente na data da rolagem, produtivos mas dependentes do vencimento contratual para liberar caixa. No mercado brasileiro, a parcela líquida tipicamente corresponde a LFT, NTN-B curta, NTN-F ou compromissadas com lastro em títulos públicos federais, todos componentes Nível 1 do HQLA. A parcela ilíquida pode ser crédito imobiliário, CCB, financiamento de veículo ou crédito empresarial, sempre com vencimento casado à data da rolagem. O β reflete o trade-off entre retorno, em que a parcela ilíquida paga mais, e certeza de execução na data, em que a parcela líquida não depende de pontualidade do devedor nem de condições de mercado secundário. Para o restante do artigo, focamos na parcela ilíquida, que é a porção produtiva do balanço:

O saldo terminal em Tᵦ, que sobreviveu a todas as rolagens, é alocado integralmente a um investimento ilíquido de longo prazo:

Agregando todas as M fontes, a Term Structure of Available Funding é o vetor das contribuições AVL por maturidade:

da elemento da TSFu é positivo por definição, pois resulta de fração não-negativa de um gap não-negativo. A soma das contribuições ilíquidas mais a parcela líquida iguala o funding total levantado em t₀, refletindo a conservação de fundos do balanço inicial. Esta exposição segue a formulação multi-fonte de Castagna e Fede, focando na parcela ilíquida do AVL (denotada AVLₙₗ pelos autores). A parcela líquida AVLₗ = β·FG cumpre o papel complementar de garantir disponibilidade imediata no instante da rolagem. A forma agregada por maturidade é simétrica, e o pacote pq_tsfu também a calcula.

Aplicação em banco brasileiro estilizado

O preset principal do pacote calibra o aparato a um banco S1 brasileiro estilizado, com cinco fontes de captação representativas da realidade local. A poupança de varejo aparece com prazo típico de 5 períodos e gap baixo de 10%, refletindo a estabilidade comportamental da base segurada pelo Fundo Garantidor de Créditos. O CDB de 1 ano com FGC tem gap intermediário de 15%. Letras Financeiras de atacado de 2 e 5 anos aparecem com gaps mais elevados (30% e 40%), capturando a sensibilidade da captação não-segurada a episódios de estresse, em linha com a evidência empírica de Northern Rock, SVB e Credit Suisse sistematizada no levantamento pós-crise do Financial Stability Institute (BIS, 2024). O capital próprio entra como fonte de gap zero e prazo igual ao horizonte. A preferência por liquidez é β = 20%, valor típico da indústria. Como a fonte representa o passivo, ao olhar a contribuição da “LF atacado 5y” na coluna T = 5 da tabela seguinte, o leitor deve ler como “este é o tamanho do ativo (LFT/NTN para a parcela β ou crédito imobiliário casado para a parcela 1−β) que o banco precisa carregar para honrar a rolagem da LF de 5 anos sob estresse de 40%”.

Aplicando as fórmulas da seção anterior com horizonte de 10 períodos, obtém-se a contribuição de cada fonte em cada maturidade. A poupança de varejo, com apenas uma rolagem no horizonte (em t=5), contribui 32,00 na rolagem e 360,00 no terminal. O CDB FGC, com nove rolagens, distribui contribuições decrescentes em todas as maturidades de 1 a 9 e ainda contribui 57,90 no terminal. As Letras Financeiras de 2 anos têm quatro rolagens, contribuindo nas maturidades pares, enquanto a LF de 5 anos contribui em t=5 (rolagem) e t=10 (terminal). O capital próprio aparece apenas no terminal com 100,00.

Maturidades intermediárias com múltiplas rolagens coincidentes (2, 4, 5) recebem contribuições agregadas relevantes. A maturidade 5, combinando rolagens de poupança e da LF de 5 anos com a rolagem 5 do CDB, atinge AVL agregado de 95,66. A maturidade 10 é o terminal de todas as fontes e recebe 655,92, parcela majoritária do funding total levantado, dominada por poupança e capital próprio. Esse perfil é consistente com a disclosure de Pillar 3 dos grandes bancos brasileiros, em que o terminal de longo prazo é sustentado por fontes estáveis enquanto os horizontes intermediários dependem de captação wholesale com runoff mais agressivo sob estresse.

O cumulado forward TSFCFu

A TSFu por maturidade responde à pergunta “quanto posso investir em um ativo ilíquido vencendo exatamente em Tᵢ?”. Há uma pergunta gerencial relacionada mas distinta. Se o banco quer comprometer recursos com um investimento maturando em Tᵢ, o teto agregado de comprometimento não é apenas a TSFu naquela data. Funding alocado a maturidades posteriores também pode ser usado para um investimento de prazo menor, porque o recurso existe e está disponível independentemente do horizonte para o qual havia sido planejado. Castagna e Fede formalizam essa ideia com a Term Structure of Forward Cumulated Funding (TSFCFu).

Para a fonte m, a liquidez disponível cumulada de Tᵢ até Tᵦ é a soma das contribuições AVL ao longo das maturidades posteriores:

Agrupando todas as M fontes, a TSFCFu é o vetor das somas cumuladas em cada vencimento:

A TSFCFu em Tᵢ representa o orçamento agregado de comprometimento em qualquer investimento ilíquido com maturidade igual ou superior a Tᵢ. A curva é monotonicamente não-crescente em maturidade porque, à medida que Tᵢ avança, parte do funding já foi consumida em alocações de prazo anterior e sobra menos para alocações de prazo posterior.

Para o banco brasileiro estilizado, a TSFCFu começa em 1011,18 em T₁ (cumulado de toda a TSFu) e decresce até 655,92 em Tᵦ = 10, valor que coincide com a contribuição terminal agregada. As quedas são desiguais. Entre T₄ e T₆ a curva cai de 886,01 para 738,33, refletindo a alocação simultânea de poupança e LFs em t = 5. A leitura gerencial é que comprometer recursos em ativo ilíquido de 5 anos consome muito do orçamento disponível, justamente por concentrar uma janela de rolagens estressadas das fontes mais voláteis.

O uso conjunto de TSFu e TSFCFu na tesouraria materializa o trade-off entre alocar liquidez para um investimento maturando em Tᵢ e reservar a mesma liquidez para horizontes posteriores. Quando o banco compromete um valor N em um ativo vencendo em Tᵢ, esse N é deduzido de todas as entradas da TSFCFu nos vencimentos posteriores. Castagna e Fede ilustram essa mecânica com decisões alternativas que deformam a TSFCFu residual de formas distintas, dependendo do prazo do comprometimento e da participação na curva cumulada.

Para experimentar o efeito de cada parâmetro sobre as duas curvas, há uma calculadora interativa em andrecamatta.github.io/pq_tsfu. A página carrega o preset brasileiro acima, um preset que replica o exemplo canônico de Castagna e Fede e um banco didático mínimo, permite editar fontes de captação e o parâmetro β, e atualiza a TSFu e a TSFCFu em tempo real.

NSFR, ILE e a restrição regulatória

Além do uso gerencial, o aparato TSFu/TSFCFu é o objeto sobre o qual incide a restrição mais relevante da regulação de Basileia III pós-crise, o Net Stable Funding Ratio. O NSFR, definido pelo BCBS em seu documento d295 de 2014, exige que a Available Stable Funding seja maior ou igual à Required Stable Funding em horizonte de 1 ano, com fatores ASF e RSF graduados por maturidade residual. O fator ASF é 100% para capital e funding com prazo superior a 1 ano, 95% para depósitos varejo estáveis, 50% para depósitos atacado de relação corrente e 0% para demais depósitos atacado com prazo inferior a 6 meses. A restrição NSFR ≥ 100% torna-se efetivamente um limite inferior sobre a soma da TSFuₙₗ nas maturidades superiores a 12 meses.

No Brasil, a regulação foi implementada pela Resolução CMN 4.616, de 30 de novembro de 2017, e pela Circular BCB 3.869, de 19 de dezembro de 2017, com vigência a partir de 1º de outubro de 2018, formalizada como Indicador de Liquidez Estrutural (ILE). A exigência de ILE mínimo de 100% aplica-se às instituições financeiras do Segmento S1, atualmente seis IFs. A Resolução CMN 4.557, de 23 de fevereiro de 2017, estabelece a estrutura integrada de gerenciamento de riscos e capital, equivalente local ao ICAAP/ILAAP descrito pelo guia da União Europeia (ECB, 2018). Seus arts. 37 a 39 exigem plano de contingência de liquidez, perfil de funding adequado e diversificação de fontes, demandas que se traduzem em monitoramento contínuo da TSFu por maturidade e da TSFCFu agregada.

O Banco Central publica semestralmente o Relatório de Estabilidade Financeira (REF), que reporta o ILE do sistema. Segundo o REF de novembro de 2025 (vol. 24, n. 2, dados até junho de 2025), a mediana do ILE permaneceu em torno de 1,2, com a “ampla maioria das instituições” mantendo níveis adequados. O documento sinaliza apenas pequena piora nas faixas mais altas da distribuição. A trajetória vinha estável nesse patamar desde dezembro de 2023. A folga do sistema brasileiro reflete tanto a robustez da composição do HQLA (quase 100% Nível 1, dominado por LFT, NTN e reservas no Banco Central) quanto a estrutura conservadora de captação dos bancos S1, com peso elevado de poupança e CDB com cobertura do Fundo Garantidor de Créditos. A leitura via TSFu mostra por que essa folga é estrutural. O terminal da curva é dominado por fontes de gap baixíssimo, deixando margem considerável acima do piso regulatório.

Implementação Julia

O pacote pq_tsfu implementa em Julia 1.10+ o aparato apresentado no artigo. O módulo principal expõe os tipos FundingSource e Bank, e as funções funding_gap, num_rollovers, terminal_amount, compute_tsfu_nl, compute_tsfu_l e compute_tsfcfu.

A função compute_tsfu_nl(bank) percorre cada fonte de captação, computa o gap em cada data de rolagem e agrega a contribuição AVLₙₗ na maturidade correspondente. O terminal em Tᵦ recebe a soma dos saldos residuais das fontes. A função compute_tsfcfu(bank) realiza uma soma-sufixo da TSFuₙₗ, produzindo o vetor cumulado forward em uma única passada O(Tᵦ). Os tipos são imutáveis para garantir reprodutibilidade, e os 75 testes do pacote validam os valores contra os exemplos numéricos da referência principal com tolerância inferior a 0,05.

Conclusão

A TSFu responde à pergunta de como alocar o funding levantado entre maturidades distintas, dado o cenário de estresse adotado. Cada elemento da curva é a fração do funding total disponível para um investimento ilíquido vencendo exatamente naquela data, computada pela cascata de rolagens e gaps. A TSFCFu complementa a visão fornecendo o orçamento cumulado de comprometimento agregado, ancorando decisões de investimento por prazo no contexto do balanço inteiro. Juntas, as duas curvas fecham o ciclo entre diagnóstico de liquidez e plano de alocação que organiza as estruturas a termo no arcabouço de Castagna e Fede.

A disponibilidade pública do código-fonte e a calculadora interativa permitem ao leitor verificar diretamente o efeito de cada parâmetro do modelo, reproduzir os números do exemplo canônico do arcabouço e adaptar a calibração a contextos específicos. Para tesourarias brasileiras, isso oferece um caminho de incorporação gradual do aparato em rotinas de planejamento de captação que complementa, sem substituir, a estrutura regulatória de ILE e os exercícios de teste de estresse internos do ICAAP.

A restrição regulatória do NSFR, implementado no Brasil como ILE pela Resolução CMN 4.616/2017, impõe um piso inferior sobre a integral da TSFu no horizonte de 12 meses. O sistema brasileiro mantém ILE confortavelmente acima do mínimo, ainda que a estrutura de captação concentrada em prazos curtos com cobertura do FGC limite a margem para crescimento de crédito de prazo muito longo sem captação adicional via Letras Financeiras. O ferramental do pacote pq_tsfu oferece reprodutibilidade da arquitetura para tesourarias, áreas de risco e pesquisadores que queiram instrumentalizar o aparato de Castagna e Fede em código aberto.

Referências

BANCO CENTRAL DO BRASIL. Conselho Monetário Nacional. Resolução CMN nº 4.557, de 23 de fevereiro de 2017. Brasília: BCB, 2017.

BANCO CENTRAL DO BRASIL. Conselho Monetário Nacional. Resolução CMN nº 4.616, de 30 de novembro de 2017. Brasília: BCB, 2017.

BANCO CENTRAL DO BRASIL. Relatório de Estabilidade Financeira. v. 24, n. 2. Brasília: BCB, novembro de 2025.

BANCO CENTRAL DO BRASIL. Circular BCB nº 3.869, de 19 de dezembro de 2017. Brasília: BCB, 2017.

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CASTAGNA, Antonio; FEDE, Francesco. Measuring and Managing Liquidity Risk. Chichester: Wiley Finance, 2013.

EUROPEAN CENTRAL BANK. ECB Guide to the internal liquidity adequacy assessment process (ILAAP). Frankfurt: ECB Banking Supervision, 2018.

O primeiro artigo desta série apresentou o arcabouço da predição conformal, a única família de métodos com garantia frequentista de cobertura em amostra finita sob a premissa de intercambialidade (invariância da distribuição conjunta dos dados sob qualquer permutação dos índices, premissa estritamente mais fraca que i.i.d.). Este artigo aplica esse arcabouço a regressão, na variante Conformalized Quantile Regression (CQR) de Romano, Patterson e Candès (2019), e mede empiricamente seu desempenho em retornos diários do Ibovespa entre 2015 e 2025.

Métodos clássicos e a falta de garantias

O caminho clássico é o intervalo paramétrico. Ajusta-se uma janela móvel de 252 dias da média e do desvio padrão, e se constrói μ_t ± 1,645·σ_t. A cobertura sai correta marginalmente, mas a premissa é que retornos seguem distribuição normal e que a volatilidade da janela móvel reflete a volatilidade do dia seguinte. Em períodos de estresse, ambas as premissas falham. A inferência bayesiana exige um prior que rara vez é defensável quantitativamente para retornos.

O bootstrap dos resíduos parece uma saída não paramétrica, mas tem validade apenas assintótica. O argumento clássico de Efron (1979) exige n → ∞ para que a distribuição empírica dos resíduos convirja para a distribuição populacional do erro, e em amostra finita as caudas empíricas subestimam sistematicamente os quantis extremos. O procedimento i.i.d. ainda assume resíduos identicamente distribuídos, suposição inadequada em séries financeiras com volatilidade clusterizada. O bootstrap em blocos (KÜNSCH, 1989) corrige parcialmente essa lacuna reamostrando blocos contíguos de resíduos de comprimento L, o que preserva a estrutura de dependência local. Continua, porém, amostrando da distribuição marginal das janelas observadas, sem condicionar ao estado de volatilidade do dia que se quer prever.

A predição conformal é a única família com garantia frequentista de cobertura em amostra finita sem premissas distribucionais, condicionada apenas à intercambialidade.

Garantia de cobertura frequentista (paráfrase de Lei et al., 2018, e Romano, Patterson e Candès, 2019).

Sob intercambialidade da sequência (X_i, Y_i), o intervalo conformal indutivo C_α(X_n+1) construído a partir de um conjunto de calibração de tamanho n satisfaz ℙ(Y_n+1 ∈ C_α(X_n+1)) ≥ 1 − α em amostra finita, sem hipóteses sobre a distribuição conjunta dos dados. A probabilidade é marginal, tomada sobre toda a distribuição conjunta do conjunto de calibração e do par de teste.

O mecanismo é comum a todas as variantes desta família. Computa-se um score de não-conformidade num conjunto de calibração separado, toma-se seu quantil empírico ao nível desejado, e usa-se esse quantil como ajuste sobre as predições do modelo base. CQR aplica esse mecanismo a quantis condicionais estimados, e é a primeira variante que vamos construir e testar no Ibovespa.

Regressão quantílica como base

A alternativa que dispensa a hipótese de normalidade é estimar diretamente os quantis condicionais da distribuição de retornos, sem passar pela média e pelo desvio padrão. Sob heterocedasticidade ou caudas pesadas, a média condicional 𝔼[Y | X = x] minimizada por mínimos quadrados não captura a estrutura completa da distribuição condicional, e os quantis carregam mais informação sobre a banda de incerteza.

Koenker e Bassett (1978) introduziram a regressão quantílica como o estimador que minimiza a pinball loss:

A função ρ_τ penaliza assimetricamente os resíduos positivos e negativos, com erros u > 0 (previsão abaixo do observado) pesando τ e erros u < 0 (previsão acima do observado) pesando (1 − τ). Minimizar ρ_τ é equivalente a exigir que a fração de observações com u < 0 seja exatamente τ, condição que reproduz a definição populacional do τ-quantil condicional, ℙ(Y < Q_τ(X) | X) = τ, e a calibração das inclinações em τ e (1 − τ) é o que materializa essa propriedade na função de perda. O nome pinball vem do formato em V do gráfico da função, cujos dois ramos têm inclinações τ e (1 − τ).

Para τ = 0,5, ρ_τ se reduz à perda absoluta e a função estimada é a mediana condicional. Para τ = 0,05, o estimador converge ao quantil 5% condicional, e analogamente para τ = 0,95. Modelos modernos como Quantile Random Forest (MEINSHAUSEN, 2006) e Quantile Gradient Boosting (objetivo quantile no LightGBM de KE et al., 2017) treinam um modelo separado por nível τ minimizando a pinball loss, sem assumir forma paramétrica para a distribuição condicional.

Para o retorno de amanhã do Ibovespa, isso significa treinar dois modelos, um para o quantil 5% condicional a lags de retorno e volatilidade recente, e outro para o quantil 95%. O intervalo nominal é o par. O problema é que esses estimadores não trazem garantia de cobertura. Em pequenas amostras ou sob especificação incorreta, a cobertura empírica do intervalo [q̂_α/2(x), q̂_1−α/2(x)] pode ficar arbitrariamente abaixo de 1−α. CQR resolve essa lacuna.

CQR e o ajuste conformal sobre quantis

CQR aplica calibração via predição conformal indutiva (ICP, baseada em uma única partição treino/calibração, em contraste com variantes transdutivas que refazem o ajuste para cada ponto novo) sobre os quantis condicionais estimados por regressão quantílica. A construção tem três passos.

Primeiro, dada uma partição treino/calibração, ajustam-se q̂_α/2 e q̂_1−α/2 no conjunto de treino. Para o Ibovespa, isso é dois LightGBM treinados de 2004 a 2013.

Segundo, define-se em cada ponto i do conjunto de calibração o score CQR, uma medida de não-conformidade entre Y_i e o intervalo nominal estimado.

Score CQR (paráfrase de Romano, Patterson e Candès, 2019).

O score de não-conformidade E_i da Conformalized Quantile Regression (CQR) é a violação máxima entre o limite inferior q̂_α/2(X_i) e o limite superior q̂_1−α/2(X_i) do intervalo nominal. Quando Y_i fica fora do intervalo, E_i é positivo e mede a folga abaixo do quantil inferior ou acima do quantil superior. Quando fica dentro, E_i é negativo e mede a margem ao limite mais próximo.

Terceiro, o quantil empírico Q̂ desses scores ao nível (1−α)(1 + 1/n_cal) define o ajuste:

A garantia ℙ(Y_n+1 ∈ C_α(X_n+1)) ≥ 1−α vale em amostra finita sob intercambialidade, herdada da estrutura ICP de Lei et al. (2018) e Romano, Patterson e Candès (2019). É uma garantia marginal, com a probabilidade tomada sobre toda a distribuição conjunta do conjunto de calibração e do par de teste, sem condicionar em um valor específico X = x. A largura |C_α(x)| = q̂_1−α/2(x) − q̂_α/2(x) + 2Q̂ é uma função de x e varia com a dispersão condicional estimada pelos quantis. Em períodos de alta volatilidade, q̂_1−α/2(x) e q̂_α/2(x) se afastam, e o intervalo se alarga automaticamente.

Pipeline da CQR. Dois modelos quantílicos são treinados em D_train, o score CQR é calculado em D_cal, e o quantil empírico desses scores define o ajuste aplicado ao intervalo final, que herda adaptatividade local da regressão quantílica.

Aplicado ao Ibovespa, isso vira ajustar dois LightGBM em 2004 a 2013, computar os scores CQR em 2014, tomar o quantil empírico Q̂, e aplicar [q̂_5%(x) − Q̂, q̂_95%(x) + Q̂] a cada dia do conjunto de teste 2015 a 2025.

O ajuste em ação, passo a passo

O procedimento fica mais palpável com um conjunto de calibração concreto e pequeno, suficiente para mostrar cada passo. A animação percorre n = 6 pontos de calibração, calcula o score E_i = max(q̂_5%(X_i) − Y_i, Y_i − q̂_95%(X_i)) para cada um, toma o quantil empírico Q̂ ao nível (1 − α)(1 + 1/n), e aplica o ajuste a um ponto de teste novo com q̂_5%(x) = −0,7 e q̂_95%(x) = +0,9.

Cada par (q̂_5%(X_i), q̂_95%(X_i)) na animação é a saída dos dois LightGBM quantílicos quando avaliados nos features X_i daquele dia. Os valores diferem entre pontos porque a regressão quantílica é condicional aos features. Em dias com volatilidade recente baixa, q̂_5% e q̂_95% se aproximam e o intervalo nominal fica estreito. Em dias com volatilidade alta ou retornos extremos recentes, o par se afasta e o intervalo alarga. O ponto i = 1 da animação mostra um caso intermediário, com (q̂_5%, q̂_95%) = (−0,8, +0,9) e largura nominal 1,7. O ponto i = 3 traz um intervalo mais estreito, (−0,5, +0,6), correspondente a um regime mais calmo. O ponto i = 4 entrega um intervalo deslocado para baixo, (−1,6, −0,2), em que a mediana condicional estimada também desce.

Em cada ponto, o procedimento compara o retorno observado Y_i ao par (q̂_5%(X_i), q̂_95%(X_i)) e calcula o score E_i = max(q̂_5%(X_i) − Y_i, Y_i − q̂_95%(X_i)). No ponto i = 1, Y₁ = +0,5 cai dentro do intervalo [−0,8, +0,9], e E₁ = max(−1,3, −0,4) = −0,4 fica negativo, com magnitude igual à distância ao limite mais próximo (o quantil superior em +0,9). No ponto i = 2, Y₂ = −1,5 fura o limite inferior q̂_5% = −1,2 por 0,3, e E₂ = +0,3 fica positivo. No ponto i = 3, Y₃ = +0,8 ultrapassa o limite superior q̂_95% = +0,6 por 0,2, com E₃ = +0,2. Os pontos i = 4, i = 5 e i = 6 ficam dentro de seus intervalos estimados, com scores negativos de −0,4, −0,6 e −0,2 respectivamente. Linhas vermelhas na animação marcam as violações (E_i > 0), verdes os pontos dentro (E_i ≤ 0).

Depois de percorrer os seis pontos, a coleção ordenada de scores é {−0,6, −0,4, −0,4, −0,2, +0,2, +0,3}. O quantil empírico Q̂ se calcula no nível (1 − α)(1 + 1/n) = 0,9 × 7/6 = 1,05. Esse nível ultrapassa 1, situação esperada em amostras pequenas. A regra de finite-sample correction trunca em 1, e Q̂ vira o máximo dos scores, ou seja, Q̂ = +0,30 (o valor de E₂, a maior violação observada). Para n maior, com algumas centenas de pontos de calibração, o nível ajustado fica abaixo de 1 e Q̂ pega um percentil interior da coleção, em vez do máximo.

O ajuste se aplica ao ponto de teste novo. Os dois LightGBM quantílicos, avaliados nos features do dia de teste, retornam q̂_5%(x_new) = −0,7 e q̂_95%(x_new) = +0,9. O intervalo conformal infla o nominal por Q̂ em cada lado, com q̂_5%(x_new) − Q̂ = −0,7 − 0,3 = −1,0 no limite inferior e q̂_95%(x_new) + Q̂ = +0,9 + 0,3 = +1,2 no superior. O intervalo final C_α(x_new) = [−1,0, +1,2] tem largura 2,2, contra largura nominal 1,6 do par bruto (q̂_5%, q̂_95%). A inflação de 0,6 corresponde ao preço pago pela garantia frequentista em amostra finita, calibrado pelas violações observadas no conjunto de calibração.

O score CQR sintetiza num único número a violação simultânea dos quantis inferior e superior, sem favorecer um dos lados, o que mantém o ajuste simétrico. A calibração das inclinações τ e (1 − τ) da pinball loss tampouco dispensa o passo conformal, porque a regressão quantílica entrega quantis condicionais sem garantia frequentista de cobertura, e é Q̂ que fecha essa lacuna.

A construção dispensa hipóteses sobre a forma da distribuição condicional, mas exige intercambialidade dos dados. Essa premissa precisa ser examinada antes de transportar a teoria para o Ibovespa.

Intercambialidade e séries financeiras

A premissa de intercambialidade que sustenta CQR é violada por construção em séries temporais financeiras. Retornos diários não são i.i.d. A volatilidade clusteriza, retornos absolutos exibem autocorrelação serial não-desprezível em lags de várias semanas, e regimes macroeconômicos alteram a distribuição condicional ao longo do tempo. Aplicar diretamente a teoria a um par treino/calibração tomado da série em ordem cronológica significa, formalmente, perder a garantia que motiva a escolha do método.

A aproximação ainda assim se sustenta porque condicionar nas features atenua essa violação. A distribuição condicional de Y dado X, com X composto por lags de retorno e volatilidade realizada, é mais próxima de estacionária do que a distribuição marginal de Y, porque as features absorvem o estado dinâmico do mercado. O resíduo conformal calculado sobre X carrega menos dependência temporal do que o retorno bruto, e a violação efetiva de intercambialidade fica menor do que uma leitura ingênua da série sugere.

Barber, Candès, Ramdas e Tibshirani (2023), em “Conformal prediction beyond exchangeability”, formalizam essa intuição.

Cobertura sob violação de intercambialidade (paráfrase de Barber, Candès, Ramdas e Tibshirani, 2023).

Quando a sequência (X_i, Y_i) deixa de ser intercambiável, a probabilidade marginal de cobertura cai do nível nominal 1 − α por uma penalidade Δ proporcional à distância em variação total média entre a distribuição conjunta dos dados e suas versões permutadas. Em séries aproximadamente estacionárias Δ é pequeno e a garantia permanece controlada. Em séries com drift abrupto, Δ cresce.

No caso brasileiro, esse Δ é o que o backtest mede empiricamente, e a comparação com o alvo nominal indica quão custosa é a violação de intercambialidade na série diária do Ibovespa.

Há ainda outra característica do enunciado da garantia com peso na interpretação empírica. A probabilidade ℙ(Y_n+1 ∈ C_α(X_n+1)) ≥ 1 − α se calcula sobre toda a distribuição conjunta do par de teste e do conjunto de calibração, e essa propriedade marginal não se estende automaticamente a sub-regiões do espaço de features. A versão condicional ℙ(Y_n+1 ∈ C_α | X_n+1 = x) ≥ 1 − α, válida para cada x específico, é estritamente mais forte e exigiria suposições adicionais sobre a regularidade dos quantis estimados que ICP e CQR clássicos não impõem. Em sub-populações como dias de volatilidade realizada elevada, a cobertura efetiva pode ficar abaixo do alvo enquanto a cobertura na média da série permanece dentro dele. O contraste entre cobertura marginal e cobertura condicional é o que separa um número global próximo do alvo de uma cobertura preservada em todos os regimes de risco.

Resultados no Ibovespa, 2014 a 2025

O dataset é composto por retornos logarítmicos diários do Ibovespa (^BVSP no Yahoo Finance) entre janeiro de 2004 e dezembro de 2025, totalizando 5426 observações com features completas. As features são lags de retornos (1, 5 e 22 dias), volatilidades realizadas em janelas de 5 e 22 dias, e lags de retornos absolutos. Os splits temporais são fixos: 2004 a 2013 para treino (2449 dias), 2014 para calibração da CQR (248 dias), e 2015 a 2025 para teste (2729 dias). O conjunto de teste cobre onze anos com regimes muito distintos, incluindo a crise fiscal brasileira de 2015 a 2016, o Joesley Day em 2017, a campanha eleitoral de 2018, a pandemia em 2020, o ciclo de juros e a disputa eleitoral em 2022, e o ciclo fiscal subsequente.

Três métodos entram na comparação. Paramétrico (rolling 252d), bootstrap em blocos sobre regressão linear (Künsch, 1989, com L = 22 dias e 1000 reamostragens), e CQR com dois LightGBM (objetivo quantile, τ = 0,05 e 0,95). O alvo de cobertura é 1 − α = 90%.

CQR sai com cobertura empírica 93,7% e largura média 5,08%, ligeiramente acima do alvo nominal de 90%, com banda que se alarga ou se estreita conforme a volatilidade condicional estimada pelos LightGBM. O paramétrico mantém cobertura 91,9% com largura menor, 4,72%, mas com banda rígida que responde apenas pela janela móvel de 252 dias e não pela estrutura condicional do dia. O bootstrap em blocos fica em 95,5% e 5,58%, a banda mais larga das três.

A cobertura empírica de CQR supera o alvo nominal de 90% em 3,7 pontos percentuais, indicação de que a correção (1 − α)(1 + 1/n_cal) e a estabilidade do conjunto de calibração de 2014 produziram quantis empíricos conservadores. Na cota de Barber, Candès, Ramdas e Tibshirani (2023), o termo Δ que mediria o custo da violação de intercambialidade fica não-positivo na média do período de teste, porque as features condicionais absorvem a dinâmica da série diária. A análise por decil de volatilidade mostra que essa folga global se concentra nos regimes calmos.

A diferença qualitativa fica nítida em regime de estresse. A figura abaixo mostra a banda paramétrica e a banda CQR sobre o Ibovespa entre fevereiro e abril de 2020, quando a pandemia disparou a volatilidade.

O ganho qualitativo de CQR sobre os outros métodos é a adaptação local da banda, o resultado mais consequente para uso em produção. Em períodos calmos, a banda CQR se estreita acompanhando os quantis condicionais. Em regime de estresse, alarga em poucos pregões, mantendo a cobertura por classe de volatilidade em vez de na média global.

O LightGBM serve como implementação dos quantis condicionais, mas a CQR independe dessa escolha. Substituindo a base por regressão quantílica linear (Koenker e Bassett, 1978) sobre as mesmas sete features, a CQR resultante atinge cobertura global 91,9%, largura 4,63%, e D10 91,2%, este último ligeiramente acima do alvo nominal. A versão linear é portanto competitiva com a versão LightGBM em todas as métricas deste exemplo. O ganho específico de gradient boosting fica reservado para configurações com mais features ou interações não-lineares que a regressão linear não captura. Neste caso, o componente que carrega o resultado é o conformal layer Q̂.

Onde a cobertura marginal esconde o problema

A cobertura empírica global de 93,7% (CQR), 91,9% (paramétrico) e 95,5% (bootstrap em blocos) sugere que os três métodos atingem ou superam o alvo de 90%. A coluna D10 da tabela mostra a outra história. No decil de maior volatilidade realizada (22 dias) durante o conjunto de teste, o paramétrico cai a 85,0%, o bootstrap em blocos a 83,9%, e CQR fica em 89,0%. As duas variantes de CQR são as únicas que se aproximam ou cruzam o alvo em D10, com 89,0% para a versão LightGBM e 91,2% para a versão linear, enquanto paramétrico e bootstrap em blocos perdem entre cinco e seis pontos percentuais para o alvo.

A cobertura marginal correta esconde, portanto, subcobertura sistemática nos dias que mais importam. O decil 10 contém a crise fiscal brasileira de 2015 a 2016, o Joesley Day em maio de 2017, a campanha eleitoral de 2018, a pandemia em março de 2020, e o ciclo de juros e disputa eleitoral em 2022, justamente onde uma garantia de cobertura é mais valiosa para alocação de risco.

A análise global mede a cobertura na média sobre regimes muito diferentes de volatilidade, sem identificar onde a aproximação falha. As duas variantes de CQR mantêm cobertura próxima ao alvo nominal nos regimes de alta volatilidade, ao custo de uma janela de calibração de 248 dias em 2014 que não contribui para a estimação dos quantis condicionais. A cobertura preservada em D10, onde paramétrico e bootstrap em blocos perdem cinco a seis pontos percentuais para o alvo, é o diferencial empírico mais consequente para alocação de capital.

Referências

BARBER, R. F.; CANDÈS, E. J.; RAMDAS, A.; TIBSHIRANI, R. J. Conformal prediction beyond exchangeability. The Annals of Statistics, v. 51, n. 2, p. 816-845, 2023.

EFRON, B. Bootstrap methods: another look at the jackknife. The Annals of Statistics, v. 7, n. 1, p. 1-26, 1979. DOI: 10.1214/aos/1176344552.

KE, G.; MENG, Q.; FINLEY, T.; WANG, T.; CHEN, W.; MA, W.; YE, Q.; LIU, T.-Y. LightGBM: A Highly Efficient Gradient Boosting Decision Tree. In: Advances in Neural Information Processing Systems 30 (NIPS 2017). 2017. p. 3146-3154.

KOENKER, R.; BASSETT, G. Regression Quantiles. Econometrica, v. 46, n. 1, p. 33-50, 1978. DOI: 10.2307/1913643.

KÜNSCH, H. R. The jackknife and the bootstrap for general stationary observations. The Annals of Statistics, v. 17, n. 3, p. 1217-1241, 1989. DOI: 10.1214/aos/1176347265.

LEI, J.; G’SELL, M.; RINALDO, A.; TIBSHIRANI, R. J.; WASSERMAN, L. Distribution-Free Predictive Inference for Regression. Journal of the American Statistical Association, v. 113, n. 523, p. 1094-1111, 2018. DOI: 10.1080/01621459.2017.1307116.

MEINSHAUSEN, N. Quantile Regression Forests. Journal of Machine Learning Research, v. 7, p. 983-999, 2006.

ROMANO, Y.; PATTERSON, E.; CANDÈS, E. J. Conformalized Quantile Regression. In: Advances in Neural Information Processing Systems 32 (NeurIPS 2019). 2019. p. 3543-3553.

O modelo de risco de crédito típico que um banco implementa sob a abordagem de classificações internas (IRB) segue o esquema de Vasicek (2002) com uma cópula gaussiana sobre um fator sistêmico comum. Essa construção responde bem por quase toda a distribuição de perda. Mas tem uma falha silenciosa nas caudas extremas, que não aparece em correlações lineares e não é capturada por testes usuais de aderência. Este artigo explica o que é essa falha, como ela se chama (tail dependence zero) e qual foi a resposta canônica da literatura pós-2008, o chamado salto para a cópula t.

A base é o capítulo 2 de Bolder (2022), onde o autor descreve a migração do modelo gaussiano do Nordic Investment Bank para uma cópula t após a revisão estatutária de 2020. O objetivo aqui é reconstruir a lógica matemática por trás da escolha, montar em Julia um experimento próprio de joint default que isole o efeito da cópula sobre a coincidência de eventos extremos, e quantificar o impacto em métricas de capital econômico.

Tail dependence, a probabilidade condicional de queda conjunta nas caudas

Considere dois tomadores n e m e suas variáveis latentes de solvência ΔX_n e ΔX_m. Uma medida intuitiva da tendência de eles falharem juntos em cenários extremos é perguntar: dado que o tomador n já está abaixo de um limite muito baixo, qual a probabilidade condicional de o tomador m também estar? O objeto formal que captura essa pergunta no limite é o coeficiente de dependência de cauda (tail dependence coefficient), introduzido por Joe (1997) e sistematizado em McNeil, Frey e Embrechts (2015).

O limite λ_L ∈ [0, 1] mede a coincidência de eventos extremos negativos. Quando λ_L > 0, há dependência assintótica na cauda inferior, no sentido de que mesmo em quantis extremamente baixos, a probabilidade condicional de default conjunto não se anula. Quando λ_L = 0, há independência assintótica: à medida que se observa o tomador n cada vez mais fundo na cauda, a contribuição marginal do tomador m à perda conjunta desaparece. Um análogo simétrico λ_U existe para a cauda superior e ambos são invariantes a transformações monotônicas das marginais, uma propriedade desejável porque dissocia a pergunta sobre dependência da pergunta sobre a distribuição marginal de cada variável.

Essa invariância tem raiz em uma decomposição matemática estabelecida por Sklar (1959). Toda função de distribuição conjunta admite escrita única em marginais unidimensionais mais uma cópula que carrega toda a estrutura de dependência, o que torna legítimo falar de tail dependence como atributo puro da cópula escolhida, independente do formato das marginais.

Por que a gaussiana zera tail dependence para qualquer correlação menor que 1

Schmidt (2002) e Embrechts, McNeil e Straumann (2002) demonstram um resultado que, em retrospecto, deveria ter causado mais desconforto do que causou. Para a cópula gaussiana bivariada com correlação ρ ∈ (−1, 1), tem-se λ_L = λ_U = 0 para qualquer ρ estritamente menor que 1. Mesmo uma correlação de 0,95 não gera dependência assintótica. Apenas o caso degenerado ρ = 1 (dependência perfeita) produz λ = 1. A razão analítica é que as caudas marginais gaussianas decaem como e^−x²/2, mais rápido do que qualquer função polinomial, e essa rapidez supera a capacidade da correlação linear de manter os eventos conjuntos “amarrados” em regiões suficientemente extremas.

A consequência para risco de crédito é de natureza quantitativa. Se dois tomadores têm probabilidade de default (PD) de 1% e correlação de ativos de 0,09, sob cópula gaussiana a probabilidade de default conjunto é aproximadamente p₁ · p₂ no limite assintótico, ou seja, 10⁻⁴, como se fossem quase independentes. Em carteiras com centenas de tomadores e quantis de confiança de 99,9% ou 99,97%, o que determina a perda extrema são justamente as coincidências raras entre múltiplos tomadores. Uma cópula que estrutura essas coincidências como independentes, no limite, subestima sistematicamente o capital necessário.

Li (2000) não ignorava esse ponto. Seu artigo é tecnicamente correto dentro da escolha de cópula. O problema foi a ausência de um modelo alternativo amplamente adotado na precificação de tranches de CDO sintético: a cópula gaussiana virou a linguagem comum de mesas, agências de rating e reguladores. MacKenzie e Spears (2014) descrevem essa dinâmica com base em cento e quatorze entrevistas com praticantes: mesmo quando os quants internos apontavam limitações, a fórmula persistia por falta de um candidato equivalente que permitisse comparar posições em escala.

O problema não era falta de informação técnica. Schmidt (2002) e Embrechts, McNeil e Straumann (2002) já tinham provado a falha da gaussiana antes do auge da emissão, e o chamado correlation smile, padrão em que as correlações implícitas diferem entre tranches do mesmo CDO, era visível e tolerado nas mesas como acomodação semelhante ao volatility smile em Black-Scholes.

As agências de rating fundamentavam seus modelos de classificação em variantes da cópula gaussiana, o que criava uma trava regulatória de facto. Sair do modelo significava sair do AAA. A calibração das correlações usava séries históricas concentradas em um período benigno, sem evidência amostral de coincidência extrema. Por fim, a precificação de uma posição exigia uma língua comum entre desks, função que apenas o modelo de Li, à época, conseguia desempenhar em escala.

Em julho de 2007, dois fundos da Bear Stearns altamente alavancados em tranches mezanino de CDOs subprime, o High-Grade Structured Credit Strategies e o Enhanced Leverage, foram liquidados depois de perderem essencialmente todo o capital dos investidores em poucas semanas, evento ao qual os modelos de cópula gaussiana padrão atribuíam probabilidade ínfima. Até outubro de 2008, 67% dos CDOs emitidos entre o final de 2005 e o meio de 2007 estavam em default formal. A magnitude da coincidência confirmou empiricamente o resultado algébrico de Schmidt (2002) e Embrechts, McNeil e Straumann (2002), pelo qual a cópula gaussiana zera a tail dependence para qualquer correlação inferior a 1.

A cópula t via normal-variance mixture e o canal por onde W amarra os extremos

A resposta canônica da literatura pós-crise foi abandonar a cópula gaussiana em favor de cópulas com tail dependence não-nula. A cópula t se tornou dominante em risco de crédito por uma convergência de motivos: herda a estrutura multivariada elíptica e portanto mantém a correlação linear como parâmetro regulatório, admite construção mecanicamente simples a partir do caso gaussiano via normal-variance mixture, e recupera o caso gaussiano como limite quando os graus de liberdade tendem ao infinito. A referência canônica é Demarta e McNeil (2005).

A construção é o que se chama de normal-variance mixture. Se Z é um vetor aleatório gaussiano com matriz de correlação Σ e W é uma variável chi-quadrada com ν graus de liberdade, independente de Z, então o vetor

segue uma distribuição t multivariada com ν graus de liberdade. Aplicado ao índice de solvência do capítulo 2 de Bolder, basta tomar a construção gaussiana de Vasicek e multiplicá-la por √(ν/W), com W sendo um sorteio comum a todos os tomadores em cada simulação.

O fator √(ν/W) age como um multiplicador de escala comum a todos os ΔX_i: quando W sai pequeno (evento raro, porque W é chi-quadrada e pequenos W têm densidade elevada apenas para ν pequeno), o multiplicador infla tanto os choques sistêmicos quanto os idiossincráticos para todos os tomadores simultaneamente. É essa inflação conjunta que produz a coincidência de eventos extremos e, portanto, λ > 0.

Para a cópula t bivariada com ν graus de liberdade e correlação ρ, a fórmula exata é (DEMARTA; McNEIL, 2005):

onde T_ν+1 é a CDF univariada t-Student com ν+1 graus de liberdade. Duas propriedades merecem atenção. A primeira é que λ_t > 0 para qualquer ρ > −1 e qualquer ν finito, incluindo o caso ρ = 0 de tomadores linearmente não-correlacionados. A segunda é que λ_t → 0 quando ν → ∞, recuperando o caso gaussiano no limite. Para um ρ de ativos de 0,09 (abaixo do piso de 0,12 da fórmula IRB corporativa de Basileia, escolhido aqui como cenário conservador para isolar o efeito da cópula) e ν = 10, o coeficiente é de aproximadamente 1,14%, e cai a 0,04% para ν = 20 e se torna numericamente nulo em ν = 50. A tabela de valores está resumida abaixo.

A passagem para marginais t exige um ajuste no limiar de default. Como a marginal de ΔX_i passa a ser uma t-Student com ν graus de liberdade, a calibração E[𝟙_{{ΔXi ≤ Ki}}] = p_i leva a K_i = F_tν⁻¹(p_i) em vez de Φ⁻¹(p_i). Para p_i pequeno, o limiar t é mais negativo do que o limiar gaussiano (a cauda da t é mais pesada, então o mesmo quantil está “mais longe”), o que é consistente com a maior incidência de defaults conjuntos.

Como a correlação de ativos sobrevive à migração

Um dos aspectos que tornou a migração atraente para bancos com modelos internos em produção é que a asset correlation, parâmetro regulatório sob Basileia, permanece a mesma sob os dois modelos. Demarta e McNeil (2005) mostram que, na construção de normal-variance mixture, a correlação linear entre os ΔX_n e ΔX_m é idêntica ao caso gaussiano.

Em outras palavras, a calibração da correlação de ativos α_i² (por exemplo, os 0,12 a 0,24 da fórmula IRB corporativa da Resolução BCB 303/2023) pode ser mantida. O que muda é a probabilidade de default conjunto, que passa a incorporar tail dependence. Formalmente, para dois tomadores (BOLDER, 2022):

onde t_2,ν é a CDF bivariada t com ν graus de liberdade. Essa é a etapa que faz a diferença. Mesmo com a mesma matriz de correlação de ativos, a probabilidade de defaults conjuntos é estritamente maior sob a cópula t, e a diferença cresce à medida que os PDs se aproximam de zero (isto é, nos quantis extremos onde o capital é calculado).

Mesmos sorteios, duas cópulas, 177 vs 495 joint defaults em 10⁶ simulações

Para isolar o efeito estrutural da cópula sobre a coincidência de defaults, o desenho experimental mais limpo simula dois tomadores sob as duas cópulas usando rigorosamente os mesmos sorteios aleatórios, conta os defaults conjuntos em cada caso, e atribui à escolha da cópula qualquer diferença observada. Como Z, ε₁, ε₂ e W são fixados antes de aplicar uma ou outra cópula, restam apenas duas variantes do mesmo cenário aleatório, e o contraste é puro. Os parâmetros adotados são dois tomadores, PD de 1% cada, α = 0,30 (ou seja, ρ_asset = 0,09), ν = 10, e um milhão de simulações.

A primeira peça de código define a função que gera a trajetória t a partir dos mesmos insumos gaussianos. Para reproduzibilidade do experimento, o código está em Julia, usando Distributions.jl para o sorteio da chi-quadrada.

A segunda peça encadeia tudo num experimento único, com os sorteios de Z, ε_i e W fixos, aplicando duas cópulas sobre a mesma base aleatória. O objetivo é isolar o efeito estrutural da cópula.

O código completo da simulação, incluindo a agregação sobre um milhão de iterações e as rotinas de visualização, está na pasta parte2 do repositório pq_bolder_cap2.

Em um milhão de iterações, a cópula gaussiana produz 177 joint defaults, enquanto a cópula t(ν=10) produz 495, um fator próximo de 2,8 vezes. As PDs marginais ficam ambas próximas de 1% como esperado (a calibração do limiar K_i é feita para preservá-las). O que muda é a coincidência, não a frequência individual.

Duas observações se destacam. A primeira, visual, é que a nuvem sob t é muito mais densa e se estende para regiões muito mais extremas (os limites de eixo são diferentes entre os dois painéis esquerdos pela mesma razão). A segunda, quantitativa, é que a diferença cresce fortemente ao se olhar quantis maiores da distribuição de perdas na carteira ampliada para I = 100. VaR a 99% sobe de 2,40 (gaussiana) para 4,40 (t), fator 1,83×. VaR a 99,9% vai de 3,60 para 8,80, fator 2,44×. VaR a 99,97% (nível típico de capital econômico interno em bancos europeus) vai de 4,40 para 11,20, fator 2,55×. O ES a 99% segue movimento semelhante, indo de 2,81 para 6,03.

A dependência desses multiplicadores em ν é acentuada. Com ν = 4, λ_U é cerca de 9,6% e o VaR a 99,9% sobe para 14,80, isto é, 4,1× o valor gaussiano. Com ν = 50, a tail dependence é efetivamente zero e o modelo se comporta como gaussiano. O parâmetro ν é, portanto, a alavanca central, no sentido de que não muda a correlação linear nem as PDs marginais, mas decide o quão “pesada” é a cauda da distribuição conjunta.

Estimação de ν e enquadramento em Pilar 2

A literatura empírica confirma o padrão qualitativo dos números acima. Frey e McNeil (2003), em um dos primeiros trabalhos a quantificar a diferença para carteiras de crédito, mostram que substituir a cópula gaussiana por uma t com ν = 10 sob o mesmo ρ de ativos aumenta o VaR a 99% em fatores de 2× a 4× para carteiras típicas de bancos. Tarashev e Zhu (2008), analisando diretamente o modelo ASRF (Asymptotic Single Risk Factor) sob diferentes cópulas, reportam aumentos de 20% a 50% em VaR a 99,9% para carteiras bem diversificadas, chegando a 100% em carteiras concentradas.

O ganho do upgrade vem com um custo estatístico. Estimar ν a partir de dados históricos é difícil porque a evidência que importaria, eventos extremos conjuntos, é rara por definição. Donnelly e Embrechts (2010), no artigo The Devil is in the Tails, situam essa fragilidade no contexto da crise subprime e argumentam que a cópula t, embora corrija a falha da gaussiana, transfere para ν a maior parte da incerteza estatística do modelo. O parâmetro que governa a forma da cauda da perda agregada acaba sendo o pior identificado pelos dados disponíveis.

Basileia II e III, em Pilar 1, mantêm a cópula gaussiana no cálculo regulatório via a fórmula ASRF de Vasicek-Gordy. A migração para t fica fora do cálculo de Pilar 1 e tipicamente entra no Pilar 2 do ICAAP (Internal Capital Adequacy Assessment Process), onde o banco calcula capital econômico adicional para riscos não capturados no Pilar 1. No caso do Nordic Investment Bank, Bolder (2022) descreve que a decisão de migrar para cópula t veio exatamente dessa brecha: a carteira do banco, fortemente concentrada em poucos soberanos e instituições supranacionais nórdicas, tem exatamente o perfil em que tail dependence importa (concentração + baixa diversificação), e uma cópula que estrutura defaults conjuntos como assintoticamente independentes produzia estimativas otimistas demais para fins de capital econômico próprio.

Na regulação brasileira, a Resolução BCB 303/2023 mantém a abordagem ASRF gaussiana para Pilar 1, consistente com Basileia III. A Resolução CMN 4.557/2017 e o escopo de Pilar 2 abrem espaço para o banco complementar a visão regulatória com modelo interno que incorpore dependência de cauda, especialmente em carteiras de baixa granularidade ou concentração setorial.

Cauda mais pesada e a sensibilidade do VaR vs ES

A mudança da cópula gaussiana para a cópula t não requer reformular o modelo de risco de crédito, apenas acrescentar um sorteio de chi-quadrada comum a cada iteração e recalibrar o limiar. A correlação de ativos permanece o mesmo parâmetro que a regulação calibrou. O que se ganha é exatamente aquilo que faltava ao modelo anterior, a possibilidade de coincidência de eventos extremos entre tomadores, mesmo quando a correlação linear é moderada. Em números, para uma carteira homogênea de cem tomadores com PD de 1% e α de 0,30, VaR a 99,97% sobe 2,55× ao migrar de gaussiana para t(ν=10). Em tranches sênior de CDOs hipotéticas, o fator é qualitativamente ainda maior, por razões que o próprio Li (2000) e seus críticos posteriores exploraram em detalhe.

Uma vez aceito que a distribuição de perda tem caudas mais pesadas e que a forma da cauda depende sensivelmente de escolhas de modelagem, a métrica com que resumimos essa cauda passa a importar. O VaR, definido como um quantil, captura apenas um ponto da distribuição, e eventos ainda piores além daquele quantil não entram no número final. O expected shortfall, definido como a perda média condicional em ultrapassar o VaR, captura toda a cauda e é, por construção, mais sensível à escolha da cópula do que o VaR. Artzner, Delbaen, Eber e Heath (1999) demonstraram que apenas o segundo é coerente no sentido axiomático, e Basileia III migrou, no FRTB (Fundamental Review of the Trading Book), do VaR para ES em risco de mercado.

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As definições de buffer de liquidez (LB) e capacidade de contrabalanço (CBC) dão o ponto de partida, pois o LB organiza a necessidade de liquidez pré-posicionada, enquanto a CBC descreve os instrumentos capazes de gerar caixa em estresse. A questão aqui é o custo. Se o buffer existe porque o banco transforma prazos curtos em prazos longos, qual é o custo dessa transformação? E quem deve pagá-lo?

A distinção central é entre custo contábil, custo de funding e custo de oportunidade. O buffer aparece como consequência lógica do descasamento de prazos, e não como escolha discricionária da tesouraria. Em uma economia idealizada sem risco de default, ele tem custo zero sobre uma taxa livre de risco e fornece um benchmark conceitual. No mundo real, spreads de captação (funding spreads), comportamento de saída diferenciado dos passivos (runoff), limites regulatórios e custo de oportunidade transformam esse estoque líquido em uma fricção que precisa aparecer no FTP.

O caso canônico

O exemplo central do artigo é um banco que financia um ativo único de prazo T_A = 3 períodos com um único passivo de prazo T_L = 1 período. Como o passivo vence antes do ativo, ele precisa ser renovado em t = 1 e em t = 2. A cada renovação, em cenário de estresse, uma fração x% do passivo vincendo não é renovada. Para honrar o pagamento aos credores que saem, o banco precisa ter pré-posicionado um estoque líquido no início, com tamanho suficiente para cobrir essa perda de funding ao longo do horizonte do ativo.

Antes dos números, a notação separa funding disponível, gap de captação e buffer inicial, porque cada termo responde a uma etapa do problema. O funding disponível mede quanto do passivo sobrevive às renovações sob estresse, o gap aparece em cada data em que parte do passivo não rola, e o buffer em t = 0 cobre a soma desses gaps. A taxa livre de risco e o spread de captação entram depois, quando a pergunta deixa de ser “quanto de liquidez preciso?” e passa a ser “quanto custa carregar essa liquidez?”.

O diagrama abaixo organiza as principais fontes dessa necessidade. O descasamento de prazos é o canal modelado no caso canônico, mas um sistema de FTP completo precisa reconhecer também passivos comportamentais, compromissos contingentes, chamadas de margem, liquidez de mercado e folga regulatória ou gerencial.

O tamanho do buffer não é arbitrado. Ele é determinado pela combinação do horizonte do ativo, do prazo do passivo e do parâmetro de estresse. A necessidade de buffer surge sempre que o ativo tem maturidade maior que o passivo que o financia. É consequência aritmética da transformação de prazos, e não uma decisão isolada de apetite a risco. A função do tesoureiro deixa de ser apenas captar recursos e passa a incluir o dimensionamento do estoque líquido compatível com a transformação de prazos que a frente comercial pretende fazer.

A construção do buffer e a equação central

Definição. Available liquidity (AVL). AVL(0, T) é a parcela do funding originalmente levantado em t = 0 que ainda está disponível na data T depois de sucessivas renovações sob estresse. Mede a capacidade de funding que sobrevive à dificuldade de renovar os passivos, e não o caixa em balanço no instante inicial.

Se o banco começou financiando um ativo de nominal K e AVL(0, T) < K, a diferença K − AVL(0, T) precisa ser coberta por um buffer pré-posicionado (CASTAGNA; FEDE, 2013).

Em qualquer data futura t_n, o nominal do passivo que sobrevive a sucessivas renovações sob estresse é:

Aqui, n é o número de renovações entre t = 0 e t_n. Como apenas a fração (1 − x%) consegue ser renovada em cada evento, a redução se acumula de modo multiplicativo. Para o caso canônico com K = 100 e x% = 10%, há duas renovações antes do vencimento do ativo, então AVL(0, 3) = 100 · 0,9² = 81. De cada 100 unidades de funding necessárias para sustentar o ativo até T = 3, apenas 81 continuam disponíveis depois de duas renovações sob estresse. As 19 unidades faltantes precisam ser pré-financiadas.

Definição. Buffer de liquidez (LB). O LB em t = 0 é o complemento da available liquidity (AVL) ao longo do horizonte do ativo: LB(0) = K − AVL(0, T_A). Quanto menor a parcela de funding que sobrevive ao estresse, maior o estoque líquido que precisa existir desde t = 0.

Em forma fechada:

Aqui, N é o número total de renovações no horizonte do ativo. Equivalentemente, o buffer é a soma dos gaps de captação em cada data de renovação, denotados por FG(k), abreviação de funding gap:

Essa é uma medida inicial, vista a partir de t = 0. O modelo não supõe que todo o LB(0) fique intacto até o vencimento do ativo. Cada parcela do buffer corresponde a um gap futuro e só precisa ser carregada até a data em que esse gap aparece. Sem reposição do estoque, o saldo do buffer cai ao longo do tempo conforme essas parcelas são usadas.

No caso canônico, o mesmo x% é aplicado a todas as renovações para manter o foco na mecânica da transformação de prazos. Em uma tesouraria real, o parâmetro de saída deveria variar por tipo de passivo, prazo, contraparte, perfil do depositante, elegibilidade de colateral e regime de mercado. Um Certificado de Depósito Bancário (CDB) de varejo tende a ter comportamento de saída diferente de funding atacadista curto, uma Letra Financeira ou uma operação de repo. Essa distinção não altera a mecânica desta seção, mas será necessária adiante, quando o comportamento de saída por fonte virar insumo do programa linear de mix de funding.

A trajetória resultante para o caso canônico está sintetizada abaixo. O buffer é construído integralmente em t = 0, no tamanho LB(0) = 19, e cai conforme cada gap é absorvido nas datas de renovação.

Benchmark sem default e spread marginal

Até aqui, o argumento mediu a quantidade de liquidez. A próxima etapa é medir o custo de carregá-la. Em uma economia idealizada sem risco de default, com o banco e os emissores de ativos pagando exclusivamente a taxa livre de risco r_f, o buffer de liquidez tem resultado contábil (profit and loss, P&L) zero. A taxa livre de risco não altera o LB(0) = 19 do caso canônico, porque o tamanho físico do buffer foi definido pelos gaps gerados pela dificuldade de renovar os passivos. Ela entra apenas na comparação financeira entre o custo de captar o buffer e o rendimento do ativo em que esse buffer fica investido.

Se o banco capta o estoque que formará o buffer pagando r_f e investe esse mesmo estoque em ativo livre de risco que rende r_f, o carrego líquido é zero. Esse benchmark isola dois efeitos. O buffer continua consumindo espaço no balanço, porque cada ativo longo exige liquidez pré-posicionada e isso limita o volume de ativos que o banco consegue carregar. Mas, nesse mundo sem default, o estoque líquido reservado para o buffer rende exatamente o mesmo que custa captar.

O custo aparece quando o banco capta acima da taxa livre de risco. Esse spread combina risco de crédito do próprio banco, liquidez do instrumento e condições de mercado para substituir ou alongar funding. No uso econômico da fórmula, sB deve ser lido como spread marginal de captação ou reposição de funding no prazo relevante, e não como custo médio contábil da base inteira de passivos. O custo médio ajuda a explicar a margem agregada do banco, mas não disciplina a decisão de originar uma nova operação que consome liquidez. Para FTP, a tesouraria precisa estimar a que spread o banco consegue sustentar aquele estoque líquido incremental.

Para várias fontes de funding, o custo incremental do buffer pode ser escrito como:

Na expressão, j indexa a fonte de funding, D(0, t_j,k) é o fator de desconto livre de risco, sB_j(t_j,k) é o spread marginal de captação daquela fonte no prazo relevante, FG_j(k) é o gap de funding que aparecerá na data t_j,k, e t_j,k é o tempo durante o qual essa fatia precisa estar pré-financiada. O banco constrói o LB(0) em t = 0, mas cada pedaço do buffer será consumido em uma data de renovação diferente. Portanto, o custo não trata o buffer como um bloco estático carregado integralmente até T_A. O custo de cada pedaço é o spread pago para carregá-lo até a data em que ele cobre o gap.

Essa cobrança é incremental. Ela não representa o custo total de funding do ativo, pois o banco já precisaria financiar o ativo mesmo sem buffer de liquidez. O que a fórmula mede é o custo adicional de manter liquidez pronta para substituir a parte do passivo que não será renovada em estresse.

O experimento numérico no exemplo default_economy.jl do pacote pq_lb_cost mostra a relação linear entre sB e o custo incremental do buffer para um banco com K = 1.000:

A relação é linear em sB porque, nesse experimento, o tamanho dos gaps está fixo. A tabela explicita a ordem de grandeza e mostra que spreads marginais maiores elevam o encargo que o FTP precisa atribuir à operação que consome liquidez.

A interação entre estresse de renovação dos passivos e spread de captação aparece quando os dois parâmetros variam juntos. O recorte abaixo mostra que o efeito não vem de um único canal. O estresse aumenta o tamanho do buffer, enquanto o spread aumenta o custo de carregar cada fatia desse estoque.

Essa conclusão não muda se o buffer for aplicado em ativo com spread de crédito. Suponha que o banco compre um ativo que paga r_f + sA, onde sA é o spread de crédito do emissor desse ativo. Em termos de retorno bruto, a operação parece gerar sA − sB, mas essa diferença não é lucro econômico livre, pois o spread do ativo compensa a perda esperada e o prêmio de risco do emissor. Em valor esperado ajustado ao risco, o retorno líquido do ativo continua sendo próximo de r_f.

O motivo é que sA e sB remuneram riscos diferentes. O sA é recebido pelo banco como compensação pelo risco de default do emissor do ativo, risco que o banco absorve quando compra esse ativo. O sB é pago pelo banco para captar ou repor funding e combina risco de crédito do próprio banco, liquidez do instrumento e condições de mercado. Trocar uma exposição de sA por outra de sB apenas substitui riscos, sem cancelar o custo. O custo líquido em valor esperado continua sendo sB, porque o ativo, em equilíbrio sem fricções, entrega seu prêmio de crédito e nada mais.

A mesma intuição está no núcleo do aparato posterior do Funding Value Adjustment (FVA), desenvolvido em artigos da Iason a partir de 2011. O sB pago pelo banco no funding nunca é totalmente recuperado pelo retorno esperado, ajustado ao risco, do investimento do buffer. Por isso o buffer permanece oneroso mesmo quando o ativo comprado para carregá-lo paga spread de crédito.

Mix de funding como programa linear

O caso canônico usa um único passivo para deixar a mecânica visível. Em situações reais, a tesouraria financia o balanço com uma mistura de depósitos, CDBs, letras financeiras, dívida sênior e instrumentos colateralizados. Cada fonte tem custo, prazo e estabilidade próprios. A decisão da tesouraria não é apenas encontrar o funding de menor spread, mas escolher uma composição que minimize o custo total de sustentar o ativo, incluindo o custo do buffer exigido pela instabilidade dessa composição.

A tabela abaixo define os parâmetros de entrada usados no programa linear. O depósito de varejo apresenta saída menor em estresse por ser mais estável, enquanto o CDB atacadista tem spread direto ligeiramente menor mas saída muito maior. Os limites mínimo e máximo de participação representam restrições de concentração e de acesso a cada fonte de funding.

Com esses parâmetros, a escolha do mix vira um programa linear. Para uma carteira de ativos dada, a tesouraria escolhe os pesos w_j de cada fonte de captação. O custo direto de funding é definido como o valor presente dos spreads marginais projetados sobre cada fonte:

Em que F_j(t_j,k) é o saldo projetado da fonte j no intervalo k. No programa linear, esse cálculo é convertido em c^funding_j, o custo direto por unidade alocada à fonte j. O custo do buffer entra como c^buffer_j, calculado pela fórmula de LBC(0) definida acima para uma unidade dessa mesma fonte. O programa resolvido no exemplo optimize_funding_mix.jl, implementado com JuMP e HiGHS, é:

O parâmetro λ liga ou desliga o custo do buffer na função objetivo. Em λ = 0, a tesouraria minimiza apenas o custo direto de funding e ignora o efeito do mix sobre o estoque líquido necessário, enquanto em λ = 1 ela internaliza o buffer e captura o trade-off entre spread direto e instabilidade do passivo. Em uma implementação de tesouraria, os termos c^funding_j e c^buffer_j deveriam usar curvas futuras de spread, limites por fonte, maturidade mínima, concentração, apetite de liquidez e restrições regulatórias. O exemplo mantém esses elementos fixos para isolar o efeito do buffer.

A mesma lógica temporal vale para a otimização. O que entra na função objetivo não é o saldo estático LB(0), mas o custo unitário c^buffer_j, que já agrega os gaps futuros FG_j(k), seus prazos t_j,k, os fatores de desconto e os spreads da fonte. Depois desse cálculo, o programa fica estático apenas nos pesos w_j. Se a tesouraria quiser permitir recomposição do buffer, mudança de mix a cada data ou decisões condicionais a cenários, o modelo deixa de ser esse programa linear simples e passa a exigir uma formulação multi-período com variáveis de estado para saldos de funding e buffer.

Essa formulação tem uma limitação importante, pois o programa linear não modela diretamente o risco de custo de funding (funding cost risk) discutido no artigo Risco de liquidez: da taxonomia dos fluxos de caixa à capacidade de geração de liquidez. Naquele arcabouço, o risco está na possibilidade de o banco precisar captar no futuro a spreads acima do esperado. Aqui, os spreads sB_j(t) entram como parâmetros determinísticos ou como cenário escolhido pela tesouraria. O modelo mede como esses spreads e as saídas estressadas afetam o mix ótimo e o peso do buffer, mas não atribui distribuição de probabilidade aos spreads futuros.

Buffer regulatório e buffer gerencial

As seções anteriores tratam o buffer como estoque necessário para sobreviver a um cenário de dificuldade de renovação dos passivos. Na gestão de balanço, esse estoque conversa com o Liquidity Coverage Ratio (LCR) de Basileia III, mas o LCR não é a melhor métrica para medir o peso econômico do buffer no balanço. Como o denominador do LCR são as saídas líquidas de caixa em 30 dias, duas instituições podem ter o mesmo LCR e consumir parcelas diferentes do ativo total com ativos líquidos de alta qualidade (High-Quality Liquid Assets, HQLA). As diretrizes do CEBS (2009) sobre buffers de liquidez e períodos de sobrevivência já tratavam justamente da composição do buffer e do horizonte de sobrevivência que ele precisa cobrir.

Para ligar o modelo ao custo de oportunidade, a métrica mais informativa é o buffer de liquidez como percentual dos ativos do sistema. No relatório de liquidez da European Banking Authority (EBA, 2024), a diferença entre grupos de bancos tem conteúdo econômico. Instituições menores, com acesso menos estável a funding atacadista e menor capacidade de substituir passivos rapidamente, tendem a carregar mais liquidez por unidade de ativo.

Essa leitura aproxima o LCR do problema de FTP. Um banco que mantém algo como um quinto do ativo em HQLA está escolhendo uma composição de balanço mais resiliente, mas também menos rentável do que uma carteira equivalente em crédito. A folga gerencial acima do piso regulatório reduz risco de desenquadramento, volatilidade intradia e estigma de mercado, mas ocupa capacidade de balanço. O custo desse espaço precisa aparecer no preço interno das operações que consomem liquidez.

Quem absorve o custo do buffer

Uma vez medido o custo, resta decidir quem o absorve. A literatura de FTP pós-2008 estabeleceu que o custo do buffer precisa ser visível na tesouraria, sob pena de gerar subsídio cruzado entre áreas do banco. A escolha é entre cobrar o mesmo encargo de todas as operações ou diferenciar a cobrança pelas características da operação que efetivamente gera a necessidade de buffer.

Cobrança uniforme

A cobrança uniforme, herdada do método de pool único de antes da crise, carrega todo empréstimo e todo depósito com a mesma taxa interna, derivada do custo médio de funding do banco. Com essa taxa plana, empréstimos longos pagam pouco pelo descasamento que provocam, depósitos estáveis recebem pouco pelo benefício que entregam, derivativos com colateral diário não são taxados pela exposição a chamadas de margem, e linhas de crédito comprometidas não pagam pela contingência de saque. A correção do desvio é uma cobrança calibrada por característica.

Prazo e características

O primeiro atributo é o prazo. O método de casamento marginal de prazos (matched-maturity marginal), popularizado pela cartilha de Grant (2011) para o Financial Stability Institute do Bank for International Settlements (BIS), atribui a cada operação a taxa marginal de captação de prazo casado. Em forma híbrida, esse princípio aparece nas Guidelines on Liquidity Cost Benefit Allocation do CEBS (2010) e no SR 16-3 do Federal Reserve (2016). Cadamagnani, Harimohan e Tangri (2015) descreveram a tesouraria como um banco dentro do banco, decompondo a taxa interna em quatro componentes (livre de risco, spread de captação, prêmio de liquidez e encargo de capital). Choudhry (2018) defende a posição minoritária de que o FTP precisa carregar apenas o prêmio de prazo, deixando o resto embutido na margem comercial.

A maturidade contratual é apenas uma das características relevantes. Operações com o mesmo prazo podem implicar necessidades de buffer muito diferentes. A primeira dimensão adicional é a exposição a chamada de margem em derivativos colateralizados e operações de repo. Esses contratos podem demandar liquidez intradia em movimentos de mercado e exigem encargo sensível à dinâmica da exposição a fatores de risco, em vez de apenas à duração do contrato (Andersen, Duffie e Song, 2019). A segunda é a contingência de saque em linhas de crédito comprometidas e cartas de crédito, com probabilidade de uso correlacionada com o estresse do próprio banco, conforme a evidência empírica de Acharya e Mora (2015).

A terceira dimensão é o comportamento de saída dos depósitos sem vencimento contratual. A vida efetiva desses depósitos é determinada pela estabilidade comportamental do depositante e não pelo prazo legal de saque, o que exige crédito FTP pela vida econômica. A quarta é a elegibilidade do ativo como High-Quality Liquid Assets (HQLA). Empréstimos não elegíveis para o numerador do LCR exigem buffer adicional quando comparados a títulos públicos federais.

O encargo de liquidez tem, portanto, múltiplos componentes. A fórmula da seção anterior captura o componente de prazo. Os componentes de chamada de margem aparecem na literatura de ajustes de valor de derivativos (valuation adjustments, XVA), em particular nos modelos de FVA pós-crise (Andersen, Duffie e Song, 2019). Os componentes de contingência e de saída comportamental aparecem em modelos de tesouraria, e a literatura regulatória estruturante é o documento BCBS 144 do Basel Committee on Banking Supervision (2008). Em produção, sistemas como Moody’s RiskAuthority, Wolters Kluwer OneSumX e FIS Ambit Liquidity implementam variantes calibradas desses componentes.

O encargo unificado sobrevive em bancos pequenos por simplicidade, e em alguns casos é uma forma legítima quando a carteira é homogênea. Em bancos com varejo, corporate, derivativos e asset management na mesma carteira, o encargo plano tende a gerar distorção mensurável de pricing e de retorno econômico por linha de negócio.

Evidência e regulação

Acharya e Mora (2015) analisaram microdados de bancos americanos durante a crise de 2007-2009 e testaram a hipótese de Kashyap, Rajan e Stein (2002). A hipótese é que depósitos e linhas de crédito comprometidas podem ser parcialmente compensadores, porque, em condições normais, os saques de depósitos e os saques dessas linhas não precisam ocorrer no mesmo momento. A leitura implica que o banco poderia compartilhar o mesmo estoque de liquidez entre essas duas fontes de saída. A evidência de crise, porém, mostrou o oposto, bancos com mais linhas de crédito comprometidas também sofreram saídas de depósitos, e a função de provedor de liquidez foi sustentada apenas por intervenção governamental. Para o FTP, isso significa cobrar uma taxa que reconheça a correlação positiva entre essas saídas em estresse, em vez de usar apenas o spread médio observado em condições normais.

Tirole (2011) e Diamond e Rajan (2011), do lado teórico, argumentaram que o buffer privadamente ótimo é sistematicamente menor que o socialmente ótimo, por causa de externalidades de venda forçada (fire-sale) e de comportamento de retenção de liquidez (liquidity hoarding) em estresse. Essa é a justificativa econômica para o LCR e o Net Stable Funding Ratio (NSFR) de Basileia III. A regulação obriga cada banco a carregar mais liquidez do que escolheria sozinho, porque a falta de liquidez de uma instituição pode impor perdas ao restante do sistema. O custo do regime regulatório recai sobre alguma combinação do acionista (via menor retorno sobre patrimônio), do tomador de crédito (via maior spread em empréstimos) e do depositante de varejo (via menor taxa em depósitos estáveis), na proporção que depende da estrutura competitiva de cada mercado.

Conclusão

O buffer não é apenas estoque físico de HQLA, e tem uma mecânica de dimensionamento e uma mecânica de custo que precisam aparecer separadamente no preço interno do banco. Em economia idealizada sem risco de default o buffer não tem custo contábil, caso que serve de referência contra a qual se mede o custo no mundo real. No mundo real, o spread de captação do banco é a fonte de custo irredutível, e a literatura sobre custo de liquidez adiciona componentes não lineares e estado-dependentes (Brunnermeier e Pedersen, 2009, e He e Krishnamurthy, 2013), além de externalidades sistêmicas (Tirole, 2011, e Diamond e Rajan, 2011) que ampliam o problema para além da fórmula fechada do caso canônico.

O FTP é o canal pelo qual esse custo chega às áreas de negócio do banco. A literatura pós-2008 convergiu para uma posição híbrida, em que tanto ativos quanto passivos absorvem componentes do custo, com cláusulas adicionais para compromissos contingentes como linhas de crédito comprometidas. Extensões naturais do arcabouço apresentado incluem estruturas a termo de funding disponível, tratamento dos depósitos sem vencimento contratual e integração com a regulação Basel III LCR e NSFR.

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O paper repercutiu fora do circuito acadêmico. Foi noticiado em sites de divulgação científica, gerou cartas indignadas de hedge funds e provocou um debate sobre se a comparação dos autores com a publicação seletiva de ensaios clínicos era justa. A analogia central comparava a omissão do número de tentativas (N) à omissão de ensaios clínicos negativos pela indústria farmacêutica antes do movimento alltrials.net. O regulador de fármacos exige hoje a divulgação completa de todos os braços testados, ao passo que o regulador de fundos sistemáticos não exige nada equivalente.

Onze anos depois, o paper é citado regularmente como referência canônica do problema de backtest overfitting. Os mesmos autores publicaram extensões importantes que detalharam o ferramental para detecção e correção. Em paralelo, surgiu uma literatura empírica massiva sobre crise de replicação em factor investing que confirmou o diagnóstico de 2014 com dados. Este texto complementa o artigo anterior Prevenção de overfitting e data snooping em backtests, que tratou do protocolo walk-forward com purging, embargo e métricas deflacionadas. Aqui o foco recai sobre a mecânica estatística que torna esses cuidados necessários: a seleção do vencedor entre muitas tentativas já fabrica desempenho sob a hipótese nula.

O teorema central de Bailey, Borwein, López de Prado e Zhu

O ponto de partida é uma observação trivial sobre estatística de máximos. Se um pesquisador estima N Sharpe ratios independentes em uma série de retornos cuja média verdadeira é zero, e se o estimador de Sharpe ratio sob essa hipótese é aproximadamente normal com média zero e variância V conhecida, então o máximo dos N estimadores constitui o estimador extremo de uma família, com distribuição assintótica dada pelo teorema de Fisher-Tippett-Gnedenko: o máximo padronizado de variáveis normais converge para a distribuição de Gumbel. As mesmas distribuições estudadas na Teoria de Valores Extremos.

Nesse contexto, conta como tentativa toda especificação completa que teve chance de virar vencedora, mesmo as descartadas antes do relatório final: uma janela de média móvel, um par de limiares de z-score, um filtro de liquidez, um universo de ativos, uma regra de rebalanceamento, um horizonte de treino e teste ou uma variante de pré-processamento dos dados. No experimento idealizado de Bailey, Borwein, López de Prado e Zhu, a tentativa é uma coluna da matriz T × N de retornos. Na pesquisa real, é cada caminho avaliado antes de escolher o melhor. Se cem combinações de médias móveis foram testadas e noventa e nove foram descartadas, N começa em cem, não em um. Quando essas combinações são quase idênticas, o número efetivo de tentativas pode ser menor que o número bruto. Ainda assim, elas não desaparecem da inferência.

O Teorema 1 do paper original (Proposição 2.1 no texto formal) explicita a fórmula assintótica:

Aqui Φ⁻¹ é a quantil normal padrão e γ ≈ 0,5772 é a constante de Euler-Mascheroni. A cota superior simples e útil é E[max] ≲ √(2 ln N), que cresce devagar mas inexoravelmente. Em termos prosaicos, se você joga uma moeda muitas vezes, o maior número de caras consecutivas que aparece numa sequência cresce com √(log do número de jogadas). Em pesquisa quantitativa, a mesma mecânica aparece quando você testa 1.000 médias móveis sobre o mesmo histórico: o Sharpe ratio do melhor grid é, sob hipótese nula de zero alfa, da ordem de √(2 ln 1000) ≈ 3,7 vezes o desvio-padrão do estimador de Sharpe ratio.

Teorema 1 (BAILEY et al., 2014, paráfrase). Sejam N Sharpe ratios estimados de forma independente, cada um com média zero (hipótese nula de retorno esperado nulo) e variância V. Para N grande, o valor esperado do máximo dos N Sharpe ratios estimados é dado pela fórmula acima, com cota superior assintótica √(2 ln N) · √V. A independência é hipótese explícita. Correlações entre estratégias reduzem o número efetivo de tentativas (LÓPEZ DE PRADO; LEWIS, 2019), mas não eliminam o resultado.

O Sharpe ratio observado em um backtest não é, por si só, evidência da qualidade da estratégia. Ele só vira evidência quando confrontado com a distribuição do Sharpe ratio máximo de N tentativas independentes sob a hipótese nula. Sem o número de tentativas, qualquer Sharpe ratio é compatível com sorte, e a omissão de N torna o backtest um objeto vazio do ponto de vista estatístico.

Quanto de backtest é necessário

O Teorema 2 (Teorema 3.1 no texto formal) inverte a fórmula anterior. Se o pesquisador testa N configurações e quer que o Sharpe ratio esperado do “vencedor” seja menor que um alvo SR* (digamos, 1 anualizado, abaixo do qual ninguém confiaria a alocação), então a quantidade mínima de dados necessária satisfaz a desigualdade:

O acrônimo MinBTL vem de Minimum Backtest Length. Se um quant testou 100 estratégias e quer convencer o investidor de que um Sharpe ratio observado de 1 não é artefato, ele precisa de cerca de 6,4 anos de retornos. Para 1.000 estratégias, são 10,6 anos. Para 10.000 (típico de busca em grid de quatro hiperparâmetros), são quase 15 anos. A primeira tabela do artigo mostra valores numéricos exatos calculados pelo pacote de apoio.

Quase nenhum estudo de fundo sistemático brasileiro tem 10 anos de série diária em ativos comparáveis. Quase todo grid de pesquisa de estratégia toca a casa das centenas ou milhares de configurações testadas, somando otimizações de janela, parâmetros de filtro e cortes temporais. A combinação dos dois prazos diz que a pesquisa empírica padrão da indústria, sob a ótica do Teorema 2, está sistematicamente sub-amostrada.

O paper de 2014 propõe que journals e prospectos tratem a omissão de N como informação material faltante, comparável à omissão de braços negativos em ensaios clínicos. A SEC Marketing Rule (IA-5653, vigente desde 2022) exige divulgação de “criteria and assumptions” para resultados hipotéticos, mas não obriga divulgar o número de tentativas. O GIPS Handbook 2020 do CFA Institute classifica desempenho retroprojetado como informação suplementar e impede que entre em compósitos, mas não impõe exigência quantitativa sobre N. A recomendação do paper original ainda não virou regra.

PSR e DSR, ou como descontar o Sharpe pela seleção

O Teorema 1 informa o pesquisador, mas não dá ao investidor uma estatística diretamente comparável entre estratégias. Os mesmos autores fecharam essa lacuna com duas extensões nos anos seguintes.

O Probabilistic Sharpe Ratio traduz o Sharpe ratio observado em probabilidade de que o Sharpe ratio verdadeiro exceda um alvo dado, ajustando explicitamente para skewness γ₃ e kurtosis γ₄ da série (BAILEY; LÓPEZ DE PRADO, 2012):

O PSR generaliza o resultado sobre erro-padrão do Sharpe ratio para retornos não-normais (LO, 2002). Skewness negativa (perdas extremas mais frequentes que ganhos) e kurtosis alta (caudas pesadas) inflam o denominador, reduzindo o PSR. Uma estratégia com Sharpe ratio anualizado de 1 e cauda pesada pode ter PSR(0) inferior a 80%, enquanto outra com mesmo Sharpe ratio sob retornos normais tem PSR(0) próximo de 95%.

A questão remanescente é o threshold contra o qual avaliar o PSR. Avaliar contra zero ignora o problema do Teorema 1 e infla artificialmente a probabilidade. O Deflated Sharpe Ratio aplica o PSR não ao threshold zero, mas ao threshold deflacionado pelo Teorema da Falsa Estratégia (BAILEY; LÓPEZ DE PRADO, 2014):

O DSR é, em palavras, a probabilidade de que o Sharpe ratio verdadeiro de uma estratégia exceda o Sharpe ratio máximo esperado sob hipótese nula com N tentativas e variância cross-section V. A diferença entre DSR e PSR é exatamente o desconto pela seleção. Uma estratégia que tem PSR(0) = 99,87% (parece imbatível) pode ter DSR = 40% após reconhecer que foi selecionada entre 1.000 candidatas, diferença que separa “alocar” de “investigar mais”.

O cálculo de N efetivo é não-trivial quando as estratégias são correlacionadas. O algoritmo ONC (Optimal Number of Clusters) usa a matriz de correlação dos retornos das estratégias para estimar o número de clusters como N efetivo (LÓPEZ DE PRADO; LEWIS, 2019). Essa correção é decisiva quando o grid varre micro-perturbações dos mesmos hiperparâmetros, situação em que N bruto superestima a multiplicidade efetiva.

Cross-validation combinatorialmente simétrica

O DSR fornece um corretivo paramétrico que assume normalidade do estimador e independência (ou correção via clustering). Em paralelo, a literatura propôs um diagnóstico não-paramétrico baseado em validação cruzada (BAILEY et al., 2017). O método chama-se Combinatorially Symmetric Cross-Validation (CSCV) e produz uma estatística chamada Probability of Backtest Overfitting (PBO).

Dada a matriz M de tamanho T × N (T observações de retornos para cada uma das N estratégias candidatas), particiona-se as linhas em S sub-amostras disjuntas de tamanho T/S, com S par. Para cada uma das C(S, S/2) escolhas de S/2 sub-amostras como conjunto de treino (in-sample), o complemento serve como conjunto de teste (out-of-sample). Em cada partição, identifica-se a estratégia vencedora in-sample (n*) e mede-se seu rank relativo no conjunto de teste. O logit do rank converte a estatística em uma escala simétrica em torno de zero. O PBO é a fração das partições em que o vencedor in-sample ficou abaixo da mediana out-of-sample.

O adjetivo “combinatorialmente simétrico” é a chave do método. Cada observação aparece o mesmo número de vezes em conjuntos de treino e em conjuntos de teste através das C(S, S/2) partições, e a transformação (J, J̄) ↔ (J̄, J) é parte do conjunto. Isso elimina a assimetria temporal do walk-forward tradicional (que sempre treina no passado e testa no futuro, dando uma única trajetória de validação) e a quebra de ordem temporal do k-fold genérico, que ignora autocorrelação. Sob hipótese nula de retornos i.i.d. com média zero, o vencedor in-sample é tão provável de ficar acima quanto abaixo da mediana out-of-sample, e o PBO converge para 0,5. Quando há sinal genuíno em alguma estratégia, o PBO desce de forma marcada.

Uma comparação recente de métodos out-of-sample em ambiente sintético controlado documenta fragilidades do CSCV, mostrando que métodos tradicionais podem subestimar o risco de overfitting quando N é pequeno, há regimes de mercado ou as estratégias são altamente correlacionadas (ARIAN et al., 2024). A versão mais robusta para uso em pesquisa séria é o Combinatorial Purged Cross-Validation (CPCV), que adiciona purging (remoção de observações de treino cujos labels temporalmente se sobrepõem ao teste) e embargo (buffer adicional contra autocorrelação serial), gerando múltiplos caminhos out-of-sample (LÓPEZ DE PRADO, 2018). O custo é computacional, e para S = 16 são 12.870 ajustes de modelo.

DSR e PBO são diagnósticos complementares, um avaliando o candidato específico e o outro avaliando o procedimento que selecionou esse candidato. A tabela abaixo organiza as ferramentas discutidas até aqui pelo tipo de pergunta que cada uma responde.

Multiple testing e a crise de replicação em finanças

A literatura de econometria financeira chegou ao mesmo problema por outro caminho. Harvey, Liu e Zhu catalogaram aproximadamente 316 fatores publicados em journals de topo até 2012 e argumentaram que o threshold convencional de t-stat ≥ 2 é inadequado quando a profissão como um todo testa centenas de candidatos (HARVEY et al., 2016). Aplicando correções de testes múltiplos (Bonferroni, Holm e o controle de FDR de Benjamini-Hochberg-Yekutieli), eles propuseram que apenas fatores com t-stat acima de aproximadamente 3,0 deveriam ser considerados descobertas confiáveis. O haircut Sharpe correspondente é dado por:

onde pmt é o p-valor ajustado pela correção de testes múltiplos escolhida. O ajuste é matematicamente diferente do DSR mas conceitualmente análogo, e ambos descontam Sharpe ratios observados pelo número (efetivo) de tentativas que produziram o achado.

A confirmação empírica veio logo depois, em estudo que replicou 452 anomalias publicadas em journals de finanças usando metodologia padronizada (NYSE breakpoints, retornos value-weighted, controles de microestrutura), com aproximadamente 65% das anomalias falhando a replicar com t-stat acima de 1,96 fora da amostra original (HOU et al., 2020). Outra evidência mostra que retornos médios de anomalias caem cerca de 58% após a publicação acadêmica do paper que as documentou, padrão consistente com mistura de arbitragem real e seleção a posteriori (MCLEAN; PONTIFF, 2016). A magnitude dessa crise foi contestada por um modelo Bayesiano de replicação que incorpora correlação entre fatores, mas a direção qualitativa do problema permanece reconhecida (JENSEN et al., 2023).

Avançando essa linha, o problema se torna bilateral: correções clássicas tipo Bonferroni controlam erro tipo I (falsos positivos), mas com custo agudo em poder estatístico, descartando gestores e fatores genuinamente bons (HARVEY; LIU, 2020). O artigo propõe um double-bootstrap que calibra simultaneamente as duas taxas de erro. A literatura de teste de superioridade preditiva é mais antiga, e dois trabalhos canônicos resolvem variantes do mesmo problema. O Reality Check e o Model Confidence Set formalizam a comparação entre conjuntos de modelos sob hipótese nula composta, retornando intervalos para o melhor procedimento em vez de um vencedor pontual (WHITE, 2000; HANSEN et al., 2011).

Implementação em Julia

Disponibilizamos o pacote pq_backtest_overfitting em Julia que implementa, de forma transparente, os objetos centrais discutidos acima, do valor esperado do máximo Sharpe ratio até o PBO via CSCV. A escolha por Julia foi motivada pela ausência de biblioteca canônica equivalente no General Registry. Pacotes como Trading.jl e Fastback.jl oferecem motores de backtest orientados a eventos, mas nenhum traz a camada de validação estatística. Em Python, o mlfinlab implementa as mesmas funções, porém migrou para licença comercial em 2021. O pacote cobre toda a sequência da Tabela 2 em código aberto e auditável, com testes que reproduzem os anchors numéricos do paper original.

A função central traduz o Teorema 1 literalmente, com a constante de Euler-Mascheroni e a quantil normal padrão chamadas diretamente da biblioteca padrão da linguagem, sem aproximações intermediárias.

O DSR encadeia o Teorema da Falsa Estratégia com o PSR. Optei por receber a variância cross-section V como argumento explícito, em vez de inferi-la dos dados, porque a interpretação correta de V depende de o usuário ter calculado os N Sharpe ratios e tirado a variância amostral. Embutir essa etapa esconderia uma decisão delicada.

A implementação do CSCV é mais densa porque enumera explicitamente as C(S, S/2) combinações via Combinatorics.combinations. Para S = 16, são 12.870 partições, cada uma exigindo o cálculo de N Sharpe ratios in-sample e N out-of-sample. O custo é O(C(S, S/2) · N · T) e domina o tempo total. Mantive a estrutura de retorno como um struct nomeado para que o usuário tenha acesso aos logits brutos, e não apenas à estatística agregada PBO.

O pacote inclui suíte de testes que verifica os valores anchor citados na Figura 2 do paper original (N = 7 → ≈ 2 anos, N = 45 → ≈ 5 anos para SR* = 1), monotonicidade do PSR em skewness e kurtosis, convergência da simulação Monte Carlo dentro de 5% do valor teórico, e dois experimentos de PBO (sob hipótese nula com PBO próximo de 0,5, e com uma estratégia genuinamente boa puxando o PBO para abaixo de 0,1). Vinte testes passam em poucos segundos.

Resultados Monte Carlo

O script examples/demo_artigo.jl reproduz três experimentos. No primeiro, validamos o Teorema 1 em uma realização Monte Carlo direta gerando uma matriz T × N de retornos i.i.d. Normal(0, σ²) com σ = 1% diário (próximo do desvio-padrão diário do Ibovespa) e T = 1.008 dias (cerca de quatro anos de pregão), tomando depois o máximo dos N Sharpe ratios anualizados. Repete-se 2.000 vezes para obter a distribuição empírica do máximo.

Para N = 1.000, o Teorema 1 prevê E[max SR] = 1,628 anualizado e a média empírica é 1,626, alinhamento apertado entre teoria e Monte Carlo. Os intervalos de 5% a 95% mostram que a variabilidade do máximo é alta. Para N = 100, o vencedor pode ter SR = 0,94 ou SR = 1,66 dependendo da realização, e isso significa que mesmo conhecendo o número de tentativas e a variância cross-section, o pesquisador disciplinado precisa pensar em distribuição, não em ponto.

O segundo experimento é o caso de uso central do DSR. Toma-se uma única realização (T = 1.008, N = 1.000, σ = 1%, drift verdadeiro zero) e calcula-se o Sharpe ratio anualizado de cada coluna. O vencedor tem SR_IS = 1,506, número que em qualquer relatório comercial seria apresentado como evidência de competência. O PSR avaliado contra zero é 99,87%, o que reforça a aparência. O DSR, no entanto, calcula a probabilidade de que o Sharpe ratio verdadeiro exceda E[max | N = 1000] e devolve 40,6%.

A diferença entre 99,87% e 40,6% é o desconto pela seleção, que separa “alocar” de “investigar mais”. O DSR diz, em substância, que o Sharpe ratio do vencedor é compatível com o que se espera por sorte de mil estratégias sem alfa. Aceitar o número bruto seria erro de inferência sobre a estratégia, não erro de estimação numérica. Esse é o ponto pedagógico que o paper de 2014 quis comunicar.

O terceiro experimento avalia o PBO via CSCV sobre uma matriz T = 1.008, N = 100, com S = 16 sub-amostras (12.870 partições). Sob hipótese nula i.i.d., o vencedor in-sample deveria ficar abaixo da mediana out-of-sample em metade das partições. Em uma realização específica, o PBO foi 0,648, valor próximo da expectativa teórica de 0,5 dada a variabilidade de uma única amostra com C(16, 8) ensaios.

O contraste com o caso em que uma das estratégias tem drift verdadeiro positivo é o que torna o método útil para diagnóstico. A suíte de testes inclui um exemplo com drift = 0,003/dia (Sharpe ratio anualizado verdadeiro de aproximadamente 4,8) em uma das colunas. O PBO desce para abaixo de 0,1, mostrando que o método separa corretamente sinal de ruído quando o sinal é forte. Em casos limítrofes, com drift próximo do nível de ruído, o PBO se mantém alto, e essa é justamente a região em que o pesquisador deveria recuar e cobrar mais dados.

Implicações para alocadores e quants

O artigo de 2014 exigiu que periódicos e prospectos reportassem o número de configurações testadas (N) e que leitores descontassem os Índices de Sharpe pelo Teorema 1. Onze anos depois, esse reporte segue sem mandato regulatório, enquanto a literatura empírica confirma que o *overfitting* é um problema profundo e imune a correções paramétricas isoladas.

Nesse cenário, Índices de Sharpe brutos em prospectos não atestam a qualidade de uma estratégia. O alocador de capital deve exigir o N e a variância cross-section dos Sharpe candidatos para computar o Deflated Sharpe Ratio (DSR), obtendo assim uma métrica comparável. A recusa do gestor em fornecer esses dados é, por si só, uma evidência decisiva contra ele. Para a pesquisa, o Teorema 2 sobre o MinBTL impõe que validar o vencedor de um grid de 1.000 estratégias exige de 10 a 14 anos de retornos diários. Ao lidar com séries mais curtas, típicas de mercados emergentes, o analista precisa reduzir N drasticamente, assumir premissas estruturais fortes ou aplicar DSR e Validação Cruzada Simétrica Combinatória (CSCV) antes de declarar qualquer descoberta.

Para quem roda as simulações internamente, o fluxo deve iniciar calculando a Probabilidade de Overfitting de Backtest (PBO) via CSCV sobre toda a família testada, antes de olhar para qualquer vencedor. Um PBO próximo a 0,5 indica que a seleção por Sharpe in-sample não tem validade out-of-sample, exigindo a reestruturação do grid. Para a estratégia validada, o DSR substitui o Sharpe bruto nas comunicações internas, mantendo-se o histórico sempre acima do MinBTL correspondente ao N efetivo para impedir que hipóteses sejam tratadas como descobertas.

O obstáculo atual é estritamente cultural e regulatório, permitindo que cada profissional corrija seu fluxo de trabalho sem aguardar mandatos externos. Incorporar métricas como PSR, DSR, CSCV e MinBTL tem um custo operacional marginal, mas a literatura recente sobre a crise de replicação (HOU et al., 2020; JENSEN et al., 2023) documenta exaustivamente que o verdadeiro prejuízo está em continuar pulando essa etapa.

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A lógica é a mesma das corridas bancárias do século XIX e da Grande Depressão. Um banco transforma passivos curtos em ativos longos. Depositantes recebem liquidez sob demanda, a economia financia projetos de maturidade longa e o banco fica no meio dessa diferença. O arranjo é uma promessa que só funciona enquanto a maioria acredita que vai continuar funcionando.

O modelo de Diamond e Dybvig (DIAMOND; DYBVIG, 1983) trata o banco como solução para um problema de seguro contra choques idiossincráticos de liquidez, e o mesmo arranjo revela a corrida bancária como equilíbrio de coordenação. A turbulência bancária de 2023 deixou pendente uma agenda regulatória voltada a corridas digitais de alta velocidade e à fração do buffer de liquidez que fica indisponível sob estresse.

Quando o banco melhora o mundo

Diamond e Dybvig partem de uma economia deliberadamente simples. Há três datas, t = 0, 1, 2, um único bem e uma massa de consumidores idênticos antes de saberem suas necessidades futuras. Em t = 1, cada consumidor descobre seu tipo. Nesse sorteio, com probabilidade π₁, torna-se impaciente e deseja consumir cedo. Já com probabilidade π₂, permanece paciente e deseja consumir em t = 2.

O dilema aparece na escolha entre liquidez imediata e retorno de longo prazo. Guardar o bem de um período para o outro preserva uma unidade para consumo cedo. Investir em um projeto longo rende R > 1 em t = 2, mas paga apenas L < 1 se for liquidado prematuramente em t = 1. O projeto longo é socialmente produtivo e impõe custo individual a quem descobre cedo que precisa consumir.

Sem seguro, o agente escolhe sozinho quanto manter em uma aplicação líquida e quanto direcionar ao projeto longo. Essa autarquia é ineficiente porque cada pessoa precisa se proteger individualmente contra um choque que, no agregado, é previsível pela lei dos grandes números. O mercado financeiro melhora a alocação ao permitir trocas entre agentes impacientes e pacientes, mas ainda não entrega o seguro completo contra o risco de liquidez.

O banco resolve essa fricção emitindo um contrato de depósito. Todos depositam uma unidade em t = 0. O banco mantém uma fração líquida para atender os impacientes em t = 1 e investe o restante no projeto longo. Se apenas os impacientes sacam cedo, o contrato implementa a alocação de seguro, com consumo mais alto para quem precisa de liquidez cedo e retorno maior para quem espera. Nesse ponto do modelo, o banco é a instituição que torna possível compartilhar um risco que cada indivíduo enfrentaria sozinho.

Em notação compacta, o problema de seguro pode ser escrito como:

Nessa expressão, π₁ e π₂ são as probabilidades de o depositante ser impaciente ou paciente. A função u(.) mede utilidade do consumo, ρ desconta o consumo futuro, c₁ e c₂ são os consumos prometidos em t = 1 e t = 2, R é o retorno bruto do projeto longo e x é a fração dos recursos investida nesse projeto. As restrições dizem que o consumo dos impacientes vem da parcela líquida 1 − x e o consumo dos pacientes vem do investimento longo xR.

A condição de primeira ordem é:

Na condição de primeira ordem, u’ é a utilidade marginal. Os termos c₁^bank e c₂^bank são os consumos escolhidos pelo contrato bancário no ótimo. A igualdade resume a função econômica do banco, que transfere consumo entre estados da natureza e entre datas até equilibrar o ganho marginal de consumo cedo e o ganho descontado de preservar recursos no projeto longo. O depositante não sabe se será impaciente ou paciente, então valoriza um contrato que suaviza seu consumo contingente.

Quando o seguro vira corrida

A eficiência do contrato depende de uma crença simples: apenas quem realmente precisa consumir cedo sacará em t = 1. Se os pacientes acreditam que os demais pacientes aguardarão até t = 2, esperar é racional. O banco preserva os ativos longos, os impacientes recebem liquidez e os pacientes recebem o retorno do projeto longo. A fragilidade nasce porque essa crença coordena o comportamento dos pacientes e sustenta o próprio mecanismo.

O equilíbrio ruim surge quando os pacientes acreditam que outros pacientes sacarão cedo. Como o banco opera sob restrição de serviço sequencial, isto é, atende os pedidos por ordem de chegada, cada depositante teme ficar no fim da fila. Mesmo um paciente, que preferiria consumir em t = 2, passa a ter incentivo para sacar em t = 1. A crença coletiva torna verdadeira a escassez que ela antecipa.

O valor de liquidação do banco em t = 1, quando ativos longos precisam ser vendidos ou liquidados prematuramente, é menor que o consumo prometido aos pacientes em t = 2. Em notação compacta, Vl < c₂^bank. A corrida destrói justamente os ganhos de seguro que justificavam o banco.

Diamond e Dybvig mostram, portanto, dois equilíbrios de Nash Pareto-ordenados. Em um equilíbrio de Nash, cada depositante escolhe a melhor resposta ao comportamento que espera dos demais, de modo que ninguém melhora sua situação mudando sozinho. A ordenação de Pareto diz que um desses equilíbrios deixa todos em situação melhor que o outro. Quando os pacientes esperam, o contrato preserva o seguro e todos ficam melhor. Quando todos correm, cada paciente também prefere sacar cedo, pois esperar sozinho aumenta o risco de ficar sem liquidez. O modelo não precisa de insolvência fundamental para gerar corrida, pois um sinal público arbitrário, sem conteúdo sobre a solvência do banco, pode fazer cada depositante acreditar que os demais correrão. Na literatura, esse coordenador externo de expectativas recebe o nome de sunspot (DIAMOND; DYBVIG, 1983).

A força do modelo também define seu limite. Ele isola a fragilidade essencial da reserva fracionária, mas trata o gatilho como externo, lacuna que a pesquisa posterior tentou preencher. Gorton associa pânicos bancários a sinais sobre fundamentos macroeconômicos e qualidade dos ativos (GORTON, 1988). Calomiris e Gorton mostram que muitos pânicos históricos contêm informação, ainda que imperfeita, sobre deterioração real dos balanços (CALOMIRIS; GORTON, 1991). Goldstein e Pauzner introduzem fundamentos no jogo e permitem falar em probabilidade de corrida, não apenas em multiplicidade de equilíbrios (GOLDSTEIN; PAUZNER, 2005).

A literatura enfraquece a separação rígida entre pânico e insolvência. Uma corrida puramente irracional pediria seguro de depósitos e liquidez emergencial, enquanto uma corrida puramente motivada por insolvência pediria capital. O mundo real fica no meio, com perdas não realizadas, concentração de funding, sinais públicos, redes sociais e dúvidas sobre liquidez se combinando para tornar racional a retirada individual.

A promessa de sacar quando quiser sobre ativos que o banco investe no longo prazo não é exclusiva do sistema bancário regulado. A FTX, plataforma de negociação e custódia de criptoativos que mantinha saldos de clientes, operava com a mesma transformação de maturidade. Clientes podiam sacar cripto a qualquer momento enquanto a empresa tomava posições ilíquidas com os ativos depositados. Em novembro de 2022, dúvidas sobre o balanço dispararam pedidos de saque que a operação não conseguiu honrar. A Circle, empresa emissora do USDC, prometia que cada unidade dessa moeda digital estável seria resgatável por um dólar, com lastro em reservas mantidas em bancos americanos. Em março de 2023, quando o Silicon Valley Bank (SVB), banco californiano com forte presença entre empresas de tecnologia, foi à quebra enquanto guardava parte dessas reservas, a paridade do USDC caiu cerca de doze por cento antes de ser restaurada por intervenção pública sobre o SVB. Em ambos os casos, a estrutura é a prevista pelo modelo Diamond-Dybvig, agora sem os dois amortecedores institucionais que o sistema bancário regulado construiu para conter corridas. Esses amortecedores são o seguro de depósitos, como o Fundo Garantidor de Créditos (FGC) no Brasil e a Federal Deposit Insurance Corporation (FDIC) nos Estados Unidos, e o lender of last resort, isto é, um banco central ou tesouro disposto a fornecer liquidez emergencial e a coordenar resoluções para que o pânico não se propague. A promessa de saída sob demanda colapsa quando muitos tentam exercê-la ao mesmo tempo, e em cripto não existe quem ampare o colapso.

A fila que não aparece

O Continental Illinois, já citado como caso americano de funding de atacado, o Northern Rock, credor hipotecário britânico, o Banco Popular, banco espanhol resolvido pelo mecanismo europeu, e o First Republic, banco regional americano com base concentrada de depósitos, mostram que a fila pública é apenas uma forma possível de corrida bancária. Em todos os casos, o mecanismo decisivo apareceu antes ou fora da agência, por meio de funding atacadista, grandes depositantes, deterioração rápida de liquidez ou perda de confiança de clientes sofisticados. A figura resume os quatro episódios.

Esses episódios deslocam a atenção da agência para o passivo. A corrida moderna pode começar fora do varejo, não aparecer nas imagens de televisão e atravessar a fronteira entre liquidez e solvência antes que a supervisão termine sua análise. Quando a base de funding é concentrada e capaz de sair em bloco, a promessa de liquidez sob demanda deixa de ser conveniência para o depositante e passa a ser opção contra o banco.

O índice de cobertura de liquidez (LCR) pergunta se o banco tem ativos líquidos de alta qualidade (HQLA) suficientes para cobrir saídas líquidas em 30 dias sob um cenário padronizado de estresse. A corrida sem fila muda o horizonte da pergunta. O banco consegue transformar esses ativos em caixa no mesmo ritmo dos saques, com depositantes grandes, coordenados e informados, sem que a monetização do buffer seja interpretada como confissão de fragilidade?

O artigo anterior sobre buffer de liquidez e capacidade de contrabalanço deixou esse ponto em aberto. HQLA, em sentido regulatório, já pressupõe ativos elegíveis, líquidos e em geral livres de ônus relevante. Depois dessa classificação, o gestor ainda precisa saber quanto do HQLA reportado pode ser transferido para a entidade certa, monetizado no prazo da corrida e usado sem produzir um sinal adverso ao mercado. A diferença entre elegibilidade regulatória e usabilidade sob estresse é justamente onde a corrida digital pressiona o LCR.

Como medir uma corrida digital

Uma corrida digital transforma o problema clássico de liquidez em um problema de intensidade. O analista deixa de perguntar apenas quanto pode sair em 30 dias e passa a estimar o ritmo de saída em janelas de horas. A variável crítica é o horizonte de sobrevivência intradia, definido como o primeiro instante τ em que o caixa cruza o piso mínimo do banco. Essa leitura é próxima da literatura de risco de liquidez de funding, que trata a incapacidade de levantar caixa como variável de estado, não apenas como consequência contábil de perdas (DREHMANN; NIKOLAOU, 2013).

Nessa formulação, inf seleciona o primeiro instante em que a desigualdade passa a valer. C₀ é o caixa inicial, Mₜ(HQLA) é a parcela do buffer que pode ser monetizada até o instante t, Iₜ representa entradas confirmadas, Oₜ representa saídas acumuladas e Bₜ é o colchão mínimo necessário para pagamentos, liquidez intradia e restrições internas. A diferença entre HQLA contábil e Mₜ(HQLA) é justamente o ponto que a corrida digital explora.

Nem todo depósito sai com a mesma facilidade. Depósitos segurados, pulverizados e transacionais comportam-se de forma diferente de depósitos não segurados, concentrados e administrados por tesourarias profissionais. O segundo bloco estima a probabilidade de saída a partir do que se sabe sobre cada cliente, como cobertura de seguro, concentração, relacionamento, diferencial de taxa, sinais de mercado e choques de notícia. A evidência recente sobre mídias sociais reforça essa dimensão informacional, pois exposição prévia a redes e intensidade de mensagens sobre bancos ajudam a explicar perdas de mercado durante corridas recentes (COOKSON et al., 2023).

A variável ΔDᵢ,ₜ mede a variação do depósito do cliente i no instante t, de modo que ΔDᵢ,ₜ < 0 indica saída de recursos. Λ é a função de ligação que transforma o escore linear em probabilidade, α é o intercepto do modelo e β₁ a β₅ são os pesos estimados de cada fator. Uᵢ mede a parcela não segurada do depósito, Sₜ resume sinais de estresse observáveis, Kᵢ mede concentração ou importância do cliente, Rᵢ,ₜ captura a relação econômica com o banco e Nₜ representa fluxo de notícias ou sinais públicos. O objetivo não é prever perfeitamente cada saque, mas separar depósitos que se comportam como funding estável daqueles que funcionam como opção de saída imediata.

O terceiro bloco é o que separa fluxo de cascata. Em uma corrida digital, um saque grande não fica isolado, pois revela informação, coordena expectativas e aciona decisões de comitês de tesouraria que estavam apenas observando. Cada evento empurra os próximos. A imagem mais palpável é uma fileira de dominós, em que a queda de um aumenta a chance e diminui o tempo até a queda do seguinte. A linguagem estatística para esse fenômeno é o processo de Hawkes (HAWKES, 1971), já consolidado em finanças para modelar eventos de alta frequência, contágio e dinâmica de livro de ofertas (BACRY; MASTROMATTEO; MUZY, 2015).

Nessa equação, λ(t) é a intensidade instantânea de saques no tempo t e cada tᵢ marca o horário de um saque já observado. O parâmetro μ mede o ritmo de fundo dos saques numa quinta-feira normal, o fluxo histórico de TED, PIX e mensagens internas que o sistema observa sem que ninguém estranhe. O parâmetro α mede o tamanho do empurrão de um saque sobre os seguintes, isto é, quanto um movimento visível arrasta tesourarias profissionais que estavam paradas. O parâmetro β mede a velocidade de dissipação desse empurrão, em horas nas corridas digitais e em dias nas corridas de varejo. A razão de ramificação α/β separa flutuação de corrida, porque cada saque gera, em média, α/β saques filhos. Quando essa razão se aproxima de um, o sistema sai do regime estável e entra em cascata.

α e β quase nunca são estimados a frio. São calibrados quando alguém na sala de tesouraria reconhece o padrão dos minutos anteriores e nomeia o que está acontecendo, e o Hawkes é a álgebra que arruma esse reconhecimento depois do fato.

O painel final combina horizonte de sobrevivência em horas, fração de depósitos não segurados e concentrados, razão entre HQLA monetizável no mesmo dia e HQLA reportado, e a razão de ramificação α/β do parágrafo anterior. Esses números complementam o LCR ao mostrar onde uma métrica de 30 dias pode chegar tarde.

O Brasil aprendeu com crises reais

O Brasil tem menos imagens clássicas de filas em agências do que os Estados Unidos, mas tem uma história rica de crises bancárias, intervenções e redesenho institucional. No início do Plano Real, a estabilização retirou uma fonte relevante de receita inflacionária dos bancos, elevou a disciplina de mercado e expôs fragilidades acumuladas. Banco Econômico, Banco Nacional e Bamerindus tornaram-se os casos emblemáticos.

Carvalho e Oliveira contestam a leitura simplificada de que a quebra desses bancos decorreu apenas de expansão acelerada de crédito após julho de 1994. A evidência de balanço sugere problemas anteriores, agravados pela dificuldade de adaptação ao novo regime de baixa inflação e pela política econômica restritiva de 1995 (CARVALHO; OLIVEIRA, 2002). O choque de credibilidade foi o mecanismo de corrida. Quando o nome do banco se deteriora, depositantes e investidores fogem.

A resposta institucional veio em duas frentes. O Programa de Estímulo à Reestruturação e ao Fortalecimento do Sistema Financeiro Nacional (PROER) buscou viabilizar a transferência de bancos problemáticos para instituições saudáveis e evitar uma liquidação desordenada que contaminasse o sistema. O FGC, autorizado em 1995, criou uma camada permanente de proteção a depositantes. O próprio FGC descreve sua missão como proteção de depositantes e minimização do risco de corridas bancárias, reconhecendo explicitamente a lógica Diamond-Dybvig no desenho institucional brasileiro (FUNDO GARANTIDOR DE CRÉDITOS, 2026).

O Banco Santos, em 2004, ilustra uma versão mais segmentada do problema. A intervenção do Banco Central decorreu de deterioração econômico-financeira, problemas de liquidez e irregularidades. A dissertação de Carlos Ahmar caracteriza o episódio como uma minicrise de liquidez em segmento delimitado do mercado bancário brasileiro, com análise de 84 instituições antes e depois da intervenção (AHMAR, 2006). A lição é que contágio de liquidez não precisa atingir todo o sistema para ser relevante. Ele pode se concentrar em bancos percebidos como parecidos.

A arquitetura brasileira posterior ficou mais robusta. O país adotou LCR para instituições do segmento prudencial S1, grupo que reúne os bancos de maior porte ou relevância sistêmica, consolidou exigências de gerenciamento de riscos na Resolução CMN 4.557/2017, exige plano de contingência de liquidez e acompanha o sistema por métricas como o Índice de Liquidez do Banco Central (BANCO CENTRAL DO BRASIL, 2017). O Relatório de Estabilidade Financeira do primeiro semestre de 2025 avaliou o sistema como capitalizado e líquido, sem risco relevante para a estabilidade financeira no agregado (BANCO CENTRAL DO BRASIL, 2025).

Essa robustez não elimina pontos de atenção. A composição brasileira de HQLA é concentrada em títulos públicos federais e reservas no Banco Central. Em condições normais, isso é uma vantagem porque reúne ativos de alta liquidez, mercado profundo e elegibilidade ampla. Em estresse fiscal severo, porém, o mesmo ativo conecta liquidez bancária, risco soberano e capital. A discussão brasileira sobre corrida bancária gira pela concentração de funding, velocidade de transferência, confiança no FGC, capacidade de intervenção tempestiva e cenários de liquidez envolvendo títulos públicos.

Onde a regulação ainda está lenta

A agenda recente não pede abandono de Basileia III. O LCR, o índice de financiamento estável líquido (NSFR), os testes de estresse e os planos de contingência melhoraram a resiliência bancária em relação ao mundo pré-2008. A pergunta mais precisa é quais partes do arcabouço foram calibradas para uma corrida mais lenta, menos digital e menos concentrada. O próprio Comitê de Basileia (BCBS) formalizou esse diagnóstico ao revisar a turbulência de março de 2023 (BCBS, 2023).

Granularidade temporal é o primeiro ajuste. Um requisito de 30 dias pode conviver com métricas intradia, de 1 dia, 5 dias e 10 dias para bancos com funding concentrado ou base relevante de depósitos não segurados. A regulação americana já trabalha com múltiplos horizontes para grandes instituições. O pós-2023 sugere que a segmentação deve depender do tamanho do ativo e da velocidade potencial do passivo.

As taxas de saída também precisam refletir concentração e cobertura de seguro. Depósitos não segurados e concentrados, como os observados em Continental Illinois, First Republic e outras instituições de funding sofisticado, têm dinâmica diferente dos depósitos corporativos médios. O FDIC avaliou três caminhos para reforma do seguro de depósitos, entre manter cobertura limitada, adotar cobertura ilimitada ou criar cobertura direcionada. A própria agência apontou a cobertura direcionada para contas transacionais de empresas como alternativa promissora, porque protege folhas de pagamento e meios de pagamento sem estender seguro irrestrito a depósitos de investimento (FDIC, 2023b).

Ativos mantidos até o vencimento (HTM) exigem tratamento mais realista de liquidez. Um título soberano pode ser HQLA em sentido jurídico e ainda assim ser difícil de monetizar sem cristalizar perda, sinalizar fraqueza ou consumir capital. O relatório de progresso do BCBS sobre liquidez registra que ativos HTM com perdas não realizadas podem tornar o acesso ao mercado privado de recompra, ou repo, menos confiável e fazer do banco central o canal efetivo de monetização (BCBS, 2024).

O estigma da liquidez oficial reduz o tamanho econômico do buffer. A janela de redesconto é a linha pela qual o banco central empresta liquidez a bancos solventes, normalmente contra garantias elegíveis, para atravessar uma pressão temporária de caixa. Bancos evitam usá-la quando temem que o mercado interprete o acesso como sinal de insolvência. O Group of Thirty (G30), fórum internacional de ex-reguladores, banqueiros centrais e executivos financeiros, enfatiza em relatório liderado por William Dudley a preparação prévia para uso de facilidades do banco central, pré-posicionamento de colateral e desenho de mecanismos que não transformem liquidez emergencial em anúncio público de fraqueza (GROUP OF THIRTY, 2024). Um buffer que o banco não ousa usar é menor do que parece.

Banco Popular mostrou que uma instituição pode ser empurrada para resolução por deterioração de liquidez antes que a discussão pública sobre capital esteja estabilizada. A mesma fragilidade aparece em conglomerados com liquidez presa por entidade jurídica, moeda ou jurisdição, quando o caixa existe no balanço consolidado mas não chega à unidade que precisa pagar. A Resolução CMN 4.557 já exige consideração de moedas, jurisdições e restrições de transferência, e a agenda concreta é tornar esse mapeamento mais granular, testado e acionável.

First Republic, Banco Popular e Banco Santos têm diferenças relevantes de jurisdição, porte e modelo de negócio, mas todos mostram que a janela entre perda de confiança e intervenção pode ser curta. Corridas digitais encurtam a distância entre encontrar uma deficiência e forçar sua correção, de modo que supervisão lenta perde valor quando a confiança se move em horas.

O Brasil já tem FGC, PROER como experiência histórica, LCR para bancos S1, plano de contingência e métricas proprietárias do Banco Central. O próximo ganho está em cenários de velocidade, concentração e comunicação. Um teste de estresse brasileiro deveria perguntar não apenas quanto sai em 30 dias, mas quanto pode sair em uma tarde se um grupo concentrado de clientes institucionais receber o mesmo sinal público.

A corrida não cabe em 30 dias

Diamond-Dybvig continua sendo o ponto de partida porque expõe a tensão que nenhuma regulação elimina por completo. Bancos existem porque transformam maturidade e seguram choques de liquidez. Corridas existem porque a promessa de liquidez individual depende de uma condição coletiva: nem todos podem exigir liquidez ao mesmo tempo.

A experiência brasileira associa estabilidade a credibilidade institucional. O PROER e o FGC surgiram em resposta a uma crise real e criaram mecanismos para absorver quebras sem transformar cada intervenção em pânico sistêmico. A estabilidade posterior do sistema brasileiro deve muito a essa capacidade.

Corridas recentes encurtaram o intervalo entre perda de confiança e saída de recursos. A fila virou transferência eletrônica, o boato virou sinal público em rede, o depositante não segurado virou tesouraria corporativa e o HQLA deixou de ser apenas numerador de uma razão regulatória. A próxima etapa da regulação de liquidez precisa medir a corrida no tempo em que ela acontece, reconhecer que depósitos concentrados não são funding estável e garantir que o buffer possa ser usado sem destruir a confiança que deveria preservar.

Referências

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A inconsistência não está na álgebra, que faz exatamente o que foi pedido, e sim na premissa econômica. Recessões, choques setoriais e apertos de liquidez não selecionam tomadores por sorteio independente. Eles comprimem receitas, margens, refinanciamento e valor de colateral de muitos devedores ao mesmo tempo, razão pela qual uma carteira de crédito precisa de algum mecanismo explícito para transformar estado da economia em dependência entre defaults.

A indústria de risco de crédito se reorganizou em torno desse problema no fim dos anos 1990. Em abril de 1997, o JP Morgan publicou o CreditMetrics Technical Document, um manual de 198 páginas que formalizava, em linguagem aberta, como estimar a distribuição de perdas de uma carteira inteira a partir de probabilidades de transição de rating e correlação de ativos (GUPTON; FINGER; BHATIA, 1997). Seis meses depois, o Credit Suisse Financial Products respondeu com o CreditRisk+: A Credit Risk Management Framework, uma metodologia atuarial que ignora balanços e trata o default como evento aleatório com intensidade estocástica (CREDIT SUISSE FINANCIAL PRODUCTS, 1997). Embora partissem de tradições diferentes, os dois documentos atacavam a mesma deficiência dos modelos independentes, pois ambos buscavam representar a possibilidade de vários tomadores quebrarem na mesma situação de crise enfrentada.

Quase três décadas depois, a linhagem que começou naqueles dois documentos ainda define boa parte do que se entende por capital econômico relativo à crédito em bancos regulados. Entre o modelo independente e os modelos estruturais multifatoriais de hoje, a evolução da modelagem pode ser lida como uma sequência de correções sobre hipóteses que se mostraram convenientes demais quando confrontadas com carteiras reais, sobretudo a independência, a forma da cauda e a concentração.

Em Modelling Economic Capital, David Jamieson Bolder (2022) reconstrói essa engenharia a partir do que chama de um começo ingênuo, porém informativo, o modelo de default independente. A partir dele, mostra por que a independência elimina a cauda relevante da distribuição de perdas, como os modelos mixture e threshold recolocam um fator comum dentro da carteira, e por que a mesma estrutura reaparece, em versão regulatória, na fórmula da abordagem baseada em classificações internas (IRB).

O modelo mais ingênuo que se pode defender

Suponha uma carteira com I tomadores distintos. Para cada tomador i, conhecemos três quantidades: a exposição em caso de default, denotada c_i (em inglês exposure-at-default, EAD), a probabilidade de default no horizonte de análise, p_i, e a perda dado default, γ_i. Um indicador 𝟙_Di assume valor 1 se o tomador entra em default entre t e T, e 0 caso contrário. A perda total da carteira no horizonte T se escreve então como uma soma simples sobre os tomadores.

Essa expressão é o ponto de partida de qualquer modelo de risco de crédito de carteira. O que a diferencia entre modelos distintos é como os 𝟙_Di se comportam conjuntamente. A escolha mais simples, e também a mais questionável, é assumir que cada indicador é uma realização Bernoulli com probabilidade p_i e que todos são mutuamente independentes. É o chamado independent-default model, e Bolder (2022, p. 54) o apresenta justamente por sua clareza pedagógica.

Se as PDs forem iguais e os c_iγ_i forem homogêneos, o número de defaults segue uma distribuição binomial com parâmetros (I, p). Para I grande e p pequeno, a aproximação de Poisson com intensidade λ = Ip é útil para cálculo de caudas. O modelo é elegante, tratável, e pode até ser resolvido analiticamente. Também é fatalmente errado, por uma razão que se revela num experimento numérico simples.

O paradoxo da diversificação

Considere uma carteira com I = 100 tomadores, todos com PD = 1%, exposição unitária e LGD de 40%. A perda esperada é E[L] = I · p · γ = 0,40 em unidades de exposição. Sob independência, um milhão de simulações produz desvio-padrão de 0,40, VaR a 99% de 1,60, VaR a 99,9% de 2,00 e expected shortfall (ES) a 99% de 1,69. Nenhuma perda das 10⁶ simuladas ultrapassou 9 defaults simultâneos. Agora aumentamos I para 10 mil. A perda esperada cresce para 40, mas o VaR 99% normalizado pela média, VaR/E[L], cai de 3,98 (com I = 100) para 1,24 (com I = 10 mil). No limite I → ∞, a lei dos grandes números garante que L/I converge quase certamente para E[L]/I; em termos relativos, o capital econômico acima da perda esperada tende a desaparecer.

Nessa toada, basta tornar a carteira grande o suficiente e o risco de crédito desaparece por diversificação, embora essa conclusão venha da hipótese de independência, não de uma propriedade econômica robusta. Ao tratar cada default como independente dos demais, o modelo elimina por construção o risco sistêmico. O ciclo econômico, choques setoriais e contágio entre tomadores fazem com que defaults se aglomerem nos mesmos trimestres, especialmente em recessões. Frey e McNeil (2003) mostram que correlações de ativos modestas, entre 10% e 20%, podem multiplicar o VaR a 99,9% por fatores de cinco a vinte vezes.

A segunda consequência é mais sutil e igualmente incômoda. Sob independência, a perda agregada concentra-se em torno da média com caudas que decaem exponencialmente. Crises reais exibem caudas muito mais pesadas, em que vários tomadores grandes falham no mesmo período. Qualquer medida de capital baseada em quantis extremos (VaR a 99,97%, por exemplo) subestima sistematicamente a verdadeira exigência de capital quando calibrada sobre o modelo independente.

Bolder (2018, cap. 2) e Bluhm, Overbeck e Wagner (2010, cap. 1) observam que, apesar disso, o modelo tem um papel útil como challenger. Ele pode funcionar como um segundo número, calculado em paralelo ao modelo de produção, cuja função é sinalizar erros grosseiros de implementação. Por ser trivial de implementar e auditar, serve de âncora de sanidade, embora não possa descrever o mundo que o modelo principal tenta capturar.

Duas escolas de modelagem para introduzir risco sistêmico

Se a independência é a raiz do problema, a saída precisa introduzir alguma forma de dependência entre os defaults. A literatura do setor convergiu em duas estratégias, cada uma associada a um modelo dominante e a uma tradição intelectual distinta. McNeil, Frey e Embrechts (2015, cap. 11) organizam a taxonomia da maneira que se tornou canônica: mixture models de um lado, threshold models do outro.

Na estratégia mixture, a probabilidade de default de cada tomador deixa de ser um parâmetro fixo e passa a ser uma função de uma variável aleatória comum Z, interpretável como estado da economia. Em cada simulação, sorteia-se um valor de Z, que reescreve as probabilidades p_i(Z) de todos os tomadores. Dado Z, os defaults voltam a ser independentes entre si (propriedade de conditional independence), mas a aleatoriedade de Z introduz correlação entre os eventos. O exemplo canônico é o modelo gamma-Poisson do CreditRisk+, que decompõe a probabilidade randomizada em uma parte idiossincrática e uma parte sistêmica:

Os coeficientes ω_i0 e ω_i1 somam 1 e controlam o peso relativo de cada componente (CREDIT SUISSE FINANCIAL PRODUCTS, 1997; WILDE, 2010). Essa abordagem é chamada de reduced-form ou atuarial porque trata o default como evento exógeno, sem especificar o mecanismo pelo qual ele ocorre. Para algumas escolhas do mixing (gamma, beta, logit-normal), a distribuição de perdas admite forma semi-analítica, dispensando Monte Carlo.

Na estratégia threshold, a inspiração é outra. Logo depois do paper de Black e Scholes (1973), Merton (1974) observou que o equity de uma firma pode ser visto como uma opção de compra sobre seus ativos, de modo que o default ocorre quando o valor dos ativos cai abaixo da dívida. Vasicek (2002) simplificou essa intuição contínua para um modelo de um período, no qual cada tomador carrega uma variável latente y_i, interpretável como retorno normalizado dos ativos ou índice de capacidade de crédito. Um fator sistêmico Z e um choque idiossincrático ε_i, ambos normais padrão, compõem y_i linearmente:

O default do tomador i ocorre quando y_i cruza um limiar K_i. Como as variáveis são normais padrão, a calibração do limiar sai da relação E[𝟙_yi≤Ki] = p_i, que leva diretamente a K_i = Φ^-1(p_i). Essa construção tem a vantagem de ser endógena. Default é consequência de um mecanismo (ativos cruzarem dívida) e não apenas um evento atribuído de fora. CreditMetrics (GUPTON; FINGER; BHATIA, 1997) generaliza a lógica para múltiplos fatores e múltiplos estados de rating, usando cópula gaussiana e matriz de transição histórica para construir os limiares.

As duas tradições podem chegar a distribuições de perda parecidas, embora contem histórias diferentes sobre o que está acontecendo. Gordy (2000) mostra que existe um mapeamento formal entre elas sob certas condições. Para o leitor que precisa escolher, a diferença concreta está menos no comportamento estatístico e mais no tipo de dado disponível: mixture dispensa dados de balanço e lida bem com tomadores sem ações negociadas, enquanto threshold se beneficia de informação sobre ativos e pode incorporar migração de rating de forma natural. A abordagem IRB regulatória segue a lógica threshold de um fator, e é por esse caminho que seguimos aqui.

A mecânica do threshold de um fator

Construir o índice y_i exige uma escolha difícil: quanto da sorte do tomador é dele, e quanto é da economia. No caso de um único fator, a resposta aparece em uma decomposição simples:

O choque Z é comum a todos os tomadores; ε_i é específico do tomador i. O parâmetro α_i controla o peso sistêmico: α_i = 0 reduz o modelo ao caso independente; α_i = 1 elimina a parcela idiossincrática. A raiz quadrada garante que ΔX_i continue com variância unitária, de modo que o limiar de default permanece calibrado por Φ^-1(p_i).

Bolder (2022) escreve a versão mais geral dessa ideia partindo de uma equação diferencial estocástica para o índice de capacidade de crédito, discretizando o tempo e acomodando múltiplos fatores sistêmicos. O índice incremental entre t e t+1 fica:

O vetor B_i tem dimensão J e carrega as cargas normalizadas do tomador i nos J fatores sistêmicos; Δz é o vetor de choques sistêmicos correlacionados, de dimensão J; Δw_i é o choque idiossincrático, normal padrão e independente tanto entre tomadores quanto do vetor Δz. A normalização B_iΩB_i^T = 1 preserva a mesma lógica do caso de um fator: ΔX_i ∼ 𝒩(0,1), e o limiar continua sendo Φ^-1(p_i).

No caso de um único fator sistêmico, a correlação de ativos entre dois tomadores n e m fica:

A fórmula IRB de Basileia II se apoia nesse mesmo núcleo de fator único assintótico (Asymptotic Single Risk Factor, ASRF), como mostram Gordy (2003) e o Comitê de Basileia (BCBS, 2005). A Resolução BCB 303/2023 não cita Vasicek nominalmente, mas adota a mesma forma funcional da abordagem IRB. O fator K (exigência de capital por unidade de exposição) é calculado com N, N^-1, PD, LGD e um fator de correlação R aplicado ao quantil 99,9% do fator sistêmico. No modelo de um fator, esse R ocupa o mesmo papel de α_i², isto é, a correlação de ativos regulatória. No regime brasileiro, R depende da categoria de exposição e, em vários casos, também da PD. Para atacado, por exemplo, a curva-base se move entre 0,12 e 0,24. Para exposições residenciais de varejo, R é 0,15. Para crédito rotativo de varejo qualificado, R é 0,04. Nesse caso, a decomposição em parte sistêmica e idiossincrática vira objeto regulatório calibrável.

Como α_i entra ao quadrado na correlação, α_i = 0,30 corresponde a uma correlação de ativos de 0,09. Esse valor fica ligeiramente abaixo da curva-base de atacado da fórmula IRB brasileira, mas permanece na mesma ordem de grandeza dos parâmetros regulatórios usuais. É esse o valor usado nos resultados numéricos a seguir, como benchmark didático, não como calibração regulatória.

Implementação em Julia

A estrutura acima se traduz em Julia de forma quase literal. O modelo independente se resume a sortear I Bernoullis iid por simulação e somar as perdas. Usamos Distributions.jl para as distribuições e Random para reprodutibilidade.

O modelo threshold de um fator exige um passo adicional. Em cada simulação, sorteamos um valor de Z, construímos os ΔX_i como combinação linear ponderada, e comparamos com o limiar K_i = Φ^-1(p_i) para definir se o tomador quebrou. Como K_i depende apenas de p_i, ele é pré-calculado. O parâmetro α controla a intensidade do acoplamento sistêmico.

Os dois códigos diferem apenas na forma como o vetor de defaults é gerado em cada iteração. A função simulate_threshold precisa sortear o choque sistêmico Z antes de compor os ΔX_i, e é essa dependência comum que transforma o comportamento da cauda. Para o leitor interessado na implementação completa, com acesso ao gerador usado nos gráficos abaixo e às rotinas de agregação, há um repositório com os dois modelos e as rotinas de visualização: pq_bolder_cap2 (procurar em parte1).

O que a cauda mostra

Rodando ambos os modelos com I = 100 tomadores, PD = 1%, LGD = 40%, exposição unitária e 10⁶ simulações, obtemos as distribuições de perda esperadas. A perda média é 0,40 nos dois modelos, porque só depende de PD, LGD e exposição, mas o resto da distribuição diverge. A Tabela 2 resume as métricas de cauda para α = 0,30.

A média é a mesma por construção, o que era esperado, porque ambos os modelos respeitam p_i como PD marginal. O desvio-padrão já cresce 34% no modelo threshold, porque agora existe uma fonte adicional de variabilidade (o fator sistêmico Z). Onde a diferença fica economicamente relevante é nos quantis extremos. O VaR a 99% sobe 50%, VaR a 99,9% sobe 80%, VaR a 99,97% (quantil usado como referência por Bolder para stress severo) sobe 83%. O ES a 99%, medida de perda média condicional além do VaR, sobe de 1,69 para 2,81. Nenhuma dessas diferenças vem da calibração de PD ou LGD. Vêm exclusivamente de assumir ou não que os defaults compartilham um estado da economia comum.

O experimento da diversificação, que no modelo independente faz o VaR convergir para a média, tem desfecho oposto no threshold. Fixando α = 0,30 e variando o tamanho da carteira, observa-se que a razão VaR 99% / E[L] permanece em torno de 4,5 mesmo com I = 2 mil tomadores, enquanto no modelo independente essa razão cai abaixo de 1,6 já em I = 2 mil e tende a 1 com I ainda maior.

Esses números separam dois tipos de risco que o modelo independente misturava mal. O risco de crédito idiossincrático pode ser diluído aumentando o número de tomadores, enquanto o risco sistêmico, por atingir toda a carteira simultaneamente, não se reduz por esse caminho. No limite de carteira infinita e um único fator, a perda condicional E[L|Z] tem forma fechada (VASICEK, 2002) e compõe o bloco central da fórmula IRB. O cálculo regulatório avalia a perda condicional em um cenário sistêmico adverso, subtrai a perda esperada e incorpora ajustes adicionais, como maturidade. Gordy (2003) formaliza esse resultado por meio da portfolio invariance. Sob hipóteses restritivas, um modelo ASRF permite uma regra de capital aditiva para carteiras grandes e granulares, ao passo que extensões como mais fatores, não gaussianidade e concentração ficam fora dessa simplificação de Pilar 1 e precisam ser tratadas no Pilar 2/ICAAP.

Encerramento

Entre o modelo binomial dos anos 80 e a forma final do Vasicek, a mudança conceitual passa por reconhecer que defaults dependem de um estado da economia comum, escolher entre randomizar a probabilidade (mixture) ou randomizar o estado do tomador (threshold), e aceitar a suposição gaussiana como forma conveniente de implementar o acoplamento. Daí surge um modelo pequeno o bastante para caber em cem linhas de Julia, mas capaz de produzir distribuições de perda com caudas plausíveis e de dialogar diretamente com a regra de capital que aparece na supervisão bancária.

A hipótese de independência era o primeiro problema, e o modelo de um fator responde a ela ao colocar todos os tomadores sob o mesmo estado da economia. Essa solução, no entanto, depende de outra escolha forte, pois a normalidade conjunta é o que permite transformar uma correlação de ativos em distribuição de perdas de forma tão direta.

A normalidade conjunta torna o modelo tratável porque conecta PD, limiar de default e correlação de ativos em uma única construção probabilística, mas também impõe uma restrição importante sobre os extremos. Para correlação menor que 1, a cópula gaussiana tem dependência de cauda nula, de modo que, condicionada a um tomador estar em um quantil cada vez mais extremo, a probabilidade de outro tomador acompanhar esse mesmo evento extremo tende a zero. Isso não significa que a probabilidade conjunta seja igual ao produto das PDs em níveis finitos, e sim que a cópula não preserva co-movimento extremo no limite.

MacKenzie e Spears (2014) documentaram como essa propriedade silenciosa contribuiu para a subprecificação do risco de tranches sêniores de CDOs nos anos que antecederam 2008. A literatura respondeu migrando para cópulas com dependência de cauda não-nula, sendo a cópula t a escolha mais comum em produção. Depois de abandonar a independência, a pergunta natural deixa de ser se os tomadores dependem de um fator comum e passa a ser se a dependência gaussiana continua adequada justamente na região em que o capital econômico é definido, a cauda da distribuição de perdas.

Referências

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A predição conformal (conformal prediction) é um arcabouço alternativo que parte de um ponto distinto. Em vez de fazer suposições sobre a forma da distribuição, parte da única premissa de intercambialidade (exchangeability) das observações, e a partir dela deriva uma garantia formal. A probabilidade de o valor verdadeiro Y_n+1 cair dentro do conjunto de previsão C(X_n+1) é maior ou igual a 1 − α, sem qualquer suposição adicional sobre a distribuição dos dados.

O ponto que torna a predição conformal especialmente interessante para o quant é que ela é agnóstica ao modelo subjacente. Pode-se acoplá-la a uma regressão linear, a um random forest, a uma rede neural profunda ou a um gradient boosting sem alterar a garantia de cobertura. O modelo continua sendo um estimador de ponto, e a predição conformal o converte em previsor com cobertura garantida em amostra finita, sob a condição de intercambialidade.

Este artigo abre uma série dedicada a aplicações de predição conformal em finanças quantitativas. A questão central é distinguir o que a garantia conformal realmente promete do que ela não promete. Para o quant, isso significa olhar separadamente para cobertura marginal, eficiência do intervalo, diagnóstico condicional e quebra de intercambialidade em séries financeiras. A predição conformal não elimina risco de modelo, mas transforma parte da incerteza preditiva em uma afirmação testável de cobertura, com premissas explícitas e custo computacional controlado.

Origens na escola russa

A escola de pensamento que produziu a predição conformal tem raízes mais antigas, na tradição russa de Andrei Kolmogorov sobre complexidade algorítmica e aleatoriedade. Desde os anos 1960, essa linhagem priorizou garantias finitas e independentes da forma da distribuição, em contraste com o foco assintótico-paramétrico que dominou a estatística ocidental. Per Martin-Löf, aluno sueco de Kolmogorov, formalizou aleatoriedade via testes algorítmicos, e essa noção de “teste de tipicidade” é o ancestral direto do p-valor conformal. Vladimir Vapnik, da mesma escola, cunhou a teoria de Vapnik-Chervonenkis (VC) e o pensamento distribution-free em aprendizado. Sua migração para a Bell Labs nos anos 1990 levou a teoria VC para o Ocidente, mas o conformal não foi junto. Vovk e Gammerman emigraram para Royal Holloway, em Londres, e ali, com Shafer (Rutgers), formularam a predição conformal a partir do final dos anos 1990, em relativo isolamento do mainstream estatístico. O programa avançou em paralelo ao projeto Shafer-Vovk de probabilidade game-theoretic, que dá ao conformal um fundamento alternativo via teoria de jogos e apostas, e foi consolidado no livro Algorithmic Learning in a Random World (VOVK et al., 2022, com primeira edição em 2005).

Por mais de uma década o método circulou em comunidades restritas, sobretudo em diagnóstico médico, enquanto a estatística e o aprendizado de máquina ocidentais estavam ocupados com teoremas assintóticos, o boom bayesiano via Markov Chain Monte Carlo (MCMC) nos anos 1990, bootstrap à la Efron e, mais tarde, deep learning sem incerteza calibrada. A virada veio em 2018, com o trabalho de Lei, Wasserman e Tibshirani na Carnegie Mellon traduzindo o conformal para a linguagem da estatística aplicada de regressão (LEI et al., 2018), e na sequência com a popularização via tutoriais modernos (ANGELOPOULOS; BATES, 2023). O encontro com problemas de incerteza em modelos black-box tornou o conformal a peça que faltava no arsenal ocidental.

Intercambialidade como única premissa

A predição conformal só impõe uma premissa sobre os dados, e essa premissa é mais fraca que a tradicional hipótese de observações independentes e identicamente distribuídas. Uma sequência (Z₁, Z₂, ..., Z_n+1) é dita intercambiável quando sua distribuição conjunta é invariante sob qualquer permutação dos índices. Toda sequência i.i.d. é intercambiável, mas a recíproca não vale.

Intercambialidade (paráfrase de Vovk et al., 2022).

Uma sequência (Z₁, ..., Z_n+1) é intercambiável se e somente se P(Z_π(1), ..., Z_π(n+1)) = P(Z₁, ..., Z_n+1) para toda permutação π dos índices {1, ..., n+1}. Independência implica intercambialidade, mas a recíproca não vale.

O exemplo canônico de sequência intercambiável e não i.i.d. é a amostragem sem reposição de uma urna finita. Considere uma urna com 2 bolas vermelhas e 2 azuis, da qual se retiram 2 bolas sem reposição. Na primeira extração, P(vermelha) = 1/2. Se a primeira bola foi vermelha, a probabilidade de vermelha na segunda cai para 1/3. Se a primeira foi azul, sobe para 2/3. As extrações, portanto, não são independentes. Ainda assim, a sequência é intercambiável, porque observar (vermelha, azul) tem a mesma probabilidade que observar (azul, vermelha): em ambos os casos, 1/3. A ordem carrega dependência, mas a distribuição conjunta não favorece uma posição específica. É essa distinção que permite usar predição conformal em alguns problemas não independentes, mas não em qualquer série financeira sem adaptação.

Retornos diários de um ativo não são i.i.d., porque a distribuição muda com o regime de volatilidade, liquidez e condições macrofinanceiras. Em vários cenários de risco de crédito, contudo, em que cada cliente é uma observação cross-section, intercambialidade é uma premissa razoável dentro de um grupo homogêneo. A mesma observação vale para classificação de imagens com dados independentes de um banco de fotos, ou para amostras de pesquisas de campo coletadas em uma janela temporal estreita.

Em séries temporais financeiras, intercambialidade falha sistematicamente, e parte da literatura recente em predição conformal trata de como recuperar garantias mesmo nesse cenário. Há propostas para redes neurais recorrentes sob intercambialidade mínima entre trajetórias independentes (STANKEVIČIŪTĖ et al., 2021), cobertura sob não intercambialidade com termo de erro proporcional à variação total entre distribuições de treino e teste (BARBER et al., 2023), e reponderação por razão de verossimilhanças em covariate shift (TIBSHIRANI et al., 2019). Esses resultados não são objeto deste artigo introdutório, mas delimitam a fronteira estatística que precisa ser respeitada em aplicações financeiras.

Para o caso intercambiável, a garantia é exata em amostra finita (finite-sample). Isso significa que ela vale para o tamanho de amostra observado, sem depender de aproximações assintóticas quando n tende ao infinito. Não se invocam grandes números, não se invocam teoremas centrais do limite, não se invocam expansões assintóticas.

Função de não conformidade e p-valor conformal

A construção de um previsor conformal começa pela definição de uma função de não conformidade (nonconformity score). É uma função simétrica A que recebe um conjunto de observações de calibração {z₁, ..., z_n} e um candidato z_n+1, e retorna um valor α_n+1 ∈ ℝ que mede o quão estranho o candidato parece em relação ao conjunto. Quanto maior α_n+1, menos conforme.

O escore canônico em regressão é o resíduo absoluto. Dado um estimador f̂ ajustado em dados de treino, define-se

Em classificação, o escore canônico é um menos a probabilidade prevista para a classe verdadeira:

Outras funções são possíveis, e a escolha tem consequências sobre a eficiência do previsor (largura do intervalo), embora não sobre sua validade (cobertura). A partir dos escores de calibração α₁, ..., α_n e do escore hipotético α_n+1 que o candidato teria se incluído no conjunto, define-se o p-valor conformal:

Se z_n+1 vem da mesma distribuição do conjunto de calibração, sob intercambialidade o rank de α_n+1 entre os demais escores é uniformemente distribuído em {1, 2, ..., n+1}. Daí p_n+1 distribui-se de forma super-uniforme em {1/(n+1), ..., (n+1)/(n+1)}, atuando como p-valor genuíno para a hipótese de que o candidato pertence à mesma distribuição que os dados de calibração (SHAFER; VOVK, 2008; VOVK et al., 2022).

O conjunto de previsão conformal de nível 1 − α é definido como o conjunto de candidatos cujo p-valor excede α:

O p-valor conformal pode ser lido como uma regra de ranking. Primeiro se escolhe uma medida de não conformidade, como erro absoluto em regressão ou 1 menos a probabilidade atribuída à classe verdadeira em classificação. Depois se fixa α e se testa uma sequência de candidatos y. Cada candidato entra no conjunto se seu p-valor conformal for maior que α. O conjunto final é apenas a coleção dos candidatos aceitos.

Considere um exemplo unidimensional com previsão pontual igual a zero, escore s(y) = |y − 0|, α = 0,10 e nove escores de calibração: 0,02, 0,03, 0,04, 0,05, 0,06, 0,07, 0,08, 0,09 e 0,10. O candidato y = 0,10 tem escore 0,10. Dois dos dez escores no conjunto aumentado são pelo menos tão extremos quanto ele, o próprio candidato e o ponto de calibração 0,10, então p(y) = 2/10 = 0,20 e o candidato entra. Já y = 0,125 tem escore 0,125. Só o próprio candidato é tão extremo quanto ele, então p(y) = 1/10 = 0,10. Como a regra usa p(y) > α, esse candidato fica fora. Repetindo essa comparação para uma grade de valores, forma-se o conjunto conformal.

Ao longo do laço, apenas o candidato y varia. A previsão pontual ŷ = f̂(x), o nível α e os escores de calibração permanecem fixos durante toda a construção do conjunto. Como o escore s(y) = |y − ŷ| cresce monotonicamente com a distância de y a ŷ, p(y) decresce no mesmo movimento. Atinge o máximo p(ŷ) = 1,00 no ponto em que todos os escores de calibração são pelo menos tão extremos quanto o do candidato, e cai ao piso 1/(n + 1) = 0,10 quando o escore do candidato excede o maior escore de calibração. A regra p(y) > α corta o conjunto exatamente nesse limiar. Entram os candidatos com escore menor ou igual ao maior escore de calibração, e os demais ficam fora.

O intervalo [-0,10, 0,10] formado pelos candidatos aceitos é o conjunto conformal C_α(x) deste exemplo. Reúne todos os valores de y compatíveis com os escores de calibração ao nível α = 0,10, e é a saída efetiva do procedimento para o ponto de teste x. A garantia de cobertura formaliza essa intuição.

A garantia de cobertura segue diretamente:

Por intercambialidade, o rank de α_n+1 entre α₁, ..., α_n+1 é uniforme em {1, ..., n+1}, então a probabilidade de α_n+1 exceder o quantil 1 − α dos demais é no máximo α (ANGELOPOULOS; BATES, 2023). Com escores quase certamente distintos, a cobertura também tem cota superior P(·) ≤ 1 − α + 1/(n+1), de modo que a garantia é apertada.

O α conformal e o α de teste de hipótese são notações idênticas com objetos diferentes. Na inferência clássica, α é a probabilidade de cometer erro tipo I, ou seja, rejeitar uma hipótese nula quando ela é verdadeira. Na predição conformal, α é a taxa de erro preditivo marginal, ou seja, a restrição de que a probabilidade de o conjunto C_α(x) não conter a verdadeira resposta Y_n+1 fique limitada a α. A garantia P(Y_n+1 ∈ C_α(X_n+1)) ≥ 1 − α é, portanto, uma cota sobre a frequência com que o conjunto preditivo erra, não sobre a frequência com que rejeitamos uma hipótese verdadeira sobre um parâmetro.

O mesmo descompasso aparece no p-valor. Em testes clássicos, ele mede evidência contra uma afirmação sobre um parâmetro populacional fixo, sob amostragem repetida da distribuição que se hipotetiza. O p-valor conformal testa hipótese diferente, a de que o par candidato (X_n+1, y) é intercambiável com as observações do conjunto de calibração. A estatística de teste é o ranqueamento da estranheza do candidato, medida por um escore de não-conformidade, em relação aos demais (SHAFER; VOVK, 2008). Sob intercambialidade e quando o candidato vem da mesma distribuição que os dados, esse p-valor é super-uniforme em [0, 1] e, portanto, válido em sentido frequentista. Um p-valor clássico pequeno empurra para rejeitar uma teoria sobre o mundo, enquanto um p-valor conformal pequeno empurra para excluir um valor candidato do conjunto de previsão.

A confusão de maior consequência, contudo, é entre o conjunto C_α(x) e os intervalos clássicos de inferência. Intervalos de confiança (frequentistas) e intervalos de credibilidade (bayesianos) quantificam incerteza sobre estimativas de parâmetros inobserváveis de uma distribuição, como a média μ, os coeficientes β de uma regressão ou a volatilidade σ de um modelo. O IC tem interpretação no procedimento, que cobre o parâmetro desconhecido com frequência ≥ 1 − α em amostragem repetida. O intervalo de credibilidade tem interpretação direta como probabilidade posterior sobre o parâmetro, dado o que foi observado. O conjunto conformal C_α(x) é objeto de natureza diferente, um conjunto de predição, com garantia de cobertura sobre uma variável aleatória observável futura Y_n+1. IC e credibilidade falam sobre quantidades inerentes à distribuição, que não serão observadas diretamente e apenas inferidas, enquanto C_α(x) fala sobre uma realização futura da própria variável aleatória, que se materializa amanhã. Confundir os três é o erro mais comum de primeira leitura. Relatar um intervalo de credibilidade no lugar de um conjunto de previsão muda a tese sobre a qual o número se sustenta.

Predição transdutiva e indutiva

A formulação acima descreve o que se chama predição conformal transdutiva (Transductive Conformal Prediction, TCP), também conhecida como full conformal prediction. Para cada candidato y a ser testado, é necessário recalcular os escores de todo o conjunto incluindo (x_n+1, y), o que em muitos casos exige reajustar o modelo. Em regressão com candidatos contínuos, a inclusão é tipicamente conduzida sobre uma grade de valores, e o custo escala como O(n × |grade|) ajustes do modelo subjacente. Para gradient boosting ou redes neurais profundas, o custo torna-se proibitivo.

A solução padrão é a predição conformal indutiva (Inductive Conformal Prediction, ICP), também chamada split conformal prediction. Os dados são particionados em três conjuntos disjuntos, em que D_train é usado para ajustar f̂ uma única vez, D_cal para calcular os escores de calibração α_i = s(x_i, y_i, f̂), e D_test fica reservado para avaliação. O quantil empírico

é então usado para construir o conjunto de previsão para qualquer ponto de teste:

A garantia P(Y_n+1 ∈ C_α(X_n+1)) ≥ 1 − α permanece válida pelo mesmo argumento de intercambialidade do regime transdutivo, agora condicionado a f̂: como o modelo é estimado apenas em D_train, os escores em D_cal ∪ {teste} permanecem intercambiáveis condicionalmente a f̂, e o rank de α_n+1 é uniforme em {1, ..., n_cal + 1}. A formulação original do método indutivo está em PAPADOPOULOS et al. (2002), com extensão para regressão e prova explícita em LEI et al. (2018), e exposição didática em ANGELOPOULOS; BATES (2023). A inferência custa apenas um forward pass do modelo por ponto de teste. Em conjuntos de dados grandes, a perda de eficiência face ao TCP é desprezível, e em troca obtém-se um custo computacional que não escala com o tamanho do conjunto de treino. O regime ICP é o que se usa em praticamente toda a literatura aplicada de predição conformal pós-2018, incluindo regressão quantílica conformalizada (Conformalized Quantile Regression, CQR), intervalos conformais por ensemble (Ensemble Batch Prediction Intervals, EnbPI), inferência conformal adaptativa (Adaptive Conformal Inference, ACI), conjuntos preditivos adaptativos (Adaptive Prediction Sets, APS) e conjuntos preditivos adaptativos regularizados (Regularized Adaptive Prediction Sets, RAPS).

Validade marginal e validade condicional

A garantia conformal é forte porque independe da forma da distribuição, mas é mais estreita do que parece à primeira leitura. Ela controla cobertura média, não cobertura ponto a ponto nem estabilidade temporal. A garantia P(Y ∈ C_α(X)) ≥ 1 − α é uma afirmação sobre a média da cobertura ao longo da distribuição conjunta de (X, Y). É chamada cobertura marginal, e não é equivalente a cobertura condicional, que exigiria P(Y ∈ C_α(X) | X = x) ≥ 1 − α para todo x no suporte. Um previsor com cobertura marginal de 90% pode subcobrir gravemente em subgrupos minoritários e supercobrir em grupos abundantes, mantendo a média correta.

Em risco de crédito, um modelo de probabilidade de default (PD) calibrado conformalmente pode ter cobertura marginal correta, e ainda assim subcobrir clientes de uma faixa específica de escore ou de uma região geográfica subrepresentada. Em gestão de risco regulatório, em que a tese é justamente a confiabilidade da incerteza, isso não é detalhe. A pergunta natural é se há um caminho construtivo para cobertura condicional exata sem premissas adicionais, e a resposta é negativa.

Impossibilidade de cobertura condicional exata sem premissas distribucionais (paráfrase de Barber et al., 2021, generalizando Lei e Wasserman, 2014).

Qualquer método que entregue cobertura condicional P(Y ∈ C(x) | X = x) ≥ 1 − α uniforme sobre toda distribuição P contínua produz intervalos de comprimento esperado infinito em pontos não atômicos do suporte. Em ambiente sem premissas distribucionais (distribution-free), cobertura condicional exata e largura finita são incompatíveis.

A saída pragmática é abandonar a exigência uniforme e impor cobertura condicional apenas em uma partição predefinida do espaço de atributos. Essa é a ideia do Mondrian conformal predictor, proposta por Vovk no início dos anos 2000 e tratada em detalhe no livro de 2022. Em vez de calibrar com um único quantil sobre D_cal, calibram-se quantis separados para cada bloco da taxonomia, de modo que se obtém cobertura ≥ 1 − α por bloco, à custa de exigir calibração suficiente dentro de cada um. Em risco de crédito, a partição natural é por faixa de rating, ao passo que em séries temporais ela pode ser por regime de volatilidade e em classificação por classe.

A literatura recente vem refinando o equilíbrio entre cobertura marginal e cobertura condicional. Romano, Barber, Sabatti e Candès (2020) propõem equalized coverage como extensão do Mondrian sob restrições de imparcialidade algorítmica. O ponto que importa para o quant é menos a sofisticação do método e mais o reconhecimento de que reportar apenas a cobertura marginal não basta. É necessário diagnosticar a cobertura empírica em subgrupos críticos antes de declarar o modelo apto para decisão.

Eficiência e a escolha do escore

A garantia de cobertura é robusta no sentido de valer para qualquer função de escore válida. Mas isso não significa que toda escolha produza intervalos úteis. A largura média do intervalo, a chamada eficiência, depende fortemente da função adotada.

Considere o caso de regressão com resíduo absoluto α_i = |y_i − f̂(x_i)|. Se a variância condicional Var(Y | X = x) é aproximadamente constante, esse escore funciona bem. Em finanças, contudo, a heterocedasticidade é regra. A volatilidade depende do nível de mercado, do regime e da liquidez. Um escore baseado em resíduo absoluto produz intervalos de largura constante, que serão excessivamente largos em períodos calmos e estreitos demais em períodos turbulentos. A cobertura marginal de 1 − α é mantida por construção, mas a cobertura condicional varia com o regime.

A solução proposta por Romano, Patterson e Candès é a CQR. Em vez de usar resíduo absoluto, a função de escore é construída a partir de quantis condicionais q̂_α/2(x) e q̂_1−α/2(x) estimados por regressão quantílica (ROMANO et al., 2019):

A construção mantém a validade marginal, porque o escore é simétrico nos dados de calibração, e adapta a largura do intervalo localmente. Empiricamente, em benchmarks de Romano, Patterson e Candès, a largura média cai cerca de 30 a 40% em problemas heterocedásticos sem perda de cobertura (ROMANO et al., 2019). Essa família de métodos é uma das extensões naturais quando a aplicação exige intervalos menos rígidos que os produzidos por resíduos absolutos.

A validade vem da intercambialidade, mas a eficiência exige cuidado na escolha do escore. Um previsor conformal mal especificado entrega cobertura correta com intervalos largos demais para serem informativos. Em finanças quantitativas, em que decisões de risco se traduzem em alocação de capital regulatório e em precificação, a largura do intervalo importa tanto quanto a cobertura.

Onde a predição conformal encaixa no arsenal do quant

A predição conformal não substitui modelos paramétricos, bootstrap, regressão quantílica ou inferência bayesiana. Ocupa um espaço distinto no arcabouço estatístico do quant. A tabela abaixo sumariza as quatro alternativas dominantes para construção de intervalos de previsão e suas propriedades teóricas.

A complementaridade entre predição conformal e inferência bayesiana é particularmente interessante. Trabalhos recentes usam o arcabouço conformal para calibrar conjuntos de credibilidade bayesianos ex post, recuperando validade frequentista quando o modelo está mal especificado. Predição conformal funciona como diagnóstico e como correção, e não como concorrente direto da abordagem bayesiana.

Em aplicações em finanças quantitativas, alguns pontos de apoio na literatura merecem registro. Em risco de crédito, a linha de Venn-ABERS predictors estabelece base metodológica para calibração probabilística de PD com garantia de validade. Em séries temporais financeiras, ACI foi aplicado à volatilidade do mercado de ações com robustez à crise de 2008 (GIBBS; CANDÈS, 2021). EnbPI combina ensemble bootstrap conformal sem partição dos dados para previsão de séries dinâmicas (XU; XIE, 2021). Em mercados de energia, intervalos conformais foram aplicados a preços de eletricidade no mercado day-ahead, em comparação com Quantile Regression Averaging tradicional (KATH; ZIEL, 2021).

A aplicação de predição conformal em risco regulatório, sobretudo no contexto de IFRS 9 (PD prospectiva para expected credit loss), Basileia III/IV (validação de modelos) e stress tests, ainda parece menos consolidada que os usos em regressão, classificação e séries temporais. O melhor enquadramento, nesse estágio, é tratar CP como ferramenta de validação, diagnóstico e construção de intervalos, não como padrão regulatório estabelecido.

Conclusão

A predição conformal entrega uma proposição peculiar dentro do arsenal estatístico do quant. Cobertura 1 − α exata em amostra finita, sem assumir nada sobre a distribuição dos dados além de intercambialidade. A garantia é robusta no sentido matemático estrito, e o método é indiferente ao modelo subjacente. Random forest, gradient boosting, rede neural profunda, regressão linear ou regressão quantílica recebem todos o mesmo tratamento. O custo computacional, no regime ICP que dominou a literatura aplicada pós-2018, é equivalente a um forward pass adicional por ponto de teste.

A premissa de intercambialidade é mais fraca que i.i.d., mas continua sendo uma hipótese, e quebrá-la em séries temporais ou sob covariate shift exige extensões metodológicas como predição conformal sob não intercambialidade (Non-Exchangeable Conformal Prediction, NEx-CP), ACI, EnbPI e predição conformal ponderada (weighted CP). Para o quant brasileiro, o ponto crítico é o uso da predição conformal como instrumento de diagnóstico de risco de modelo. Há vários problemas em que a estrutura conformal entrega algo que o arsenal anterior não entregava com a mesma simplicidade, como calibração honesta de PD sob IFRS 9, intervalos de VaR que não dependam de normalidade dos retornos e conjuntos de previsão para classificação de regime que sinalizem dúvida do modelo em vez de mascará-la.

Cobertura marginal não basta. A literatura é unânime em recomendar o reporte do histograma de coberturas condicionais por subgrupo, e o uso de Mondrian CP quando a partição relevante for conhecida. O tratamento conjunto de validade marginal e diagnóstico condicional é o que separa um uso ingênuo do método de um uso defensável em ambiente regulatório.

Os próximos artigos desta série levarão essa estrutura para problemas concretos de finanças quantitativas, mantendo a mesma pergunta de fundo. Quando a garantia é útil, quando ela se degrada, que diagnóstico empírico revela a degradação e como a escolha do escore muda a utilidade do intervalo ou do conjunto de previsão. O caminho natural passa por regressão, séries temporais, calibração probabilística e classificação, mas a ordem e o recorte de cada aplicação dependem do problema empírico que se mostrar mais informativo. Para o leitor que quiser uma referência aplicada estendida em paralelo, o livro de Manokhin é o ponto de partida natural (MANOKHIN, 2023).

A predição conformal não resolve o problema de modelagem em finanças quantitativas, e nenhum método estatístico resolve. O que ela faz é colocar a quantificação de incerteza sobre fundação rigorosa, com garantia formal e custo computacional baixo. Para quem precisa entregar um número de risco com a defesa de uma cobertura garantida sob premissas explícitas, isso é base sólida.

Referências

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Naquela feira havia um concurso corriqueiro. Por seis pence, qualquer pessoa comprava um bilhete e palpitava o peso, em libras, de um animal já abatido e limpo. Açougueiros e fazendeiros participaram ao lado de balconistas, sapateiros e curiosos sem nenhum contato com gado. Galton viu ali a oportunidade perfeita para documentar, com números, a incompetência coletiva que pressupunha.

Após o concurso, ele obteve 787 bilhetes válidos (dos cerca de oitocentos emitidos, treze estavam ilegíveis) e calculou as estatísticas centrais da distribuição de palpites. O peso real do animal era 1.197 libras. A mediana dos palpites, segundo Galton, foi 1.207 libras, um erro de menos de 1%. Uma reanálise moderna das planilhas manuscritas, publicada por Wallis (2014), mostrou que a média aritmética dos 787 palpites coincide exatamente com as 1.197 libras do peso real. A multidão havia acertado com precisão microscópica, e o elitista Galton publicou a contragosto o artigo Vox Populi na Nature (GALTON, 1907).

O que Galton não tinha vocabulário para enunciar em 1907, mas sua amostra ilustrou, é uma identidade algébrica que hoje sustenta tradições aparentemente distintas de finanças quantitativas. Aparece em Random Forests treinadas para credit scoring, em portfólios sistemáticos de centenas de sinais fracos (weak alphas) e, mais recentemente, em arquiteturas Mixture of Experts usadas para processar texto financeiro em modelos de linguagem. Este artigo percorre o fio matemático comum e mostra, em Julia, por que o gado de Plymouth e um ensemble de 500 árvores de decisão são manifestações do mesmo princípio.

A identidade que Galton não escreveu

O concurso de Plymouth tinha 787 bilhetes, enquanto um modelo de credit scoring moderno tem milhões de árvores de decisão. Mesmo assim, a álgebra que liga os dois é a mesma, e cabe em duas linhas. Seja θ o valor verdadeiro da quantidade estimada (o peso do animal, o retorno futuro de uma ação, a probabilidade de default) e sejam c₁, c₂, …, cₙ as estimativas individuais dos n integrantes da multidão. A estimativa coletiva, por média simples, é c̄ = (1/n) Σ cᵢ.

Scott Page formalizou em 2007 o que chamou de Diversity Prediction Theorem (PAGE, 2007), uma identidade exata em erro quadrático:

Diversity Prediction Theorem (PAGE, 2007, paráfrase). O erro do coletivo, medido em desvio quadrático, é igual ao erro médio individual menos a diversidade preditiva do grupo (dispersão dos palpites em torno de sua média). A identidade é puramente algébrica, vale para qualquer amostra finita e independe de hipótese estatística sobre os palpiteiros.

O que essa identidade de duas linhas diz, lido com calma, é desconcertante. O erro coletivo nunca é maior que o erro individual médio, porque a diversidade é não-negativa e essa parcela só pode subtrair. E quando os palpites individuais se distribuem para os dois lados de θ com intensidades parecidas, a parcela de diversidade chega a absorver quase toda a parcela de erro, e o erro coletivo colapsa para perto de zero. O grupo não precisa de gênios, precisa de erros que se cancelam.

O Teorema do Júri de Condorcet, de 1785, já apontava nessa direção em contexto binário: se cada juiz tem probabilidade p > 0,5 de acertar e os julgamentos são independentes, a probabilidade de a maioria acertar tende a 1 quando o júri cresce. Page formalizou a versão contínua. Breiman (1996), dois séculos após Condorcet, reescreveu o mesmo princípio no vocabulário da decomposição bias-variância em ensembles de preditores:

Aqui σ² é a variância de cada preditor individual, ρ é a correlação média entre preditores e M é o tamanho do ensemble. Com ρ = 0 (independência perfeita), a variância cai com 1/M e o limite é zero. Com ρ > 0, existe um piso irremovível em ρσ², de modo que por mais modelos que se agregue, a variância residual não desce abaixo dele. A correlação entre preditores é, portanto, o inimigo estrutural da agregação. A proeza de Galton só foi possível porque os 787 palpites, feitos sem conversa prévia, eram aproximadamente descorrelacionados.

Reproduzindo Plymouth em Julia

Para tornar a identidade de Page concreta antes de migrar para finanças, simulamos 787 palpites em torno do peso verdadeiro, com ruído gaussiano de desvio-padrão 75 libras (calibração consistente com a dispersão de ±10% que Galton observou na amostra original). O código completo está no repositório pq_galton_ensemble.

Os resultados da simulação, com semente fixa, reproduzem qualitativamente o achado de 1906.

O erro coletivo (0,13 libras²) é 42 mil vezes menor que o erro médio individual (5.673 libras²). A diferença é absorvida pela diversidade preditiva, exatamente como a identidade de Page prevê. Note que nem a média nem a mediana precisam ser especialmente boas. O que importa é que os palpites individuais se distribuam de forma aproximadamente simétrica em torno de θ, com erros que se cancelam na agregação.

Bagging em finanças quantitativas

O leitor que conhece machine learning já viu para onde isso vai. Leo Breiman publicou em 2001 o artigo que batizou os Random Forests (BREIMAN, 2001), combinando duas ideias simples: o bagging de 1996 (que constrói cada árvore sobre uma réplica bootstrap do conjunto de treino) e a amostragem aleatória de atributos em cada split. Individualmente, cada árvore é um preditor fraco, tipicamente com viés baixo e variância alta. Coletivamente, agregadas por média (regressão) ou voto (classificação), tornam-se um dos benchmarks mais robustos da literatura empírica em aprendizado de máquina.

O bound de generalização que Breiman deriva captura o princípio de Page em forma operativa:

Onde s é a força média das árvores (margem esperada entre a classe correta e a mais próxima competidora) e ρ̄ é a correlação média entre as funções margem. Reduzir ρ̄, mesmo à custa de piorar marginalmente s, derruba o limite superior do erro. A amostragem aleatória de atributos (mtry) existe precisamente para forçar ρ̄ para baixo: sem ela, todas as árvores convergiriam à mesma estrutura greedy dominada pelos atributos mais fortes, e o ensemble não ganharia sobre uma árvore solitária.

Em finanças, podemos comentar algumas evidências. Gu, Kelly e Xiu (2020) conduziram o estudo mais completo de machine learning em asset pricing até então, com 60 anos de dados mensais (1957–2016), cerca de 30 mil ações e 94 características firm-wide expandidas em 920 covariáveis após interação com indicadores macroeconômicos. No painel completo, Random Forests entregaram R² fora-de-amostra mensal de 0,0033, contra −0,0346 do OLS sem regularização.

O sinal negativo do OLS não é erro de digitação. O R² fora-de-amostra mede o ganho do modelo sobre o benchmark trivial de prever zero retorno excedente em todos os meses, e cai abaixo de zero quando o modelo erra mais que essa previsão nula. O OLS, ajustando 920 coeficientes no treino, produz previsões enviesadas no teste, e seu R² mensal de −0,0346 indica que ele prevê pior que a constante zero. O Random Forest mal supera o benchmark com R² de 0,0033, mas é justamente essa fração minúscula que, espalhada por milhares de decisões cross-section, vira Sharpe institucionalmente competitivo pela lei de Grinold tratada na próxima seção.

Gradient Boosted Trees e redes neurais rasas foram marginalmente superiores às florestas, mas a distância grande do estudo está entre métodos de ensemble e métodos sem agregação, não entre variantes de ensemble. É o gado de Plymouth aparecendo onde menos se esperaria, em séries temporais de retornos ruidosas, não-lineares, com 60 anos de regimes diferentes empilhados. A mesma ordenação reaparece em credit scoring desbalanceado e em previsão de default, onde florestas e boosting superam consistentemente regressão logística e análise discriminante.

A demonstração em Julia usa um data generating process sintético com oito atributos, dos quais seis têm relação não-linear com a direção binária do retorno (sinais, interações, saturações) e dois são ruído puro. Amostra de 2.000 observações para treino e 1.000 para teste. O limite de Bayes, computado pelo conhecimento do processo gerador, é de 0,755.

Uma árvore solitária sem poda, otimizando cada split em todas as features, atinge 0,659 no conjunto de teste, substancialmente pior que o limite de Bayes por overfitting. Quinhentas árvores com mtry=3 chegam a 0,731, fechando 75% da distância até o limite teórico.

O interessante não é a curva, é a anatomia do voto. Treinando 300 árvores em bootstraps disjuntos para medir as correlações, encontram-se os números abaixo.

É literalmente o gado de Plymouth em forma algorítmica. Agregar muitos palpites ruins e fracamente correlacionados produz uma estimativa melhor que cada um dos palpites individuais, inclusive melhor que o melhor deles. A correlação média de 0,24 é fabricada pelo próprio algoritmo, via bootstrap + mtry, dois mecanismos artificiais que forçam diversidade onde a estrutura do problema, deixada em paz, não a teria.

O retrato acima exige disciplina metodológica em séries temporais financeiras, e o ponto crítico é o temporal leakage. Folds de validação cruzada iid violam a dependência temporal dos retornos, e amostragem bootstrap clássica embaralha passado e futuro, inflando o R² fora-de-amostra com vazamento que não corresponde a habilidade preditiva. O problema é solucionável no próprio pipeline, e López de Prado (2018) documentou as duas correções que se tornaram padrão. Substitui-se o k-fold iid por purged k-fold cross-validation com embargo entre treino e teste adjacentes, e a amostragem bootstrap clássica por block bootstrap, que preserva a dependência local dos retornos. Com essas adaptações, o efeito ensemble continua válido em séries financeiras. Sem elas, o R² OOS reportado superestima sistematicamente a habilidade real do modelo.

A lei fundamental de Grinold

Em mesa de fundo sistemático, a mesma identidade vem no idioma de Sharpe e é, na verdade, mais antiga que Breiman. Richard Grinold publicou em 1989 a Fundamental Law of Active Management (GRINOLD, 1989), reescrita por Grinold e Kahn em forma canônica:

Fundamental Law of Active Management (GRINOLD, 1989, paráfrase). O information ratio (IR, razão entre excesso de retorno e risco ativo anualizados) decompõe-se em dois fatores, o information coefficient (IC, correlação entre previsão e retorno realizado) e a breadth (BR, número de decisões ativas independentes por ano).

A fórmula é desconcertante na primeira leitura, porque afirma que habilidade modesta pode produzir IR alto se a largura for suficiente. Um analista com IC de 0,05 (correlação de 5% entre previsão e realização, valor modesto pelos padrões de equity research) e 1.000 decisões independentes por ano atinge IR teórico de 1,58, comparável a fundos macro top-decil.

A conexão com Galton é automática, pois cada decisão de compra ou venda é um palpite fraco sobre retornos futuros. A diversificação sobre muitas decisões independentes reduz a variância do retorno da carteira pela mesma álgebra de Breiman. Escrita em termos do Sharpe do ensemble de M sinais com Sharpe individual s e correlação média ρ:

Duas assíntotas governam esse ganho. Quando ρ → 0, o Sharpe cresce com √M sem limite. Quando M → ∞, o Sharpe satura em s/√ρ. Um quant que pretende construir carteira sobre 500 sinais com Sharpe individual de 0,30 e correlação média de 0,15 não está mirando Sharpe 6,7. Está mirando, no melhor cenário, 0,77. A correlação entre alphas é o teto estrutural do portfólio, e documentar que ρ permanece baixo sob stress é parte essencial do trabalho de construção de books quantitativos.

A tabela abaixo, produzida pela simulação Julia, é o retrato quantitativo dessa tensão entre M e ρ.

O Monte Carlo com 2.520 dias úteis e 400 caminhos confirma a fórmula analítica em terceira casa decimal, fechando a ligação entre teoria e simulação.

Kakushadze (2016) publicou um catálogo público de 101 alphas formulaicos derivados do sistema da WorldQuant, documentando correlação média par-a-par de 15,9% e holding periods de menos de uma semana. O ponto não é que cada fórmula seja genial, porque a maioria é combinação banal de retornos, volumes e volatilidades. O ponto é que o agregado dessas fórmulas, sob o teto s/√ρ, empurra o Sharpe do livro para faixas institucionalmente competitivas. A busca do “único sinal mágico” cede lugar, nesse regime, ao trabalho sistemático de gerar, testar e combinar centenas de sinais modestos e descorrelacionados.

Essa estratégia tem um predador natural, o overfitting. Harvey, Liu e Zhu (2016) examinaram 316 fatores publicados em revistas acadêmicas até 2014 e argumentaram que, dado o volume de testes múltiplos, o t-estatístico crítico para alegar descoberta genuína deve subir de 2,0 para ao menos 3,0 (ajustes Bonferroni, Holm, BHY). Sem essa correção, a diversidade aparente do livro de alphas é em parte ilusão de p-hacking, e o teto s/√ρ colapsa porque o s verdadeiro é zero para boa parte dos sinais catalogados.

Mixture of Experts

O passo seguinte requer um deslocamento menos confortável, para modelos de linguagem de grande porte aplicados a textos financeiros. A arquitetura Mixture of Experts (MoE), proposta originalmente por Jacobs, Jordan, Nowlan e Hinton (1991), substitui uma única rede neural densa por múltiplos subespecialistas coordenados por uma rede de roteamento (gating). Formalmente:

Onde eₖ são os E experts, g é a rede de roteamento e TopK zera todos os logits exceto os k maiores. Shazeer et al. (2017) mostraram que essa ativação esparsa permite escalar para milhares de experts sem explodir o custo computacional, e variantes posteriores (Switch Transformer, Mixtral) chegaram a modelos de centenas de bilhões a um trilhão de parâmetros com apenas uma fração sendo ativada em cada passo de inferência.

O leitor que chama isso de “apenas uma média ponderada com pesos esparsos” não está totalmente errado. À primeira vista, MoE parece uma generalização direta de ensembles. Em um Random Forest ou em uma carteira de weak alphas, todas as árvores ou todos os sinais contribuem para cada previsão, e a força vem do cancelamento de erros por média, na lógica de redundância independente. Em MoE, a rede de roteamento seleciona um subconjunto esparso de experts para cada entrada, e a força vem da especialização por subregião do espaço de features, na lógica de dividir e conquistar. São dois mecanismos diferentes apoiados no mesmo princípio mais geral, o de que combinar estimadores cujos erros são estruturalmente diferentes produz estimadores melhores que cada um.

O diagrama abaixo contrasta as três arquiteturas.

Em finanças, MoE ainda está em fase inicial, mas a pressão para usá-lo é crescente. BloombergGPT (WU et al., 2023), modelo de 50 bilhões de parâmetros treinado em 363 bilhões de tokens financeiros, é o exemplar canônico do modelo único denso especializado em um domínio inteiro. O passo natural da literatura é particionar esse domínio entre especialistas, um afinado em transcrições de teleconferências de resultados, outro em relatórios regulatórios, outro em notícias macroeconômicas, todos coordenados por uma rede de roteamento que decide qual consultar para cada texto de entrada. Ensembles adaptativos desse tipo são, conceitualmente, o princípio de Galton posto a operar dentro da arquitetura do modelo, e não apenas sobre as saídas de modelos independentes.

Quando a multidão erra

A mesma álgebra que explica por que a multidão de Plymouth acertou o peso do animal explica também por que as multidões financeiras erram, e erram de forma sistemática. A identidade de Page é uma igualdade, não uma garantia. O erro coletivo só é pequeno quando a diversidade preditiva é grande. Duas condições precisam valer simultaneamente para isso acontecer, e ambas podem falhar em mercados financeiros.

A primeira condição é a independência dos palpites. Lorenz, Rauhut, Schweitzer e Helbing (2011) conduziram experimento com 144 participantes estimando quantidades factuais (densidade populacional, comprimento da fronteira suíço-italiana) em seis rodadas sucessivas. Quando os participantes viam o palpite médio ou os palpites individuais dos outros entre rodadas, a diversidade desmoronava e a estimativa coletiva, embora mais confiante, convergia para valores enviesados. Em mercados financeiros, feeds de preços em tempo real, chats de Bloomberg, relatórios de sell-side e redes sociais financeiras (FinTwit, Reddit) funcionam exatamente como o feedback que colapsa a diversidade no experimento de Lorenz. O efeito Galton exige que os palpites sejam produzidos em isolamento informacional. O mercado moderno opera no regime oposto.

A segunda condição é que os erros individuais não tenham viés sistemático. Bikhchandani, Hirshleifer e Welch (1992) formalizaram cascatas informacionais. Quando agentes sequenciais observam a ação dos anteriores, mesmo um sinal privado forte pode ser racionalmente descartado em favor da inferência sobre o que os demais parecem saber. O resultado é herding racional, diversidade nula e erros coletivos gigantes, manifestos em bolhas, runs bancários e fire sales. A crise financeira de 2008 e o colapso do Silicon Valley Bank em 2023 ilustram o padrão: milhares de atores tomando decisões “informadas” que se referenciavam mutuamente, sem diversidade real de julgamento.

Para o quant que constrói modelos de ensemble, essas duas falhas têm contrapartes diretas. A correlação entre árvores de um Random Forest salta em períodos de stress, quando os atributos mais informativos passam a dominar todos os splits. A correlação entre weak alphas aumenta em crises, porque quase todos os sinais acabam reduzindo-se a variantes de beta, value ou momentum. Um portfólio otimizado em regime de ρ = 0,15 pode operar em ρ = 0,60 durante um flash crash, e o Sharpe ex-ante deixa de ser preditor útil do Sharpe realizado. López de Prado (2018) apelida esse fenômeno de structural break in correlations e argumenta que monitorar a estabilidade de ρ é parte do trabalho de risco, não só da construção.

Plymouth não é o mercado

Galton não elaborou a teoria da sabedoria das multidões. Coletou 787 bilhetes e relatou o que encontrou. A formalização veio em várias etapas: Condorcet no juízo binário, Page na identidade algébrica, Breiman no bagging, Grinold na versão financeira do Sharpe agregado, Jacobs e coautores no gating. O fio comum é que a qualidade de uma estimativa coletiva depende de palpites individualmente melhores que o aleatório (s > 0, IC > 0), baixa correlação entre eles (ρ̄ pequeno) e erros que não compartilham viés sistemático. Quando essas condições se mantêm, agregar centenas de modelos fracos ou de sinais modestos produz um preditor que bate o melhor especialista individual. Quando alguma falha (como em Lorenz ou em Bikhchandani), o ensemble pode ficar pior que um único preditor, porque a diversidade virou correlação e o viés virou consenso.

O concurso de Plymouth foi um laboratório ideal, com bilhetes escritos em isolamento, 787 palpites independentes e público heterogêneo. Mercados financeiros operam em condições opostas, com feeds em tempo real, chats, relatórios sell-side e FinTwit que colapsam diversidade em horas. Construir um Random Forest, um livro de alphas ou um sistema MoE sobre relatórios corporativos é, no fundo, tentar recriar artificialmente as condições de Plymouth: bootstrap e mtry no lugar do isolamento entre palpiteiros, ortogonalização explícita no lugar de heterogeneidade espontânea, monitoramento ativo de ρ no lugar da independência presumida.

Plymouth foi um único concurso, num único dia, com um único animal, e Galton publicou a contragosto sem nunca mais voltar ao tema. O que sobrou foi a planilha, e ela continua dizendo, 119 anos depois, o que dizia em 1907. A multidão acerta quando ninguém combina antes, e toda a engenharia de ensembles construída desde então foi uma sequência de tentativas, em domínios cada vez mais hostis, de fingir que ninguém combinou.

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O artigo anterior da série, Estruturas a termo de liquidez, mostrou que indicadores pontuais de liquidez (como o LCR de 30 dias e o NSFR de 1 ano) ocultam vulnerabilidades em horizontes intermediários, e introduziu as estruturas a termo de fluxos esperados (TSECF), de fluxos cumulados (TSECCF), de ativos disponíveis (TSAA), de capacidade de geração de liquidez (TSLGC) e da liquidez esperada (TSLe). O banco estilizado aggressive_bank apresentou um vale crítico de 516,99 unidades monetárias em 9 meses, cobrível por margem de apenas 11,7. Esse diagnóstico responde uma das questões centrais da gestão de liquidez, sobre onde no horizonte o banco aperta. Resta a pergunta sobre como o banco constrói o estoque que cobre o aperto, e por que duas instituições com indicadores regulatórios em conformidade caíram em uma única semana de 2023.

O capítulo 7 de Castagna e Fede (2013) responde a essa pergunta com um arcabouço analítico próprio. Este artigo abre a série dedicada ao capítulo cobrindo as definições estruturantes do buffer de liquidez (liquidity buffer) e da capacidade de contrabalanço (counterbalancing capacity), as dimensões que caracterizam o buffer (tamanho, período de sobrevivência e composição), as causas econômicas que justificam sua existência e a leitura dos episódios recentes de 2023 à luz desse aparato. Uma implementação Julia em código aberto acompanha o texto, com o pacote pq_lb_cbc, que decompõe a saída líquida de caixa por causa econômica e dimensiona o buffer pelo cenário de estresse mais severo.

O estoque que cobre o gap diagnosticado

A TSLe apresentada no artigo anterior é uma curva diagnóstica. Em cada horizonte futuro, a curva mostra a diferença entre os fluxos de caixa cumulados esperados e a capacidade de geração de liquidez disponível. Quando a curva mergulha em valores negativos, o banco enfrenta um déficit estrutural que a operação corrente não cobre. A pergunta seguinte é como esse déficit é coberto, e quem paga pela cobertura.

O instrumento de execução imediata é o buffer de liquidez, um estoque de ativos altamente líquidos que o banco mantém pré-posicionado para honrar saídas inesperadas no curto prazo. Em torno desse estoque opera a capacidade de contrabalanço, que abrange o conjunto de estratégias de geração de fluxos positivos disponíveis ao banco, incluindo o próprio buffer mas também a capacidade adicional de levantar repo, recorrer a captação sem garantia (unsecured), vender ativos fora do buffer e, em última instância, acessar facilidades do banco central.

O modelo de Castagna e Fede formaliza essa hierarquia ao tratar o buffer de liquidez (LB) como componente curto da capacidade de contrabalanço (CBC), dimensionado para um horizonte de sobrevivência sob estresse e construído com ativos que mantêm liquidez mesmo em condições adversas. A CBC, por sua vez, contempla camadas progressivamente mais lentas e contingentes. As perguntas que organizam o restante deste artigo são as definições formais que o livro adota e como elas dialogam com a regulação europeia, americana e brasileira, as forças econômicas que geram a necessidade do buffer, e a forma como o buffer é estruturado em uma instituição real.

Definições de LB e CBC e suas variantes regulatórias

Castagna e Fede partem de duas definições.

Definição 7.2.1. Capacidade de contrabalanço (CBC). O conjunto de estratégias pelas quais o banco pode confrontar necessidades de liquidez assumindo a máxima capacidade de geração de liquidez possível. Em termos formais, a CBC identifica todas as configurações que tornam os fluxos cumulados maiores ou iguais a zero até uma data futura dada.

Definição 7.2.2. Buffer de liquidez (LB). A liquidez disponível que cobre a necessidade adicional de liquidez que possa surgir em um período curto sob condições de estresse.

A relação entre os dois conceitos não é unívoca, e os autores reconhecem que bancos adotam convenções diferentes. A versão dominante na regulação europeia e na supervisão do BCE trata o LB como subconjunto curto da CBC, enquanto algumas implementações domésticas embutem a CBC inteira no LB.

O documento de referência regulatória que estrutura essas definições é a Guidelines on Liquidity Buffers and Survival Periods, publicada em 2009 pelo Committee of European Banking Supervisors (CEBS), predecessor da European Banking Authority (EBA). O texto fixa o LB como ponta curta da CBC e introduz o arcabouço de tamanho, período de sobrevivência e composição que será adotado pela literatura subsequente. O CEBS estabelece um período mínimo de um mês sem mudança no modelo de negócio e diferencia a composição admissível por janela: para horizontes muito curtos, apenas ativos com elegibilidade dupla, em mercados privados líquidos e em facilidades permanentes do banco central. Para horizontes até um mês, outros ativos altamente líquidos podem entrar.

O Comitê de Basileia chega à mesma estrutura por outro caminho. O documento BCBS 144, Principles for Sound Liquidity Risk Management and Supervision, de 2008, articula no Princípio 12 a hierarquia regulatória entre LB e CBC.

BCBS 144 (Comitê de Basileia), Princípio 12 (paráfrase). A demonstração de capacidade de contrabalanço (CBC), isto é, a habilidade de levantar fundos sem garantia, sacar compromissos, fazer chamada em empréstimos ou acessar novas fontes garantidas no curto prazo, não substitui a manutenção de um estoque adequado de ativos líquidos.

Em termos econômicos, a CBC compreende fontes contingentes que podem falhar exatamente quando são mais necessárias, enquanto o LB é estoque pré-posicionado e disponível em condições adversas.

O LCR de Basileia III, definido pelo BCBS 238 em 2013, é uma cristalização regulatória de uma fração específica do LB. O numerador (HQLA) impõe critérios estritos de elegibilidade e haircuts, e o denominador (saídas líquidas em 30 dias) parametriza um cenário de estresse padrão. A relação entre os conceitos pode ser sintetizada como uma cadeia de inclusões, em que o HQLA é uma fatia regulamentada do LB, este é a ponta curta da CBC, e a CBC inclui todas as fontes potenciais de fluxo positivo. A cadeia importa porque uma instituição pode ter LCR confortável e ainda assim falhar caso a composição do HQLA seja vulnerável a um estresse específico, ponto que retorna na discussão do Credit Suisse adiante.

As dimensões do buffer de liquidez

O CEBS (2009) identifica as dimensões que caracterizam o LB, que são tamanho, período de sobrevivência e composição. Elas respondem a perguntas distintas e podem variar em métricas de calibração entre instituições.

Tamanho

O tamanho do LB é determinado pelo gap de captação em cenários de estresse, calibrado a um nível de confiança elevado (tipicamente 99% ou superior). O Princípio 10 do BCBS 144 exige a construção de cenários idiossincrático, sistêmico e combinado, e o LB deve cobrir o gap do cenário mais severo em um horizonte de sobrevivência definido. No cenário idiossincrático, o banco sofre rebaixamento de classificação de crédito e perde acesso parcial à captação no atacado (wholesale), mas o mercado de ativos permanece líquido. No cenário sistêmico, o mercado entra em disfunção (haircuts em ativos crescem, repo e securitização contraem), mas a confiança individual no banco se mantém. O cenário combinado supõe coexistência, e tipicamente é o que vincula o dimensionamento.

O número do LB sai diretamente do resultado do simulador. Para um banco brasileiro estilizado de grande porte, com perfil de captação diversificado entre varejo, atacado e linhas comprometidas a empresas, o gap de captação em 30 dias sob cenário combinado severo é da ordem de duas vezes o calculado pelo cenário regulatório padrão do BCBS 238. A diferença ilustra a distância entre o LB econômico, dimensionado por estresse calibrado pela tesouraria, e o piso regulatório imposto pelo LCR.

Período de sobrevivência

O período de sobrevivência é o horizonte durante o qual o banco precisa operar sem mudar o modelo de negócio. O LCR fixa 30 dias, o CEBS exige no mínimo um mês, e a regulação americana (Reg YY, 12 CFR §252.35) demanda dos grandes bank holding companies a calibração simultânea para horizontes intradia, 30 dias, 90 dias e 1 ano. O NSFR, que opera no horizonte estrutural de 12 meses, complementa a vista curta do LCR.

A escolha do horizonte tem consequências diretas para o tamanho. Um período curto (um mês) tende a subestimar o risco de descasamento de prazos longos, exatamente o ponto que motivou o NSFR. Por outro lado, um período longo demanda buffers gigantescos cuja manutenção é cara, o que cria pressão para que parte da CBC seja contingente em vez de pré-posicionada. A heurística adotada pelos grandes bancos europeus é dimensionar o LB pela janela de 30 dias para conformidade com o LCR e completar com estruturas de captação diversificadas que estabilizem horizontes mais longos.

Composição

A composição estabelece quais ativos podem integrar o buffer e quais haircuts se aplicam. O BCBS 238 organiza o HQLA em níveis. O Nível 1 contém caixa, reservas no banco central e títulos soberanos com risco zero, sem haircut e sem teto. O Nível 2A inclui covered bonds e títulos corporativos com classificação mínima AA-, com haircut de 15% e sujeito ao teto conjunto. O Nível 2B compreende residential mortgage-backed securities (RMBS) qualificados, ações listadas e títulos corporativos BBB- a A+, com haircuts entre 25% e 50%, e teto de 15% sobre o total do HQLA. O teto conjunto sobre o Nível 2 é de 40% do total, calculado como dois terços do Nível 1 após haircut.

A composição agregada do sistema bancário europeu mostra um movimento estrutural relevante. De acordo com o EBA Risk Dashboard de Q3/2025, a participação de soberanos Nível 1 no HQLA da União Europeia dobrou de 20% em junho de 2022 para 40% em junho de 2025, em parte porque o caixa nos bancos centrais perdeu remuneração relativa após o ciclo de aperto monetário. O LCR agregado da UE atinge 160,7%, mas a concentração crescente em soberanos cria exposição maior a movimentos de mercado e ao chamado doom loop entre bancos e governos. No outro extremo do espectro, o sistema bancário brasileiro mantém HQLA quase integralmente Nível 1, dominado por títulos públicos federais (Letras Financeiras do Tesouro, Notas do Tesouro Nacional) e reservas no Banco Central, fenômeno discutido com mais detalhe adiante.

As causas econômicas do buffer

Castagna e Fede (2013) identificam causas econômicas distintas que produzem a necessidade do LB. A primeira é o descasamento de prazos entre ativos e passivos (maturity mismatch), a segunda é a chamada de margem em derivativos (collateral margining), e a terceira é o saque de compromissos não contabilizados no balanço (off-balance-sheet commitments). Cada causa gera saídas inesperadas em estresse, e cada uma tem dinâmica própria de modelagem e cobertura.

Descasamento de prazos

O descasamento de prazos é a função econômica primordial do banco, e a literatura formaliza desde Diamond e Dybvig (1983) que a transformação de passivos curtos em ativos longos cria valor agregado para depositantes (que ganham liquidez em demanda) e para tomadores (que ganham horizontes longos), ao custo de gerar fragilidade financeira. O equilíbrio “bom” depende da confiança coletiva, e o equilíbrio “ruim” se materializa quando depositantes correm. O LB é o instrumento que permite ao banco honrar saídas em massa sem liquidar ativos a preços de venda forçada (fire-sale).

O Northern Rock, em 2007, é a ilustração mais didática desse mecanismo. Conforme reconstrução de Shin (2009), apenas 23% da captação do banco vinha de depósitos de varejo no verão daquele ano, e o restante era atacado, com cerca de metade vencendo em menos de um ano. A securitização Granite acumulava aproximadamente 45 bilhões de libras, e o modelo dependia da rolagem contínua dessas posições. Quando o mercado interbancário travou em agosto de 2007, a corrida silenciosa no atacado precedeu a corrida televisionada de varejo, de modo que o LB calibrado para a base histórica de varejo era irrelevante ante a magnitude do mercado atacadista que evaporou.

Chamadas de margem em derivativos

A segunda causa cresceu em relevância com a expansão da liquidação centralizada (clearing) e a entrada em vigor das Uncleared Margin Rules a partir de 2015. A margem de variação (variation margin) flui diariamente entre contrapartes em derivativos liquidados em contraparte central e bilaterais, e movimentos abruptos de mercado geram chamadas de magnitude desproporcional ao tamanho da exposição. A margem inicial (initial margin) acrescenta um colchão prospectivo, mas exige colateral onerado, indisponível para gestão de liquidez.

A crise dos fundos LDI (liability-driven investment) britânicos em setembro de 2022 dá a referência empírica recente desse risco. Conforme análise de Pinter (2024) no Bank Underground, a divulgação do mini-budget em 23 de setembro produziu salto de cerca de 100 pontos-base nos yields dos gilts (títulos do Tesouro britânico) longos em quatro dias úteis. As chamadas de margem em fundos LDI e fundos de pensão excederam 70 bilhões de libras, gerando ciclo de retroalimentação entre vendas forçadas e queda adicional de preços, até que o Bank of England interveio em 28 de setembro, comprando gilts longos por 13 dias úteis. A lição imediata foi que mesmo investidores não-bancários precisam de buffer dimensionado para a velocidade das chamadas de margem, e os gestores passaram a operar com colchão mínimo de cerca de 300 pontos-base de movimento adverso.

Compromissos off-balance-sheet

A terceira causa decorre de linhas de crédito comprometidas, garantias e liquidity puts em estruturas de securitização. O paper seminal de Sufi (2009) documentou empiricamente que linhas comprometidas funcionam como seguro contingente, mas com cláusulas restritivas (covenants) que tipicamente são acionadas em estresse, restringindo o acesso. O ponto contraintuitivo é que o exercício das linhas se concentra exatamente nos cenários em que o banco também enfrenta pressão de captação.

O choque da COVID-19 em março de 2020 entregou validação empírica em escala do tratamento BCBS 238. Acharya, Engle e Steffen (2020) mostraram que empresas sacaram entre 225 e 275 bilhões de dólares em linhas rotativas nas três primeiras semanas após o início da pandemia, com concentração em emissores BBB e high-yield. Os recursos sacados foram em grande parte mantidos como caixa em bancos, em movimento precaucional. As taxas regulatórias de saída para linhas comprometidas (5% varejo, 10% empresa não-financeira, 100% contraparte financeira) demonstraram-se calibradas para a magnitude observada, ainda que a velocidade tenha excedido as premissas em alguns casos.

O pacote pq_lb_cbc em Julia

Para tornar o arcabouço utilizável fora do papel, escrevi o pacote pq_lb_cbc em Julia 1.10+. A escolha foi por uma interface declarativa, em que o usuário descreve o banco e os cenários como dados e depois invoca as funções de cálculo, sem precisar entender a mecânica interna do simulador.

O tipo Bank guarda ativos por nível HQLA, captação por contraparte, compromissos fora do balanço (off-balance-sheet) e exposição a chamadas de margem em derivativos. Optei por usar struct imutável com campos nomeados em vez de matriz indexada, porque a manutenção de cenários no dia a dia da tesouraria depende mais de clareza dos nomes do que de microsegundos de execução.

O tipo StressScenario encapsula taxas de saída por categoria de captação, taxas de saque por tipo de contraparte, haircuts adicionais sobre HQLA e o multiplicador de chamadas de margem. Vêm pré-calibrados quatro cenários (BCBS 238 referência, idiossincrático severo, sistêmico severo e combinado severo), e quem quiser propor calibração própria define os parâmetros nomeados na construção do tipo.

A função central de diagnóstico é decompose_outflows_by_cause, que separa a saída líquida de caixa por causa econômica.

O relatório completo, gerado pela função summary_report, mostra a sensibilidade do banco a cada cenário e a composição do LB no cenário mais severo. No exemplo examples/01_basics.jl defini um banco PQ Bank Brasil com perfil de captação diversificado e exposição moderada a derivativos. Sob o cenário regulatório do BCBS 238 o banco aparece confortável, com LCR próximo de 160%; sob o cenário idiossincrático severo a razão de cobertura cai para o entorno do mínimo regulatório; e sob o combinado severo cai para o patamar de ~80%, abaixo do mínimo, situação em que a CBC adicional precisaria ser acionada. A decomposição por causa fica relativamente estável entre cenários, com descasamento de prazos respondendo pela maior parte das saídas (algo como três quartos), compromissos fora do balanço por uma parcela intermediária e chamadas de margem por uma fração menor (que cresce em derivativos).

O caso fica visualmente diferente quando o banco é intensivo em derivativos. O exemplo 02_decomposition.jl compara o banco moderado a um banco com 25 bilhões de exposição a chamadas de margem em 30 dias. No moderado, as causas mantêm a proporção típica (77% descasamento, 14% fora do balanço, 9% colateral). No banco intensivo, sob cenário combinado severo, a chamada de margem responde por 55% das saídas, com descasamento caindo a 36% e fora do balanço a 8%. Esse perfil corresponde, com aproximação razoável, ao que se observa em mesas de derivativos como o ex-Credit Suisse e o ex-Bear Stearns, instituições em que a estrutura de exposição central justifica um desenho de buffer distinto do banco comercial tradicional.

A regulação brasileira e o papel dos títulos públicos federais

O Brasil implementou o LCR pela Resolução nº 4.401/2015 do Conselho Monetário Nacional (CMN), com implementação gradual de 60% em outubro de 2015 atingindo 100% em janeiro de 2019. A norma aplica-se a instituições do segmento S1 (à época, ativos superiores a 100 bilhões de reais). A Circular BCB 3.749/2015 detalha a metodologia, incluindo o tratamento dos compulsórios remunerados como Nível 1 até o limite de 15% do total Nível 1, conforme posteriormente formalizado pelo Voto BCB 38/2020. Esse voto liberou aproximadamente 86 bilhões de reais em capacidade de LCR durante a pandemia, ilustrando o uso ativo da composição do HQLA como instrumento de política.

A particularidade estrutural do HQLA brasileiro é a dominância quase integral do Nível 1. Por escassez de títulos corporativos com classificação elegível para Nível 2A no mercado doméstico, os bancos brasileiros operam com Nível 2 reduzido, tipicamente abaixo de 5% do total. O lado positivo dessa concentração é a robustez sob cenário sistêmico severo, em que haircuts em Nível 2 são amplificados sem afetar Nível 1. O simulador mostra que um banco brasileiro estilizado com HQLA totalmente Nível 1 mantém razão de cobertura de 146,6% sob estresse de mercado, contra 124,8% para um banco europeu hipotético com 50 bilhões de Nível 2A na composição. O lado negativo é a exposição estrutural a risco soberano, e qualquer estresse fiscal severo afeta o buffer e o capital simultaneamente.

A Resolução CMN nº 4.557/2017 organiza no Brasil a estrutura de gerenciamento integrado de riscos e capital, equivalente local ao ICAAP/ILAAP (Internal Capital and Liquidity Adequacy Assessment Process) da UE. A norma exige a figura do Diretor de Risco (CRO), plano de contingência de liquidez, testes de estresse internos e limites prudenciais. O Banco Central publica semestralmente o Relatório de Estabilidade Financeira (REF), que inclui o Índice de Liquidez (IL), métrica proprietária de adequação do buffer agregado do sistema sob cenário calibrado pelo regulador, tipicamente mais severo que o LCR. O sistema brasileiro mantém IL acima de 1 com folga, condição que reflete a robustez da composição do HQLA, ainda que a exposição soberana permaneça como vulnerabilidade estrutural a longo prazo.

Lições dos colapsos de 2023

O ano de 2023 ofereceu duas falhas relevantes para a teoria do LB, em geografias e modelos de negócio distintos. O Silicon Valley Bank, segundo o relatório de Barr (Federal Reserve), tinha total de ativos de 209 bilhões de dólares e depósitos não-segurados equivalentes a 86,4% do passivo de varejo. A carteira mantida até o vencimento (held-to-maturity) havia crescido de 15 bilhões em 2018 para 98 bilhões em 2021, com duração de 6,2 anos e perda não realizada superior a 15 bilhões ao final de 2022. O banco era classificado como Categoria IV pelo regime de calibração regulatória criado pela Economic Growth, Regulatory Relief and Consumer Protection Act (EGRRCPA) de 2018, e estava isento dos requisitos integrais de LCR e NSFR. O relatório reconhece que a instituição teria sido sujeita a esses requisitos não fosse a flexibilização. Quando a corrida se materializou em 9 de março de 2023, com 42 bilhões em saídas em 24 horas e expectativa de 100 bilhões adicionais para 10 de março, o LCR informal rapidamente se descolou da capacidade de monetização. A Federal Deposit Insurance Corporation (FDIC) estimou perda ao Fundo de Garantia de Depósitos de 16,1 bilhões.

O Credit Suisse caiu na semana seguinte por mecanismo distinto. O LCR consolidado havia descido de 192% no terceiro trimestre de 2022 para 144% no fechamento do exercício, e durante a corrida ficou abaixo do mínimo regulatório. Conforme análise do BCBS no relatório d555 de 2023, parte material do HQLA do banco era consumida por necessidades correntes da operação e intradia, isto é, não estava efetivamente disponível para honrar saídas adicionais. O Banco Nacional Suíço (SNB) ofereceu uma linha emergencial de liquidez ampliada (Emergency Liquidity Assistance Plus, ELA+) de 50 bilhões de francos sem colateral, garantia pública adicional de 100 bilhões e o pico de assistência total atingiu 168 bilhões em três moedas. A autoridade reguladora suíça FINMA (Swiss Financial Market Supervisory Authority) ordenou o abatimento contábil de 16 bilhões em títulos Additional Tier 1 e o acordo com o UBS foi anunciado em 19 de março, decisão que viria a ser contestada na justiça suíça por detentores dos títulos, com desdobramentos ainda em curso.

Tanto o SVB quanto o Credit Suisse derrubam a ideia de que o tamanho agregado do HQLA é suficiente para diagnosticar o estado do buffer. Quando frações relevantes estão oneradas, sujeitas a perdas não realizadas ou consumidas por saídas do dia a dia da instituição, as métricas regulatórias entregam conforto enganoso. As corridas digitais comprimem em horas o que historicamente levava dias. O depositante move recursos pelo aplicativo a qualquer hora, sem fila de agência, e a coordenação entre depositantes acontece em tempo real em canais fechados (grupos de WhatsApp, Slack, Twitter), o que torna a saída reflexiva e amplifica em ciclos de minutos. Cipriani, Eisenbach e Kovner (2024), no NY Fed Staff Report 1104, traçam a saída de depósitos do SVB em granularidade de minutos e mostram que o ritmo de março de 2023 excede em uma ordem de grandeza o observado em corridas analógicas como Continental Illinois em 1984. As taxas de saída embutidas no LCR (5% em 30 dias para depósitos cobertos por seguro, 10% para os demais) foram calibradas pelo Comitê de Basileia entre 2010 e 2013 para esse mundo analógico, e não acompanharam a velocidade do mundo digital. Soma-se a isso a relutância dos bancos em monetizar o buffer (vender HQLA, dar em repo ou acessar facilidades do banco central) durante o estresse, por receio de que essas operações, visíveis ao mercado, sejam interpretadas como sinal de fragilidade e acelerem a corrida. Esse padrão, conhecido na literatura como estigma da janela de redesconto, reduz a CBC efetiva e virou prioridade da agenda regulatória pós-2023 no Comitê de Basileia.

Conclusão

O LB e a CBC são a interface entre o diagnóstico produzido pelas estruturas a termo de liquidez e as causas econômicas que justificam a manutenção de estoque pré-posicionado. Castagna e Fede (2013) oferecem definições econômicas robustas, calibradas pelo CEBS (2009) e pela regulação europeia subsequente, que diferenciam o estoque pré-posicionado (LB) das fontes contingentes mais amplas (CBC) e estabelecem as dimensões de tamanho, período de sobrevivência e composição, além das causas econômicas que motivam o buffer (descasamento de prazos, chamadas de margem em colateral, compromissos fora do balanço). A regulação brasileira, com o LCR introduzido em 2015 e a estrutura integrada de gerenciamento de riscos formalizada em 2017, implementa o arcabouço com particularidades estruturais (HQLA quase 100% Nível 1, compulsório remunerado como buffer) que produzem robustez sob estresse de mercado ao custo de exposição soberana concentrada.

O que 2023 evidenciou é que as features de tamanho, período de sobrevivência e composição apontam para os pontos certos quando aplicadas com cuidado: composição vulnerável no SVB, oneração do buffer no Credit Suisse, velocidade subestimada em ambos. O que ficou pendente foi a calibração regulatória, que precisa acomodar corridas digitais de alta velocidade e reduzir a fração não-utilizável do buffer, agenda em curso no BCBS com revisões sobre tratamento de carteiras mantidas até o vencimento, taxas de saída de depósitos não-segurados e granularidade do horizonte de sobrevivência. O pacote pq_lb_cbc ficou aberto justamente para isso, e qualquer leitor que queira recalibrar com dados públicos brasileiros (REF, Pilar 3 de bancos S1) ou internacionais (EBA Risk Dashboard, FR Y-15), ou estender o modelo para incorporar facilidades específicas como compulsório remunerado, pode partir do que está no repositório.

Referências

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Embora amplamente repetida, a história não aparece em La Science et l’Hypothèse (1902), em Calcul des Probabilités (1912) ou na correspondência de Poincaré. Na verdade, a versão mais antiga rastreável encontra-se em Puzzle-Math (Gamow e Stern, 1958), onde é atribuída a um professor alemão anônimo, de modo que a autoria de Poincaré só viria a ser fixada na era moderna por Mlodinow (2008). Ainda assim, independentemente de sua precisão histórica, a parábola se mantém útil por encapsular, numa única cena de 1890, a convergência da média amostral, o viés de seleção e a observação de que o formato da distribuição carrega informação que a média descarta.

Essa ligação entre forma e média reaparece em finanças de maneiras distintas. Fraudes em fundos, intervenções cambiais e circuit breakers alteram a distribuição observada por caminhos diferentes, mas deixam o mesmo tipo de problema inferencial, na medida em que a amostra que chega ao analista não é mais uma amostra limpa do processo que a gerou. A média pode até continuar plausível, ao passo que a cauda, a assimetria e as descontinuidades contam outra história.

Distribuições truncadas e censuradas

Truncagem e censura designam operações diferentes, e confundi-las produz erro de inferência. Uma amostra é truncada no intervalo [a, b] quando as realizações fora desse intervalo nem chegam a ser observadas, como acontece com o freguês Poincaré da parábola, que só recebe pães de 950 gramas quando um deles, por sorte, pesa mais que o limiar de seleção imposto pelo padeiro, enquanto os mais leves ficam com outros clientes. Já uma amostra censurada é aquela em que se sabe que a observação ocorreu e em que lado do limite caiu, embora não se conheça o valor exato. Circuit breakers em bolsa, por exemplo, produzem censura e não truncagem, porque o pregão é interrompido e o retorno registrado no dia passa a ser exatamente o limite regulatório, e não o preço de equilíbrio que ocorreria sem a interrupção (KLEIN; MOESCHBERGER, 2003).

Para a normal, as fórmulas são clássicas. Seja X ∼ N(μ, σ²) truncada em [a, b], com α = (a−μ)/σ, β = (b−μ)/σ e Z = Φ(β) − Φ(α). A densidade condicional à observação é:

Os momentos condicionais de primeira e segunda ordem são clássicos na literatura estatística:

No caso de truncagem unilateral à esquerda em a, com β → ∞, ambas as expressões simplificam e aparece a razão inversa de Mills, λ(α) = φ(α)/[1−Φ(α)], que Heckman (1979) usaria como termo de correção em modelos de seleção amostral. A média truncada é μ + σ·λ(α), sempre acima de μ, ao passo que a variância é σ²·[1 + α·λ(α) − λ(α)²], sempre abaixo de σ². Já a assimetria γ₁ é estritamente positiva para qualquer α finito, crescendo monotonicamente à medida que o ponto de corte se afasta à direita. Esse é o fato estatístico central que organiza todo o artigo, uma vez que a truncagem à esquerda desloca a média para cima, contrai a variância e introduz assimetria positiva, e essas três dedadas do formato são justamente o que a média sozinha esconde.

Se o analista dispõe apenas de uma amostra truncada e não sabe disso, estimar μ e σ por média e desvio padrão amostrais gera viés sistemático. A correção canônica vem de Cohen (1950), que escreveu a log-verossimilhança ajustada pela probabilidade de observação:

O terceiro termo é a correção. Ele pune o estimador por cada observação que não foi vista, impedindo que média e variância amostrais sejam tomadas como se descrevessem o processo original. Para ilustrar a magnitude do viés, simulei cinquenta mil pesos de pão sob N(950, 50²), trunquei em 970 gramas (o limiar do padeiro desconfiado, um tanto abaixo do da parábola) e apliquei os dois estimadores. Os resultados aparecem na tabela abaixo.

O estimador ingênuo desloca a média para 1.003 gramas e encolhe o desvio padrão para 27, sugerindo uma padaria que produziria pães grandes e uniformes. O estimador de Cohen, ao contrário, recupera 928 e 57, muito mais próximos dos parâmetros verdadeiros, 950 e 50. Em amostras com apenas centenas de observações, portanto, a correção da log-verossimilhança é a diferença entre enxergar o processo real e enxergar o teatro construído pelo padeiro.

A implementação em Julia segue diretamente a equação acima. A biblioteca Distributions.jl oferece a distribuição truncada como primitiva, e Optim.jl resolve o problema de otimização sem qualquer customização numérica.

Testando o formato

Quando a pergunta é se uma amostra vem de uma normal ou de uma normal truncada, há um arsenal de testes disponível, porque a truncagem à esquerda produz desvios sistemáticos em várias estatísticas ao mesmo tempo, na medida em que a assimetria amostral fica positiva, a curtose muda e a função de distribuição empírica se desvia da teórica nas proximidades do corte. Testes clássicos como Shapiro-Wilk, Anderson-Darling e Jarque-Bera capturam essas assinaturas por caminhos diferentes, embora rejeitá-los não diagnostique truncagem especificamente, e apenas sinalize que algo no formato diverge da normal assumida.

Para o problema específico de fraude em fundos, contudo, importa menos a escolha entre testes de normalidade do que detectar manipulação por descontinuidade em torno de zero, que é a assinatura típica de retornos maquiados. Nesse caso, o teste de McCrary (2008) é o mais preciso, pois estima a densidade logarítmica à esquerda e à direita de um limiar c:

Sob a hipótese nula de densidade contínua, θ̂ tem distribuição assintoticamente normal. Bollen e Pool (2009) aplicaram uma variante deste teste à distribuição agregada de retornos mensais de fundos de cobertura e encontraram um kink sistemático em zero, com muito mais pequenos ganhos reportados do que pequenas perdas. A descontinuidade, contudo, desaparece nos três meses que antecedem a auditoria anual, o que confirma que é o gestor, e não o ativo, que produz a assimetria.

Bernie Madoff e a fraude detectável pelo formato

O caso Madoff é a reencenação moderna da parábola do padeiro. Entre dezembro de 1990 e outubro de 2008, o fundo feeder Fairfield Sentry reportou 215 retornos mensais com média de 0,84%, desvio padrão de 0,71% e apenas dez meses negativos, sendo o pior deles de −0,64%. A estratégia declarada era split-strike conversion sobre o S&P 100, ou seja, uma carteira comprada em trinta a trinta e cinco ações do índice combinada com collars de opções, cujo Sharpe ratio anualizado tem limite teórico da ordem de 0,66, segundo Bernard e Boyle (2009). Madoff, no entanto, reportava 2,47.

Harry Markopolos, analista em uma corretora concorrente de Boston, viu o descasamento em 1999 e passou nove anos submetendo à Securities and Exchange Commission memorandos que ninguém leu (MARKOPOLOS, 2005). Em novembro de 2005, seu memorando intitulado The World’s Largest Hedge Fund is a Fraud listou vinte e nove red flags, quase todas de natureza distribucional. A correlação reportada com o S&P 100, por exemplo, era de seis por cento, quando a estratégia declarada implicaria algo entre quarenta e oitenta. Já o volume de puts sobre o OEX necessário para hedgear a carteira alegada excedia o open interest total da Chicago Board Options Exchange, e o próprio Sharpe era matematicamente inconsistente com a estratégia.

O que chama mais a atenção no caso, contudo, é a aritmética simples dos meses negativos. Sob a própria distribuição reportada por Madoff, com média 0,84% e desvio padrão 0,71%, a probabilidade de um mês com retorno negativo é Φ(−0,84/0,71) ≈ 11,9%, de modo que, em 215 meses, o número esperado seria cerca de 26, com desvio padrão de aproximadamente quatro. Apenas dez meses negativos corresponderiam, portanto, a uma realização quatro desvios abaixo da expectativa, com probabilidade binomial da ordem de 2×10⁻⁴. Esse número já bastaria para parar qualquer investidor institucional, lembrando que a distribuição que gerou o cálculo é a do próprio Madoff. Sob uma volatilidade honesta de split-strike, da ordem de 8% ao ano, o esperado sobe para 77 meses negativos em 215, e a probabilidade de observar dez ou menos cai para 6×10⁻²⁸. Para fins de comparação, dez elevado a vinte e oito é maior que o número de segundos transcorridos desde o Big Bang.

A comparação entre Fairfield Sentry e o S&P 500 no mesmo período, com base nos dados reconstituídos por Bernard e Boyle (2009), fica assim:

Madoff entrega 120% do retorno do S&P 500 com apenas 16% do risco do índice, sendo certo que nenhuma estratégia conhecida de long-short sobre o mercado americano chega perto desse perfil. Embora a literatura tenha catalogado outras bandeiras vermelhas de natureza de governança, entre elas custodiante interno, auditor desconhecido e ausência de staff de front-office, o ponto estatístico já seria suficiente por si só. Getmansky, Lo e Makarov (2004), por sua vez, mostraram que a série exibia autocorrelação serial positiva da ordem de 0,3 a 0,5, valor incompatível com uma estratégia executada sobre opções líquidas de S&P 100 e típico de smoothing artificial de retornos.

O padrão, contudo, não é exclusivo de Madoff. Allen Stanford, do Stanford International Bank, reportou perda de 1,3% em 2008, enquanto o S&P caía 39% e o STOXX Europe 500 caía 41%. A Weavering Capital, sob Magnus Peterson, reportou retornos sem perdas apesar de posições em swaps de taxa de juros com contraparte offshore insolvente controlada pelo próprio gestor, o que rendeu uma sentença britânica de 450 milhões de libras. De forma mais geral, Dimmock e Gerken (2012) mostraram que violações regulatórias prévias, uso de pricing interno e ausência de auditor de primeira linha têm poder preditivo sobre fraude futura. Todas essas, portanto, são variações do mesmo tema estatístico, na medida em que a cauda esquerda some ou fica implausivelmente rasa, ao passo que a cauda direita infla uma distribuição que deveria ser simétrica. É o padeiro de Poincaré em escala institucional.

Intervenção cambial como truncagem não-anunciada

O mesmo padrão se repete no mercado de câmbio, onde a intervenção de um banco central altera a distribuição de retornos por um canal diferente do da fraude, mas com efeito estatístico análogo. Desde meados dos anos 2000, o Banco Central do Brasil (BCB) intervém no mercado de câmbio usando swap cambial (em rigor, non-deliverable forwards domésticos, liquidados em reais), leilão spot e leilão de linha com compromisso de recompra. Em 22 de agosto de 2013, após o taper tantrum do Federal Reserve, o BCB anunciou um programa diário de swaps que acumularia posição da ordem de 100 bilhões de dólares ao longo de dezenove meses.

Chamon, Garcia e Souza (2017) estimaram o efeito desse programa por controle sintético, construindo um Brasil contrafactual com a combinação convexa de moedas de outros emergentes, e encontraram que o BRL observado apreciou mais de dez por cento em relação à trajetória sintética. Em termos distribucionais, isso significa que uma massa de probabilidade que deveria estar na cauda depreciada da distribuição de retornos do BRL foi deslocada para o centro da distribuição observada. Kohlscheen e Andrade (2014) refinaram o argumento em alta frequência, mostrando que, a cada leilão de swap em que o BCB vende USD, o retorno intradiário do USDBRL cai cerca de 0,33%, com assimetria entre posições vendidas e compradas do BCB. Já Viola et al. (2019), por meio de regressão quantílica, demonstraram que o efeito das intervenções sobre volatilidade se concentra nos quantis superiores, exatamente o que seria esperado se o banco central estivesse cortando a cauda direita da distribuição de retornos do dólar.

Trata-se da forma sofisticada da intervenção, em que nunca se anuncia um teto, embora a cauda some. O analista que calibra volatilidade ou Value-at-Risk do BRL sobre dados de 2013 a 2015 estará, portanto, estimando σ sobre uma amostra cuja cauda superior foi sistematicamente suavizada. Como consequência, a volatilidade implícita cai, o risk reversal de 25-delta se comprime relativamente ao fundamento macro, e opções fora-do-dinheiro ficam subprecificadas. Até aqui, o padrão se assemelha ao de Madoff, ainda que com uma diferença importante. O interventor, no caso do BCB, é conhecido, e o que se altera é a distribuição observada, e não a solvência da instituição.

O caso paradigmático da truncagem anunciada, contudo, é outro. Em 6 de setembro de 2011, o Swiss National Bank comunicou que não toleraria EURCHF abaixo de 1,20 e estaria disposto a intervir em quantidade ilimitada. Como resultado, a volatilidade implícita de um mês caiu cerca de dezesseis pontos percentuais na sessão seguinte, e, durante três anos e quatro meses, a distribuição observada de retornos do EURCHF ficou literalmente cortada. Em 15 de janeiro de 2015, no entanto, sem aviso prévio, o SNB abandonou o piso, e o par caiu vinte por cento em minutos. A Alpari UK entrou em liquidação no mesmo dia, ao passo que a FXCM, corretora de retalho listada em Nova York, precisou de resgate emergencial de 300 milhões de dólares para evitar insolvência no fechamento. Modelos de risco que tratavam a cauda direita truncada como se fosse a cauda verdadeira do processo, ao precificarem put OTM a preço de lixo durante três anos, cobraram o erro em uma única sessão.

A lição estatística é que truncagem do lado do interventor produz viés do lado do tomador de risco, pois quem calibra volatilidade sobre dados contaminados por intervenção subestima a cauda verdadeira. Quando a intervenção cessa ou é abandonada, o processo volta a operar sob sua dinâmica original, que o modelo calibrado não comporta.

Circuit breakers e censura por regra de bolsa

Regras de bolsa são o caso mais institucional em que a distribuição observada deixa de refletir o processo verdadeiro. A B3 aciona circuit breaker quando o Ibovespa cai 10%, 15% ou 20% em relação ao fechamento anterior, com interrupções de 30 minutos, uma hora e suspensão do pregão, respectivamente, ao passo que NYSE e CME usam limiares de 7%, 13% e 20% sobre o S&P 500. Há ainda limit up/limit down específicos em futuros de commodities, bem como auction halts acionados por oscilações próprias em ações individuais. A literatura teórica formalizou o chamado efeito-ímã, segundo o qual a proximidade do gatilho pode atrair ordens preventivas, elevando a volatilidade antes do halt.

Em termos distribucionais, um halt é um evento de censura, na medida em que o preço de equilíbrio do dia poderia ser −15%, mas a bolsa interrompe em −10% e só reabre no dia seguinte. O retorno registrado na série passa a ser, portanto, exatamente −10%, e não o que seria observado sem a regra. Hsieh e Yang (2009) quantificaram o viés resultante para séries asiáticas, mostrando que, sob um modelo de volatilidade estocástica censurada corretamente especificado, a razão entre σ estimado e σ verdadeiro fica dentro de um por cento. Caso o analista use os retornos observados como se não houvesse censura, subestima σ em cerca de cinco por cento, e o viés ainda dobra para cerca de catorze por cento se ele deletar os dias de halt da amostra na intenção de limpar dados.

A simulação reproduz o fenômeno com parâmetros calibrados em regime de stress. Geramos cinco mil retornos diários sob volatilidade verdadeira de 4,5% ao dia, consistente com o Ibovespa em março de 2020, e aplicamos a regra da B3 censurando em −10%. Sob normalidade, a fração esperada de dias de halt é baixa, e o viés resultante também é modesto. Sob cauda gorda, modelada por uma t-Student com quatro graus de liberdade rescalada para o mesmo desvio padrão, o mesmo procedimento produz resultado substancialmente pior, próximo dos dez por cento. Os números da simulação ficam assim:

Em março de 2020, o Ibovespa acionou circuit breaker em seis dos oito pregões entre 9 e 18 de março, contra um histórico de três acionamentos em 1997 (crise asiática), cinco em 1998 (crise russa), cinco em 2008 (subprime) e um em 2017 (Joesley Day). O analista de risco que alimenta um modelo de VaR com essa série sem tratar a censura está, em certo sentido, assinando dívida com o futuro, porque o modelo até passa no backtest, justamente por contar com poucas exceções contaminadas, embora seu comportamento em stress permaneça desconhecido, dado que o próprio comportamento em stress foi subestimado pela censura.

O caso do WTI em 20 de abril de 2020 inverte a lógica e serve como demonstração técnica de que circuit breakers são variáveis de política, e não constantes do mundo. Nos primeiros dias de abril daquele ano, o CME comunicou à Commodity Futures Trading Commission que havia ajustado seus sistemas para suportar preços negativos no contrato de petróleo, conforme documentado no relatório interino publicado pela própria CFTC em novembro seguinte. Vinte dias depois, o contrato maio fechou em −37,63 dólares por barril, com mínima de −40,32. Qualquer modelo de risco calibrado em janela anterior, portanto, não continha essa cauda, justamente porque o próprio limite regulatório havia mudado no meio da amostra. É o padeiro de Poincaré na operação inversa, no sentido de que não se cortou a cauda, e sim se removeu o piso.

O tratamento estatístico adequado de dados com halts é bem estabelecido, ainda que pouco usado em bancos brasileiros. Modelos Tobit, truncated-GARCH (como em estudos sobre A-shares chinesas) e a formulação de volatilidade estocástica censurada de Hsieh e Yang (2009) são as correções disponíveis. A regra mínima é flaggear dias de halt como censura antes de alimentar o modelo, não tratá-los como retornos regulares e tampouco descartá-los.

O histograma antes da média

O mercado brasileiro ainda trata muitos problemas de forma como se fossem apenas problemas de nível. Due diligence de fundos costuma olhar retorno, volatilidade, Sharpe e drawdown antes mesmo de perguntar se a distribuição tem descontinuidade em zero, cauda esquerda rasa demais ou autocorrelação incompatível com a estratégia declarada. Modelos de risco calibrados em regimes de intervenção cambial, por sua vez, absorvem uma cauda suavizada como se ela fosse propriedade estrutural do câmbio, ao passo que backtests alimentados por dias de circuit breaker registram retornos censurados como se fossem observações ordinárias.

O arsenal técnico para corrigir isso, no entanto, não é novo. Cohen publicou o MLE corrigido para amostras truncadas da normal em 1950, décadas antes de Bollen e Pool aplicarem a ideia a fundos de cobertura, ao passo que Heckman formalizou o viés de seleção em 1979, vinte e nove anos antes de McCrary propor um teste geral de descontinuidade em densidades. O próprio Shapiro-Wilk vem de 1965, de modo que a parte matemática está pronta há tempos. A CVM, aliás, exige divulgação de carteira e disponibiliza séries de retornos mensais que tornariam o teste de Bollen-Pool factível em escala sobre a base de fundos brasileiros, e ainda assim a literatura aplicada a essa base permanece escassa, com diagnósticos de censura por circuit breaker quase ausentes do material acadêmico e metodológico público. Os dados existem e estão abertos, portanto, e a lacuna não é de auditoria, e sim de pesquisa aplicada que mobilize esse ferramental específico sobre eles.

O ponto mais importante talvez seja o hábito de olhar. O analista que se limita à média de um conjunto de dados não tem como saber o que foi editado, porque a média afere apenas o nível, ao passo que é no formato que vive a informação de ordem superior, justamente aquela que carrega a impressão digital de quem cortou a cauda. No caso Madoff, o Sharpe de 2,47 já bastaria para pedir explicações, da mesma forma que, no EURCHF pré-2015, a volatilidade implícita artificialmente baixa já denunciava o piso. Quanto aos dias de halt da B3, a censura precisa ser flaggeada antes que contamine o modelo.

Poincaré (ou o professor alemão anônimo, ou quem tenha sido) só pegou o padeiro da segunda vez porque trocou a balança pelo histograma.

Referências

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Carteiras de crédito são o exemplo em que o desvio entre a teoria clássica e o comportamento observado aparece de forma mais sistemática e mais consequente para capital. Bolder (2022) propõe um experimento pedagógico que retomarei adiante: duas carteiras com os mesmos parâmetros de risco diferindo apenas em granularidade, cujos números surpreendem quem aprendeu diversificação na bolsa.

O arcabouço conceitual do capital econômico foi o assunto de Capital econômico: a arquitetura por trás de uma pergunta simples, em que a distinção sistêmico-idiossincrático apareceu de passagem. Este artigo aprofunda essa dimensão, examinando por que a lógica clássica de diversificação encontra limites mais severos em crédito, como Vasicek e Gordy formalizaram um modelo politicamente defensável e economicamente otimista, e como a literatura posterior e as crises recentes recolocaram a pergunta em termos que não cabem no cálculo regulatório padrão.

O que falha quando a lógica da diversificação encontra o crédito

A teoria clássica de portfólio repousa em três premissas implícitas. A primeira é que retornos têm distribuições aproximadamente simétricas, de modo que variância é uma medida informativa de risco. A segunda é que correlações entre ativos são estáveis, ou pelo menos estimáveis a partir de histórico razoável. A terceira é que a Lei dos Grandes Números opera com poucas dezenas de ativos independentes. Em qualquer classe de ativo essas premissas são imperfeitas; a questão é quanto a imperfeição custa em cada caso.

Em crédito, as três pioram juntas. O perfil de retorno de uma exposição é estruturalmente assimétrico. No melhor caso, o banco recebe o principal e os juros contratados; no pior, perde até 100% do valor multiplicado pela LGD. Uma emissão que rende 300 pontos-base de spread sobre a curva livre de risco tem ganho máximo limitado ao cupom e perda potencial de muitas dezenas de pontos percentuais. Variância, nesse mundo, não resume nada útil sobre a cauda. O analista de crédito não mede dispersão do retorno; mede probabilidade de eventos raros e o tamanho da perda quando ocorrem.

A segunda premissa também não se sustenta. Correlação de inadimplências é baixa em tempos calmos e dispara em estresse porque firmas dependem da mesma conjuntura macroeconômica, compartilham fornecedores e clientes, e têm custos de financiamento atrelados a condições agregadas. Quando o ciclo vira, muitas emissoras deterioram ao mesmo tempo. A dependência condicional ao cenário sistêmico é o que move a cauda da distribuição de perdas, e diversificar oferece menos proteção no momento em que proteção é mais necessária.

A terceira premissa é a que Bolder (2022) ataca de frente. Sob retornos contínuos e simétricos, a variância idiossincrática cai como 1/N e algumas dezenas de posições já capturam a maior parte do benefício da diversificação. Inadimplências, porém, são eventos raros e discretos; para que a Lei dos Grandes Números opere sobre a cauda, é preciso número de exposições em ordem de grandeza superior. A fronteira em que o ruído idiossincrático deixa de pesar sai de dezenas para milhares de devedores. E mesmo quando há milhares, o componente sistêmico persiste porque todas as contrapartes estão expostas ao mesmo ciclo.

O resultado é que a diversificação em crédito não segue a mesma curva conhecida da teoria de portfólio. Ela exige mais devedores distintos, tolera menos concentração e deixa sempre um residual sistêmico que nenhuma alocação resolve. Esse é o pano de fundo que a literatura de capital econômico para crédito tenta endereçar com rigor formal.

A formalização de Vasicek e o teorema de Gordy

A formalização mais influente parte do modelo de Merton para dívida corporativa e chega a Vasicek (2002) em uma construção de elegância notável. Cada devedor i tem um índice latente de valor de ativo decomposto em duas componentes:

Onde Y é um fator sistêmico gaussiano compartilhado por todos os devedores, ε_i é um choque idiossincrático independente, e ρ é a correlação de ativos. A inadimplência ocorre quando X_i cai abaixo de Φ⁻¹(PD), o quantil da normal padrão correspondente à probabilidade contratada. Essa é a versão de um fator do modelo de Merton, e organiza em duas linhas toda a mecânica subsequente.

Dada a realização do fator sistêmico Y, as inadimplências ficam condicionalmente independentes. Isso permite que Vasicek aplique a Lei dos Grandes Números numa carteira homogênea infinitamente granular e derive a distribuição-limite da taxa de perda:

Invertendo no quantil α, obtém-se a worst-case default rate, que é a fração de inadimplências da carteira num cenário sistêmico extremo:

Esta expressão é o núcleo da função supervisória de peso de risco IRB de Basileia II, também conhecida como IRB risk weight function. Vale um comentário sobre o nome. O IRB é uma abordagem na qual o banco estima internamente os parâmetros da contraparte (PD, LGD, EAD e maturidade); o que é livre é esse conjunto de insumos, não a regra que os converte em capital. A função abaixo é a mesma para todos os bancos autorizados a usar o IRB; o que muda de instituição para instituição são os parâmetros que alimentam a fórmula. Multiplicada por LGD, ajustada pela maturidade e subtraída da perda esperada PD·LGD (já coberta por provisões), ela entrega o capital regulatório por exposição:

Com ρ(PD) e b(PD) calibrados por classe de ativo conforme o documento técnico do Comitê de Basileia (BCBS, 2005). Para exposições corporativas, a correlação de ativos varia entre 12% para PDs altas e 24% para PDs baixas, uma calibração empírica discutida ao longo da Seção 5 do Explanatory Note.

O que transforma essa fórmula em arcabouço regulatório utilizável é o teorema da invariância de carteira, formalizado por Gordy (2003):

O capital marginal de uma exposição depende apenas de seus próprios parâmetros (PD, LGD, EAD, maturidade), e não da composição da carteira em que ela se insere, se e somente se existe um único fator sistêmico comum a todos os devedores e a carteira é assintoticamente granular.

Ou seja, nenhuma exposição pode representar fração não-desprezível do total. Essas duas condições definem o arcabouço ASRF (Asymptotic Single Risk Factor).

A invariância é o que torna a abordagem IRB escalável. Permite ao regulador escrever uma função aditiva por exposição, aplicável a qualquer banco, sem que o supervisor precise conhecer a composição integral da carteira de cada instituição. Politicamente, resolve o problema de escrever uma regra de capital que seja simultaneamente justa entre instituições e tratável do ponto de vista computacional.

Economicamente, porém, o ASRF é exato apenas no limite. Nenhuma carteira real é infinitamente granular, e nenhuma economia real tem um único fator sistêmico. A conta exata entrega capital menor do que a conta correta em carteiras finitas ou multi-setoriais. É essa lacuna que o resto deste artigo explora.

O experimento de Bolder

Retomando o experimento do início: duas carteiras, mesmos parâmetros (PD 0,5%, LGD 40%, α 99,97%, total € 1.000), diferindo apenas em granularidade. A diversificada tem 10.000 exposições idênticas; a concentrada tem 100 exposições heterogêneas, com a maior ocupando cerca de 5% do portfólio. Bolder (2022) calcula o capital econômico de cada uma sob dois modelos alternativos.

O modelo binomial independente trata todo o risco como idiossincrático, ignorando qualquer fator comum. Nessa hipótese irrealista, a Lei dos Grandes Números age livremente. Na carteira diversificada, o risco idiossincrático converge para 0,1% do valor, praticamente zero. Na concentrada, resta 3,1% idiossincrático, porque 100 devedores não são suficientes para diluir o peso da exposição dominante. Já o modelo gaussiano de um fator, que adiciona o componente sistêmico, entrega risco total de 7,6% na diversificada e 9,0% na concentrada.

Multiplicar o número de exposições de 100 para 10.000 deixa o capital econômico total da carteira apenas 1,4 ponto percentual abaixo (7,6% contra 9,0% do valor). O componente sistêmico, pela sua própria natureza, não se diversifica.

Três lições merecem destaque. A primeira é que sistêmico não se diversifica, resultado central do CAPM que reaparece aqui com a mesma força: 10.000 exposições ao mesmo fator econômico ainda carregam o risco desse fator. A segunda é que diversificar o componente idiossincrático em crédito é trabalhoso; 100 devedores heterogêneos deixam resíduo material, e um terço do risco total da carteira concentrada ainda é específico de contrapartes. A terceira, talvez a menos intuitiva, é que o componente sistêmico não é privilégio do risco de mercado. Trata-se de dimensão central também do risco de crédito, porque inadimplências correlacionam via ciclo econômico e redes de dependência setorial.

O experimento, como o próprio autor reconhece, foi construído. Parâmetros foram escolhidos para focar atenção exclusivamente na granularidade. Em carteiras do mundo real, as dimensões de concentração são várias: setor econômico, geografia, qualidade de crédito, tamanho de firma, hipótese de recuperação. Cada uma admite sua própria análise. Os números acima fornecem limite inferior didático, não estimativa superior.

Ajuste de granularidade e concentração multi-fator

O reconhecimento de que o ASRF é exato apenas no limite abriu uma agenda inteira de pesquisa. A primeira linha atacou a granularidade finita. A fórmula analítica de ajuste de primeira ordem foi proposta no início dos anos 2000 e sistematizada no modelo Vasicek por uma sequência de trabalhos que culmina em Gordy e Lütkebohmert (2013), versão refinada de trabalho iniciado em 2007 e hoje referência para supervisão. O ajuste de granularidade, conhecido pela sigla GA (granularity adjustment), é uma correção aditiva ao capital calculado pela função supervisória IRB, proporcional a:

Com s_i = EAD_i e f(·) dependente da função supervisória IRB. O numerador privilegia exposições grandes (pesos ao quadrado), e a divisão pelo total normaliza, resultando em um índice de Herfindahl-Hirschman ponderado por risco. Se todas as exposições fossem idênticas, o ajuste aproximaria zero (granularidade assintótica). Quando poucas exposições dominam, o ajuste cresce proporcionalmente ao quadrado do peso.

A forma simples do HHI puro, sem ponderação por risco, é útil como métrica inicial:

O inverso 1/HHI corresponde ao número efetivo de exposições. A segunda linha de pesquisa atacou o pressuposto de fator único. Pykhtin (2004) estendeu o ASRF para K fatores sistêmicos, construindo um fator composto que preserva forma analítica enquanto captura correlação heterogênea entre setores e regiões. A conta deixa de ser uma só fórmula e passa a depender da decomposição da carteira por segmento, mas ganha em fidelidade ao fenômeno real.

A literatura empírica sustenta o argumento. Düllmann e Masschelein (2007), aplicando o modelo multi-fator à base de registro de crédito alemã, mostram que a diferença entre capital que considera estrutura setorial e capital que a ignora pode chegar a 20–37% em carteiras com concentração setorial característica de bancos de atacado. O estudo anterior do Comitê de Basileia (BCBS, 2006, Working Paper 15) sugeria faixa similar de 20–40% para concentração setorial, contra 2–8% para concentração em devedores individuais (single-name) em carteiras de varejo pulverizadas. O efeito dominante em carteiras corporativas reais não é a granularidade de exposições individuais, é a exposição concentrada a setores específicos.

O arcabouço regulatório absorveu esses achados em forma de pragmatismo. Basileia abandonou o ajuste de granularidade explícito no Pilar 1 e delegou-o ao Pilar 2, via add-on supervisório. O ICAAP, processo pelo qual o próprio banco avalia seu capital interno, torna-se o local em que multi-fator, granularidade, concentração geográfica e setorial precisam ser quantificados e cobrados em capital adicional. A Tabela CR1 do Pilar 3 apresenta decomposição por setor econômico, região e prazo justamente para dar transparência a essas exposições.

Verificação numérica em Julia

As faixas que a literatura reporta são convites a reproduzir o cálculo. Implementei os três blocos do arcabouço em Julia (Vasicek analítico, HHI com ajuste de granularidade, e Monte Carlo multi-fator) e deixei o código aberto em pq_credit_concentration. A motivação não é refutar a literatura, e sim tornar concretos os efeitos e isolá-los uns dos outros, algo que resumos narrativos escondem.

O primeiro bloco reconstrói a distribuição-limite de Vasicek e a função supervisória IRB completa, variando ρ, PD e α. Para PD de 1%, LGD de 40%, α de 99,9% e maturidade 2,5, o capital IRB sai de 2,8% do EAD (ρ = 8%) até 8,4% (ρ = 24%), e cresce para 5,5% a 14,4% quando a PD sobe para 3%. Elevar o nível de confiança de 99,9% para 99,97%, patamar típico de um rating-alvo AA, adiciona cerca de 25% a 35% ao capital dependendo da PD, ilustrando por que a escolha do rating-alvo é uma decisão de negócio, não uma constante regulatória.

O segundo bloco constrói uma carteira sintética com exposições Pareto-distribuídas (parâmetro de forma 1,5), parâmetro calibrado para que a maior exposição fique próxima de 5–10% do total, perfil compatível com um banco S2/S3 brasileiro no corporate. Computa-se o HHI, o número efetivo de devedores e o ajuste de granularidade de primeira ordem. Variando N entre 50 e 5.000 e calculando a média sobre 100 sementes por ponto para eliminar ruído amostral, o GA cai de 2,8% do IRB em N = 50 para 0,15% em N = 5.000.

O terceiro bloco simula diretamente um modelo Gaussiano multi-fator com três setores, ρ intra de 20% e ρ inter de 8%, e estima o VaR 99,9% por Monte Carlo (40.000 cenários, 400 devedores por setor). O resultado acrescenta uma nuance que a narrativa simplificada omite. Numa carteira balanceada (pesos 33/33/33), o capital multi-fator fica cerca de 50% abaixo do que a fórmula ASRF com ρ uniforme de 20% prevê, porque a baixa correlação entre setores gera diversificação real. À medida que a concentração aumenta (50/30/20, depois 70/20/10, e finalmente 85/10/5), essa diversificação evapora e o capital multi-fator se aproxima do ASRF. Em carteira muito concentrada, os dois praticamente coincidem.

O famoso “+20% a +40%” da literatura não é um número único. Depende tanto do nível de concentração setorial da carteira quanto da calibração de ρ usada como referência, e carteiras bem distribuídas setorialmente podem até inverter o sinal da diferença em relação à fórmula supervisória IRB de um fator.

Quando o modelo não basta

Evidência empírica e crises recentes confirmam que concentração é dimensão que modelos elegantes capturam parcialmente. Quatro episódios ajudam a enxergar onde a formulação ASRF se afasta da prática bancária, e cada tipo de concentração tem uma resposta regulatória própria, resumida abaixo.

Em três dos quatro casos, o arcabouço de medição já estava em pé quando a concentração virou crise. O Credit Suisse tinha limite interno para Archegos, o SVB tinha indicadores de duration mismatch e os supervisores americanos acompanhavam a concentração em ADC (Acquisition, Development, and Construction) nos anos que antecederam as falências. Mesmo assim, a métrica gerou sinal sem que o sinal virasse ação corretiva, razão pela qual capital de concentração no Pilar 2, sem enforcement organizacional, fica apenas no papel, pois o que decide a história é a cadeia que parte da métrica e chega à alçada de quem pode fechar exposição.

Nenhum desses episódios, por outro lado, envolveu concentração pura numa única dimensão. Archegos combinou concentração em poucas ações, em única contraparte e alavancagem em derivativos, de modo que o risco efetivo se multiplicou em relação à exposição nominal. No SVB, somaram-se concentração de funding, base demográfica correlacionada de depositantes (venture capital e startups) e mismatch de duration no ativo. Nas falências de ADC, por fim, concentração setorial e concentração geográfica se sobrepuseram, uma vez que imóveis residenciais são intrinsecamente regionais. Daí que capital econômico univariado perde o efeito de produto entre as dimensões, e o ajuste multi-fator de Pykhtin, combinado com ILAAP para o passivo e stress tests de contraparte, ganha sentido como resposta conjugada.

Há ainda a dimensão temporal, já que concentração tende a ser fenômeno de formação lenta e de revelação rápida. A exposição do Credit Suisse a Archegos cresceu ao longo de dois anos; a participação de ADC nos bancos falidos se acumulou na fase de alta do ciclo imobiliário; e a duration do ativo do SVB foi alongada durante o regime de taxa zero. Como em nenhum desses casos o desafio foi identificar a concentração no momento da crise, e sim antes, o monitoramento precisa de métricas de regime e de gatilhos preventivos, e não apenas de relatório no dia da inspeção supervisória.

Acharya, Hasan e Saunders (2006) documentam, além disso, um efeito de natureza distinta, relativo à qualidade do monitoramento bancário. Especialização reduz a concentração medida pelo modelo, ao mesmo tempo em que aumenta o conhecimento acumulado sobre cada contraparte. Diversificar um banco forte pode, por isso, piorar o seu perfil de risco, já que o dilui para fora do perímetro de expertise. Como se trata de efeito informacional que não aparece em HHI nem em correlação de ativos, só se acessa por avaliação qualitativa. Somando os quatro episódios, concentração só vira capital útil via Pilar 2 quando a cadeia de governança faz valer o limite resultante.

A moldura brasileira

No Brasil, concentração de crédito é tratada em dois níveis. No primeiro, em forma de limite prudencial, a Resolução CMN nº 4.677/2018, alterada pela 5.077/2023, estabelece o Large Exposures Framework brasileiro, limitando a exposição total a um mesmo cliente ou grupo econômico a 25% do Nível I do Patrimônio de Referência, em linha com o padrão do Comitê de Basileia de 2014.

O segundo é o ICAAP, instituído pela Resolução CMN nº 4.557/2017 (BANCO CENTRAL DO BRASIL, 2017). O artigo 21, parágrafo 3º, incisos I e VI, exige que o processo avalie explicitamente risco de concentração e risco de crédito da contraparte. Bancos S1 e S2 rodam ICAAP completo; S3 e S4, ICAAP simplificado. Para bancos médios brasileiros com carteiras corporativas típicas de 200 a 500 devedores relevantes, o ajuste de granularidade de Gordy-Lütkebohmert deixa de ser detalhe técnico e passa a compor o capital interno efetivo.

Os indicadores do próprio sistema bancário brasileiro contextualizam. O Relatório de Estabilidade Financeira do Banco Central de novembro de 2025 reporta que o RC4 do crédito, fração detida pelos quatro maiores conglomerados (Itaú, Banco do Brasil, Bradesco, Caixa), é de 57,9%. O Brasil está entre as economias do G20 com maior concentração bancária, característica que realimenta a concentração setorial das carteiras individuais. Tabak, Fazio e Cajueiro (2011), usando dados bancários brasileiros, documentam que concentração setorial reduz simultaneamente risco e retorno, ecoando o resultado de Acharya et al. em amostra local: especialização funciona aqui também, até onde o monitoramento consegue alcançar.

A Resolução BCB nº 229/2022, que moderniza o cálculo do RWA padronizado em convergência com Basileia III finalizado, não altera o tratamento de concentração como risco de Pilar 2. Mantém o desenho pelo qual Pilar 1 captura o componente sistêmico via ASRF, e Pilar 2 cobra o resíduo de concentração via ICAAP. Para o gestor de risco brasileiro, isso significa que a conta correta do capital econômico exige, por desenho regulatório, ir além da função supervisória IRB.

Conclusão

O experimento didático de Bolder (2022) entrega uma lição compacta. A intuição clássica de diversificação, que elimina o risco idiossincrático com algumas dezenas de ativos, simplesmente não opera no mesmo regime em crédito. O perfil assimétrico do retorno, as correlações que escalam em estresse e a raridade dos eventos de inadimplência empurram a fronteira de diversificação para milhares de devedores, e ainda assim deixam um componente sistêmico que nenhuma alocação consegue eliminar.

A formalização de Vasicek (2002) e o teorema de Gordy (2003) deram ao regulador uma fórmula que é politicamente defensável, porque invariante à composição da carteira, e computacionalmente tratável, porque aditiva por exposição. Não são, porém, a descrição mais acurada do mundo. Carteiras reais são finitas, e mundos reais têm múltiplos fatores sistêmicos. A distância entre o ASRF e o capital econômico correto é preenchida pelo ajuste de granularidade (GORDY; LÜTKEBOHMERT, 2013) e pelo ajuste multi-fator (PYKHTIN, 2004), que as evidências empíricas de Düllmann e Masschelein (2007) e do próprio Comitê de Basileia (BCBS, 2006) calibram em algo entre 20% e 40% de capital adicional em carteiras setorialmente concentradas.

As crises recentes acrescentam dimensões que nenhuma fórmula cobre com elegância. Archegos lembrou que concentração em contraparte via derivativos aloja-se em pontos cegos do limite tradicional. Silicon Valley Bank expôs que concentração de funding não é parte do ASRF. As falências americanas da década passada mostraram que concentração setorial em imóveis foi melhor preditor de quebra do que o nível agregado de risco. A literatura empírica sobre bancos especializados, representada por Acharya, Hasan e Saunders (2006), sugere que diversificação nem sempre é melhor do que o conhecimento profundo da própria carteira.

Para o quant brasileiro que desenha modelo interno de crédito ou compõe o ICAAP, vale substituir a contagem de devedores por outra pergunta, de escopo mais rico:

Quanto do risco total ainda é idiossincrático? Quanto depende de concentração setorial ou geográfica? Quanto escapa à fórmula por ficar no funding ou numa relação de contraparte alavancada?

O capital econômico que responde a essas três perguntas se distancia do capital regulatório mínimo, e é nessa distância que a gestão de risco ganha o sentido que o Pilar 1 não ambiciona cobrir.

Referências

ACHARYA, V. V.; HASAN, I.; SAUNDERS, A. Should banks be diversified? Evidence from individual bank loan portfolios. Journal of Business, v. 79, n. 3, p. 1355–1412, 2006.

BANCO CENTRAL DO BRASIL. Resolução CMN nº 4.557, de 23 de fevereiro de 2017. Dispõe sobre a estrutura de gerenciamento de riscos e de capital. Brasília: BCB, 2017.

BANCO CENTRAL DO BRASIL. Resolução CMN nº 4.677, de 31 de julho de 2018. Dispõe sobre os limites máximos de exposição por cliente. Brasília: BCB, 2018.

BASEL COMMITTEE ON BANKING SUPERVISION. An explanatory note on the Basel II IRB risk weight functions. Basel: BIS, 2005.

BASEL COMMITTEE ON BANKING SUPERVISION. Studies on credit risk concentration. BCBS Working Paper No. 15. Basel: BIS, 2006.

BOLDER, D. J. Modelling economic capital: practical credit-risk methodologies, applications, and implementation details. Cham: Springer, 2022.

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FEDERAL RESERVE. Review of the Federal Reserve’s supervision and regulation of Silicon Valley Bank. Washington: Board of Governors of the Federal Reserve System, 2023.

GORDY, M. B. A risk-factor model foundation for ratings-based bank capital rules. Journal of Financial Intermediation, v. 12, n. 3, p. 199–232, 2003.

GORDY, M. B.; LÜTKEBOHMERT, E. Granularity adjustment for regulatory capital assessment. International Journal of Central Banking, v. 9, n. 3, p. 33–71, 2013.

MARKOWITZ, H. Portfolio selection. Journal of Finance, v. 7, n. 1, p. 77–91, 1952.

PAUL WEISS. Credit Suisse Group Special Committee of the Board of Directors report on Archegos Capital Management. New York: Paul, Weiss, Rifkind, Wharton & Garrison LLP, 2021.

PYKHTIN, M. Multi-factor adjustment. Risk Magazine, v. 17, n. 3, p. 85–90, 2004.

TABAK, B. M.; FAZIO, D. M.; CAJUEIRO, D. O. The effects of loan portfolio concentration on Brazilian banks’ return and risk. Journal of Banking & Finance, v. 35, n. 11, p. 3065–3076, 2011.

VASICEK, O. A. The distribution of loan portfolio value. Risk, v. 15, n. 12, p. 160–162, 2002.

Tomo como estudo de caso o pq_semantic_cvm (se quiser mais detalhes sobre o projeto, entre em contato no chat), projeto em que modelei quase a totalidade dos 24 datasets públicos da CVM (cadastros de fundos, DFPs e ITRs de companhias abertas, composição de carteiras, ofertas, securitizações, formulário de referência, processos sancionadores) em uma camada semântica baseada em YAML conectada a um data warehouse PostgreSQL e a um pipeline de geração de SQL em múltiplos estágios. A ideia é mostrar como as peças se encaixam, que tipo de conhecimento a camada semântica carrega, e por que esse padrão serve a qualquer empresa que queira oferecer acesso confiável aos próprios dados via linguagem natural.

O que está dentro dos arquivos YAML

A camada semântica do projeto é uma coleção de arquivos YAML organizados por dataset. Cada YAML documenta uma tabela ou um grupo coeso de tabelas, e o conjunto cumpre três funções: descreve o que o dado significa, onde ele mora e quando ele mente. Não é documentação técnica no sentido tradicional, é um contrato de interpretação.

Um YAML típico começa com um bloco de cabeçalho que registra o normativo aplicável, a fonte bruta, a chave de grão e uma history note que descreve mudanças regulatórias relevantes. Em seguida vêm as colunas, cada uma com rótulo legível, descrição, contexto de negócio, valores possíveis e, a parte mais valiosa, caveats: armadilhas conhecidas, assimetrias, pegadinhas que só quem já quebrou a cabeça contra aquele dado sabe. O YAML do cadastro de fundos, por exemplo, avisa ao modelo que o campo SIT = 'CANCELADA' pós-RCVM 175 pode significar tanto encerrado quanto migrado para o novo regime e ainda ativo.

Além das colunas, os YAMLs declaram relationships (caminhos de junção pré-validados entre tabelas), critical_routing (regras peremptórias sobre qual tabela usar ou não usar para um tipo de pergunta), example_questions (perguntas reais com dicas de padrão SQL correto) e dimensional_traps (pares de conceitos que parecem sinônimos e não são, como administrador versus gestor de fundo, ou coordenador líder versus agente fiduciário em securitizações).

Há ainda um conjunto de arquivos auxiliares que descrevem regras transversais ao domínio: um registra idiomas de PostgreSQL que devem ser seguidos; outro consolida marcas canônicas (Bradesco casa como BRADESCO%, não como BANCO BRADESCO S.A.); um terceiro lista as confusões dimensionais recorrentes; um quarto define o que o crítico automático deve checar depois da execução.

Três camadas de tabelas, não uma

A camada semântica só faz sentido se estiver ancorada em um modelo dimensional bem estruturado. O projeto organiza o banco em três camadas clássicas de data warehouse na tradição de Kimball (KIMBALL; ROSS, 2013), cada uma com papel próprio.

A camada raw contém cópias fiéis dos arquivos publicados pela CVM: informes diários de fundos, balanços patrimoniais, formulários de referência, cadastros de participantes. Nada é normalizado, nada é deduplicado. Os tipos são preservados como texto (todo campo em CSV chega como texto), os nomes das colunas são idênticos aos do arquivo original, e cada dataset mora em sua própria tabela. Essa camada é a fonte da verdade: se houver discrepância, é ela que vale.

A camada staging é a primeira limpeza. Aqui os tipos são convertidos, valores nulos são padronizados, CNPJs são normalizados com LPAD para 14 dígitos, e, mais importante, tabelas equivalentes oriundas de regimes regulatórios diferentes são fundidas em visões coerentes. O stg_cvm__fundos é o exemplo canônico: ele faz UNION ALL entre raw.cad_fi (cadastro legado ICVM 555) e raw.registro_classe (RCVM 175), marcando a origem de cada linha para que a próxima camada possa escolher qual prevalecer quando houver duplicata.

A camada mart contém as tabelas prontas para análise. Suas tabelas têm prefixo dim_ (dimensões cadastrais, como dim_fundos), fct_ (tabelas-fato, como fct_fundos_performance_mensal ou fct_liquidez_trimestral) e sem_ (visões semânticas agregadas, como sem_composicao_carteira_gestora). É essa a camada que o pipeline de linguagem natural procura primeiro, tanto pela ergonomia quanto porque ela já absorveu as descontinuidades regulatórias que o raw expõe cru.

A camada semântica espelha essa estrutura: há um conjunto de YAMLs descrevendo as tabelas raw mais importantes (cadastros, informes, formulários), um conjunto separado descrevendo os marts (incluindo os staging selecionados que o modelo precisa conhecer) e os arquivos transversais já mencionados. Quando o pipeline monta um prompt, ele carrega apenas os YAMLs relevantes para a pergunta, filtrando por prefixo de tabela e por dataset envolvido.

O fluxo pergunta → resposta

A camada semântica é conhecimento em repouso. O pipeline de linguagem natural é o que coloca esse conhecimento em uso. Ele recebe uma pergunta em português, consulta a camada semântica conforme o contexto, gera SQL, executa contra o PostgreSQL e devolve os dados junto com um veredito automático sobre a adequação da resposta.

A implementação usada tem dez estágios encadeados, desenhados para empilhar defesas em profundidade. Não é a única maneira de montar um sistema assim: frameworks como Vanna AI, Wren AI, Cube e dbt Semantic Layer seguem caminhos diferentes, ora mais próximos de RAG puro, ora mais próximos de compiladores de metrics (CHI, 2024; CANNER INC., 2024). A literatura acadêmica também documenta famílias distintas: decomposição com autocorreção (POURREZA; RAFIEI, 2023), decoding com gramática restrita (SCHOLAK; SCHUCHER; BAHDANAU, 2021), fine-tuning específico sobre corpora de SQL (LI et al., 2024; SUN et al., 2023), mistura de few-shot e recuperação (LIU et al., 2024). Cada escolha tem consequências em latência, custo de tokens e tipos de erro residual. O arranjo abaixo é o que, em experimentação sobre o domínio da CVM, deu melhor relação entre acurácia e tempo de resposta; ele deve ser visto como um ponto no espaço de projeto, não como receita universal.

Question Critic, Resolve Requirements e Ensure Data

A primeira etapa, Question Critic, decide se a pergunta é respondível com dados da CVM e se está dimensionalmente clara. Perguntas fora do escopo retornam um disclaimer em vez de um SQL, o que evita que o modelo alucine SQL para assuntos impossíveis. Perguntas ambíguas passam por uma clarificação automática que, quando o domínio permite, reescreve a pergunta de forma canônica (por exemplo, substitui “fundos da XP” por “fundos sob gestão da XP”, ou registra que “lucro” nessa pergunta provavelmente significa lucro líquido societário).

Em seguida, Resolve Requirements consulta a camada semântica e devolve a lista de datasets necessários com seus recortes temporais, por exemplo dfp:2024,2023; cia_aberta_cad:snapshot para uma pergunta sobre evolução de lucro de uma companhia aberta. Esse resultado alimenta o estágio Ensure Data, responsável por baixar ou atualizar na camada raw apenas os arquivos necessários. Se o dataset já estiver em cache, o estágio passa em um milissegundo.

Table Selector e System Prompt

O Table Selector é um segundo estágio de LLM cuja única função é escolher, dentre todas as tabelas candidatas, o subconjunto mais provável para responder à pergunta. Ele recebe descrições sucintas de cada tabela (extraídas dos YAMLs) e devolve uma lista curta, tipicamente de duas a cinco tabelas. Esse filtro reduz drasticamente o tamanho do prompt principal.

Com as tabelas escolhidas, Build System Prompt monta o contexto que vai alimentar o gerador de SQL: regras de PostgreSQL, YAMLs das tabelas selecionadas (com colunas, caveats, critical_routing e example_questions), marcas canônicas relevantes, armadilhas dimensionais pertinentes ao domínio e uma amostra de valores enumerados para colunas categóricas. O prompt fica tipicamente entre 30 e 50 mil tokens, contra centenas de milhares se todos os YAMLs fossem carregados.

Creator LLM, SQL Validator e Intent Alignment

O Creator LLM é o gerador propriamente dito. Ele recebe o prompt e a pergunta, e devolve SQL em saída estruturada (JSON com um único campo sql), o que elimina toda uma classe de erros de parsing associados a respostas em markdown livre (GENG et al., 2025). A escolha do modelo responsável por esse estágio é uma decisão de custo-benefício: modelos maiores tendem a acertar mais em perguntas complexas, mas custam mais e são mais lentos. A configuração usada aqui combina um modelo principal de nível intermediário com dois níveis de fallback mais capazes, acionados apenas se o anterior falhar. Os marcadores específicos importam menos do que a forma da cascata.

O SQL Validator roda checagens determinísticas sobre o SQL gerado: sintaxe, bloqueio de operações perigosas, reescrita de tabelas alucinadas (se o modelo inventou staging.stg_cvm__fundos quando o Table Selector só havia autorizado marts.dim_fundos, a substituição é automática e registrada). É barato e rápido, e pega erros cirúrgicos antes de encostarem no banco.

O Intent Alignment é uma segunda passagem de LLM, barata, que pergunta: “esse SQL, se executado, responde à pergunta original?”. Quando a resposta é não, o SQL é regenerado com feedback específico sobre o que está faltando. Esse estágio captura a diferença entre right data, wrong dimension: SQL que compila, executa e retorna números plausíveis, mas responde a uma pergunta diferente da que foi feita.

Execute, recuperação e Answer Critic

Se tudo passa, o SQL vai para Execute. Quando o banco devolve erro, entra uma cadeia de recuperação: primeiro o SQL Reviewer (modelo pequeno, correção cirúrgica, latência abaixo de um segundo); depois o Fallback LLM (modelo maior, recebe o SQL errado junto com o erro e regenera); por fim, o Fallback LLM 2 (modelo ainda mais capaz, recebe as duas tentativas anteriores e seus respectivos erros). Cada nível só é acionado se o anterior falhar, e a cascata abre mão de tentativas quando os erros sugerem problema estrutural insolúvel.

Quando a execução produz linhas, o Semantic Checks roda verificações determinísticas simples: por exemplo, se a pergunta pedia um ranking de cinco itens e o resultado tem apenas um, ou se todos os valores voltaram NULL. Em seguida, o Answer Critic (outra chamada de LLM, com modelo diferente do gerador para reduzir viés correlacionado) lê a pergunta, o SQL e as primeiras linhas do resultado, e emite um veredito em três níveis: GREEN (resposta adequada), YELLOW (resposta provavelmente correta com ressalvas) ou RED (resposta inadequada, seja por SQL incorreto, seja por interpretação equivocada da pergunta). O veredito é exibido junto do resultado; o usuário vê não apenas o número, mas uma segunda opinião automatizada sobre se aquele número responde ao que foi perguntado.

O paradigma de usar um modelo como juiz de outro foi popularizado por Zheng et al. (2023) com o MT-Bench, e a ideia de autoconsistência por múltiplas amostragens, por Wang et al. (2023). Aqui não há amostragem múltipla: há um juiz único com acesso ao resultado, que é mais barato e, para o domínio, tem se mostrado adequado.

Um exemplo executado

A descrição acima fica mais palpável quando se acompanha a execução. Abaixo está o fluxo completo para uma pergunta simples, registrada pela interface do projeto:

Dois elementos merecem atenção. O SQL gerado aponta para marts.dim_fundos e não para raw.cad_fi. Essa escolha é consequência do critical_routing documentado no YAML do cadastro, que instrui o LLM a nunca contar fundos ativos diretamente em cad_fi após a RCVM 175. Sem essa instrução, o mesmo modelo escreveria, com a mesma confiança, um SQL contra cad_fi e devolveria três fundos multimercado, não 13.787, como o próximo exemplo mostra.

O segundo elemento é o veredito. O Answer Critic não apenas valida: ele explicita a justificativa (”a SQL usa a dimensão cadastral adequada, filtra a classe certa e restringe aos fundos em funcionamento”) e aponta as fontes consultadas. É essa explicitação que transforma “número de um LLM” em “resposta com cadeia de custódia visível”.

As vantagens claras da camada semântica: dois exemplos reais

Os dois casos a seguir foram executados contra a base de produção, em PostgreSQL 17, com dados públicos da CVM. Não são cenários didáticos: são o tipo de falha silenciosa que a ausência de uma camada semântica produz no dia a dia de uma mesa de dados.

Exemplo 1: o colapso silencioso pós-RCVM 175

Em 28 de outubro de 2024, a RCVM 175 substituiu a ICVM 555 na regulação de fundos. A mudança foi a migração de identificador: o informe diário passou a usar CNPJ da classe do fundo em vez do CNPJ do fundo. Em novembro de 2024, 22.895 de 25.866 CNPJs ativos (88,6%) já eram CNPJs de classe, invisíveis para qualquer consulta que fizesse JOIN raw.inf_diario → raw.cad_fi, o padrão legado.

A pergunta “Qual foi a captação líquida dos fundos de ações da XP em 2024, mês a mês?” gerada por um modelo sem acesso à camada semântica produz um SQL sintaticamente perfeito, que roda sem erro e devolve uma tabela coerente. O problema é que a contagem de fundos cai de 69 em janeiro para 22 em dezembro, o valor de captação fica 5,9× menor que o real em dezembro, e o analista tende a interpretar o declínio como decisão de negócio da XP quando, na verdade, é artefato da migração regulatória que fez 82% dos fundos sumirem do JOIN.

Com a camada semântica, o mesmo LLM passa a receber, junto da pergunta, a instrução de que dim_fundos consolida cadastros do regime legado e do novo, e que a tabela-fato fct_fundos_performance_mensal já absorve essa migração. O SQL gerado então faz JOIN contra as tabelas certas. Em dezembro, o resultado passa a mostrar 140 fundos e captação líquida de -R$ 164,1 milhões, refletindo a realidade.

Exemplo 2: quando o significado da coluna muda

A segunda armadilha é ainda mais sutil. A mesma RCVM 175 fragmentou o cadastro de fundos: os fundos migrados aparecem como SIT = 'CANCELADA' no cadastro legado raw.cad_fi, mesmo em plena operação. O campo SIT não mudou de nome. Os valores possíveis não mudaram. Mas o significado de 'CANCELADA' expandiu: agora pode ser encerrado ou migrado e ativo sob RCVM 175.

Uma pergunta comum, “Quantos fundos multimercado estão em funcionamento no Brasil em março de 2025?”, gera sem camada semântica o SQL óbvio: SELECT COUNT(*) FROM raw.cad_fi WHERE classe = 'Multimercado' AND sit = 'EM FUNCIONAMENTO NORMAL'. O resultado é 3. Apenas três fundos multimercado em funcionamento no Brasil. Sem erro, sem aviso: a consulta é sintaticamente perfeita.

Com a camada semântica, o critical_routing no YAML do cadastro proíbe esse padrão: “NUNCA conte fundos ativos usando raw.cad_fi WHERE SIT = 'EM FUNCIONAMENTO NORMAL'. Use marts.dim_fundos.situacao, que consolida cad_fi e registro_classe em uma dimensão coerente”. O SQL gerado passa a contar pelo mart e retorna 13.787, cerca de 4.600 vezes mais fundos do que o primeiro caminho.

Os dois erros têm escalas diferentes mas a mesma natureza: uma consulta hardcoded é um contrato com o esquema físico de ontem; toda vez que a CVM publica uma nova instrução normativa (e foram muitas, de ICVM 302 a RCVM 175), o contrato quebra. Uma camada semântica é um contrato com o significado do dado. A regulação muda uma vez; o YAML é atualizado uma vez; dessa forma as consultas geradas automaticamente passam a refletir a nova realidade.

Que tipo de pergunta esse sistema responde

A camada semântica modelada cobre oito grandes domínios, e o pipeline tem histórico de respostas validadas como corretas em todos eles. Para dar a medida do escopo, seguem exemplos reais abaixo que tal sistema é capaz de responder utilizando somente dados da CVM.

A amplitude decorre de que cada domínio exigiu construção de YAMLs específicos, com seus próprios caveats, critical_routing e dimensional_traps. Perguntas sobre composição de carteira, por exemplo, só funcionam bem porque o mart sem_composicao_carteira_gestora pré-agrega 1,47 milhão de linhas do informe CDA por gestor e tipo de ativo, e porque o YAML correspondente deixa claro que essa tabela existe, que granularidade por fundo deve cair no staging, e que a coluna gestor se refere à gestora do fundo, não ao emissor do título.

Mas qual seria a diferença de tentar responder usando um chat LLM “inteligente” com capacidade de busca, considerando que os dados da CVM são públicos? Mesmo que os dados sejam públicos, o chat LLM não executa consulta analítica sobre eles: na melhor hipótese ele lê páginas descritivas do portal da CVM, ou tenta montar um script ad hoc a cada pergunta, sem garantia de que baixou os arquivos certos, fez o join certo e agregou corretamente. Mesmo que o chat consiga rodar o SQL, ele não carrega o conhecimento acumulado sobre as armadilhas do domínio que citamos. A camada semântica é esse conhecimento destilado, pronto para ser injetado em qualquer modelo que gere SQL. Além disso, o custo da consulta e o tempo de execução serão significativamente menores com o uso da camada semântica.

Quando a mesma arquitetura vai para dentro de uma empresa

A CVM é um laboratório conveniente: dados públicos, descontinuidades regulatórias bem documentadas, zero preocupação com autorização por linha ou com LGPD. Dentro de uma empresa, a mesma arquitetura precisa absorver três atritos adicionais.

O primeiro é o conhecimento tribal. No caso da CVM, todo caveat que entra no YAML pode ser justificado por uma instrução normativa que qualquer um consegue ler. Dentro da empresa, os caveats moram na cabeça da pessoa que há oito anos sabe que o campo status_venda = 7 significa “cancelado pelo cliente, mas com multa paga” e não “cancelado pelo backoffice”. Modelar bem a camada semântica exige sentar com essas pessoas, transcrever o que elas sabem e versionar. É um trabalho arqueológico antes de virar trabalho de engenharia, mas que pode ser auxiliado também com o uso de LLMs.

O segundo é o controle de acesso. A mesma pergunta (”margem de contribuição por SKU no trimestre”) pode ser legítima para o diretor comercial e proibida para um estagiário do financeiro. A camada semântica precisa casar com row-level security, views filtradas por perfil e trilhas de auditoria que a CVM, por natureza pública, dispensa. Isso transforma a camada semântica em um artefato de governança, não apenas de modelagem.

O terceiro é a velocidade do esquema. A CVM muda regras a cada alguns anos; times de produto mudam o esquema de dados a cada sprint. O YAML passa a ser um contrato que precisa ser atualizado junto do pull request que renomeia uma coluna, sob pena de o crítico começar a reprovar respostas de um dia para o outro.

Quando esses três atritos são endereçados, o que sobra é um padrão com conexão natural aos princípios de agregação e reporte de dados de risco do BCBS 239 (BCBS, 2013) e da Resolução CMN 4.557/2017 (BCB, 2017): fonte autoritativa única, definição consistente, capacidade de responder rapidamente a solicitações não padronizadas. O YAML documentado, versionado e conectado a um mart torna a auditoria mais barata, e o crítico automático fornece uma segunda leitura que o reporte manual não tem.

Os contratempos

A arquitetura não é livre de problemas, e os mais persistentes vêm do próprio LLM. Três merecem destaque.

O primeiro é o não-determinismo. Mesmo com temperatura zero e resposta estruturada, a mesma pergunta pode produzir SQLs diferentes em execuções distintas, por razões que remontam à não-associatividade de ponto flutuante em GPU e à dependência do resultado com o tamanho do batch de inferência (ATIL et al., 2024; HE, 2025). A mesma pergunta que recebeu GREEN em uma execução pode receber RED em outra, com SQLs sutilmente diferentes. No exemplo 2 acima, durante a gravação deste artigo, a mesma pergunta foi executada duas vezes em menos de uma hora: uma vez gerou COUNT(*) com filtro de data e o crítico aprovou; outra vez gerou COUNT(DISTINCT cnpj) sem filtro de data e o crítico reprovou por não respeitar o recorte temporal pedido. A saída foi próxima, mas a cadeia de raciocínio divergiu.

O segundo é a alucinação residual. LLMs ainda inventam colunas, tabelas, funções de janela e sintaxes que não existem no PostgreSQL, e o fazem com fluência suficiente para passarem por válidas em uma leitura rápida (JI et al., 2023; HUANG et al., 2023). O SQL Validator elimina uma fração, o Intent Alignment outra, o crítico pega o que sobra, mas nenhum desses mecanismos elimina o problema por completo. Mesmo no benchmark BIRD, que usa bancos reais e sujos, os melhores modelos proprietários chegam perto de 55% de acurácia contra 93% humana (LI et al., 2023); em benchmarks enterprise recentes como Spider 2.0, a taxa cai para algo em torno de 20% (LEI et al., 2024). A camada semântica eleva o piso, não o teto.

O terceiro é o custo de modelagem. A camada semântica não é automática: ela exige conhecimento de domínio que alguém precisa destilar em YAMLs. Cada caveat só chega ao arquivo depois que alguém quebrou a cabeça contra aquele dado e entendeu a armadilha. Para uma empresa com centenas de tabelas herdadas, a modelagem inicial pode levar meses, e a manutenção é contínua: toda mudança de schema, toda nova fonte, toda renomeação exige atualização correspondente no YAML. É o custo de transformar conhecimento tribal em infraestrutura.

Existe ainda o viés de cobertura: o sistema só responde bem ao que foi modelado. Perguntas que caem fora dos domínios mapeados tendem a receber respostas genéricas ou a serem rejeitadas pelo Question Critic. Isso é uma qualidade, não defeito (rejeitar é muito melhor que responder mal), mas a fronteira entre domínio coberto e domínio descoberto precisa ser visível ao usuário.

Conclusão

O investimento em uma camada semântica paga-se em três moedas diferentes.

A primeira é tempo, pois as perguntas que antes entravam numa fila de BI e voltavam dois dias depois voltam em segundos, com a resposta estruturada e pronta para discussão. Um diretor que pergunta e já recebe a contagem correta de fundos, a evolução da margem, o ranking do trimestre, deixa de esperar pelo analista e pede diretamente. O analista, por sua vez, sai de operador de consulta e volta a ser investigador de padrões.

A segunda é confiança, pois quando duas áreas discordam sobre um número, a discussão hoje costuma ser sobre qual definição foi usada. Com uma camada semântica bem modelada, a definição está escrita em um lugar só, é versionada, é auditável e acompanha cada resposta gerada. O tempo de reunião antes gasto em “qual planilha é a certa” migra para o que realmente importa: o que fazer com o que o número mostra.

A terceira é resiliência, pois quando a regulação muda, sistemas fonte são renomeados, produtos ganham novos campos. Sem camada semântica, cada mudança dispara uma caçada manual por consultas quebradas em planilhas, dashboards e relatórios. Com ela, a mudança é registrada uma vez, no YAML, e todas as perguntas futuras passam a refletir a nova realidade. O conhecimento institucional deixa de morrer quando o analista sênior sai.

Nenhum desses ganhos depende de acreditar que os modelos de linguagem já são confiáveis o bastante para serem soltos sozinhos, e é exatamente aí que a abordagem se torna atrativa: ela coleciona o conhecimento da casa em um artefato estável, e usa o LLM apenas como tradutor supervisionado. Quando o modelo seguinte chegar e for ainda mais confiável, a camada semântica está pronta para receber; quando chegar e alucinar de forma nova, as verificações já existirão.

A pergunta a fazer antes de começar não é se vale montar a infraestrutura, é quanto tempo mais a empresa pode continuar pagando o custo invisível de operar sem ela: divergência de número, analista caro resolvendo ad hoc, diretor que decide no escuro, auditoria que demora semanas. Quando esse custo é medido com honestidade, o investimento na camada semântica pode se tornar intessante.

Referências

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No texto anterior sobre o assunto de liquidez em bancos, a discussão sobre risco de liquidez terminou em um ponto delicado. A taxonomia de Castagna e Fede organizou os fluxos de caixa do banco por tempo e valor, distinguiu determinísticos de estocásticos, catalogou as quatro subclasses dos últimos (credit-related, indexed/contingent, comportamentais e de new business), e introduziu a separação entre causas de liquidez (fluxos do negócio ordinário) e fontes (instrumentos de gestão). O conceito de Liquidity Generation Capacity (LGC) foi apresentado como a capacidade residual do banco de transformar ativos e acessos ao mercado em caixa além do que os contratos prevêem.

Faltou, porém, a resposta à pergunta que interessa ao tesoureiro: em que horizonte exato a liquidez aperta, e com que instrumentos o banco consegue cobrir o aperto? A taxonomia é um catálogo; a LGC é um potencial. Nenhum dos dois, isoladamente, diz ao banco quando ele quebra.

A resposta de Castagna e Fede (2013) está nas estruturas a termo de liquidez: quatro curvas indexadas pelo horizonte temporal que, combinadas, produzem um veredito por bucket: tudo em ordem, aperto administrável ou crise de fato. Este artigo constrói as quatro curvas, formaliza a integração em um liquidity gap e ilustra o resultado com um banco estilizado.

Do indicador pontual à curva de horizontes

O supervisor pós-crise preferiu indicadores pontuais. O Liquidity Coverage Ratio (LCR) do BCBS 238 (2013) pergunta se o estoque de High-Quality Liquid Assets cobre as saídas líquidas estressadas em 30 dias; o Net Stable Funding Ratio do BCBS 295 (2014) pergunta se o funding estável cobre os ativos de prazo superior a um ano. Ambos são números únicos, cada um em seu horizonte fixo.

Um indicador pontual é útil para tráfego regulatório, mas perde a forma da curva de risco no intervalo entre os horizontes monitorados. Um banco pode ter LCR saudável a 30 dias, NSFR confortável acima de um ano e ainda assim abrigar, entre os dois pontos, um vale de saldo acumulado que exige levantar caixa em três ou nove meses, exatamente o horizonte que nenhum dos dois indicadores captura. A mesma crítica aparece no BCBS 144 (2008), cujo Princípio 5 exige projeções multi-horizonte de fluxos de caixa como base do maturity ladder interno; no Brasil, essa projeção é operacionalizada pelo Demonstrativo de Risco de Liquidez (DRL 2160) do Banco Central.

As estruturas a termo de Castagna e Fede têm vocação justamente para essa lacuna. Em vez de agregar tudo em um horizonte, declaram uma grade de horizontes (overnight, 1w, 1m, 3m, 6m, 9m, 1y, 2y, 5y, >5y) e desenham sobre ela quatro curvas complementares. A primeira é a curva dos fluxos esperados; a segunda, do saldo acumulado; a terceira, dos ativos disponíveis; a quarta, da capacidade de gerar caixa. O gap final é uma combinação linear das curvas.

O banco estilizado que ilustra o resto

Para tornar o framework concreto, todo o artigo acompanha um banco hipotético nomeado aggressive_bank: total de ativos 1.050 u.m., alavancagem elevada em crédito, financiado principalmente em mercado curto. O balanço estilizado tem 800 u.m. em livro de empréstimos ilíquidos, 250 u.m. em securities (cash, tesouros 3M/2Y/5Y, corporate bond, equity) e um passivo com 450 u.m. em interbancário 3M+6M, 400 u.m. em depósitos (à vista e a prazo) e 50 u.m. em dívida sênior 3Y. Uma linha de crédito concedida de 150 u.m. pende off-balance. É um banco plausível, calibrado para revelar o ponto fraco que nenhum indicador pontual mostraria sozinho.

TSECF: a escada dos fluxos esperados

A primeira curva, a Term Structure of Expected Cash Flows (TSECF), coleciona fluxos esperados por data. Formalmente, para um conjunto de N contratos ou posições, o fluxo positivo esperado em t_i, observado da data de referência t₀, é a soma das esperanças individuais:

com expressão simétrica para cfe-. A TSECF é simplesmente a coleção de entradas e saídas esperadas para cada data relevante até o horizonte terminal t_b, tipicamente coincidente com a maturidade do contrato mais longo (eq. 6.4 do livro):

A parte da curva até um ano é o maturity ladder tradicional; a parcela além de um ano é conhecida como liquidez estrutural. A natureza esperada das grandezas não é cosmética, pois a maior parte dos fluxos é estocástica: depósitos à vista são comportamentais (Jarrow e van Deventer, 1998; Kalkbrener e Willing, 2004), empréstimos a taxa flutuante são indexados, hipotecas carregam opção de pré-pagamento (Schwartz e Torous, 1989; Stanton, 1995). A TSECF é o valor médio da distribuição; a dispersão exige instrumentos distintos.

No pacote, os contratos são projetados por regras específicas em CashFlowEngine.jl: bullet loans pagam juros periódicos e amortização em maturidade; amortizing loans seguem o padrão de prestação constante (sistema francês); depósitos à vista são decompostos em núcleo estável (55% do saldo, no banco agressivo) e non-core com runoff exponencial (2% ao mês na calibração padrão). A consolidação para a curva propriamente dita acontece na função TSECF, que aloca cada fluxo ao bucket adequado relativo a t₀:

Trecho de src/TermStructures.jl.

Para o banco agressivo com t₀ = 1° de janeiro de 2026 e horizonte de dez anos, o resultado da projeção está resumido abaixo.

Tabela 1. TSECF por bucket (aggressive bank).

A leitura por bucket é didática. Nada acontece nas três primeiras semanas. O primeiro pulso negativo vem em 2m, com os −5,35 u.m. de juros do interbancário 3M, rápida antessala da saída principal: os 354,34 u.m. que deixam o banco em 3m quando o interbancário vence. Após 9m, outra saída relevante (−152,27 u.m.) pela maturidade do interbancário 6M. A partir de um ano, os sinais se invertem: o bullet loan corporativo de 300 u.m. retorna com juros, o term deposit é devolvido ao cliente e o saldo do bucket 1y fecha positivo em 349,16 u.m. A tendência se mantém: entradas de amortização das carteiras substanciais em 2y e 5y, e o bloco >5y é dominado pelos fluxos finais da hipoteca.

O bucket crítico, o valor mais negativo em 3m, coincide com a vulnerabilidade que os indicadores pontuais já sinalizariam. A TSECF não se resume, entretanto, a confirmar o ponto óbvio. Ela mostra quando a pressão se repete (2m, 6m, 9m) e quando se alivia (a partir de 1y). O plot gerado pelo exemplo do repositório torna a sequência visível.

Figura 1. TSECF decomposta em entradas (verde) e saídas (vermelho) por bucket. Gerada pelo exemplo examples/02_tsecf.jl.

TSECCF: o saldo acumulado e o horizonte mais vulnerável

A leitura bucket a bucket da TSECF diz pouco sobre sobrevivência. Um déficit de 354 u.m. em 3m pode ser, em princípio, neutralizado pelo saldo superavitário acumulado de meses anteriores; um superavit de 349 u.m. em 1y só cobre o vale se chegar a tempo. A métrica adequada é o saldo acumulado, formalizado como Term Structure of Expected Cumulated Cash Flows (TSECCF), eq. 6.5 do livro:

onde CF(t₀, t_a, t_b) é a soma algébrica de todos os fluxos líquidos entre t_a e t_b. No pacote, a função TSECCF é uma soma acumulada ingênua da coluna cf_net da TSECF. Nenhum compromisso matemático é perdido nisso: a interpretação é a mesma.

Tabela 2. TSECCF. A linha destacada marca o horizonte mais vulnerável.

O saldo acumulado do banco agressivo cruza o zero em 2m com −5,35 u.m., despenca em 3m para −359,69 u.m. e continua deteriorando até o fundo em 9m com −516,99 u.m. Esse é o horizonte mais vulnerável: o banco precisa, até o nono mês de 2026, encontrar pelo menos 516,99 u.m. de liquidez adicional, vindas de algum lugar que não seja o fluxo contratual do balanço. Só em 1y a deterioração se inverte (o retorno do bullet de 300 u.m. e os cupons do term deposit reduzem o vermelho para −167,84 u.m.) e o saldo acumulado só volta a ser positivo em 5y.

A TSECCF transforma a pergunta do tesoureiro em um problema quantitativamente explícito: qual é o vale, em que bucket ocorre, e quanto tempo dura. O gráfico do exemplo 03 mostra simultaneamente a TSECF e a TSECCF.

Figura 2. TSECF (acima) e TSECCF (abaixo) do banco agressivo. Região sombreada = déficit acumulado. Gerada pelo exemplo examples/03_tseccf.jl.

O que a TSECCF não diz, porém, é com o quê o banco cobre o vale. As duas curvas restantes preenchem essa parte.

TSAA: os ativos disponíveis, ownership versus possession

Para levantar caixa além do que os contratos prevêem, o banco depende de seus ativos. Mas nem todo ativo no balanço está, a qualquer momento, disponível. O livro introduz a Term Structure of Available Assets (TSAA) como a coleção, a cada horizonte, da quantidade em posse do banco, independentemente de quem detém a propriedade legal:

A distinção entre posse e propriedade importa porque o efeito de cada transação sobre as curvas depende da combinação das duas. Um repo transfere a posse do título à contraparte enquanto o banco mantém a propriedade, de modo que os cupons continuam do banco (sem alteração em TSECF) mas o título não pode ser vendido nem dado em garantia durante o contrato (queda em TSAA). Um reverse repo é o caso simétrico: o banco paga, recebe posse temporária e pode repassar o título, sem, no entanto, receber os cupons. Buy/sellback e sell/buyback, na versão tradicional (anterior ao anexo do GMRA vigente), transferem também a propriedade. Operações de lending e borrowing de ativo trocam posse sem troca de caixa, apenas uma fee periódica.

A Tabela 3 consolida o efeito de cada tipo de operação sobre as três curvas, replicando a Tabela 6.4 do livro.

Tabela 3. Efeitos sobre as curvas por tipo de operação.

A implementação do repositório simplifica a realidade. Cada Asset carrega um campo encumbered_until: uma data até a qual o ativo está comprometido em repo e, portanto, indisponível para sacar liquidez. O cálculo da TSAA reduz-se a somar, em cada bucket, o valor de mercado dos ativos cujo encumbered_until já expirou. Para o banco estilizado, como todos os ativos começam desonerados, a TSAA é uma linha horizontal em 1.050 u.m. por toda a grade. Um exercício mais rico entraria em repo rotativo, feedback sobre a TSECF (os juros do título dado em repo deixam de aparecer) e haircut suplementar — hipóteses capturadas pela função repo_capacity do módulo LiquidityGeneration.jl.

TSLGC: geração de liquidez sob haircut

A TSAA é contábil, em valor de mercado; não responde quanto caixa o banco de fato consegue extrair dos ativos. Parte do valor se perde no haircut da contraparte que compra à vista, do mercado de repo que aceita o título como colateral, ou da contraparte do interbancário que decide conceder funding unsecured. A curva que integra esses três canais é a Term Structure of Liquidity Generation Capacity (TSLGC), formalizada pela eq. 6.6 como coleção das três fontes:

com AS (asset sales) proveniente da venda direta dos títulos, RP do repo, e USF (unsecured funding) de linhas interbancárias e emissões não colateralizadas. Os três canais têm sensibilidades distintas ao stress. A componente AS depende do haircut do mercado, que é pró-cíclico (Brunnermeier e Pedersen, 2009; Gorton e Metrick, 2012): quando a volatilidade sobe, o ágio que os compradores exigem também sobe, e o caixa líquido que o banco recebe cai. A componente RP carrega um haircut marginal sobre AS, refletindo a dupla função do colateral como garantia e ativo que pode ter que ser reposto em margem. A componente USF é a mais frágil das três: em 2007–2008, o interbancário unsecured praticamente desapareceu (Acharya e Merrouche, 2013), e a mesma dinâmica ameaçou Credit Suisse e SVB em março de 2023.

O pacote modela o haircut como função linear simples da volatilidade de mercado, com um piso por classe de ativo e uma sensibilidade β:

Essa linearização permite calibrar diferentes classes com dois números cada (h₀, β). Em cenário calmo (σ = 2%), o haircut do cash é zero, do tesouro 3M é 1,1%, do equity é 19,0%. Em cenário estressado (σ = 15%), o equity atinge 45%, o corporate bond salta para 23%, e mesmo o tesouro longo 5Y vai a 14%. O empréstimo comum (LOAN_BOOK) fica fora do universo elegível: com haircut estrutural de 50% e sensibilidade nula, é tratado como ilíquido.

Tabela 4. Haircuts dinâmicos por ativo em três níveis de σ.

A função TSLGC percorre cada bucket, identifica os ativos disponíveis na janela, soma as capacidades de venda e repo conforme o tipo do ativo e adiciona o teto de funding unsecured definido pelo banco:

Trecho de src/LiquidityGeneration.jl.

Duas simulações convivem na mesma consulta. A baseline assume σ = 2% e teto de unsecured funding integral. O estresse combinado leva σ a 15% e corta o teto de unsecured por um fator 0,2. A tabela compara o resultado por bucket.

Tabela 5. TSLGC decomposta por fonte em dois cenários.

No bucket de 1y, a LGC cai de 548,7 para 425,3 u.m. entre os dois cenários, uma redução de 22,5%. O AS encolhe 25,6 u.m., o RP 17,8 u.m. (haircuts dinâmicos mais altos) e o USF 80,0 u.m. (o funding unsecured desaparece quase todo). A dinâmica procíclica que Brunnermeier e Pedersen formalizam aparece aqui como geometria das três séries. O gráfico mostra a contração agregada.

Figura 3. TSLGC no cenário baseline

Figura 4. TSLGC no cenário de estresse combinado.

Liquidity gap: o veredito integrado

A síntese das curvas é a Term Structure of Expected Liquidity (TSL_e), eq. 6.10 do livro: a cada horizonte, o saldo acumulado somado à capacidade total de gerar caixa até aquele ponto.

com condição inicial TSECCF(t₀, t₀) igual ao caixa disponível no instante da análise. O valor em cada bucket é o liquidity gap: se positivo, o banco é solvente no horizonte correspondente; se negativo, falta caixa mesmo depois de esgotada a LGC. Uma trajetória que contenha qualquer bucket com gap negativo descreve, em princípio, insolvência esperada no horizonte do bucket.

A implementação do repositório reduz a síntese a uma combinação linear de colunas:

Trecho de src/StressScenarios.jl.

Quatro cenários foram construídos em StressScenarios.jl: baseline, market crash (σ sobe a 10%, depósitos em runoff 20% maior, USF a 50% do teto), deposit run (σ 4%, runoff 3× maior, USF 70%) e combined (σ 15%, runoff 3,5×, USF 20%). A aplicação determinística de cada cenário retorna a mesma grade de buckets, mas com a carga estressada por apply_scenario_deterministic.

Tabela 6. Gap por cenário.

No baseline, o banco sobrevive, mas por pouco: o gap mínimo é de +11,7 u.m. no bucket de 9m, e um ajuste marginal de calibração faria o valor cruzar o zero. A margem é um fio da navalha: 516,99 u.m. de déficit acumulado em 9m são cobertos por 528,7 u.m. de LGC, sobrando esses 11,7 u.m. de folga. Os indicadores pontuais diriam que o banco está adequado; a curva inteira mostra um estado frágil.

A fragilidade se materializa sob qualquer dos estresses. O market crash leva o gap a −58,7 u.m.: o haircut mais alto encolhe a LGC mais rápido do que o déficit acumulado alivia. O deposit run, mesmo com haircut quase normal, leva o gap a −51,5 u.m. pelo aumento do runoff dos depósitos à vista (3× a velocidade de dreno). O combined, que ativa os três choques simultaneamente, produz gap de −135,0 u.m. no mesmo bucket de 9m. O gráfico compara as duas situações extremas.

Figura 5. Integração das quatro curvas sob estresse combinado.

Três observações seguem do exercício. A primeira é que o horizonte crítico é consistente entre cenários (9m em todos os quatro), o que é coerente com a concentração do descasamento no interbancário 6M somada ao runoff comportamental dos depósitos. A segunda é que a redução da LGC entre os cenários é, em grande parte, pela componente USF, que Brunnermeier (2009) já havia descrito como o primeiro canal a fechar em crise. A terceira é que, mesmo no baseline, o banco depende de vender ou dar em repo 517 u.m. em nove meses para sobreviver: a dependência do mercado de repo é uma característica estrutural, não conjuntural, deste balanço.

O que o framework ainda não mostra, e por que importa

As quatro estruturas construídas até aqui são esperadas. Cada número é a média de uma distribuição, não um quantil extremo. A Seção 6.6 do livro introduz as estruturas análogas sob incerteza: o cash-flow-at-risk a um nível de confiança α, a Term Structure of Cash Flow-at-Risk e, por fim, a Term Structure of Liquidity at Risk (TSLaR). A construção não pode ser obtida somando separadamente a TSECCF estressada e a TSLGC estressada, porque cash flows negativos extremos são, em parte, netados pela LGC estressada, e a soma separada superestima o risco. A forma mais adequada é simular conjuntamente os fatores de risco com um modelo estocástico — no livro, a simulação usa Cox, Ingersoll e Ross (1985) para fixings de taxa — e agregar em cada bucket antes de tomar o quantil.

A TSLaR completa, dessa forma, o arco conceitual do capítulo 6: parte da taxonomia dos fluxos, estrutura as quatro curvas esperadas no tempo e, por fim, estressa cada fluxo sob choques simultâneos de mercado, crédito e comportamento. Os três passos são, ao mesmo tempo, a lógica interna do ILAAP (Resolução CMN 4.557 no Brasil; BCBS d450 internacionalmente) e a espinha analítica do DRL 2160 do Banco Central.

Dados e implementação

Todas as tabelas e gráficos do artigo vêm do repositório pq_ltc (Julia 1.10+, dependências: DataFrames.jl, CairoMakie). O arquivo data/aggressive_bank.toml carrega a configuração usada e os exemplos examples/02_tsecf.jl a examples/05_liquidity_gap.jl reproduzem cada figura. O pacote é didático por escolha: cada curva é uma função pura sobre uma Portfolio, e os cenários de estresse aplicam transformações explícitas sobre σ de mercado, runoff de depósitos e teto de funding unsecured. Quem quiser explorar o efeito de, por exemplo, aumentar o núcleo dos depósitos para 80% ou adicionar um novo bucket de 1m ao interbancário pode modificar o TOML e rodar os cinco exemplos em sequência.

Do veredito numérico ao uso em gestão

As quatro estruturas a termo resolvem a lacuna que o artigo anterior deixou. Transformam a pergunta abstrata “o banco tem liquidez?” em três perguntas instrumentáveis: qual é o fluxo esperado em cada horizonte (TSECF), qual é o saldo acumulado e onde está o vale (TSECCF), e com o quê esse vale pode ser coberto (TSAA → TSLGC). O gap de liquidez agrega a resposta em uma curva única que respeita a geometria do balanço.

Do ponto de vista do regulador, essa estrutura é o que existe de mais próximo, no framework de Castagna e Fede, da filosofia por trás do LCR, do NSFR e, no Brasil, do DRL 2160. O ponto mais importante, porém, é o que a estrutura desnuda em vez de agregar. Nenhum indicador pontual mostraria, no banco agressivo do repositório, que há apenas 11,7 u.m. de folga em 9m no cenário tranquilo. Nenhum teste regulatório tradicional evidenciaria que o mesmo banco precisa de 517 u.m. de caixa ativamente gerado em nove meses para honrar seus compromissos, antes mesmo de qualquer choque. O veredito multi-horizonte é o que permite ao tesoureiro antecipar a crise antes que ela apareça no LCR.

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O objetivo deste artigo é tomar a formulação introdutória de Bolder como ponto de partida e articular, com a literatura fundadora e o arcabouço regulatório contemporâneo, por que a resposta à pergunta original exige uma arquitetura em camadas. Vamos do capital contábil até a distribuição de perdas, passando pela formalização do capital econômico como um número entre zero e um, pela taxonomia que separa risco de mercado e de crédito, pelas medidas de risco coerentes, pela alocação por linha de negócio e pelos limites conceituais que o capital econômico reconhece mas não resolve.

Do balanço contábil à distribuição de perdas

O primeiro instinto, ao perguntar se um banco tem capital suficiente, é olhar para o patrimônio líquido. A definição é conhecida desde Adam Smith: capital é aquela parte do estoque de uma firma da qual seu dono espera extrair rendimento. No balanço moderno, essa ideia aparece como a diferença entre ativos e passivos, o resíduo que sobra depois que obrigações são deduzidas dos recursos (BOLDER, 2022, p. 4). Quanto maior esse resíduo, maior a distância confortável entre o que o banco possui e o que o banco deve. Quanto menor, mais próximo de um tropeço fatal.

A contabilidade moderna já faz um esforço considerável para levar risco ao balanço. Instrumentos classificados a valor justo têm variações que fluem para o resultado. Empréstimos sujeitos ao arcabouço da IFRS 9 recebem uma provisão de perdas esperadas (expected credit loss, ECL) baseada em cenários prospectivos. Essas duas mecânicas, segundo Bolder (2022), capturam o lado esperado da distribuição de perdas. Incorporam o valor médio e a tendência. Mas não endereçam o que Bolder chama, sem eufemismo, de really ugly: o comportamento do balanço no dia em que vários contrapartes importantes quebram ao mesmo tempo, em que juros e câmbio se movem contra a instituição simultaneamente, em que uma falha de sistemas expõe uma fraude acumulada.

A assimetria entre o que o balanço mostra e o que a cauda da distribuição de perdas ameaça é o problema central. McNeil, Frey e Embrechts (2015) formalizam essa tensão no início do que se tornou o tratado canônico sobre gestão quantitativa de risco: o capital econômico é uma medida ρ aplicada sobre a distribuição da perda agregada do horizonte de análise, escolhida justamente para ir além do valor esperado. A formulação habitual, consolidada em Jorion (2007, cap. 28) e em Bolder (2022, eq. 1.1), compara o pior caso (em um dado nível de confiança) ao valor esperado:

Onde L é a perda agregada da instituição no horizonte Δt (usualmente um ano), VaR_1−α(L) é o quantil (1−α) da distribuição de L, E[L] é a perda esperada e α é o nível de confiança. A diferença entre o quantil extremo e a média, chamada de perda não esperada (unexpected loss), é o montante que precisa ser carregado como capital, acima e além das provisões contábeis, para cobrir o cenário ruim que não se repete todo mês mas, como mostram os últimos trinta anos, tampouco é hipotético.

Essa reformulação coloca a questão em novos termos. Em vez de perguntar se o patrimônio líquido é grande, passamos a perguntar se o patrimônio líquido (chamado no jargão de oferta de capital ou capital supply) cobre a demanda de capital econômico implícita na riscosidade dos ativos. Essa distinção entre oferta e demanda de capital, formalizada por Matten (2000) como capital allocation e reiterada pelo ECB no guia do ICAAP de 2018, é a linguagem padrão em que se discute adequação de capital no mundo pós-Basileia II.

Formalização: o número entre zero e um

A equação acima diz o que o capital econômico é em nível de portfólio, mas não diz como pensá-lo no nível do ativo individual. Bolder (2022, p. 13) propõe um dispositivo conceitual útil: imaginar que cada ativo do balanço recebe um número entre zero e um. Zero corresponde a risco nulo; um corresponde a perda total. Quando esse número é multiplicado pelo valor contábil do ativo e somado por toda a carteira, reproduz-se o capital econômico do banco. O racional remete, não por acaso, ao conceito regulatório de risk weight, em que cada exposição contribui proporcionalmente a um coeficiente calibrado ao seu risco.

Para transformar essa intuição em uma regra de cálculo é preciso escolher α. A escolha não é livre, embora se apresente como se fosse. O nível de confiança está atrelado ao rating-alvo da instituição, ou ao rating que a instituição deseja alcançar. Um banco que pretende sustentar uma classificação AAA precisa de capital suficiente para sobreviver ao cenário de perdas cuja probabilidade anual corresponda à taxa histórica de default de emissores AAA. Moody’s e S&P publicam anualmente essas séries históricas, e as ordens de magnitude são estáveis há décadas.

As taxas implicam níveis de α sensivelmente distintos entre qualidades de crédito. Um banco calibrado para AAA usa algo como 99,97%–99,99%; um banco A aceita 99,9%; um banco BBB trabalha em torno de 99,8%. O arcabouço IRB de Basileia II adotou explicitamente 99,9% como padrão mínimo, justificado no documento técnico do comitê como consistente com uma PD anual ligeiramente abaixo de AA (BCBS, 2005). Não é coincidência: o regulador escolhe o nível de confiança que deseja que o sistema bancário sustente, e os modelos internos seguem.

Fica um ponto importante. Sob distribuições bem-comportadas, escolher α pouco importa para a interpretação; quanto menor α, maior o capital requerido, e pronto. Em distribuições assimétricas e de cauda pesada, típicas de carteiras de crédito concentradas, a sensibilidade a α se torna desconfortável. Uma pequena mudança de 99,9% para 99,97% pode dobrar o capital exigido sem que o portfólio tenha mudado. Essa fragilidade motiva os questionamentos sobre a medida de risco a ser usada (VaR ou ES) e sobre a estabilidade dos parâmetros (through-the-cycle ou point-in-time), temas que voltarão adiante.

Para fixar ideias, vale olhar um exemplo concreto. Bolder (2022, tab. 1.5) reporta o capital econômico do Nordic Investment Bank no final de 2020. A instituição não é um banco comercial tradicional, mas ilustra bem a lógica de composição.

Do total de € 3,1 bilhões de capital econômico, cerca de € 2,0 bilhões vêm do risco de crédito, divididos entre default (€ 1.534 milhões) e migração de rating (€ 487 milhões). O risco de mercado contribui com € 567 milhões. Os buffers regulatórios adicionam € 426 milhões. Comparando com um ativo total de € 35,4 bilhões, o número entre zero e um para a carteira inteira é cerca de 8,8%. A oferta de capital do banco, € 3,8 bilhões, supera a demanda em € 697 milhões, que é o headroom disponível para assumir novos riscos ou absorver deterioração de carteira. Essa é a anatomia em três linhas do que significa responder à pergunta inicial.

Taxonomia de risco e modelos

Observar a decomposição do capital econômico do NIB deixa claro que não existe um único modelo para calculá-lo. Tipos distintos de risco exigem ferramentas distintas. McNeil, Frey e Embrechts (2015) organizam essa pluralidade em torno de uma taxonomia clássica: risco de mercado, risco de crédito (default e migração), risco de contraparte, risco operacional e buffers regulatórios. Cada um desses compartimentos comporta-se de maneira própria, e a literatura moderna construiu modelos sob medida para cada um.

Por trás da taxonomia há um princípio comum. Qualquer movimento no valor de um ativo pode ser decomposto em dois componentes: um fator sistêmico, que afeta todos os ativos na mesma direção; e um fator idiossincrático, específico de cada contraparte. A ideia remonta ao CAPM e ao APT (SHARPE, 1964; ROSS, 1976) e ao insight de Markowitz (1952) de que a diversificação elimina o componente idiossincrático mas não o sistêmico. O ponto relevante para o capital econômico é que risco de mercado é predominantemente sistêmico e facilmente diversificável na parte idiossincrática; já o risco de crédito é fortemente idiossincrático no nível da contraparte individual, mas não é trivial diversificá-lo. Replicar um portfólio de ações com dezenas de posições elimina quase todo o risco idiossincrático; fazer o mesmo em crédito pode exigir milhares de exposições, e mesmo assim o componente sistêmico persiste nas épocas em que defaults se correlacionam por meio do ciclo econômico.

Essa diferença implica estratégias de modelagem divergentes. Risco de mercado é tipicamente modelado por abordagens reduced-form, em que fatores de risco observáveis (taxas, câmbio, spreads, volatilidades) são alimentados com dados históricos e suas distribuições conjuntas estimadas sem pretensão teórica sobre a causa de seus movimentos. A tradição nasce com o RiskMetrics (MORGAN/REUTERS, 1996) e culmina na revisão do arcabouço regulatório para risco de mercado, a FRTB (BCBS, 2019), que substitui VaR 99% por ES 97,5% calibrado a períodos de estresse.

Risco de crédito segue outra rota. Os modelos dominantes são estruturais, no sentido de que derivam o evento de default de uma dinâmica econômica interna. A raiz está em Merton (1974): o patrimônio de uma firma alavancada é uma opção de compra sobre seus ativos, com strike igual ao valor de face da dívida; o default ocorre quando, no vencimento, o valor dos ativos está abaixo do valor das obrigações. Vasicek (2002), partindo dessa intuição, derivou a distribuição limite de perdas para uma carteira infinitamente granular de empréstimos com um único fator sistêmico gaussiano, formulação que ficou conhecida como modelo Asymptotic Single Risk Factor (ASRF). Gordy (2003) provou formalmente a propriedade de portfolio invariance que permite ao regulador escrever uma fórmula de capital em que cada exposição depende apenas dos próprios parâmetros (PD, LGD, correlação com o fator sistêmico), o que viabiliza o IRB de Basileia II. A fórmula, por trás da aparência densa, é apenas a inversa da normal acumulada aplicada à condição de default sob estresse sistêmico.

Dois outros frameworks competiram com o ASRF e permanecem influentes. O CreditMetrics (GUPTON; FINGER; BHATIA, 1997) generaliza Vasicek para um modelo multifatorial mark-to-market que captura migração de rating além de default, usando matrizes de transição empíricas combinadas a correlações de ativos. O CreditRisk+ (Credit Suisse Financial Products, 1997) toma uma rota atuarial, tratando defaults como um processo Poisson com intensidade estocástica, o que entrega uma fórmula recursiva semi-analítica sem simulação. Os três caminhos, junto com o KMV Portfolio Manager de Crosbie e Bohn (2003), constituem a geração fundadora dos modelos de capital econômico para crédito.

Nenhum desses frameworks é suficiente por si só em carteiras comerciais reais. Lütkebohmert (2008) dedica um livro inteiro ao problema de concentração em crédito, mostrando que o resultado assintótico de Vasicek exige ajustes de granularidade quando o número de exposições é pequeno ou quando há setores ou regiões dominantes. O ponto é que capital econômico de crédito envolve mais do que escolher um modelo: envolve escolher ajustes, calibrar correlações e reconhecer explicitamente a composição do portfólio.

Medindo a cauda: VaR, ES e alocação

Dada uma distribuição de perdas bem especificada, a pergunta imediata é qual funcional usar para extrair o capital econômico. Por muito tempo a escolha padrão foi o VaR, e há razões históricas para isso: é simples de interpretar, fácil de comunicar ao conselho e direto de estimar. Mas Artzner, Delbaen, Eber e Heath (1999) mostraram que o VaR falha num requisito que parece inegociável em um mundo de portfólios agregados: a subaditividade. Em um conjunto coerente de axiomas (monotonicidade, subaditividade, homogeneidade positiva, invariância translacional), o VaR satisfaz três mas não a subaditividade, o que significa que em certas configurações a soma do VaR de dois portfólios pode ser menor do que o VaR do portfólio combinado. Na prática, um gestor pode reduzir o VaR total desagregando o portfólio artificialmente, o que viola a intuição de que diversificar nunca deve piorar a medida de risco.

O Expected Shortfall (também chamado CVaR ou TVaR) corrige o problema. ES_α(L) é a média condicional da perda dado que ela excede o quantil α. Acerbi e Tasche (2002) provam que ES é coerente em espaços de probabilidade gerais, resolvendo o problema técnico deixado por definições ingênuas de tail conditional expectation. Rockafellar e Uryasev (2000) apresentam a representação convexa que torna o ES tratável em problemas de otimização. Yamai e Yoshiba (2005) mostram empiricamente que, em distribuições de cauda pesada típicas de crédito, VaR pode subestimar materialmente o risco de cauda e exibir comportamento não subaditivo, enquanto o ES captura tanto a existência da cauda quanto o seu tamanho.

A FRTB (BCBS, 2019) institucionaliza essa migração no capital regulatório de risco de mercado, substituindo VaR 99% por ES 97,5%. No arcabouço interno de capital econômico, o movimento análogo vem acontecendo: novos modelos são construídos em torno de ES, e modelos legados são progressivamente reajustados. O trade-off técnico é conhecido: estimadores de ES têm maior variância amostral do que estimadores de VaR, o que pressiona simulações Monte Carlo para tamanhos maiores ou para técnicas de importance sampling (GLASSERMAN; LI, 2005).

Uma vez escolhida a medida, vem a pergunta de alocação. O capital econômico é calculado em nível de portfólio, mas precisa ser devolvido aos sub-portfólios, linhas de negócio e, no limite, contratos individuais para servir de base a RAROC, limites e precificação. A teoria da alocação coerente, desenvolvida por Tasche (2008) e Kalkbrener (2005), mostra que existe uma única forma de alocação compatível com performance ajustada ao risco quando a medida é homogênea positiva: o princípio de Euler. Se aumentar todas as posições na mesma proporção λ multiplica o capital por λ (a medida é homogênea de grau 1), então a derivada direcional do capital em relação ao peso de cada posição entrega a contribuição daquela posição ao capital total, e a soma dessas contribuições reproduz o total. É consequência direta do teorema de Euler sobre funções homogêneas.

O que essa derivada significa depende da medida escolhida. Para o VaR, a contribuição da posição i é o valor esperado da perda de i sob o evento raro em que a perda total do portfólio é exatamente igual ao VaR, isto é, E[L_i | L = VaR_α(L)]. Conceitualmente, olha-se para os cenários em que o portfólio atingiu precisamente o seu quantil crítico e mede-se, nesses cenários, quanto i contribuiu em média para chegar lá. O problema é que esse conjunto de cenários é fino: em distribuições contínuas o evento tem probabilidade zero e, em simulações Monte Carlo, quase nenhum sorteio cai sobre o ponto exato, o que torna a estimativa instável.

Para o ES, a condição é mais estável e mais intuitiva. A contribuição de i é o valor esperado da perda de i sobre todos os cenários em que a perda total do portfólio excede o VaR, isto é, E[L_i | L ≥ VaR_α(L)]. Em vez de condicionar sobre um único ponto, condiciona-se sobre a cauda inteira. Separando os dias ruins do portfólio, aqueles em que a perda agregada cruza o limiar crítico, calcula-se a média da perda que i produz exatamente nesses dias. Esse número é quanto de capital econômico a posição i está consumindo pelo fato de agravar os piores cenários do banco. Três propriedades tornam a definição atraente: ela é naturalmente aditiva (as contribuições individuais somam o ES total do portfólio por construção), é robusta mesmo quando “perda total igual ao VaR” tem probabilidade zero, e é diretamente utilizável para RAROC, limites e precificação de novos empréstimos.

Denault (2001) chegou ao mesmo resultado por um caminho completamente distinto, usando teoria de jogos cooperativos e valores de Aumann-Shapley, o que dá à alocação de Euler uma justificativa dupla: uma analítica e uma baseada em noções de justiça entre linhas de negócio.

Limites: prociclicidade, risco de modelo e o que não se modela

Nem tudo na arquitetura do capital econômico resolve o que promete resolver. Uma crítica clássica, de Repullo, Saurina e Trucharte (2010), mostrou empiricamente, com dados espanhóis entre 1987 e 2008, que exigências de capital baseadas em PDs point-in-time oscilam entre 7,6% na bonança e 11,9% na crise, amplificando o ciclo econômico exatamente quando os bancos menos conseguem levantar capital. O problema da prociclicidade deu origem a uma parte importante da regulação pós-crise, em particular ao buffer contracíclico de Basileia III, mas a dualidade entre estimadores through-the-cycle e point-in-time permanece sem síntese. Parâmetros TTC reduzem prociclicidade, porém diluem o sinal conjuntural; parâmetros PIT são informativos, mas amplificam o ciclo. A escolha tornou-se um problema de governança, não apenas de econometria.

Um segundo conjunto de críticas olha para os próprios modelos. Derman (1996), no texto seminal das Quantitative Strategies Research Notes do Goldman Sachs, formula a taxonomia do risco de modelo: modelo errado, modelo certo mal implementado, modelo certo mal calibrado, dados obsoletos. Rebonato (2003) generaliza a discussão, argumentando que gestão de risco sem teste de estresse do próprio modelo é incompleta. A institucionalização dessas preocupações veio com a SR 11-7 do Federal Reserve e do OCC, emitida em abril de 2011, que codificou as três linhas de defesa para modelos quantitativos e se tornou referência global de governança de modelos, inclusive no Brasil.

O terceiro limite é mais profundo e menos tratável. Knight (1921) distinguiu risco (probabilidades mensuráveis) de incerteza (probabilidades desconhecidas). Capital econômico vive inteiramente no primeiro domínio: uma vez especificada a distribuição de perdas, toda a maquinaria funciona. Mas a especificação da distribuição é, ela própria, uma aposta. Taleb (2007) popularizou o ponto ao denunciar que distribuições calibradas em séries históricas subestimam sistematicamente eventos cujo processo gerador não foi observado. A crítica ganhou roupagem contemporânea em Bolton et al. (2020), que cunham o termo green swan para riscos climáticos caracterizados por incerteza radical, não-linearidade e irreversibilidade. Modelos de capital econômico backward-looking não conseguem calibrar risco climático a partir do passado, e o complemento indispensável é análise de cenários prospectivos, que não substitui capital econômico mas o informa.

Um comentário final sobre limites: o BCBS (2009), no documento 152, fez um retrato dos frameworks de capital econômico logo após a crise financeira global. O diagnóstico foi desconfortável. A dispersão de metodologias entre bancos era ampla, as dependências de cauda eram inadequadamente modeladas e a incerteza paramétrica era raramente traduzida em buffer explícito. O documento não aposentou o conceito; reafirmou que ele é indispensável, desde que acompanhado de humildade metodológica e de governança. É exatamente o espírito com que Bolder (2022) conduz o resto do seu livro.

A aplicação brasileira

O arcabouço descrito até aqui não é estrangeiro ao sistema bancário brasileiro. A Resolução CMN nº 4.557, de 23 de fevereiro de 2017, do Conselho Monetário Nacional, consolidou sob um único instrumento a estrutura de gerenciamento de riscos e de capital das instituições autorizadas pelo Banco Central do Brasil. Os bancos classificados no segmento S1 são obrigados a executar um ICAAP completo; os do S2 rodam um ICAAP simplificado. A lógica segue a do Pilar 2 de Basileia: avaliar a suficiência de capital para riscos que o Pilar 1 não captura integralmente, como concentração, IRRBB, risco estratégico e reputacional, e demonstrar, diante do supervisor, que o capital disponível cobre essas exigências sob cenários plausíveis.

Os grandes bancos brasileiros publicam trimestralmente seus relatórios de Pilar 3 com informações sobre RWA e gestão de capital. A granularidade das divulgações sobre capital econômico interno é menor do que na Europa, onde o ECB (2018) exige no guia do ICAAP a articulação simultânea de uma perspectiva normativa (projeção de índices regulatórios em múltiplos anos, sob cenários base e adversos) e de uma perspectiva econômica (identificação de todos os riscos materiais em base de valor presente). O modelo brasileiro aproxima-se do ECB, mas o grau de transparência sobre a metodologia interna ainda varia bastante entre instituições.

Vale notar um ponto contraintuitivo sobre Basileia III final. A introdução do output floor de 72,5% pelo BCBS (2017) limita o quanto o capital regulatório calculado por modelos internos pode ficar abaixo do capital padronizado. Em um primeiro olhar, a restrição parece tornar o capital econômico interno irrelevante, já que o mínimo regulatório passa a ser dominado por cálculos mais uniformes. Na verdade, a consequência é oposta: justamente porque o capital regulatório se torna um backstop padronizado e menos sensível à composição específica do portfólio, o capital econômico interno se consolida como ferramenta de gestão, precificação e alocação, separada do número regulatório. É o argumento central de Bolder (2022) e da tradição instalada pelo ECB.

Conclusão

A pergunta original, um banco tem capital suficiente, continua simples. A resposta, passado meio século desde o RAROC do Bankers Trust, continua sendo construída. O que a literatura de capital econômico oferece é menos um número e mais uma disciplina: escolher o horizonte, especificar a distribuição de perdas, decidir o nível de confiança como função do rating-alvo, adotar uma medida coerente (de preferência ES), alocar por Euler, separar componentes sistêmicos e idiossincráticos, estimar parâmetros ao longo do ciclo, reconhecer concentração, expor o modelo a validação independente, e documentar tudo com cuidado suficiente para que críticas externas sejam possíveis.

Cada etapa abre uma porta para outra especialização. Os capítulos subsequentes de Bolder (2022) percorrem essa arquitetura no detalhe, mostrando como se calibram as correlações do modelo de Vasicek, como se aproximam os resultados para precificação rápida de empréstimos, como se integram stress tests macroeconômicos e como se tratam exposições de derivativos. A arquitetura é extensa porque o problema é grande.

Permanece, ao final, o que Bolder (2022) chama de ambição do analista quantitativo: produzir análise defensável, replicável, robusta e conservadora que possa, efetivamente, informar a decisão da alta administração. O capital econômico é a melhor aproximação quantitativa disponível para essa ambição, sem nunca ser a resposta final. Ele reduz a complexidade sem eliminá-la. Ele força escolhas explícitas sem resolvê-las. E, talvez o mais importante, ele transforma uma pergunta simples em um problema consciente de si mesmo, o que é a condição necessária para que a resposta mereça confiança.

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Quase ao mesmo tempo, a Sakana AI publicou a segunda versão do AI Scientist (LU et al., 2024; YAMADA et al., 2025), um pipeline que percorre o ciclo completo da pesquisa científica, da geração de ideias à redação de artigos, incluindo execução de experimentos e revisão simulada por pares. O AIDE, da Weco AI, demonstrou que um agente baseado em busca em árvore no espaço de código podia alcançar quatro vezes a taxa de medalhas do melhor agente autônomo seguinte em 75 competições Kaggle (JIANG et al., 2025). O MLAgentBench propôs um benchmark sistemático para avaliar agentes de linguagem no ciclo completo de experimentação em aprendizado de máquina (HUANG et al., 2024).

Essas iniciativas compartilham uma ambição comum: substituir o ciclo manual hipótese-experimento-análise por um laço autônomo. Mas todas operam com uma limitação estrutural que raramente é discutida. O autoresearch de Karpathy modifica iterativamente o arquivo train.py de um problema já definido e instrumentado. O AI Scientist gera artigos dentro de subáreas estreitas de aprendizado de máquina, e seus revisores automatizados classificaram apenas um trabalho como aceitável para workshop (LU et al., 2024). O AIDE busca soluções em competições Kaggle cujo formato é padronizado. Em todos os casos, a definição do problema, a construção do target, os critérios de validade e o significado do resultado ficam de fora do laço automatizado. O LLM executa bem a busca dentro de um espaço já delimitado, mas a delimitação permanece humana.

Este artigo propõe uma abordagem diferente, desenvolvida pelo autor e testada em um problema real de finanças quantitativas. Em vez de automatizar apenas o código de treinamento, a proposta separa o problema em dois documentos com responsabilidades distintas, PROBLEM.md e PROGRAM.md, e entrega ao LLM um contrato de pesquisa completo: definição formal do target, regras de validação, critérios de promoção, restrições causais e política de parada. O resultado é um agente que não apenas treina modelos, mas formula hipóteses, registra aprendizados, critica seus próprios resultados e sabe quando parar. Para demonstrar a abordagem, aplicamos esse processo ao IRCC, um índice de risco comportamental do cotista para fundos multimercado brasileiros. O foco aqui, porém, não está no problema financeiro em si, mas no método que permitiu a um LLM conduzi-lo do zero até uma solução operacional em seis waves de experimentação.

A arquitetura: separar o que do como

A abordagem proposta se materializa em quatro componentes, todos de autoria do analista humano, que juntos formam o contrato entre quem define o problema e o agente que o investiga.

O primeiro componente é o PROBLEM.md. Esse documento funciona como um contrato de tarefa que define, com precisão, o que está sendo otimizado. Ele especifica o target e sua construção, as fontes de dados permitidas e proibidas, o protocolo de validação, as métricas primárias e secundárias, os guardrails, os riscos de vazamento (leakage), os riscos de variáveis proxy e pós-tratamento, e, quando aplicável, um contrato causal completo com perguntas prioritárias, escopo de DAG (grafo acíclico direcionado, a ferramenta padrão para representar relações de causa e efeito entre variáveis) e regras de interpretação. O PROBLEM.md do IRCC, por exemplo, contém 189 linhas e 52 campos contratuais, desde TASK_TYPE: classification até COUNTERFACTUAL_REQUIREMENT. O humano escreve esse documento antes do primeiro experimento. O LLM não pode alterá-lo.

O segundo componente é o PROGRAM.md. Esse documento define como a pesquisa é conduzida: fases do laço iterativo, regras de planejamento de waves, papéis internos do agente (cientista, engenheiro, crítico e auditor de validade), formato dos registros, critérios de promoção de candidatos a champion e condições de parada. O PROGRAM.md é genérico. Ele não menciona fundos de investimento, fluxo de caixa nem mercado financeiro. Poderia ser aplicado a qualquer problema supervisionado, desde previsão de churn até detecção de fraude ou classificação de imagens médicas, bastando trocar o PROBLEM.md.

O terceiro componente é o train.py, um script de baseline obrigatório. Antes de qualquer exploração, o agente executa esse script para estabelecer um piso reproduzível de desempenho. No caso do IRCC, o baseline é uma regressão logística com pesos balanceados sobre todas as features numéricas brutas, avaliada por purged K-Fold expanding window com cinco folds e purga de 44 dias úteis. O baseline ancora todas as comparações subsequentes e impede que o agente declare progresso sem referência concreta.

O quarto componente é o diretório data/, que contém os dados e o dicionário de dados (DATA_DICTIONARY.md). O dicionário lista cada variável com tipo, fonte e descrição, servindo como contrato de interface entre o problema e a implementação.

O PROGRAM.md é o componente que impede o agente de se comportar como otimizador cego, porque exige quatro papéis internos a cada iteração: o Scientist lê o registro de experimentos e formula hipóteses explícitas; o Engineer implementa o menor experimento capaz de testá-las; o Critic separa sinal de ruído e classifica cada hipótese como suportada, refutada ou inconclusiva; o Validity Critic audita vazamento, variáveis proxy, pós-tratamento e fragilidade temporal. Nenhum experimento pode existir sem hipótese prévia, e nenhuma wave pode terminar sem síntese.

Comparação com abordagens existentes

A diferença em relação ao autoresearch de Karpathy não está na sofisticação do modelo, mas na amplitude do contrato. O autoresearch opera como um laço de otimização sobre um único arquivo: modifica train.py, treina por cinco minutos, verifica se a métrica de validação melhorou, faz commit das boas mudanças e reverte as ruins (KARPATHY, 2026). O problema já está resolvido no sentido de que a métrica, o dataset e o protocolo de validação são dados. Aqui, o LLM recebe também a responsabilidade de entender por que uma hipótese falhou, de classificar blocos de features por papel causal, de decidir se o champion é promovível mesmo quando seu score é o melhor, e de justificar a parada pelo registro de aprendizados, não por impressão subjetiva.

A diferença em relação ao AI Scientist (LU et al., 2024) é de escopo e veracidade. O AI Scientist produz artigos completos, mas seus revisores automatizados não conseguem distinguir gráficos malformados de resultados válidos, e a qualidade do raciocínio experimental foi descrita como “míope” na versão original. A abordagem aqui proposta não tenta redigir o artigo: ela entrega evidência estruturada, hipóteses classificadas e artefatos causais verificáveis para que o humano interprete. O LLM faz a pesquisa; o humano faz o julgamento final.

O AIDE (JIANG et al., 2025) usa busca em árvore no espaço de código para competições Kaggle e maximiza uma métrica. O PROGRAM.md exige que a maximização passe por quatro portas antes de promover um candidato: desempenho, estabilidade, validade e custo. Um modelo que vence em score mas depende de variáveis com alto risco de pós-tratamento não pode ser promovido.

O problema demonstrativo: IRCC

Para ilustrar como essa arquitetura funciona, o problema escolhido foi a construção de um indicador antecedente de estresse de passivo em fundos de investimento brasileiros da classe Multimercado. A escolha não é arbitrária: o estresse de passivo é um dos riscos menos instrumentados na gestão de fundos, apesar de sua relevância. Quando cotistas resgatam em volume, o gestor precisa desmontar posições, às vezes em mercados ilíquidos, gerando perdas que retroalimentam novos resgates (COVAL; STAFFORD, 2007). A literatura documenta amplamente a assimetria da relação fluxo-desempenho: saídas são muito mais sensíveis a retornos negativos do que entradas a retornos positivos (CHEVALIER; ELLISON, 1997; SIRRI; TUFANO, 1998), e a fragilidade é especialmente aguda em fundos com ativos ilíquidos e base concentrada de cotistas (CHEN; GOLDSTEIN; JIANG, 2010; GOLDSTEIN; JIANG; NG, 2017).

O IRCC (Índice de Risco Comportamental do Cotista) é formulado como um problema de classificação binária supervisionada. O target não é o estado de estresse, mas o seu início (onset): o primeiro dia de um episódio de saída líquida relevante, definido como um drawdown de passivo superior a 1% do patrimônio líquido em 14 dias corridos. Cada observação é um par (CNPJ do fundo, data da decisão de resgate), com a data ajustada pelo prazo total de conversão e pagamento, de modo que o modelo prevê quando o cotista decidiu resgatar, não quando o dinheiro aparece no informe diário da CVM.

O target é construído em três camadas. A primeira calcula o drawdown de 14 dias normalizado pelo patrimônio líquido:

A segunda define o estado de estresse: raw_stress(t) = 1 se drawdown_14d(t) < −1%. A terceira identifica o início de cada episódio, com uma janela de ±2 dias úteis e um período de silêncio (cooldown) de 14 dias úteis entre episódios. O resultado é um target binário esparso, com prevalência entre 1% e 5%, que captura o momento em que um novo episódio de estresse começa a se formar.

O dataset utiliza exclusivamente dados públicos da CVM e fontes de mercado abertas, totalizando 5,8 milhões de observações e 82 variáveis antes da engenharia de features. O código completo, incluindo PROBLEM.md, PROGRAM.md, ledger e artefatos causais, está disponível em github.com/andrecamatta/pq_ircc. As famílias de sinal incluem fluxo histórico do fundo, performance recente da cota, composição da carteira, perfil do cotista, características estruturais de resgate, dados de mercado exógeno e sentimento sistêmico (incluindo Google Trends e dispersão das projeções Focus). A validação segue um purged K-Fold expanding window com cinco folds e purga de 44 dias úteis, e a métrica primária é o PR-AUC (área sob a curva precisão-recall), com ponderação exponencial entre folds, dando mais peso aos períodos recentes. A escolha dessa métrica, em vez da ROC-AUC mais comum, reflete a natureza do problema: quando a classe positiva representa menos de 5% das observações, a ROC-AUC pode parecer alta mesmo com modelos que acertam poucos eventos reais, porque o grande volume de negativos verdadeiros infla a taxa de verdadeiros negativos. A PR-AUC ignora os negativos verdadeiros e avalia apenas o quanto o modelo consegue encontrar os positivos sem inundar o gestor de alarmes falsos.

Como o LLM progrediu: seis waves de aprendizado

O LLM não recebeu instruções sobre qual modelo usar, quais features criar nem como calibrar hiperparâmetros. Recebeu quatro arquivos e um dataset. É o equivalente computacional de entregar a um consultor sênior o escopo do projeto, o dicionário de dados e a frase “nos vemos na sexta com os resultados”, com a diferença de que esse consultor não cobra por hora, não dorme e documenta cada decisão que toma. Em seis waves, rodou 25 experimentos, registrou cada hipótese em um ledger central e, ao final, sabia explicar por que parou. A tabela a seguir resume a conclusão de cada wave.

O ponto de inflexão ocorreu na wave 2. Até ali, o agente havia testado regressão logística, XGBoost e LightGBM sobre features de snapshot (brutas e engenheiradas) e concluído que gradient boosting era superior, mas que as variáveis disponíveis eram quase inúteis: o melhor PR-AUC* estava em 0,0594, próximo da prevalência. A decisão registrada na síntese da wave 1, “priorizar representação temporal, não variedade de modelos”, levou o agente a criar médias móveis de fluxo, acelerações de resgate, retornos acumulados, z-scores de performance e variações de mercado em múltiplas janelas. O PR-AUC* saltou para 0,1121 (+89%). Uma ablação mostrou que o fluxo sozinho carregava 92% do ganho.

As waves 3 a 5 exploraram três eixos sobre essa direção: representação (janelas mais ricas, z-scores de fluxo, interações), regime de treino (undersampling 5:1, que melhorou simultaneamente score e calibração) e capacidade (média de sementes, ensemble). A wave 4 merece nota porque o undersampling não apenas elevou o PR-AUC* para 0,1324, mas reduziu o Brier score de 0,16-0,20 para 0,06, um ganho de calibração relevante para o uso. O ensemble LightGBM + XGBoost, testado na wave 5, não superou o melhor individual.

A wave 6 confirmou a estabilidade do candidato (0,1338 contra 0,1337 da wave anterior), quantificou por ablação que 78% do sinal vem de features de fluxo, e reproduziu o baseline de undersampling com resultado idêntico. Com o platô confirmado, o agente declarou o critério de parada e passou à análise causal e de validade dos sinais que sustentam o modelo.

O PR-AUC* saiu de 0,0507 para 0,1338, uma melhoria de 164% sobre o baseline. Mas o valor da wave 6 não está no ganho marginal de 0,1% em score: está nos artefatos de validade que ela produziu, e que a seção seguinte examina.

Insights obtidos: o que o treinamento revelou sobre o IRCC

A análise de validade da wave 6 formalizou em um DAG com 11 nós conceituais os papéis causais de cada bloco de features, classificando-os por risco de proxy, risco de pós-tratamento e elegibilidade para a narrativa. Embora o foco deste artigo seja a abordagem metodológica, esses achados ilustram o tipo de evidência que o processo produz.

O achado dominante, já antecipado pela ablação da wave 6, é que features temporais de fluxo carregam cerca de 78% do sinal preditivo. Médias móveis de fluxo líquido em janelas de 3, 5, 10, 21, 63 e 126 dias, acelerações de resgate e z-scores de fluxo normalizado são, coletivamente, o motor do modelo. Sem essas variáveis, o PR-AUC* cai de 0,1338 para 0,075, perdendo a maior parte do poder discriminativo. Performance recente da cota contribui com cerca de 10% do sinal, dados de mercado e sentimento com 5%, e variáveis estruturais e de perfil do cotista com outros 5%.

O DAG da wave 6 classificou cada bloco por papel causal, robustez e elegibilidade para o uso.

Fluxo de curto prazo (3 a 5 dias) é o caso mais delicado na tabela: embora preditivamente poderoso, pode capturar parcialmente o onset já em formação, configurando risco de pós-tratamento. A construção do dt_pedido (data ajustada pelo prazo de conversão e pagamento) mitiga, mas não elimina, esse risco em fundos com prazos de resgate muito curtos. O perfil do cotista (proporção de pessoa física, institucional, previdência) funciona como indicador indireto do tipo de fundo, não como causa do estresse: um fundo com 80% de cotistas pessoa física não sofre resgates por causa desse perfil, mas porque fundos assim tendem a ter menor prazo, maior sensibilidade a perdas e distribuição por plataformas de varejo. A variável é preditivamente útil, mas o mecanismo real está em outro lugar. Por fim, sentimento (Google Trends, dispersão Focus) é fortemente confundido por variáveis de mercado. Esses dois últimos blocos permanecem no modelo por valor preditivo, mas o processo explicitamente proíbe que sustentem narrativas isoladas.

Os guardrails definidos no PROBLEM.md também produziram aprendizado. A meta de precisão ≥ 30% em recall ≥ 50% não foi atingida (precisão observada de ~13% nesse ponto). Contudo, no topo de 3% das predições, o lift alcança 7-8 vezes a prevalência, indicando que o modelo é mais útil como ferramenta de priorização (quais fundos monitorar) do que como classificador binário rígido. A calibração por Brier score (0,056-0,068) é boa para ranking, mas os diagramas de confiabilidade mostram que o modelo superestima a probabilidade de onset nos bins superiores, sugerindo necessidade de recalibração (Platt ou isotônica) antes de usar probabilidades absolutas.

O que a abordagem muda para o cientista de dados

A mudança mais visível que a separação entre PROBLEM.md e PROGRAM.md produz é a inversão da alocação de tempo. No fluxo tradicional de ciência de dados, a maior parte do esforço humano concentra-se na implementação: escrever código de pré-processamento, treinar modelos, ajustar hiperparâmetros, iterar sobre features. A definição do problema, frequentemente, ocupa uma fração menor do tempo e fica implícita em decisões espalhadas pelo código. Com essa abordagem, o esforço humano concentra-se inteiramente na redação do PROBLEM.md: definir o target com precisão, especificar regras de validação, declarar riscos de validade e formular o contrato causal. A implementação é delegada ao LLM. O cientista de dados se torna, na prática, um especificador de contratos de pesquisa.

A segunda mudança é a formalização de restrições que normalmente ficam tácitas. Em projetos tradicionais, a distinção entre variáveis causais e proxies estruturais costuma residir na cabeça do analista sênior. Riscos de pós-tratamento são discutidos em reuniões, mas raramente codificados. Critérios de parada são subjetivos. O PROBLEM.md força a escrita explícita de todas essas restrições antes do primeiro experimento. O efeito colateral é que o documento serve como memória institucional: qualquer pessoa que leia o PROBLEM.md do IRCC entende exatamente o que o target captura, quais variáveis carregam quais riscos e por que certas features não podem sustentar as decisões.

A terceira mudança é a rastreabilidade do raciocínio. O ledger de 25 experimentos, com hipóteses, mecanismos esperados, sinais de falha, vereditos do crítico e notas de validade, constitui um registro completo da evolução do conhecimento ao longo do projeto. Em um fluxo tradicional, essa informação existe em cadernos Jupyter parcialmente comentados, em mensagens de Slack e na memória dos analistas. Aqui, ela é um artefato estruturado, auditável e reutilizável.

Essa rastreabilidade também impõe disciplina ao agente. O PROGRAM.md lista explicitamente antipadrões proibidos: tratar o laço como busca em grade, disparar waves sem análise intermediária, repetir ideias equivalentes sem nova justificativa, promover candidatos apenas por média agregada ignorando o fold crítico, declarar platô por intuição. Cada um desses antipadrões corresponde a um erro comum em projetos de ciência de dados conduzidos manualmente. A diferença é que, ao codificá-los como regras do motor de pesquisa, eles se tornam violações verificáveis, não apenas boas práticas que podem ou não ser seguidas.

Generalidade e limitações

A abordagem foi projetada para ser genérica. O PROGRAM.md não contém referências ao domínio financeiro, a fundos de investimento nem a variáveis específicas. Sua aplicabilidade depende de dois pré-requisitos: o problema precisa ser formulável como aprendizado supervisionado (classificação ou regressão) e o humano precisa ser capaz de escrever um PROBLEM.md suficientemente completo. A segunda condição é a mais restritiva. Um PROBLEM.md mal especificado, com target ambíguo, riscos de vazamento não declarados ou critérios de sucesso vagos, produzirá uma pesquisa automatizada igualmente vaga. A qualidade do processo é limitada pela qualidade do contrato.

A abordagem também herda limitações dos LLMs atuais. O agente não possui intuição genuína sobre o domínio: sua capacidade de formular hipóteses depende da combinação entre o PROBLEM.md e o conhecimento geral absorvido durante o pré-treinamento. Em domínios muito especializados ou com convenções não documentadas na literatura pública, o agente pode formular hipóteses superficiais ou perder oportunidades que um especialista identificaria. A wave 2 do IRCC ilustra tanto o potencial quanto a limitação: o agente “descobriu” que features temporais são transformativas, mas um especialista em risco de liquidez provavelmente teria começado por aí.

Outra limitação é computacional. O PROGRAM.md exige orçamento de 30 minutos por experimento e limita as waves a 3-6 experimentos, mas o custo total do laço inclui o tempo de inferência do LLM para formular hipóteses, escrever código, interpretar resultados e produzir sínteses. Em problemas com datasets grandes e modelos lentos, o custo acumulado pode ser significativo.

Há também uma tensão entre generalidade e profundidade causal. O PROGRAM.md inclui suporte para análise causal (DAG, conjuntos de ajuste, sensibilidade, contrafactuais), mas essa análise é qualitativa e baseada em argumentos de plausibilidade, não em identificação causal formal com limites de Rosenbaum ou E-valores. Para problemas onde a interpretação causal é o objetivo principal, a camada causal do processo serve como filtro de interpretações ruins, não como substituta para métodos quase-experimentais rigorosos.

Considerações finais

Que LLMs conseguem treinar modelos de aprendizado de máquina já está demonstrado em múltiplos contextos. A questão que importa é outra: a forma como o problema é apresentado ao LLM determina a qualidade da pesquisa resultante. Um LLM com acesso a train.py e uma métrica otimiza código. Um LLM com acesso a um contrato de pesquisa completo, com definição formal do target, restrições de validade, papéis internos de crítica e política de parada justificada, conduz algo mais próximo de ciência de dados.

O IRCC serviu como caso de teste, e os resultados são úteis: um modelo que melhora 164% sobre o baseline, com sinais primários causalmente robustos, calibração razoável e limitações explicitamente documentadas. Mas o artefato mais valioso do projeto não é o modelo final, é o ledger de 25 experimentos com hipóteses classificadas, o DAG causal com elegibilidade por bloco e a síntese por wave que permite a qualquer auditor reconstruir o raciocínio do processo.

O tempo investido em escrever um PROBLEM.md preciso, com riscos explícitos e critérios formais, retorna multiplicado pela capacidade do LLM de explorar o espaço de soluções com disciplina. O gargalo deixa de ser a implementação e passa a ser a especificação. E, como qualquer engenheiro sabe, especificações boas produzem sistemas melhores do que implementações heroicas sobre especificações vagas.

Referências

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