O paper repercutiu fora do circuito acadêmico. Foi noticiado em sites de divulgação científica, gerou cartas indignadas de hedge funds e provocou um debate sobre se a comparação dos autores com a publicação seletiva de ensaios clínicos era justa. A analogia central comparava a omissão do número de tentativas (N) à omissão de ensaios clínicos negativos pela indústria farmacêutica antes do movimento alltrials.net. O regulador de fármacos exige hoje a divulgação completa de todos os braços testados, ao passo que o regulador de fundos sistemáticos não exige nada equivalente.

Onze anos depois, o paper é citado regularmente como referência canônica do problema de backtest overfitting. Os mesmos autores publicaram extensões importantes que detalharam o ferramental para detecção e correção. Em paralelo, surgiu uma literatura empírica massiva sobre crise de replicação em factor investing que confirmou o diagnóstico de 2014 com dados. Este texto complementa o artigo anterior Prevenção de overfitting e data snooping em backtests, que tratou do protocolo walk-forward com purging, embargo e métricas deflacionadas. Aqui o foco recai sobre a mecânica estatística que torna esses cuidados necessários: a seleção do vencedor entre muitas tentativas já fabrica desempenho sob a hipótese nula.

O teorema central de Bailey, Borwein, López de Prado e Zhu

O ponto de partida é uma observação trivial sobre estatística de máximos. Se um pesquisador estima N Sharpe ratios independentes em uma série de retornos cuja média verdadeira é zero, e se o estimador de Sharpe ratio sob essa hipótese é aproximadamente normal com média zero e variância V conhecida, então o máximo dos N estimadores constitui o estimador extremo de uma família, com distribuição assintótica dada pelo teorema de Fisher-Tippett-Gnedenko: o máximo padronizado de variáveis normais converge para a distribuição de Gumbel. As mesmas distribuições estudadas na Teoria de Valores Extremos.

Nesse contexto, conta como tentativa toda especificação completa que teve chance de virar vencedora, mesmo as descartadas antes do relatório final: uma janela de média móvel, um par de limiares de z-score, um filtro de liquidez, um universo de ativos, uma regra de rebalanceamento, um horizonte de treino e teste ou uma variante de pré-processamento dos dados. No experimento idealizado de Bailey, Borwein, López de Prado e Zhu, a tentativa é uma coluna da matriz T × N de retornos. Na pesquisa real, é cada caminho avaliado antes de escolher o melhor. Se cem combinações de médias móveis foram testadas e noventa e nove foram descartadas, N começa em cem, não em um. Quando essas combinações são quase idênticas, o número efetivo de tentativas pode ser menor que o número bruto. Ainda assim, elas não desaparecem da inferência.

O Teorema 1 do paper original (Proposição 2.1 no texto formal) explicita a fórmula assintótica:

Aqui Φ⁻¹ é a quantil normal padrão e γ ≈ 0,5772 é a constante de Euler-Mascheroni. A cota superior simples e útil é E[max] ≲ √(2 ln N), que cresce devagar mas inexoravelmente. Em termos prosaicos, se você joga uma moeda muitas vezes, o maior número de caras consecutivas que aparece numa sequência cresce com √(log do número de jogadas). Em pesquisa quantitativa, a mesma mecânica aparece quando você testa 1.000 médias móveis sobre o mesmo histórico: o Sharpe ratio do melhor grid é, sob hipótese nula de zero alfa, da ordem de √(2 ln 1000) ≈ 3,7 vezes o desvio-padrão do estimador de Sharpe ratio.

Teorema 1 (BAILEY et al., 2014, paráfrase). Sejam N Sharpe ratios estimados de forma independente, cada um com média zero (hipótese nula de retorno esperado nulo) e variância V. Para N grande, o valor esperado do máximo dos N Sharpe ratios estimados é dado pela fórmula acima, com cota superior assintótica √(2 ln N) · √V. A independência é hipótese explícita. Correlações entre estratégias reduzem o número efetivo de tentativas (LÓPEZ DE PRADO; LEWIS, 2019), mas não eliminam o resultado.

O Sharpe ratio observado em um backtest não é, por si só, evidência da qualidade da estratégia. Ele só vira evidência quando confrontado com a distribuição do Sharpe ratio máximo de N tentativas independentes sob a hipótese nula. Sem o número de tentativas, qualquer Sharpe ratio é compatível com sorte, e a omissão de N torna o backtest um objeto vazio do ponto de vista estatístico.

Quanto de backtest é necessário

O Teorema 2 (Teorema 3.1 no texto formal) inverte a fórmula anterior. Se o pesquisador testa N configurações e quer que o Sharpe ratio esperado do “vencedor” seja menor que um alvo SR* (digamos, 1 anualizado, abaixo do qual ninguém confiaria a alocação), então a quantidade mínima de dados necessária satisfaz a desigualdade:

O acrônimo MinBTL vem de Minimum Backtest Length. Se um quant testou 100 estratégias e quer convencer o investidor de que um Sharpe ratio observado de 1 não é artefato, ele precisa de cerca de 6,4 anos de retornos. Para 1.000 estratégias, são 10,6 anos. Para 10.000 (típico de busca em grid de quatro hiperparâmetros), são quase 15 anos. A primeira tabela do artigo mostra valores numéricos exatos calculados pelo pacote de apoio.

Quase nenhum estudo de fundo sistemático brasileiro tem 10 anos de série diária em ativos comparáveis. Quase todo grid de pesquisa de estratégia toca a casa das centenas ou milhares de configurações testadas, somando otimizações de janela, parâmetros de filtro e cortes temporais. A combinação dos dois prazos diz que a pesquisa empírica padrão da indústria, sob a ótica do Teorema 2, está sistematicamente sub-amostrada.

O paper de 2014 propõe que journals e prospectos tratem a omissão de N como informação material faltante, comparável à omissão de braços negativos em ensaios clínicos. A SEC Marketing Rule (IA-5653, vigente desde 2022) exige divulgação de “criteria and assumptions” para resultados hipotéticos, mas não obriga divulgar o número de tentativas. O GIPS Handbook 2020 do CFA Institute classifica desempenho retroprojetado como informação suplementar e impede que entre em compósitos, mas não impõe exigência quantitativa sobre N. A recomendação do paper original ainda não virou regra.

PSR e DSR, ou como descontar o Sharpe pela seleção

O Teorema 1 informa o pesquisador, mas não dá ao investidor uma estatística diretamente comparável entre estratégias. Os mesmos autores fecharam essa lacuna com duas extensões nos anos seguintes.

O Probabilistic Sharpe Ratio traduz o Sharpe ratio observado em probabilidade de que o Sharpe ratio verdadeiro exceda um alvo dado, ajustando explicitamente para skewness γ₃ e kurtosis γ₄ da série (BAILEY; LÓPEZ DE PRADO, 2012):

O PSR generaliza o resultado sobre erro-padrão do Sharpe ratio para retornos não-normais (LO, 2002). Skewness negativa (perdas extremas mais frequentes que ganhos) e kurtosis alta (caudas pesadas) inflam o denominador, reduzindo o PSR. Uma estratégia com Sharpe ratio anualizado de 1 e cauda pesada pode ter PSR(0) inferior a 80%, enquanto outra com mesmo Sharpe ratio sob retornos normais tem PSR(0) próximo de 95%.

A questão remanescente é o threshold contra o qual avaliar o PSR. Avaliar contra zero ignora o problema do Teorema 1 e infla artificialmente a probabilidade. O Deflated Sharpe Ratio aplica o PSR não ao threshold zero, mas ao threshold deflacionado pelo Teorema da Falsa Estratégia (BAILEY; LÓPEZ DE PRADO, 2014):

O DSR é, em palavras, a probabilidade de que o Sharpe ratio verdadeiro de uma estratégia exceda o Sharpe ratio máximo esperado sob hipótese nula com N tentativas e variância cross-section V. A diferença entre DSR e PSR é exatamente o desconto pela seleção. Uma estratégia que tem PSR(0) = 99,87% (parece imbatível) pode ter DSR = 40% após reconhecer que foi selecionada entre 1.000 candidatas, diferença que separa “alocar” de “investigar mais”.

O cálculo de N efetivo é não-trivial quando as estratégias são correlacionadas. O algoritmo ONC (Optimal Number of Clusters) usa a matriz de correlação dos retornos das estratégias para estimar o número de clusters como N efetivo (LÓPEZ DE PRADO; LEWIS, 2019). Essa correção é decisiva quando o grid varre micro-perturbações dos mesmos hiperparâmetros, situação em que N bruto superestima a multiplicidade efetiva.

Cross-validation combinatorialmente simétrica

O DSR fornece um corretivo paramétrico que assume normalidade do estimador e independência (ou correção via clustering). Em paralelo, a literatura propôs um diagnóstico não-paramétrico baseado em validação cruzada (BAILEY et al., 2017). O método chama-se Combinatorially Symmetric Cross-Validation (CSCV) e produz uma estatística chamada Probability of Backtest Overfitting (PBO).

Dada a matriz M de tamanho T × N (T observações de retornos para cada uma das N estratégias candidatas), particiona-se as linhas em S sub-amostras disjuntas de tamanho T/S, com S par. Para cada uma das C(S, S/2) escolhas de S/2 sub-amostras como conjunto de treino (in-sample), o complemento serve como conjunto de teste (out-of-sample). Em cada partição, identifica-se a estratégia vencedora in-sample (n*) e mede-se seu rank relativo no conjunto de teste. O logit do rank converte a estatística em uma escala simétrica em torno de zero. O PBO é a fração das partições em que o vencedor in-sample ficou abaixo da mediana out-of-sample.

O adjetivo “combinatorialmente simétrico” é a chave do método. Cada observação aparece o mesmo número de vezes em conjuntos de treino e em conjuntos de teste através das C(S, S/2) partições, e a transformação (J, J̄) ↔ (J̄, J) é parte do conjunto. Isso elimina a assimetria temporal do walk-forward tradicional (que sempre treina no passado e testa no futuro, dando uma única trajetória de validação) e a quebra de ordem temporal do k-fold genérico, que ignora autocorrelação. Sob hipótese nula de retornos i.i.d. com média zero, o vencedor in-sample é tão provável de ficar acima quanto abaixo da mediana out-of-sample, e o PBO converge para 0,5. Quando há sinal genuíno em alguma estratégia, o PBO desce de forma marcada.

Uma comparação recente de métodos out-of-sample em ambiente sintético controlado documenta fragilidades do CSCV, mostrando que métodos tradicionais podem subestimar o risco de overfitting quando N é pequeno, há regimes de mercado ou as estratégias são altamente correlacionadas (ARIAN et al., 2024). A versão mais robusta para uso em pesquisa séria é o Combinatorial Purged Cross-Validation (CPCV), que adiciona purging (remoção de observações de treino cujos labels temporalmente se sobrepõem ao teste) e embargo (buffer adicional contra autocorrelação serial), gerando múltiplos caminhos out-of-sample (LÓPEZ DE PRADO, 2018). O custo é computacional, e para S = 16 são 12.870 ajustes de modelo.

DSR e PBO são diagnósticos complementares, um avaliando o candidato específico e o outro avaliando o procedimento que selecionou esse candidato. A tabela abaixo organiza as ferramentas discutidas até aqui pelo tipo de pergunta que cada uma responde.

Multiple testing e a crise de replicação em finanças

A literatura de econometria financeira chegou ao mesmo problema por outro caminho. Harvey, Liu e Zhu catalogaram aproximadamente 316 fatores publicados em journals de topo até 2012 e argumentaram que o threshold convencional de t-stat ≥ 2 é inadequado quando a profissão como um todo testa centenas de candidatos (HARVEY et al., 2016). Aplicando correções de testes múltiplos (Bonferroni, Holm e o controle de FDR de Benjamini-Hochberg-Yekutieli), eles propuseram que apenas fatores com t-stat acima de aproximadamente 3,0 deveriam ser considerados descobertas confiáveis. O haircut Sharpe correspondente é dado por:

onde pmt é o p-valor ajustado pela correção de testes múltiplos escolhida. O ajuste é matematicamente diferente do DSR mas conceitualmente análogo, e ambos descontam Sharpe ratios observados pelo número (efetivo) de tentativas que produziram o achado.

A confirmação empírica veio logo depois, em estudo que replicou 452 anomalias publicadas em journals de finanças usando metodologia padronizada (NYSE breakpoints, retornos value-weighted, controles de microestrutura), com aproximadamente 65% das anomalias falhando a replicar com t-stat acima de 1,96 fora da amostra original (HOU et al., 2020). Outra evidência mostra que retornos médios de anomalias caem cerca de 58% após a publicação acadêmica do paper que as documentou, padrão consistente com mistura de arbitragem real e seleção a posteriori (MCLEAN; PONTIFF, 2016). A magnitude dessa crise foi contestada por um modelo Bayesiano de replicação que incorpora correlação entre fatores, mas a direção qualitativa do problema permanece reconhecida (JENSEN et al., 2023).

Avançando essa linha, o problema se torna bilateral: correções clássicas tipo Bonferroni controlam erro tipo I (falsos positivos), mas com custo agudo em poder estatístico, descartando gestores e fatores genuinamente bons (HARVEY; LIU, 2020). O artigo propõe um double-bootstrap que calibra simultaneamente as duas taxas de erro. A literatura de teste de superioridade preditiva é mais antiga, e dois trabalhos canônicos resolvem variantes do mesmo problema. O Reality Check e o Model Confidence Set formalizam a comparação entre conjuntos de modelos sob hipótese nula composta, retornando intervalos para o melhor procedimento em vez de um vencedor pontual (WHITE, 2000; HANSEN et al., 2011).

Implementação em Julia

Disponibilizamos o pacote pq_backtest_overfitting em Julia que implementa, de forma transparente, os objetos centrais discutidos acima, do valor esperado do máximo Sharpe ratio até o PBO via CSCV. A escolha por Julia foi motivada pela ausência de biblioteca canônica equivalente no General Registry. Pacotes como Trading.jl e Fastback.jl oferecem motores de backtest orientados a eventos, mas nenhum traz a camada de validação estatística. Em Python, o mlfinlab implementa as mesmas funções, porém migrou para licença comercial em 2021. O pacote cobre toda a sequência da Tabela 2 em código aberto e auditável, com testes que reproduzem os anchors numéricos do paper original.

A função central traduz o Teorema 1 literalmente, com a constante de Euler-Mascheroni e a quantil normal padrão chamadas diretamente da biblioteca padrão da linguagem, sem aproximações intermediárias.

O DSR encadeia o Teorema da Falsa Estratégia com o PSR. Optei por receber a variância cross-section V como argumento explícito, em vez de inferi-la dos dados, porque a interpretação correta de V depende de o usuário ter calculado os N Sharpe ratios e tirado a variância amostral. Embutir essa etapa esconderia uma decisão delicada.

A implementação do CSCV é mais densa porque enumera explicitamente as C(S, S/2) combinações via Combinatorics.combinations. Para S = 16, são 12.870 partições, cada uma exigindo o cálculo de N Sharpe ratios in-sample e N out-of-sample. O custo é O(C(S, S/2) · N · T) e domina o tempo total. Mantive a estrutura de retorno como um struct nomeado para que o usuário tenha acesso aos logits brutos, e não apenas à estatística agregada PBO.

O pacote inclui suíte de testes que verifica os valores anchor citados na Figura 2 do paper original (N = 7 → ≈ 2 anos, N = 45 → ≈ 5 anos para SR* = 1), monotonicidade do PSR em skewness e kurtosis, convergência da simulação Monte Carlo dentro de 5% do valor teórico, e dois experimentos de PBO (sob hipótese nula com PBO próximo de 0,5, e com uma estratégia genuinamente boa puxando o PBO para abaixo de 0,1). Vinte testes passam em poucos segundos.

Resultados Monte Carlo

O script examples/demo_artigo.jl reproduz três experimentos. No primeiro, validamos o Teorema 1 em uma realização Monte Carlo direta gerando uma matriz T × N de retornos i.i.d. Normal(0, σ²) com σ = 1% diário (próximo do desvio-padrão diário do Ibovespa) e T = 1.008 dias (cerca de quatro anos de pregão), tomando depois o máximo dos N Sharpe ratios anualizados. Repete-se 2.000 vezes para obter a distribuição empírica do máximo.

Para N = 1.000, o Teorema 1 prevê E[max SR] = 1,628 anualizado e a média empírica é 1,626, alinhamento apertado entre teoria e Monte Carlo. Os intervalos de 5% a 95% mostram que a variabilidade do máximo é alta. Para N = 100, o vencedor pode ter SR = 0,94 ou SR = 1,66 dependendo da realização, e isso significa que mesmo conhecendo o número de tentativas e a variância cross-section, o pesquisador disciplinado precisa pensar em distribuição, não em ponto.

O segundo experimento é o caso de uso central do DSR. Toma-se uma única realização (T = 1.008, N = 1.000, σ = 1%, drift verdadeiro zero) e calcula-se o Sharpe ratio anualizado de cada coluna. O vencedor tem SR_IS = 1,506, número que em qualquer relatório comercial seria apresentado como evidência de competência. O PSR avaliado contra zero é 99,87%, o que reforça a aparência. O DSR, no entanto, calcula a probabilidade de que o Sharpe ratio verdadeiro exceda E[max | N = 1000] e devolve 40,6%.

A diferença entre 99,87% e 40,6% é o desconto pela seleção, que separa “alocar” de “investigar mais”. O DSR diz, em substância, que o Sharpe ratio do vencedor é compatível com o que se espera por sorte de mil estratégias sem alfa. Aceitar o número bruto seria erro de inferência sobre a estratégia, não erro de estimação numérica. Esse é o ponto pedagógico que o paper de 2014 quis comunicar.

O terceiro experimento avalia o PBO via CSCV sobre uma matriz T = 1.008, N = 100, com S = 16 sub-amostras (12.870 partições). Sob hipótese nula i.i.d., o vencedor in-sample deveria ficar abaixo da mediana out-of-sample em metade das partições. Em uma realização específica, o PBO foi 0,648, valor próximo da expectativa teórica de 0,5 dada a variabilidade de uma única amostra com C(16, 8) ensaios.

O contraste com o caso em que uma das estratégias tem drift verdadeiro positivo é o que torna o método útil para diagnóstico. A suíte de testes inclui um exemplo com drift = 0,003/dia (Sharpe ratio anualizado verdadeiro de aproximadamente 4,8) em uma das colunas. O PBO desce para abaixo de 0,1, mostrando que o método separa corretamente sinal de ruído quando o sinal é forte. Em casos limítrofes, com drift próximo do nível de ruído, o PBO se mantém alto, e essa é justamente a região em que o pesquisador deveria recuar e cobrar mais dados.

Implicações para alocadores e quants

O artigo de 2014 exigiu que periódicos e prospectos reportassem o número de configurações testadas (N) e que leitores descontassem os Índices de Sharpe pelo Teorema 1. Onze anos depois, esse reporte segue sem mandato regulatório, enquanto a literatura empírica confirma que o *overfitting* é um problema profundo e imune a correções paramétricas isoladas.

Nesse cenário, Índices de Sharpe brutos em prospectos não atestam a qualidade de uma estratégia. O alocador de capital deve exigir o N e a variância cross-section dos Sharpe candidatos para computar o Deflated Sharpe Ratio (DSR), obtendo assim uma métrica comparável. A recusa do gestor em fornecer esses dados é, por si só, uma evidência decisiva contra ele. Para a pesquisa, o Teorema 2 sobre o MinBTL impõe que validar o vencedor de um grid de 1.000 estratégias exige de 10 a 14 anos de retornos diários. Ao lidar com séries mais curtas, típicas de mercados emergentes, o analista precisa reduzir N drasticamente, assumir premissas estruturais fortes ou aplicar DSR e Validação Cruzada Simétrica Combinatória (CSCV) antes de declarar qualquer descoberta.

Para quem roda as simulações internamente, o fluxo deve iniciar calculando a Probabilidade de Overfitting de Backtest (PBO) via CSCV sobre toda a família testada, antes de olhar para qualquer vencedor. Um PBO próximo a 0,5 indica que a seleção por Sharpe in-sample não tem validade out-of-sample, exigindo a reestruturação do grid. Para a estratégia validada, o DSR substitui o Sharpe bruto nas comunicações internas, mantendo-se o histórico sempre acima do MinBTL correspondente ao N efetivo para impedir que hipóteses sejam tratadas como descobertas.

O obstáculo atual é estritamente cultural e regulatório, permitindo que cada profissional corrija seu fluxo de trabalho sem aguardar mandatos externos. Incorporar métricas como PSR, DSR, CSCV e MinBTL tem um custo operacional marginal, mas a literatura recente sobre a crise de replicação (HOU et al., 2020; JENSEN et al., 2023) documenta exaustivamente que o verdadeiro prejuízo está em continuar pulando essa etapa.

Referências

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BAILEY, D. H.; BORWEIN, J. M.; LÓPEZ DE PRADO, M.; ZHU, Q. J. Pseudo-mathematics and financial charlatanism: the effects of backtest overfitting on out-of-sample performance. Notices of the American Mathematical Society, v. 61, n. 5, p. 458-471, 2014.

BAILEY, D. H.; BORWEIN, J. M.; LÓPEZ DE PRADO, M.; ZHU, Q. J. The probability of backtest overfitting. Journal of Computational Finance, v. 20, n. 4, p. 39-69, 2017.

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HANSEN, P. R.; LUNDE, A.; NASON, J. M. The model confidence set. Econometrica, v. 79, n. 2, p. 453-497, 2011.

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WHITE, H. A reality check for data snooping. Econometrica, v. 68, n. 5, p. 1097-1126, 2000.

A lógica é a mesma das corridas bancárias do século XIX e da Grande Depressão. Um banco transforma passivos curtos em ativos longos. Depositantes recebem liquidez sob demanda, a economia financia projetos de maturidade longa e o banco fica no meio dessa diferença. O arranjo é uma promessa que só funciona enquanto a maioria acredita que vai continuar funcionando.

O modelo de Diamond e Dybvig (DIAMOND; DYBVIG, 1983) trata o banco como solução para um problema de seguro contra choques idiossincráticos de liquidez, e o mesmo arranjo revela a corrida bancária como equilíbrio de coordenação. A turbulência bancária de 2023 deixou pendente uma agenda regulatória voltada a corridas digitais de alta velocidade e à fração do buffer de liquidez que fica indisponível sob estresse.

Quando o banco melhora o mundo

Diamond e Dybvig partem de uma economia deliberadamente simples. Há três datas, t = 0, 1, 2, um único bem e uma massa de consumidores idênticos antes de saberem suas necessidades futuras. Em t = 1, cada consumidor descobre seu tipo. Nesse sorteio, com probabilidade π₁, torna-se impaciente e deseja consumir cedo. Já com probabilidade π₂, permanece paciente e deseja consumir em t = 2.

O dilema aparece na escolha entre liquidez imediata e retorno de longo prazo. Guardar o bem de um período para o outro preserva uma unidade para consumo cedo. Investir em um projeto longo rende R > 1 em t = 2, mas paga apenas L < 1 se for liquidado prematuramente em t = 1. O projeto longo é socialmente produtivo e impõe custo individual a quem descobre cedo que precisa consumir.

Sem seguro, o agente escolhe sozinho quanto manter em uma aplicação líquida e quanto direcionar ao projeto longo. Essa autarquia é ineficiente porque cada pessoa precisa se proteger individualmente contra um choque que, no agregado, é previsível pela lei dos grandes números. O mercado financeiro melhora a alocação ao permitir trocas entre agentes impacientes e pacientes, mas ainda não entrega o seguro completo contra o risco de liquidez.

O banco resolve essa fricção emitindo um contrato de depósito. Todos depositam uma unidade em t = 0. O banco mantém uma fração líquida para atender os impacientes em t = 1 e investe o restante no projeto longo. Se apenas os impacientes sacam cedo, o contrato implementa a alocação de seguro, com consumo mais alto para quem precisa de liquidez cedo e retorno maior para quem espera. Nesse ponto do modelo, o banco é a instituição que torna possível compartilhar um risco que cada indivíduo enfrentaria sozinho.

Em notação compacta, o problema de seguro pode ser escrito como:

Nessa expressão, π₁ e π₂ são as probabilidades de o depositante ser impaciente ou paciente. A função u(.) mede utilidade do consumo, ρ desconta o consumo futuro, c₁ e c₂ são os consumos prometidos em t = 1 e t = 2, R é o retorno bruto do projeto longo e x é a fração dos recursos investida nesse projeto. As restrições dizem que o consumo dos impacientes vem da parcela líquida 1 − x e o consumo dos pacientes vem do investimento longo xR.

A condição de primeira ordem é:

Na condição de primeira ordem, u’ é a utilidade marginal. Os termos c₁^bank e c₂^bank são os consumos escolhidos pelo contrato bancário no ótimo. A igualdade resume a função econômica do banco, que transfere consumo entre estados da natureza e entre datas até equilibrar o ganho marginal de consumo cedo e o ganho descontado de preservar recursos no projeto longo. O depositante não sabe se será impaciente ou paciente, então valoriza um contrato que suaviza seu consumo contingente.

Quando o seguro vira corrida

A eficiência do contrato depende de uma crença simples: apenas quem realmente precisa consumir cedo sacará em t = 1. Se os pacientes acreditam que os demais pacientes aguardarão até t = 2, esperar é racional. O banco preserva os ativos longos, os impacientes recebem liquidez e os pacientes recebem o retorno do projeto longo. A fragilidade nasce porque essa crença coordena o comportamento dos pacientes e sustenta o próprio mecanismo.

O equilíbrio ruim surge quando os pacientes acreditam que outros pacientes sacarão cedo. Como o banco opera sob restrição de serviço sequencial, isto é, atende os pedidos por ordem de chegada, cada depositante teme ficar no fim da fila. Mesmo um paciente, que preferiria consumir em t = 2, passa a ter incentivo para sacar em t = 1. A crença coletiva torna verdadeira a escassez que ela antecipa.

O valor de liquidação do banco em t = 1, quando ativos longos precisam ser vendidos ou liquidados prematuramente, é menor que o consumo prometido aos pacientes em t = 2. Em notação compacta, Vl < c₂^bank. A corrida destrói justamente os ganhos de seguro que justificavam o banco.

Diamond e Dybvig mostram, portanto, dois equilíbrios de Nash Pareto-ordenados. Em um equilíbrio de Nash, cada depositante escolhe a melhor resposta ao comportamento que espera dos demais, de modo que ninguém melhora sua situação mudando sozinho. A ordenação de Pareto diz que um desses equilíbrios deixa todos em situação melhor que o outro. Quando os pacientes esperam, o contrato preserva o seguro e todos ficam melhor. Quando todos correm, cada paciente também prefere sacar cedo, pois esperar sozinho aumenta o risco de ficar sem liquidez. O modelo não precisa de insolvência fundamental para gerar corrida, pois um sinal público arbitrário, sem conteúdo sobre a solvência do banco, pode fazer cada depositante acreditar que os demais correrão. Na literatura, esse coordenador externo de expectativas recebe o nome de sunspot (DIAMOND; DYBVIG, 1983).

A força do modelo também define seu limite. Ele isola a fragilidade essencial da reserva fracionária, mas trata o gatilho como externo, lacuna que a pesquisa posterior tentou preencher. Gorton associa pânicos bancários a sinais sobre fundamentos macroeconômicos e qualidade dos ativos (GORTON, 1988). Calomiris e Gorton mostram que muitos pânicos históricos contêm informação, ainda que imperfeita, sobre deterioração real dos balanços (CALOMIRIS; GORTON, 1991). Goldstein e Pauzner introduzem fundamentos no jogo e permitem falar em probabilidade de corrida, não apenas em multiplicidade de equilíbrios (GOLDSTEIN; PAUZNER, 2005).

A literatura enfraquece a separação rígida entre pânico e insolvência. Uma corrida puramente irracional pediria seguro de depósitos e liquidez emergencial, enquanto uma corrida puramente motivada por insolvência pediria capital. O mundo real fica no meio, com perdas não realizadas, concentração de funding, sinais públicos, redes sociais e dúvidas sobre liquidez se combinando para tornar racional a retirada individual.

A promessa de sacar quando quiser sobre ativos que o banco investe no longo prazo não é exclusiva do sistema bancário regulado. A FTX, plataforma de negociação e custódia de criptoativos que mantinha saldos de clientes, operava com a mesma transformação de maturidade. Clientes podiam sacar cripto a qualquer momento enquanto a empresa tomava posições ilíquidas com os ativos depositados. Em novembro de 2022, dúvidas sobre o balanço dispararam pedidos de saque que a operação não conseguiu honrar. A Circle, empresa emissora do USDC, prometia que cada unidade dessa moeda digital estável seria resgatável por um dólar, com lastro em reservas mantidas em bancos americanos. Em março de 2023, quando o Silicon Valley Bank (SVB), banco californiano com forte presença entre empresas de tecnologia, foi à quebra enquanto guardava parte dessas reservas, a paridade do USDC caiu cerca de doze por cento antes de ser restaurada por intervenção pública sobre o SVB. Em ambos os casos, a estrutura é a prevista pelo modelo Diamond-Dybvig, agora sem os dois amortecedores institucionais que o sistema bancário regulado construiu para conter corridas. Esses amortecedores são o seguro de depósitos, como o Fundo Garantidor de Créditos (FGC) no Brasil e a Federal Deposit Insurance Corporation (FDIC) nos Estados Unidos, e o lender of last resort, isto é, um banco central ou tesouro disposto a fornecer liquidez emergencial e a coordenar resoluções para que o pânico não se propague. A promessa de saída sob demanda colapsa quando muitos tentam exercê-la ao mesmo tempo, e em cripto não existe quem ampare o colapso.

A fila que não aparece

O Continental Illinois, já citado como caso americano de funding de atacado, o Northern Rock, credor hipotecário britânico, o Banco Popular, banco espanhol resolvido pelo mecanismo europeu, e o First Republic, banco regional americano com base concentrada de depósitos, mostram que a fila pública é apenas uma forma possível de corrida bancária. Em todos os casos, o mecanismo decisivo apareceu antes ou fora da agência, por meio de funding atacadista, grandes depositantes, deterioração rápida de liquidez ou perda de confiança de clientes sofisticados. A figura resume os quatro episódios.

Esses episódios deslocam a atenção da agência para o passivo. A corrida moderna pode começar fora do varejo, não aparecer nas imagens de televisão e atravessar a fronteira entre liquidez e solvência antes que a supervisão termine sua análise. Quando a base de funding é concentrada e capaz de sair em bloco, a promessa de liquidez sob demanda deixa de ser conveniência para o depositante e passa a ser opção contra o banco.

O índice de cobertura de liquidez (LCR) pergunta se o banco tem ativos líquidos de alta qualidade (HQLA) suficientes para cobrir saídas líquidas em 30 dias sob um cenário padronizado de estresse. A corrida sem fila muda o horizonte da pergunta. O banco consegue transformar esses ativos em caixa no mesmo ritmo dos saques, com depositantes grandes, coordenados e informados, sem que a monetização do buffer seja interpretada como confissão de fragilidade?

O artigo anterior sobre buffer de liquidez e capacidade de contrabalanço deixou esse ponto em aberto. HQLA, em sentido regulatório, já pressupõe ativos elegíveis, líquidos e em geral livres de ônus relevante. Depois dessa classificação, o gestor ainda precisa saber quanto do HQLA reportado pode ser transferido para a entidade certa, monetizado no prazo da corrida e usado sem produzir um sinal adverso ao mercado. A diferença entre elegibilidade regulatória e usabilidade sob estresse é justamente onde a corrida digital pressiona o LCR.

Como medir uma corrida digital

Uma corrida digital transforma o problema clássico de liquidez em um problema de intensidade. O analista deixa de perguntar apenas quanto pode sair em 30 dias e passa a estimar o ritmo de saída em janelas de horas. A variável crítica é o horizonte de sobrevivência intradia, definido como o primeiro instante τ em que o caixa cruza o piso mínimo do banco. Essa leitura é próxima da literatura de risco de liquidez de funding, que trata a incapacidade de levantar caixa como variável de estado, não apenas como consequência contábil de perdas (DREHMANN; NIKOLAOU, 2013).

Nessa formulação, inf seleciona o primeiro instante em que a desigualdade passa a valer. C₀ é o caixa inicial, Mₜ(HQLA) é a parcela do buffer que pode ser monetizada até o instante t, Iₜ representa entradas confirmadas, Oₜ representa saídas acumuladas e Bₜ é o colchão mínimo necessário para pagamentos, liquidez intradia e restrições internas. A diferença entre HQLA contábil e Mₜ(HQLA) é justamente o ponto que a corrida digital explora.

Nem todo depósito sai com a mesma facilidade. Depósitos segurados, pulverizados e transacionais comportam-se de forma diferente de depósitos não segurados, concentrados e administrados por tesourarias profissionais. O segundo bloco estima a probabilidade de saída a partir do que se sabe sobre cada cliente, como cobertura de seguro, concentração, relacionamento, diferencial de taxa, sinais de mercado e choques de notícia. A evidência recente sobre mídias sociais reforça essa dimensão informacional, pois exposição prévia a redes e intensidade de mensagens sobre bancos ajudam a explicar perdas de mercado durante corridas recentes (COOKSON et al., 2023).

A variável ΔDᵢ,ₜ mede a variação do depósito do cliente i no instante t, de modo que ΔDᵢ,ₜ < 0 indica saída de recursos. Λ é a função de ligação que transforma o escore linear em probabilidade, α é o intercepto do modelo e β₁ a β₅ são os pesos estimados de cada fator. Uᵢ mede a parcela não segurada do depósito, Sₜ resume sinais de estresse observáveis, Kᵢ mede concentração ou importância do cliente, Rᵢ,ₜ captura a relação econômica com o banco e Nₜ representa fluxo de notícias ou sinais públicos. O objetivo não é prever perfeitamente cada saque, mas separar depósitos que se comportam como funding estável daqueles que funcionam como opção de saída imediata.

O terceiro bloco é o que separa fluxo de cascata. Em uma corrida digital, um saque grande não fica isolado, pois revela informação, coordena expectativas e aciona decisões de comitês de tesouraria que estavam apenas observando. Cada evento empurra os próximos. A imagem mais palpável é uma fileira de dominós, em que a queda de um aumenta a chance e diminui o tempo até a queda do seguinte. A linguagem estatística para esse fenômeno é o processo de Hawkes (HAWKES, 1971), já consolidado em finanças para modelar eventos de alta frequência, contágio e dinâmica de livro de ofertas (BACRY; MASTROMATTEO; MUZY, 2015).

Nessa equação, λ(t) é a intensidade instantânea de saques no tempo t e cada tᵢ marca o horário de um saque já observado. O parâmetro μ mede o ritmo de fundo dos saques numa quinta-feira normal, o fluxo histórico de TED, PIX e mensagens internas que o sistema observa sem que ninguém estranhe. O parâmetro α mede o tamanho do empurrão de um saque sobre os seguintes, isto é, quanto um movimento visível arrasta tesourarias profissionais que estavam paradas. O parâmetro β mede a velocidade de dissipação desse empurrão, em horas nas corridas digitais e em dias nas corridas de varejo. A razão de ramificação α/β separa flutuação de corrida, porque cada saque gera, em média, α/β saques filhos. Quando essa razão se aproxima de um, o sistema sai do regime estável e entra em cascata.

α e β quase nunca são estimados a frio. São calibrados quando alguém na sala de tesouraria reconhece o padrão dos minutos anteriores e nomeia o que está acontecendo, e o Hawkes é a álgebra que arruma esse reconhecimento depois do fato.

O painel final combina horizonte de sobrevivência em horas, fração de depósitos não segurados e concentrados, razão entre HQLA monetizável no mesmo dia e HQLA reportado, e a razão de ramificação α/β do parágrafo anterior. Esses números complementam o LCR ao mostrar onde uma métrica de 30 dias pode chegar tarde.

O Brasil aprendeu com crises reais

O Brasil tem menos imagens clássicas de filas em agências do que os Estados Unidos, mas tem uma história rica de crises bancárias, intervenções e redesenho institucional. No início do Plano Real, a estabilização retirou uma fonte relevante de receita inflacionária dos bancos, elevou a disciplina de mercado e expôs fragilidades acumuladas. Banco Econômico, Banco Nacional e Bamerindus tornaram-se os casos emblemáticos.

Carvalho e Oliveira contestam a leitura simplificada de que a quebra desses bancos decorreu apenas de expansão acelerada de crédito após julho de 1994. A evidência de balanço sugere problemas anteriores, agravados pela dificuldade de adaptação ao novo regime de baixa inflação e pela política econômica restritiva de 1995 (CARVALHO; OLIVEIRA, 2002). O choque de credibilidade foi o mecanismo de corrida. Quando o nome do banco se deteriora, depositantes e investidores fogem.

A resposta institucional veio em duas frentes. O Programa de Estímulo à Reestruturação e ao Fortalecimento do Sistema Financeiro Nacional (PROER) buscou viabilizar a transferência de bancos problemáticos para instituições saudáveis e evitar uma liquidação desordenada que contaminasse o sistema. O FGC, autorizado em 1995, criou uma camada permanente de proteção a depositantes. O próprio FGC descreve sua missão como proteção de depositantes e minimização do risco de corridas bancárias, reconhecendo explicitamente a lógica Diamond-Dybvig no desenho institucional brasileiro (FUNDO GARANTIDOR DE CRÉDITOS, 2026).

O Banco Santos, em 2004, ilustra uma versão mais segmentada do problema. A intervenção do Banco Central decorreu de deterioração econômico-financeira, problemas de liquidez e irregularidades. A dissertação de Carlos Ahmar caracteriza o episódio como uma minicrise de liquidez em segmento delimitado do mercado bancário brasileiro, com análise de 84 instituições antes e depois da intervenção (AHMAR, 2006). A lição é que contágio de liquidez não precisa atingir todo o sistema para ser relevante. Ele pode se concentrar em bancos percebidos como parecidos.

A arquitetura brasileira posterior ficou mais robusta. O país adotou LCR para instituições do segmento prudencial S1, grupo que reúne os bancos de maior porte ou relevância sistêmica, consolidou exigências de gerenciamento de riscos na Resolução CMN 4.557/2017, exige plano de contingência de liquidez e acompanha o sistema por métricas como o Índice de Liquidez do Banco Central (BANCO CENTRAL DO BRASIL, 2017). O Relatório de Estabilidade Financeira do primeiro semestre de 2025 avaliou o sistema como capitalizado e líquido, sem risco relevante para a estabilidade financeira no agregado (BANCO CENTRAL DO BRASIL, 2025).

Essa robustez não elimina pontos de atenção. A composição brasileira de HQLA é concentrada em títulos públicos federais e reservas no Banco Central. Em condições normais, isso é uma vantagem porque reúne ativos de alta liquidez, mercado profundo e elegibilidade ampla. Em estresse fiscal severo, porém, o mesmo ativo conecta liquidez bancária, risco soberano e capital. A discussão brasileira sobre corrida bancária gira pela concentração de funding, velocidade de transferência, confiança no FGC, capacidade de intervenção tempestiva e cenários de liquidez envolvendo títulos públicos.

Onde a regulação ainda está lenta

A agenda recente não pede abandono de Basileia III. O LCR, o índice de financiamento estável líquido (NSFR), os testes de estresse e os planos de contingência melhoraram a resiliência bancária em relação ao mundo pré-2008. A pergunta mais precisa é quais partes do arcabouço foram calibradas para uma corrida mais lenta, menos digital e menos concentrada. O próprio Comitê de Basileia (BCBS) formalizou esse diagnóstico ao revisar a turbulência de março de 2023 (BCBS, 2023).

Granularidade temporal é o primeiro ajuste. Um requisito de 30 dias pode conviver com métricas intradia, de 1 dia, 5 dias e 10 dias para bancos com funding concentrado ou base relevante de depósitos não segurados. A regulação americana já trabalha com múltiplos horizontes para grandes instituições. O pós-2023 sugere que a segmentação deve depender do tamanho do ativo e da velocidade potencial do passivo.

As taxas de saída também precisam refletir concentração e cobertura de seguro. Depósitos não segurados e concentrados, como os observados em Continental Illinois, First Republic e outras instituições de funding sofisticado, têm dinâmica diferente dos depósitos corporativos médios. O FDIC avaliou três caminhos para reforma do seguro de depósitos, entre manter cobertura limitada, adotar cobertura ilimitada ou criar cobertura direcionada. A própria agência apontou a cobertura direcionada para contas transacionais de empresas como alternativa promissora, porque protege folhas de pagamento e meios de pagamento sem estender seguro irrestrito a depósitos de investimento (FDIC, 2023b).

Ativos mantidos até o vencimento (HTM) exigem tratamento mais realista de liquidez. Um título soberano pode ser HQLA em sentido jurídico e ainda assim ser difícil de monetizar sem cristalizar perda, sinalizar fraqueza ou consumir capital. O relatório de progresso do BCBS sobre liquidez registra que ativos HTM com perdas não realizadas podem tornar o acesso ao mercado privado de recompra, ou repo, menos confiável e fazer do banco central o canal efetivo de monetização (BCBS, 2024).

O estigma da liquidez oficial reduz o tamanho econômico do buffer. A janela de redesconto é a linha pela qual o banco central empresta liquidez a bancos solventes, normalmente contra garantias elegíveis, para atravessar uma pressão temporária de caixa. Bancos evitam usá-la quando temem que o mercado interprete o acesso como sinal de insolvência. O Group of Thirty (G30), fórum internacional de ex-reguladores, banqueiros centrais e executivos financeiros, enfatiza em relatório liderado por William Dudley a preparação prévia para uso de facilidades do banco central, pré-posicionamento de colateral e desenho de mecanismos que não transformem liquidez emergencial em anúncio público de fraqueza (GROUP OF THIRTY, 2024). Um buffer que o banco não ousa usar é menor do que parece.

Banco Popular mostrou que uma instituição pode ser empurrada para resolução por deterioração de liquidez antes que a discussão pública sobre capital esteja estabilizada. A mesma fragilidade aparece em conglomerados com liquidez presa por entidade jurídica, moeda ou jurisdição, quando o caixa existe no balanço consolidado mas não chega à unidade que precisa pagar. A Resolução CMN 4.557 já exige consideração de moedas, jurisdições e restrições de transferência, e a agenda concreta é tornar esse mapeamento mais granular, testado e acionável.

First Republic, Banco Popular e Banco Santos têm diferenças relevantes de jurisdição, porte e modelo de negócio, mas todos mostram que a janela entre perda de confiança e intervenção pode ser curta. Corridas digitais encurtam a distância entre encontrar uma deficiência e forçar sua correção, de modo que supervisão lenta perde valor quando a confiança se move em horas.

O Brasil já tem FGC, PROER como experiência histórica, LCR para bancos S1, plano de contingência e métricas proprietárias do Banco Central. O próximo ganho está em cenários de velocidade, concentração e comunicação. Um teste de estresse brasileiro deveria perguntar não apenas quanto sai em 30 dias, mas quanto pode sair em uma tarde se um grupo concentrado de clientes institucionais receber o mesmo sinal público.

A corrida não cabe em 30 dias

Diamond-Dybvig continua sendo o ponto de partida porque expõe a tensão que nenhuma regulação elimina por completo. Bancos existem porque transformam maturidade e seguram choques de liquidez. Corridas existem porque a promessa de liquidez individual depende de uma condição coletiva: nem todos podem exigir liquidez ao mesmo tempo.

A experiência brasileira associa estabilidade a credibilidade institucional. O PROER e o FGC surgiram em resposta a uma crise real e criaram mecanismos para absorver quebras sem transformar cada intervenção em pânico sistêmico. A estabilidade posterior do sistema brasileiro deve muito a essa capacidade.

Corridas recentes encurtaram o intervalo entre perda de confiança e saída de recursos. A fila virou transferência eletrônica, o boato virou sinal público em rede, o depositante não segurado virou tesouraria corporativa e o HQLA deixou de ser apenas numerador de uma razão regulatória. A próxima etapa da regulação de liquidez precisa medir a corrida no tempo em que ela acontece, reconhecer que depósitos concentrados não são funding estável e garantir que o buffer possa ser usado sem destruir a confiança que deveria preservar.

Referências

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A inconsistência não está na álgebra, que faz exatamente o que foi pedido, e sim na premissa econômica. Recessões, choques setoriais e apertos de liquidez não selecionam tomadores por sorteio independente. Eles comprimem receitas, margens, refinanciamento e valor de colateral de muitos devedores ao mesmo tempo, razão pela qual uma carteira de crédito precisa de algum mecanismo explícito para transformar estado da economia em dependência entre defaults.

A indústria de risco de crédito se reorganizou em torno desse problema no fim dos anos 1990. Em abril de 1997, o JP Morgan publicou o CreditMetrics Technical Document, um manual de 198 páginas que formalizava, em linguagem aberta, como estimar a distribuição de perdas de uma carteira inteira a partir de probabilidades de transição de rating e correlação de ativos (GUPTON; FINGER; BHATIA, 1997). Seis meses depois, o Credit Suisse Financial Products respondeu com o CreditRisk+: A Credit Risk Management Framework, uma metodologia atuarial que ignora balanços e trata o default como evento aleatório com intensidade estocástica (CREDIT SUISSE FINANCIAL PRODUCTS, 1997). Embora partissem de tradições diferentes, os dois documentos atacavam a mesma deficiência dos modelos independentes, pois ambos buscavam representar a possibilidade de vários tomadores quebrarem na mesma situação de crise enfrentada.

Quase três décadas depois, a linhagem que começou naqueles dois documentos ainda define boa parte do que se entende por capital econômico relativo à crédito em bancos regulados. Entre o modelo independente e os modelos estruturais multifatoriais de hoje, a evolução da modelagem pode ser lida como uma sequência de correções sobre hipóteses que se mostraram convenientes demais quando confrontadas com carteiras reais, sobretudo a independência, a forma da cauda e a concentração.

Em Modelling Economic Capital, David Jamieson Bolder (2022) reconstrói essa engenharia a partir do que chama de um começo ingênuo, porém informativo, o modelo de default independente. A partir dele, mostra por que a independência elimina a cauda relevante da distribuição de perdas, como os modelos mixture e threshold recolocam um fator comum dentro da carteira, e por que a mesma estrutura reaparece, em versão regulatória, na fórmula da abordagem baseada em classificações internas (IRB).

O modelo mais ingênuo que se pode defender

Suponha uma carteira com I tomadores distintos. Para cada tomador i, conhecemos três quantidades: a exposição em caso de default, denotada c_i (em inglês exposure-at-default, EAD), a probabilidade de default no horizonte de análise, p_i, e a perda dado default, γ_i. Um indicador 𝟙_Di assume valor 1 se o tomador entra em default entre t e T, e 0 caso contrário. A perda total da carteira no horizonte T se escreve então como uma soma simples sobre os tomadores.

Essa expressão é o ponto de partida de qualquer modelo de risco de crédito de carteira. O que a diferencia entre modelos distintos é como os 𝟙_Di se comportam conjuntamente. A escolha mais simples, e também a mais questionável, é assumir que cada indicador é uma realização Bernoulli com probabilidade p_i e que todos são mutuamente independentes. É o chamado independent-default model, e Bolder (2022, p. 54) o apresenta justamente por sua clareza pedagógica.

Se as PDs forem iguais e os c_iγ_i forem homogêneos, o número de defaults segue uma distribuição binomial com parâmetros (I, p). Para I grande e p pequeno, a aproximação de Poisson com intensidade λ = Ip é útil para cálculo de caudas. O modelo é elegante, tratável, e pode até ser resolvido analiticamente. Também é fatalmente errado, por uma razão que se revela num experimento numérico simples.

O paradoxo da diversificação

Considere uma carteira com I = 100 tomadores, todos com PD = 1%, exposição unitária e LGD de 40%. A perda esperada é E[L] = I · p · γ = 0,40 em unidades de exposição. Sob independência, um milhão de simulações produz desvio-padrão de 0,40, VaR a 99% de 1,60, VaR a 99,9% de 2,00 e expected shortfall (ES) a 99% de 1,69. Nenhuma perda das 10⁶ simuladas ultrapassou 9 defaults simultâneos. Agora aumentamos I para 10 mil. A perda esperada cresce para 40, mas o VaR 99% normalizado pela média, VaR/E[L], cai de 3,98 (com I = 100) para 1,24 (com I = 10 mil). No limite I → ∞, a lei dos grandes números garante que L/I converge quase certamente para E[L]/I; em termos relativos, o capital econômico acima da perda esperada tende a desaparecer.

Nessa toada, basta tornar a carteira grande o suficiente e o risco de crédito desaparece por diversificação, embora essa conclusão venha da hipótese de independência, não de uma propriedade econômica robusta. Ao tratar cada default como independente dos demais, o modelo elimina por construção o risco sistêmico. O ciclo econômico, choques setoriais e contágio entre tomadores fazem com que defaults se aglomerem nos mesmos trimestres, especialmente em recessões. Frey e McNeil (2003) mostram que correlações de ativos modestas, entre 10% e 20%, podem multiplicar o VaR a 99,9% por fatores de cinco a vinte vezes.

A segunda consequência é mais sutil e igualmente incômoda. Sob independência, a perda agregada concentra-se em torno da média com caudas que decaem exponencialmente. Crises reais exibem caudas muito mais pesadas, em que vários tomadores grandes falham no mesmo período. Qualquer medida de capital baseada em quantis extremos (VaR a 99,97%, por exemplo) subestima sistematicamente a verdadeira exigência de capital quando calibrada sobre o modelo independente.

Bolder (2018, cap. 2) e Bluhm, Overbeck e Wagner (2010, cap. 1) observam que, apesar disso, o modelo tem um papel útil como challenger. Ele pode funcionar como um segundo número, calculado em paralelo ao modelo de produção, cuja função é sinalizar erros grosseiros de implementação. Por ser trivial de implementar e auditar, serve de âncora de sanidade, embora não possa descrever o mundo que o modelo principal tenta capturar.

Duas escolas de modelagem para introduzir risco sistêmico

Se a independência é a raiz do problema, a saída precisa introduzir alguma forma de dependência entre os defaults. A literatura do setor convergiu em duas estratégias, cada uma associada a um modelo dominante e a uma tradição intelectual distinta. McNeil, Frey e Embrechts (2015, cap. 11) organizam a taxonomia da maneira que se tornou canônica: mixture models de um lado, threshold models do outro.

Na estratégia mixture, a probabilidade de default de cada tomador deixa de ser um parâmetro fixo e passa a ser uma função de uma variável aleatória comum Z, interpretável como estado da economia. Em cada simulação, sorteia-se um valor de Z, que reescreve as probabilidades p_i(Z) de todos os tomadores. Dado Z, os defaults voltam a ser independentes entre si (propriedade de conditional independence), mas a aleatoriedade de Z introduz correlação entre os eventos. O exemplo canônico é o modelo gamma-Poisson do CreditRisk+, que decompõe a probabilidade randomizada em uma parte idiossincrática e uma parte sistêmica:

Os coeficientes ω_i0 e ω_i1 somam 1 e controlam o peso relativo de cada componente (CREDIT SUISSE FINANCIAL PRODUCTS, 1997; WILDE, 2010). Essa abordagem é chamada de reduced-form ou atuarial porque trata o default como evento exógeno, sem especificar o mecanismo pelo qual ele ocorre. Para algumas escolhas do mixing (gamma, beta, logit-normal), a distribuição de perdas admite forma semi-analítica, dispensando Monte Carlo.

Na estratégia threshold, a inspiração é outra. Logo depois do paper de Black e Scholes (1973), Merton (1974) observou que o equity de uma firma pode ser visto como uma opção de compra sobre seus ativos, de modo que o default ocorre quando o valor dos ativos cai abaixo da dívida. Vasicek (2002) simplificou essa intuição contínua para um modelo de um período, no qual cada tomador carrega uma variável latente y_i, interpretável como retorno normalizado dos ativos ou índice de capacidade de crédito. Um fator sistêmico Z e um choque idiossincrático ε_i, ambos normais padrão, compõem y_i linearmente:

O default do tomador i ocorre quando y_i cruza um limiar K_i. Como as variáveis são normais padrão, a calibração do limiar sai da relação E[𝟙_yi≤Ki] = p_i, que leva diretamente a K_i = Φ^-1(p_i). Essa construção tem a vantagem de ser endógena. Default é consequência de um mecanismo (ativos cruzarem dívida) e não apenas um evento atribuído de fora. CreditMetrics (GUPTON; FINGER; BHATIA, 1997) generaliza a lógica para múltiplos fatores e múltiplos estados de rating, usando cópula gaussiana e matriz de transição histórica para construir os limiares.

As duas tradições podem chegar a distribuições de perda parecidas, embora contem histórias diferentes sobre o que está acontecendo. Gordy (2000) mostra que existe um mapeamento formal entre elas sob certas condições. Para o leitor que precisa escolher, a diferença concreta está menos no comportamento estatístico e mais no tipo de dado disponível: mixture dispensa dados de balanço e lida bem com tomadores sem ações negociadas, enquanto threshold se beneficia de informação sobre ativos e pode incorporar migração de rating de forma natural. A abordagem IRB regulatória segue a lógica threshold de um fator, e é por esse caminho que seguimos aqui.

A mecânica do threshold de um fator

Construir o índice y_i exige uma escolha difícil: quanto da sorte do tomador é dele, e quanto é da economia. No caso de um único fator, a resposta aparece em uma decomposição simples:

O choque Z é comum a todos os tomadores; ε_i é específico do tomador i. O parâmetro α_i controla o peso sistêmico: α_i = 0 reduz o modelo ao caso independente; α_i = 1 elimina a parcela idiossincrática. A raiz quadrada garante que ΔX_i continue com variância unitária, de modo que o limiar de default permanece calibrado por Φ^-1(p_i).

Bolder (2022) escreve a versão mais geral dessa ideia partindo de uma equação diferencial estocástica para o índice de capacidade de crédito, discretizando o tempo e acomodando múltiplos fatores sistêmicos. O índice incremental entre t e t+1 fica:

O vetor B_i tem dimensão J e carrega as cargas normalizadas do tomador i nos J fatores sistêmicos; Δz é o vetor de choques sistêmicos correlacionados, de dimensão J; Δw_i é o choque idiossincrático, normal padrão e independente tanto entre tomadores quanto do vetor Δz. A normalização B_iΩB_i^T = 1 preserva a mesma lógica do caso de um fator: ΔX_i ∼ 𝒩(0,1), e o limiar continua sendo Φ^-1(p_i).

No caso de um único fator sistêmico, a correlação de ativos entre dois tomadores n e m fica:

A fórmula IRB de Basileia II se apoia nesse mesmo núcleo de fator único assintótico (Asymptotic Single Risk Factor, ASRF), como mostram Gordy (2003) e o Comitê de Basileia (BCBS, 2005). A Resolução BCB 303/2023 não cita Vasicek nominalmente, mas adota a mesma forma funcional da abordagem IRB. O fator K (exigência de capital por unidade de exposição) é calculado com N, N^-1, PD, LGD e um fator de correlação R aplicado ao quantil 99,9% do fator sistêmico. No modelo de um fator, esse R ocupa o mesmo papel de α_i², isto é, a correlação de ativos regulatória. No regime brasileiro, R depende da categoria de exposição e, em vários casos, também da PD. Para atacado, por exemplo, a curva-base se move entre 0,12 e 0,24. Para exposições residenciais de varejo, R é 0,15. Para crédito rotativo de varejo qualificado, R é 0,04. Nesse caso, a decomposição em parte sistêmica e idiossincrática vira objeto regulatório calibrável.

Como α_i entra ao quadrado na correlação, α_i = 0,30 corresponde a uma correlação de ativos de 0,09. Esse valor fica ligeiramente abaixo da curva-base de atacado da fórmula IRB brasileira, mas permanece na mesma ordem de grandeza dos parâmetros regulatórios usuais. É esse o valor usado nos resultados numéricos a seguir, como benchmark didático, não como calibração regulatória.

Implementação em Julia

A estrutura acima se traduz em Julia de forma quase literal. O modelo independente se resume a sortear I Bernoullis iid por simulação e somar as perdas. Usamos Distributions.jl para as distribuições e Random para reprodutibilidade.

O modelo threshold de um fator exige um passo adicional. Em cada simulação, sorteamos um valor de Z, construímos os ΔX_i como combinação linear ponderada, e comparamos com o limiar K_i = Φ^-1(p_i) para definir se o tomador quebrou. Como K_i depende apenas de p_i, ele é pré-calculado. O parâmetro α controla a intensidade do acoplamento sistêmico.

Os dois códigos diferem apenas na forma como o vetor de defaults é gerado em cada iteração. A função simulate_threshold precisa sortear o choque sistêmico Z antes de compor os ΔX_i, e é essa dependência comum que transforma o comportamento da cauda. Para o leitor interessado na implementação completa, com acesso ao gerador usado nos gráficos abaixo e às rotinas de agregação, há um repositório com os dois modelos e as rotinas de visualização: pq_bolder_cap2 (procurar em parte1).

O que a cauda mostra

Rodando ambos os modelos com I = 100 tomadores, PD = 1%, LGD = 40%, exposição unitária e 10⁶ simulações, obtemos as distribuições de perda esperadas. A perda média é 0,40 nos dois modelos, porque só depende de PD, LGD e exposição, mas o resto da distribuição diverge. A Tabela 2 resume as métricas de cauda para α = 0,30.

A média é a mesma por construção, o que era esperado, porque ambos os modelos respeitam p_i como PD marginal. O desvio-padrão já cresce 34% no modelo threshold, porque agora existe uma fonte adicional de variabilidade (o fator sistêmico Z). Onde a diferença fica economicamente relevante é nos quantis extremos. O VaR a 99% sobe 50%, VaR a 99,9% sobe 80%, VaR a 99,97% (quantil usado como referência por Bolder para stress severo) sobe 83%. O ES a 99%, medida de perda média condicional além do VaR, sobe de 1,69 para 2,81. Nenhuma dessas diferenças vem da calibração de PD ou LGD. Vêm exclusivamente de assumir ou não que os defaults compartilham um estado da economia comum.

O experimento da diversificação, que no modelo independente faz o VaR convergir para a média, tem desfecho oposto no threshold. Fixando α = 0,30 e variando o tamanho da carteira, observa-se que a razão VaR 99% / E[L] permanece em torno de 4,5 mesmo com I = 2 mil tomadores, enquanto no modelo independente essa razão cai abaixo de 1,6 já em I = 2 mil e tende a 1 com I ainda maior.

Esses números separam dois tipos de risco que o modelo independente misturava mal. O risco de crédito idiossincrático pode ser diluído aumentando o número de tomadores, enquanto o risco sistêmico, por atingir toda a carteira simultaneamente, não se reduz por esse caminho. No limite de carteira infinita e um único fator, a perda condicional E[L|Z] tem forma fechada (VASICEK, 2002) e compõe o bloco central da fórmula IRB. O cálculo regulatório avalia a perda condicional em um cenário sistêmico adverso, subtrai a perda esperada e incorpora ajustes adicionais, como maturidade. Gordy (2003) formaliza esse resultado por meio da portfolio invariance. Sob hipóteses restritivas, um modelo ASRF permite uma regra de capital aditiva para carteiras grandes e granulares, ao passo que extensões como mais fatores, não gaussianidade e concentração ficam fora dessa simplificação de Pilar 1 e precisam ser tratadas no Pilar 2/ICAAP.

Encerramento

Entre o modelo binomial dos anos 80 e a forma final do Vasicek, a mudança conceitual passa por reconhecer que defaults dependem de um estado da economia comum, escolher entre randomizar a probabilidade (mixture) ou randomizar o estado do tomador (threshold), e aceitar a suposição gaussiana como forma conveniente de implementar o acoplamento. Daí surge um modelo pequeno o bastante para caber em cem linhas de Julia, mas capaz de produzir distribuições de perda com caudas plausíveis e de dialogar diretamente com a regra de capital que aparece na supervisão bancária.

A hipótese de independência era o primeiro problema, e o modelo de um fator responde a ela ao colocar todos os tomadores sob o mesmo estado da economia. Essa solução, no entanto, depende de outra escolha forte, pois a normalidade conjunta é o que permite transformar uma correlação de ativos em distribuição de perdas de forma tão direta.

A normalidade conjunta torna o modelo tratável porque conecta PD, limiar de default e correlação de ativos em uma única construção probabilística, mas também impõe uma restrição importante sobre os extremos. Para correlação menor que 1, a cópula gaussiana tem dependência de cauda nula, de modo que, condicionada a um tomador estar em um quantil cada vez mais extremo, a probabilidade de outro tomador acompanhar esse mesmo evento extremo tende a zero. Isso não significa que a probabilidade conjunta seja igual ao produto das PDs em níveis finitos, e sim que a cópula não preserva co-movimento extremo no limite.

MacKenzie e Spears (2014) documentaram como essa propriedade silenciosa contribuiu para a subprecificação do risco de tranches sêniores de CDOs nos anos que antecederam 2008. A literatura respondeu migrando para cópulas com dependência de cauda não-nula, sendo a cópula t a escolha mais comum em produção. Depois de abandonar a independência, a pergunta natural deixa de ser se os tomadores dependem de um fator comum e passa a ser se a dependência gaussiana continua adequada justamente na região em que o capital econômico é definido, a cauda da distribuição de perdas.

Referências

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A predição conformal (conformal prediction) é um arcabouço alternativo que parte de um ponto distinto. Em vez de fazer suposições sobre a forma da distribuição, parte da única premissa de intercambialidade (exchangeability) das observações, e a partir dela deriva uma garantia formal. A probabilidade de o valor verdadeiro Y_n+1 cair dentro do conjunto de previsão C(X_n+1) é maior ou igual a 1 − α, sem qualquer suposição adicional sobre a distribuição dos dados.

O ponto que torna a predição conformal especialmente interessante para o quant é que ela é agnóstica ao modelo subjacente. Pode-se acoplá-la a uma regressão linear, a um random forest, a uma rede neural profunda ou a um gradient boosting sem alterar a garantia de cobertura. O modelo continua sendo um estimador de ponto, e a predição conformal o converte em previsor com cobertura garantida em amostra finita, sob a condição de intercambialidade.

Este artigo abre uma série dedicada a aplicações de predição conformal em finanças quantitativas. A questão central é distinguir o que a garantia conformal realmente promete do que ela não promete. Para o quant, isso significa olhar separadamente para cobertura marginal, eficiência do intervalo, diagnóstico condicional e quebra de intercambialidade em séries financeiras. A predição conformal não elimina risco de modelo, mas transforma parte da incerteza preditiva em uma afirmação testável de cobertura, com premissas explícitas e custo computacional controlado.

Origens na escola russa

A escola de pensamento que produziu a predição conformal tem raízes mais antigas, na tradição russa de Andrei Kolmogorov sobre complexidade algorítmica e aleatoriedade. Desde os anos 1960, essa linhagem priorizou garantias finitas e independentes da forma da distribuição, em contraste com o foco assintótico-paramétrico que dominou a estatística ocidental. Per Martin-Löf, aluno sueco de Kolmogorov, formalizou aleatoriedade via testes algorítmicos, e essa noção de “teste de tipicidade” é o ancestral direto do p-valor conformal. Vladimir Vapnik, da mesma escola, cunhou a teoria de Vapnik-Chervonenkis (VC) e o pensamento distribution-free em aprendizado. Sua migração para a Bell Labs nos anos 1990 levou a teoria VC para o Ocidente, mas o conformal não foi junto. Vovk e Gammerman emigraram para Royal Holloway, em Londres, e ali, com Shafer (Rutgers), formularam a predição conformal a partir do final dos anos 1990, em relativo isolamento do mainstream estatístico. O programa avançou em paralelo ao projeto Shafer-Vovk de probabilidade game-theoretic, que dá ao conformal um fundamento alternativo via teoria de jogos e apostas, e foi consolidado no livro Algorithmic Learning in a Random World (VOVK et al., 2022, com primeira edição em 2005).

Por mais de uma década o método circulou em comunidades restritas, sobretudo em diagnóstico médico, enquanto a estatística e o aprendizado de máquina ocidentais estavam ocupados com teoremas assintóticos, o boom bayesiano via Markov Chain Monte Carlo (MCMC) nos anos 1990, bootstrap à la Efron e, mais tarde, deep learning sem incerteza calibrada. A virada veio em 2018, com o trabalho de Lei, Wasserman e Tibshirani na Carnegie Mellon traduzindo o conformal para a linguagem da estatística aplicada de regressão (LEI et al., 2018), e na sequência com a popularização via tutoriais modernos (ANGELOPOULOS; BATES, 2023). O encontro com problemas de incerteza em modelos black-box tornou o conformal a peça que faltava no arsenal ocidental.

Intercambialidade como única premissa

A predição conformal só impõe uma premissa sobre os dados, e essa premissa é mais fraca que a tradicional hipótese de observações independentes e identicamente distribuídas. Uma sequência (Z₁, Z₂, ..., Z_n+1) é dita intercambiável quando sua distribuição conjunta é invariante sob qualquer permutação dos índices. Toda sequência i.i.d. é intercambiável, mas a recíproca não vale.

Intercambialidade (paráfrase de Vovk et al., 2022).

Uma sequência (Z₁, ..., Z_n+1) é intercambiável se e somente se P(Z_π(1), ..., Z_π(n+1)) = P(Z₁, ..., Z_n+1) para toda permutação π dos índices {1, ..., n+1}. Independência implica intercambialidade, mas a recíproca não vale.

O exemplo canônico de sequência intercambiável e não i.i.d. é a amostragem sem reposição de uma urna finita. Considere uma urna com 2 bolas vermelhas e 2 azuis, da qual se retiram 2 bolas sem reposição. Na primeira extração, P(vermelha) = 1/2. Se a primeira bola foi vermelha, a probabilidade de vermelha na segunda cai para 1/3. Se a primeira foi azul, sobe para 2/3. As extrações, portanto, não são independentes. Ainda assim, a sequência é intercambiável, porque observar (vermelha, azul) tem a mesma probabilidade que observar (azul, vermelha): em ambos os casos, 1/3. A ordem carrega dependência, mas a distribuição conjunta não favorece uma posição específica. É essa distinção que permite usar predição conformal em alguns problemas não independentes, mas não em qualquer série financeira sem adaptação.

Retornos diários de um ativo não são i.i.d., porque a distribuição muda com o regime de volatilidade, liquidez e condições macrofinanceiras. Em vários cenários de risco de crédito, contudo, em que cada cliente é uma observação cross-section, intercambialidade é uma premissa razoável dentro de um grupo homogêneo. A mesma observação vale para classificação de imagens com dados independentes de um banco de fotos, ou para amostras de pesquisas de campo coletadas em uma janela temporal estreita.

Em séries temporais financeiras, intercambialidade falha sistematicamente, e parte da literatura recente em predição conformal trata de como recuperar garantias mesmo nesse cenário. Há propostas para redes neurais recorrentes sob intercambialidade mínima entre trajetórias independentes (STANKEVIČIŪTĖ et al., 2021), cobertura sob não intercambialidade com termo de erro proporcional à variação total entre distribuições de treino e teste (BARBER et al., 2023), e reponderação por razão de verossimilhanças em covariate shift (TIBSHIRANI et al., 2019). Esses resultados não são objeto deste artigo introdutório, mas delimitam a fronteira estatística que precisa ser respeitada em aplicações financeiras.

Para o caso intercambiável, a garantia é exata em amostra finita (finite-sample). Isso significa que ela vale para o tamanho de amostra observado, sem depender de aproximações assintóticas quando n tende ao infinito. Não se invocam grandes números, não se invocam teoremas centrais do limite, não se invocam expansões assintóticas.

Função de não conformidade e p-valor conformal

A construção de um previsor conformal começa pela definição de uma função de não conformidade (nonconformity score). É uma função simétrica A que recebe um conjunto de observações de calibração {z₁, ..., z_n} e um candidato z_n+1, e retorna um valor α_n+1 ∈ ℝ que mede o quão estranho o candidato parece em relação ao conjunto. Quanto maior α_n+1, menos conforme.

O escore canônico em regressão é o resíduo absoluto. Dado um estimador f̂ ajustado em dados de treino, define-se

Em classificação, o escore canônico é um menos a probabilidade prevista para a classe verdadeira:

Outras funções são possíveis, e a escolha tem consequências sobre a eficiência do previsor (largura do intervalo), embora não sobre sua validade (cobertura). A partir dos escores de calibração α₁, ..., α_n e do escore hipotético α_n+1 que o candidato teria se incluído no conjunto, define-se o p-valor conformal:

Se z_n+1 vem da mesma distribuição do conjunto de calibração, sob intercambialidade o rank de α_n+1 entre os demais escores é uniformemente distribuído em {1, 2, ..., n+1}. Daí p_n+1 distribui-se de forma super-uniforme em {1/(n+1), ..., (n+1)/(n+1)}, atuando como p-valor genuíno para a hipótese de que o candidato pertence à mesma distribuição que os dados de calibração (SHAFER; VOVK, 2008; VOVK et al., 2022).

O conjunto de previsão conformal de nível 1 − α é definido como o conjunto de candidatos cujo p-valor excede α:

O p-valor conformal pode ser lido como uma regra de ranking. Primeiro se escolhe uma medida de não conformidade, como erro absoluto em regressão ou 1 menos a probabilidade atribuída à classe verdadeira em classificação. Depois se fixa α e se testa uma sequência de candidatos y. Cada candidato entra no conjunto se seu p-valor conformal for maior que α. O conjunto final é apenas a coleção dos candidatos aceitos.

Considere um exemplo unidimensional com previsão pontual igual a zero, escore s(y) = |y − 0|, α = 0,10 e nove escores de calibração: 0,02, 0,03, 0,04, 0,05, 0,06, 0,07, 0,08, 0,09 e 0,10. O candidato y = 0,10 tem escore 0,10. Dois dos dez escores no conjunto aumentado são pelo menos tão extremos quanto ele, o próprio candidato e o ponto de calibração 0,10, então p(y) = 2/10 = 0,20 e o candidato entra. Já y = 0,125 tem escore 0,125. Só o próprio candidato é tão extremo quanto ele, então p(y) = 1/10 = 0,10. Como a regra usa p(y) > α, esse candidato fica fora. Repetindo essa comparação para uma grade de valores, forma-se o conjunto conformal.

Ao longo do laço, apenas o candidato y varia. A previsão pontual ŷ = f̂(x), o nível α e os escores de calibração permanecem fixos durante toda a construção do conjunto. Como o escore s(y) = |y − ŷ| cresce monotonicamente com a distância de y a ŷ, p(y) decresce no mesmo movimento. Atinge o máximo p(ŷ) = 1,00 no ponto em que todos os escores de calibração são pelo menos tão extremos quanto o do candidato, e cai ao piso 1/(n + 1) = 0,10 quando o escore do candidato excede o maior escore de calibração. A regra p(y) > α corta o conjunto exatamente nesse limiar. Entram os candidatos com escore menor ou igual ao maior escore de calibração, e os demais ficam fora.

O intervalo [-0,10, 0,10] formado pelos candidatos aceitos é o conjunto conformal C_α(x) deste exemplo. Reúne todos os valores de y compatíveis com os escores de calibração ao nível α = 0,10, e é a saída efetiva do procedimento para o ponto de teste x. A garantia de cobertura formaliza essa intuição.

A garantia de cobertura segue diretamente:

Por intercambialidade, o rank de α_n+1 entre α₁, ..., α_n+1 é uniforme em {1, ..., n+1}, então a probabilidade de α_n+1 exceder o quantil 1 − α dos demais é no máximo α (ANGELOPOULOS; BATES, 2023). Com escores quase certamente distintos, a cobertura também tem cota superior P(·) ≤ 1 − α + 1/(n+1), de modo que a garantia é apertada.

O α conformal e o α de teste de hipótese são notações idênticas com objetos diferentes. Na inferência clássica, α é a probabilidade de cometer erro tipo I, ou seja, rejeitar uma hipótese nula quando ela é verdadeira. Na predição conformal, α é a taxa de erro preditivo marginal, ou seja, a restrição de que a probabilidade de o conjunto C_α(x) não conter a verdadeira resposta Y_n+1 fique limitada a α. A garantia P(Y_n+1 ∈ C_α(X_n+1)) ≥ 1 − α é, portanto, uma cota sobre a frequência com que o conjunto preditivo erra, não sobre a frequência com que rejeitamos uma hipótese verdadeira sobre um parâmetro.

O mesmo descompasso aparece no p-valor. Em testes clássicos, ele mede evidência contra uma afirmação sobre um parâmetro populacional fixo, sob amostragem repetida da distribuição que se hipotetiza. O p-valor conformal testa hipótese diferente, a de que o par candidato (X_n+1, y) é intercambiável com as observações do conjunto de calibração. A estatística de teste é o ranqueamento da estranheza do candidato, medida por um escore de não-conformidade, em relação aos demais (SHAFER; VOVK, 2008). Sob intercambialidade e quando o candidato vem da mesma distribuição que os dados, esse p-valor é super-uniforme em [0, 1] e, portanto, válido em sentido frequentista. Um p-valor clássico pequeno empurra para rejeitar uma teoria sobre o mundo, enquanto um p-valor conformal pequeno empurra para excluir um valor candidato do conjunto de previsão.

A confusão de maior consequência, contudo, é entre o conjunto C_α(x) e os intervalos clássicos de inferência. Intervalos de confiança (frequentistas) e intervalos de credibilidade (bayesianos) quantificam incerteza sobre estimativas de parâmetros inobserváveis de uma distribuição, como a média μ, os coeficientes β de uma regressão ou a volatilidade σ de um modelo. O IC tem interpretação no procedimento, que cobre o parâmetro desconhecido com frequência ≥ 1 − α em amostragem repetida. O intervalo de credibilidade tem interpretação direta como probabilidade posterior sobre o parâmetro, dado o que foi observado. O conjunto conformal C_α(x) é objeto de natureza diferente, um conjunto de predição, com garantia de cobertura sobre uma variável aleatória observável futura Y_n+1. IC e credibilidade falam sobre quantidades inerentes à distribuição, que não serão observadas diretamente e apenas inferidas, enquanto C_α(x) fala sobre uma realização futura da própria variável aleatória, que se materializa amanhã. Confundir os três é o erro mais comum de primeira leitura. Relatar um intervalo de credibilidade no lugar de um conjunto de previsão muda a tese sobre a qual o número se sustenta.

Predição transdutiva e indutiva

A formulação acima descreve o que se chama predição conformal transdutiva (Transductive Conformal Prediction, TCP), também conhecida como full conformal prediction. Para cada candidato y a ser testado, é necessário recalcular os escores de todo o conjunto incluindo (x_n+1, y), o que em muitos casos exige reajustar o modelo. Em regressão com candidatos contínuos, a inclusão é tipicamente conduzida sobre uma grade de valores, e o custo escala como O(n × |grade|) ajustes do modelo subjacente. Para gradient boosting ou redes neurais profundas, o custo torna-se proibitivo.

A solução padrão é a predição conformal indutiva (Inductive Conformal Prediction, ICP), também chamada split conformal prediction. Os dados são particionados em três conjuntos disjuntos, em que D_train é usado para ajustar f̂ uma única vez, D_cal para calcular os escores de calibração α_i = s(x_i, y_i, f̂), e D_test fica reservado para avaliação. O quantil empírico

é então usado para construir o conjunto de previsão para qualquer ponto de teste:

A garantia P(Y_n+1 ∈ C_α(X_n+1)) ≥ 1 − α permanece válida pelo mesmo argumento de intercambialidade do regime transdutivo, agora condicionado a f̂: como o modelo é estimado apenas em D_train, os escores em D_cal ∪ {teste} permanecem intercambiáveis condicionalmente a f̂, e o rank de α_n+1 é uniforme em {1, ..., n_cal + 1}. A formulação original do método indutivo está em PAPADOPOULOS et al. (2002), com extensão para regressão e prova explícita em LEI et al. (2018), e exposição didática em ANGELOPOULOS; BATES (2023). A inferência custa apenas um forward pass do modelo por ponto de teste. Em conjuntos de dados grandes, a perda de eficiência face ao TCP é desprezível, e em troca obtém-se um custo computacional que não escala com o tamanho do conjunto de treino. O regime ICP é o que se usa em praticamente toda a literatura aplicada de predição conformal pós-2018, incluindo regressão quantílica conformalizada (Conformalized Quantile Regression, CQR), intervalos conformais por ensemble (Ensemble Batch Prediction Intervals, EnbPI), inferência conformal adaptativa (Adaptive Conformal Inference, ACI), conjuntos preditivos adaptativos (Adaptive Prediction Sets, APS) e conjuntos preditivos adaptativos regularizados (Regularized Adaptive Prediction Sets, RAPS).

Validade marginal e validade condicional

A garantia conformal é forte porque independe da forma da distribuição, mas é mais estreita do que parece à primeira leitura. Ela controla cobertura média, não cobertura ponto a ponto nem estabilidade temporal. A garantia P(Y ∈ C_α(X)) ≥ 1 − α é uma afirmação sobre a média da cobertura ao longo da distribuição conjunta de (X, Y). É chamada cobertura marginal, e não é equivalente a cobertura condicional, que exigiria P(Y ∈ C_α(X) | X = x) ≥ 1 − α para todo x no suporte. Um previsor com cobertura marginal de 90% pode subcobrir gravemente em subgrupos minoritários e supercobrir em grupos abundantes, mantendo a média correta.

Em risco de crédito, um modelo de probabilidade de default (PD) calibrado conformalmente pode ter cobertura marginal correta, e ainda assim subcobrir clientes de uma faixa específica de escore ou de uma região geográfica subrepresentada. Em gestão de risco regulatório, em que a tese é justamente a confiabilidade da incerteza, isso não é detalhe. A pergunta natural é se há um caminho construtivo para cobertura condicional exata sem premissas adicionais, e a resposta é negativa.

Impossibilidade de cobertura condicional exata sem premissas distribucionais (paráfrase de Barber et al., 2021, generalizando Lei e Wasserman, 2014).

Qualquer método que entregue cobertura condicional P(Y ∈ C(x) | X = x) ≥ 1 − α uniforme sobre toda distribuição P contínua produz intervalos de comprimento esperado infinito em pontos não atômicos do suporte. Em ambiente sem premissas distribucionais (distribution-free), cobertura condicional exata e largura finita são incompatíveis.

A saída pragmática é abandonar a exigência uniforme e impor cobertura condicional apenas em uma partição predefinida do espaço de atributos. Essa é a ideia do Mondrian conformal predictor, proposta por Vovk no início dos anos 2000 e tratada em detalhe no livro de 2022. Em vez de calibrar com um único quantil sobre D_cal, calibram-se quantis separados para cada bloco da taxonomia, de modo que se obtém cobertura ≥ 1 − α por bloco, à custa de exigir calibração suficiente dentro de cada um. Em risco de crédito, a partição natural é por faixa de rating, ao passo que em séries temporais ela pode ser por regime de volatilidade e em classificação por classe.

A literatura recente vem refinando o equilíbrio entre cobertura marginal e cobertura condicional. Romano, Barber, Sabatti e Candès (2020) propõem equalized coverage como extensão do Mondrian sob restrições de imparcialidade algorítmica. O ponto que importa para o quant é menos a sofisticação do método e mais o reconhecimento de que reportar apenas a cobertura marginal não basta. É necessário diagnosticar a cobertura empírica em subgrupos críticos antes de declarar o modelo apto para decisão.

Eficiência e a escolha do escore

A garantia de cobertura é robusta no sentido de valer para qualquer função de escore válida. Mas isso não significa que toda escolha produza intervalos úteis. A largura média do intervalo, a chamada eficiência, depende fortemente da função adotada.

Considere o caso de regressão com resíduo absoluto α_i = |y_i − f̂(x_i)|. Se a variância condicional Var(Y | X = x) é aproximadamente constante, esse escore funciona bem. Em finanças, contudo, a heterocedasticidade é regra. A volatilidade depende do nível de mercado, do regime e da liquidez. Um escore baseado em resíduo absoluto produz intervalos de largura constante, que serão excessivamente largos em períodos calmos e estreitos demais em períodos turbulentos. A cobertura marginal de 1 − α é mantida por construção, mas a cobertura condicional varia com o regime.

A solução proposta por Romano, Patterson e Candès é a CQR. Em vez de usar resíduo absoluto, a função de escore é construída a partir de quantis condicionais q̂_α/2(x) e q̂_1−α/2(x) estimados por regressão quantílica (ROMANO et al., 2019):

A construção mantém a validade marginal, porque o escore é simétrico nos dados de calibração, e adapta a largura do intervalo localmente. Empiricamente, em benchmarks de Romano, Patterson e Candès, a largura média cai cerca de 30 a 40% em problemas heterocedásticos sem perda de cobertura (ROMANO et al., 2019). Essa família de métodos é uma das extensões naturais quando a aplicação exige intervalos menos rígidos que os produzidos por resíduos absolutos.

A validade vem da intercambialidade, mas a eficiência exige cuidado na escolha do escore. Um previsor conformal mal especificado entrega cobertura correta com intervalos largos demais para serem informativos. Em finanças quantitativas, em que decisões de risco se traduzem em alocação de capital regulatório e em precificação, a largura do intervalo importa tanto quanto a cobertura.

Onde a predição conformal encaixa no arsenal do quant

A predição conformal não substitui modelos paramétricos, bootstrap, regressão quantílica ou inferência bayesiana. Ocupa um espaço distinto no arcabouço estatístico do quant. A tabela abaixo sumariza as quatro alternativas dominantes para construção de intervalos de previsão e suas propriedades teóricas.

A complementaridade entre predição conformal e inferência bayesiana é particularmente interessante. Trabalhos recentes usam o arcabouço conformal para calibrar conjuntos de credibilidade bayesianos ex post, recuperando validade frequentista quando o modelo está mal especificado. Predição conformal funciona como diagnóstico e como correção, e não como concorrente direto da abordagem bayesiana.

Em aplicações em finanças quantitativas, alguns pontos de apoio na literatura merecem registro. Em risco de crédito, a linha de Venn-ABERS predictors estabelece base metodológica para calibração probabilística de PD com garantia de validade. Em séries temporais financeiras, ACI foi aplicado à volatilidade do mercado de ações com robustez à crise de 2008 (GIBBS; CANDÈS, 2021). EnbPI combina ensemble bootstrap conformal sem partição dos dados para previsão de séries dinâmicas (XU; XIE, 2021). Em mercados de energia, intervalos conformais foram aplicados a preços de eletricidade no mercado day-ahead, em comparação com Quantile Regression Averaging tradicional (KATH; ZIEL, 2021).

A aplicação de predição conformal em risco regulatório, sobretudo no contexto de IFRS 9 (PD prospectiva para expected credit loss), Basileia III/IV (validação de modelos) e stress tests, ainda parece menos consolidada que os usos em regressão, classificação e séries temporais. O melhor enquadramento, nesse estágio, é tratar CP como ferramenta de validação, diagnóstico e construção de intervalos, não como padrão regulatório estabelecido.

Conclusão

A predição conformal entrega uma proposição peculiar dentro do arsenal estatístico do quant. Cobertura 1 − α exata em amostra finita, sem assumir nada sobre a distribuição dos dados além de intercambialidade. A garantia é robusta no sentido matemático estrito, e o método é indiferente ao modelo subjacente. Random forest, gradient boosting, rede neural profunda, regressão linear ou regressão quantílica recebem todos o mesmo tratamento. O custo computacional, no regime ICP que dominou a literatura aplicada pós-2018, é equivalente a um forward pass adicional por ponto de teste.

A premissa de intercambialidade é mais fraca que i.i.d., mas continua sendo uma hipótese, e quebrá-la em séries temporais ou sob covariate shift exige extensões metodológicas como predição conformal sob não intercambialidade (Non-Exchangeable Conformal Prediction, NEx-CP), ACI, EnbPI e predição conformal ponderada (weighted CP). Para o quant brasileiro, o ponto crítico é o uso da predição conformal como instrumento de diagnóstico de risco de modelo. Há vários problemas em que a estrutura conformal entrega algo que o arsenal anterior não entregava com a mesma simplicidade, como calibração honesta de PD sob IFRS 9, intervalos de VaR que não dependam de normalidade dos retornos e conjuntos de previsão para classificação de regime que sinalizem dúvida do modelo em vez de mascará-la.

Cobertura marginal não basta. A literatura é unânime em recomendar o reporte do histograma de coberturas condicionais por subgrupo, e o uso de Mondrian CP quando a partição relevante for conhecida. O tratamento conjunto de validade marginal e diagnóstico condicional é o que separa um uso ingênuo do método de um uso defensável em ambiente regulatório.

Os próximos artigos desta série levarão essa estrutura para problemas concretos de finanças quantitativas, mantendo a mesma pergunta de fundo. Quando a garantia é útil, quando ela se degrada, que diagnóstico empírico revela a degradação e como a escolha do escore muda a utilidade do intervalo ou do conjunto de previsão. O caminho natural passa por regressão, séries temporais, calibração probabilística e classificação, mas a ordem e o recorte de cada aplicação dependem do problema empírico que se mostrar mais informativo. Para o leitor que quiser uma referência aplicada estendida em paralelo, o livro de Manokhin é o ponto de partida natural (MANOKHIN, 2023).

A predição conformal não resolve o problema de modelagem em finanças quantitativas, e nenhum método estatístico resolve. O que ela faz é colocar a quantificação de incerteza sobre fundação rigorosa, com garantia formal e custo computacional baixo. Para quem precisa entregar um número de risco com a defesa de uma cobertura garantida sob premissas explícitas, isso é base sólida.

Referências

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Naquela feira havia um concurso corriqueiro. Por seis pence, qualquer pessoa comprava um bilhete e palpitava o peso, em libras, de um animal já abatido e limpo. Açougueiros e fazendeiros participaram ao lado de balconistas, sapateiros e curiosos sem nenhum contato com gado. Galton viu ali a oportunidade perfeita para documentar, com números, a incompetência coletiva que pressupunha.

Após o concurso, ele obteve 787 bilhetes válidos (dos cerca de oitocentos emitidos, treze estavam ilegíveis) e calculou as estatísticas centrais da distribuição de palpites. O peso real do animal era 1.197 libras. A mediana dos palpites, segundo Galton, foi 1.207 libras, um erro de menos de 1%. Uma reanálise moderna das planilhas manuscritas, publicada por Wallis (2014), mostrou que a média aritmética dos 787 palpites coincide exatamente com as 1.197 libras do peso real. A multidão havia acertado com precisão microscópica, e o elitista Galton publicou a contragosto o artigo Vox Populi na Nature (GALTON, 1907).

O que Galton não tinha vocabulário para enunciar em 1907, mas sua amostra ilustrou, é uma identidade algébrica que hoje sustenta tradições aparentemente distintas de finanças quantitativas. Aparece em Random Forests treinadas para credit scoring, em portfólios sistemáticos de centenas de sinais fracos (weak alphas) e, mais recentemente, em arquiteturas Mixture of Experts usadas para processar texto financeiro em modelos de linguagem. Este artigo percorre o fio matemático comum e mostra, em Julia, por que o gado de Plymouth e um ensemble de 500 árvores de decisão são manifestações do mesmo princípio.

A identidade que Galton não escreveu

O concurso de Plymouth tinha 787 bilhetes, enquanto um modelo de credit scoring moderno tem milhões de árvores de decisão. Mesmo assim, a álgebra que liga os dois é a mesma, e cabe em duas linhas. Seja θ o valor verdadeiro da quantidade estimada (o peso do animal, o retorno futuro de uma ação, a probabilidade de default) e sejam c₁, c₂, …, cₙ as estimativas individuais dos n integrantes da multidão. A estimativa coletiva, por média simples, é c̄ = (1/n) Σ cᵢ.

Scott Page formalizou em 2007 o que chamou de Diversity Prediction Theorem (PAGE, 2007), uma identidade exata em erro quadrático:

Diversity Prediction Theorem (PAGE, 2007, paráfrase). O erro do coletivo, medido em desvio quadrático, é igual ao erro médio individual menos a diversidade preditiva do grupo (dispersão dos palpites em torno de sua média). A identidade é puramente algébrica, vale para qualquer amostra finita e independe de hipótese estatística sobre os palpiteiros.

O que essa identidade de duas linhas diz, lido com calma, é desconcertante. O erro coletivo nunca é maior que o erro individual médio, porque a diversidade é não-negativa e essa parcela só pode subtrair. E quando os palpites individuais se distribuem para os dois lados de θ com intensidades parecidas, a parcela de diversidade chega a absorver quase toda a parcela de erro, e o erro coletivo colapsa para perto de zero. O grupo não precisa de gênios, precisa de erros que se cancelam.

O Teorema do Júri de Condorcet, de 1785, já apontava nessa direção em contexto binário: se cada juiz tem probabilidade p > 0,5 de acertar e os julgamentos são independentes, a probabilidade de a maioria acertar tende a 1 quando o júri cresce. Page formalizou a versão contínua. Breiman (1996), dois séculos após Condorcet, reescreveu o mesmo princípio no vocabulário da decomposição bias-variância em ensembles de preditores:

Aqui σ² é a variância de cada preditor individual, ρ é a correlação média entre preditores e M é o tamanho do ensemble. Com ρ = 0 (independência perfeita), a variância cai com 1/M e o limite é zero. Com ρ > 0, existe um piso irremovível em ρσ², de modo que por mais modelos que se agregue, a variância residual não desce abaixo dele. A correlação entre preditores é, portanto, o inimigo estrutural da agregação. A proeza de Galton só foi possível porque os 787 palpites, feitos sem conversa prévia, eram aproximadamente descorrelacionados.

Reproduzindo Plymouth em Julia

Para tornar a identidade de Page concreta antes de migrar para finanças, simulamos 787 palpites em torno do peso verdadeiro, com ruído gaussiano de desvio-padrão 75 libras (calibração consistente com a dispersão de ±10% que Galton observou na amostra original). O código completo está no repositório pq_galton_ensemble.

Os resultados da simulação, com semente fixa, reproduzem qualitativamente o achado de 1906.

O erro coletivo (0,13 libras²) é 42 mil vezes menor que o erro médio individual (5.673 libras²). A diferença é absorvida pela diversidade preditiva, exatamente como a identidade de Page prevê. Note que nem a média nem a mediana precisam ser especialmente boas. O que importa é que os palpites individuais se distribuam de forma aproximadamente simétrica em torno de θ, com erros que se cancelam na agregação.

Bagging em finanças quantitativas

O leitor que conhece machine learning já viu para onde isso vai. Leo Breiman publicou em 2001 o artigo que batizou os Random Forests (BREIMAN, 2001), combinando duas ideias simples: o bagging de 1996 (que constrói cada árvore sobre uma réplica bootstrap do conjunto de treino) e a amostragem aleatória de atributos em cada split. Individualmente, cada árvore é um preditor fraco, tipicamente com viés baixo e variância alta. Coletivamente, agregadas por média (regressão) ou voto (classificação), tornam-se um dos benchmarks mais robustos da literatura empírica em aprendizado de máquina.

O bound de generalização que Breiman deriva captura o princípio de Page em forma operativa:

Onde s é a força média das árvores (margem esperada entre a classe correta e a mais próxima competidora) e ρ̄ é a correlação média entre as funções margem. Reduzir ρ̄, mesmo à custa de piorar marginalmente s, derruba o limite superior do erro. A amostragem aleatória de atributos (mtry) existe precisamente para forçar ρ̄ para baixo: sem ela, todas as árvores convergiriam à mesma estrutura greedy dominada pelos atributos mais fortes, e o ensemble não ganharia sobre uma árvore solitária.

Em finanças, podemos comentar algumas evidências. Gu, Kelly e Xiu (2020) conduziram o estudo mais completo de machine learning em asset pricing até então, com 60 anos de dados mensais (1957–2016), cerca de 30 mil ações e 94 características firm-wide expandidas em 920 covariáveis após interação com indicadores macroeconômicos. No painel completo, Random Forests entregaram R² fora-de-amostra mensal de 0,0033, contra −0,0346 do OLS sem regularização.

O sinal negativo do OLS não é erro de digitação. O R² fora-de-amostra mede o ganho do modelo sobre o benchmark trivial de prever zero retorno excedente em todos os meses, e cai abaixo de zero quando o modelo erra mais que essa previsão nula. O OLS, ajustando 920 coeficientes no treino, produz previsões enviesadas no teste, e seu R² mensal de −0,0346 indica que ele prevê pior que a constante zero. O Random Forest mal supera o benchmark com R² de 0,0033, mas é justamente essa fração minúscula que, espalhada por milhares de decisões cross-section, vira Sharpe institucionalmente competitivo pela lei de Grinold tratada na próxima seção.

Gradient Boosted Trees e redes neurais rasas foram marginalmente superiores às florestas, mas a distância grande do estudo está entre métodos de ensemble e métodos sem agregação, não entre variantes de ensemble. É o gado de Plymouth aparecendo onde menos se esperaria, em séries temporais de retornos ruidosas, não-lineares, com 60 anos de regimes diferentes empilhados. A mesma ordenação reaparece em credit scoring desbalanceado e em previsão de default, onde florestas e boosting superam consistentemente regressão logística e análise discriminante.

A demonstração em Julia usa um data generating process sintético com oito atributos, dos quais seis têm relação não-linear com a direção binária do retorno (sinais, interações, saturações) e dois são ruído puro. Amostra de 2.000 observações para treino e 1.000 para teste. O limite de Bayes, computado pelo conhecimento do processo gerador, é de 0,755.

Uma árvore solitária sem poda, otimizando cada split em todas as features, atinge 0,659 no conjunto de teste, substancialmente pior que o limite de Bayes por overfitting. Quinhentas árvores com mtry=3 chegam a 0,731, fechando 75% da distância até o limite teórico.

O interessante não é a curva, é a anatomia do voto. Treinando 300 árvores em bootstraps disjuntos para medir as correlações, encontram-se os números abaixo.

É literalmente o gado de Plymouth em forma algorítmica. Agregar muitos palpites ruins e fracamente correlacionados produz uma estimativa melhor que cada um dos palpites individuais, inclusive melhor que o melhor deles. A correlação média de 0,24 é fabricada pelo próprio algoritmo, via bootstrap + mtry, dois mecanismos artificiais que forçam diversidade onde a estrutura do problema, deixada em paz, não a teria.

O retrato acima exige disciplina metodológica em séries temporais financeiras, e o ponto crítico é o temporal leakage. Folds de validação cruzada iid violam a dependência temporal dos retornos, e amostragem bootstrap clássica embaralha passado e futuro, inflando o R² fora-de-amostra com vazamento que não corresponde a habilidade preditiva. O problema é solucionável no próprio pipeline, e López de Prado (2018) documentou as duas correções que se tornaram padrão. Substitui-se o k-fold iid por purged k-fold cross-validation com embargo entre treino e teste adjacentes, e a amostragem bootstrap clássica por block bootstrap, que preserva a dependência local dos retornos. Com essas adaptações, o efeito ensemble continua válido em séries financeiras. Sem elas, o R² OOS reportado superestima sistematicamente a habilidade real do modelo.

A lei fundamental de Grinold

Em mesa de fundo sistemático, a mesma identidade vem no idioma de Sharpe e é, na verdade, mais antiga que Breiman. Richard Grinold publicou em 1989 a Fundamental Law of Active Management (GRINOLD, 1989), reescrita por Grinold e Kahn em forma canônica:

Fundamental Law of Active Management (GRINOLD, 1989, paráfrase). O information ratio (IR, razão entre excesso de retorno e risco ativo anualizados) decompõe-se em dois fatores, o information coefficient (IC, correlação entre previsão e retorno realizado) e a breadth (BR, número de decisões ativas independentes por ano).

A fórmula é desconcertante na primeira leitura, porque afirma que habilidade modesta pode produzir IR alto se a largura for suficiente. Um analista com IC de 0,05 (correlação de 5% entre previsão e realização, valor modesto pelos padrões de equity research) e 1.000 decisões independentes por ano atinge IR teórico de 1,58, comparável a fundos macro top-decil.

A conexão com Galton é automática, pois cada decisão de compra ou venda é um palpite fraco sobre retornos futuros. A diversificação sobre muitas decisões independentes reduz a variância do retorno da carteira pela mesma álgebra de Breiman. Escrita em termos do Sharpe do ensemble de M sinais com Sharpe individual s e correlação média ρ:

Duas assíntotas governam esse ganho. Quando ρ → 0, o Sharpe cresce com √M sem limite. Quando M → ∞, o Sharpe satura em s/√ρ. Um quant que pretende construir carteira sobre 500 sinais com Sharpe individual de 0,30 e correlação média de 0,15 não está mirando Sharpe 6,7. Está mirando, no melhor cenário, 0,77. A correlação entre alphas é o teto estrutural do portfólio, e documentar que ρ permanece baixo sob stress é parte essencial do trabalho de construção de books quantitativos.

A tabela abaixo, produzida pela simulação Julia, é o retrato quantitativo dessa tensão entre M e ρ.

O Monte Carlo com 2.520 dias úteis e 400 caminhos confirma a fórmula analítica em terceira casa decimal, fechando a ligação entre teoria e simulação.

Kakushadze (2016) publicou um catálogo público de 101 alphas formulaicos derivados do sistema da WorldQuant, documentando correlação média par-a-par de 15,9% e holding periods de menos de uma semana. O ponto não é que cada fórmula seja genial, porque a maioria é combinação banal de retornos, volumes e volatilidades. O ponto é que o agregado dessas fórmulas, sob o teto s/√ρ, empurra o Sharpe do livro para faixas institucionalmente competitivas. A busca do “único sinal mágico” cede lugar, nesse regime, ao trabalho sistemático de gerar, testar e combinar centenas de sinais modestos e descorrelacionados.

Essa estratégia tem um predador natural, o overfitting. Harvey, Liu e Zhu (2016) examinaram 316 fatores publicados em revistas acadêmicas até 2014 e argumentaram que, dado o volume de testes múltiplos, o t-estatístico crítico para alegar descoberta genuína deve subir de 2,0 para ao menos 3,0 (ajustes Bonferroni, Holm, BHY). Sem essa correção, a diversidade aparente do livro de alphas é em parte ilusão de p-hacking, e o teto s/√ρ colapsa porque o s verdadeiro é zero para boa parte dos sinais catalogados.

Mixture of Experts

O passo seguinte requer um deslocamento menos confortável, para modelos de linguagem de grande porte aplicados a textos financeiros. A arquitetura Mixture of Experts (MoE), proposta originalmente por Jacobs, Jordan, Nowlan e Hinton (1991), substitui uma única rede neural densa por múltiplos subespecialistas coordenados por uma rede de roteamento (gating). Formalmente:

Onde eₖ são os E experts, g é a rede de roteamento e TopK zera todos os logits exceto os k maiores. Shazeer et al. (2017) mostraram que essa ativação esparsa permite escalar para milhares de experts sem explodir o custo computacional, e variantes posteriores (Switch Transformer, Mixtral) chegaram a modelos de centenas de bilhões a um trilhão de parâmetros com apenas uma fração sendo ativada em cada passo de inferência.

O leitor que chama isso de “apenas uma média ponderada com pesos esparsos” não está totalmente errado. À primeira vista, MoE parece uma generalização direta de ensembles. Em um Random Forest ou em uma carteira de weak alphas, todas as árvores ou todos os sinais contribuem para cada previsão, e a força vem do cancelamento de erros por média, na lógica de redundância independente. Em MoE, a rede de roteamento seleciona um subconjunto esparso de experts para cada entrada, e a força vem da especialização por subregião do espaço de features, na lógica de dividir e conquistar. São dois mecanismos diferentes apoiados no mesmo princípio mais geral, o de que combinar estimadores cujos erros são estruturalmente diferentes produz estimadores melhores que cada um.

O diagrama abaixo contrasta as três arquiteturas.

Em finanças, MoE ainda está em fase inicial, mas a pressão para usá-lo é crescente. BloombergGPT (WU et al., 2023), modelo de 50 bilhões de parâmetros treinado em 363 bilhões de tokens financeiros, é o exemplar canônico do modelo único denso especializado em um domínio inteiro. O passo natural da literatura é particionar esse domínio entre especialistas, um afinado em transcrições de teleconferências de resultados, outro em relatórios regulatórios, outro em notícias macroeconômicas, todos coordenados por uma rede de roteamento que decide qual consultar para cada texto de entrada. Ensembles adaptativos desse tipo são, conceitualmente, o princípio de Galton posto a operar dentro da arquitetura do modelo, e não apenas sobre as saídas de modelos independentes.

Quando a multidão erra

A mesma álgebra que explica por que a multidão de Plymouth acertou o peso do animal explica também por que as multidões financeiras erram, e erram de forma sistemática. A identidade de Page é uma igualdade, não uma garantia. O erro coletivo só é pequeno quando a diversidade preditiva é grande. Duas condições precisam valer simultaneamente para isso acontecer, e ambas podem falhar em mercados financeiros.

A primeira condição é a independência dos palpites. Lorenz, Rauhut, Schweitzer e Helbing (2011) conduziram experimento com 144 participantes estimando quantidades factuais (densidade populacional, comprimento da fronteira suíço-italiana) em seis rodadas sucessivas. Quando os participantes viam o palpite médio ou os palpites individuais dos outros entre rodadas, a diversidade desmoronava e a estimativa coletiva, embora mais confiante, convergia para valores enviesados. Em mercados financeiros, feeds de preços em tempo real, chats de Bloomberg, relatórios de sell-side e redes sociais financeiras (FinTwit, Reddit) funcionam exatamente como o feedback que colapsa a diversidade no experimento de Lorenz. O efeito Galton exige que os palpites sejam produzidos em isolamento informacional. O mercado moderno opera no regime oposto.

A segunda condição é que os erros individuais não tenham viés sistemático. Bikhchandani, Hirshleifer e Welch (1992) formalizaram cascatas informacionais. Quando agentes sequenciais observam a ação dos anteriores, mesmo um sinal privado forte pode ser racionalmente descartado em favor da inferência sobre o que os demais parecem saber. O resultado é herding racional, diversidade nula e erros coletivos gigantes, manifestos em bolhas, runs bancários e fire sales. A crise financeira de 2008 e o colapso do Silicon Valley Bank em 2023 ilustram o padrão: milhares de atores tomando decisões “informadas” que se referenciavam mutuamente, sem diversidade real de julgamento.

Para o quant que constrói modelos de ensemble, essas duas falhas têm contrapartes diretas. A correlação entre árvores de um Random Forest salta em períodos de stress, quando os atributos mais informativos passam a dominar todos os splits. A correlação entre weak alphas aumenta em crises, porque quase todos os sinais acabam reduzindo-se a variantes de beta, value ou momentum. Um portfólio otimizado em regime de ρ = 0,15 pode operar em ρ = 0,60 durante um flash crash, e o Sharpe ex-ante deixa de ser preditor útil do Sharpe realizado. López de Prado (2018) apelida esse fenômeno de structural break in correlations e argumenta que monitorar a estabilidade de ρ é parte do trabalho de risco, não só da construção.

Plymouth não é o mercado

Galton não elaborou a teoria da sabedoria das multidões. Coletou 787 bilhetes e relatou o que encontrou. A formalização veio em várias etapas: Condorcet no juízo binário, Page na identidade algébrica, Breiman no bagging, Grinold na versão financeira do Sharpe agregado, Jacobs e coautores no gating. O fio comum é que a qualidade de uma estimativa coletiva depende de palpites individualmente melhores que o aleatório (s > 0, IC > 0), baixa correlação entre eles (ρ̄ pequeno) e erros que não compartilham viés sistemático. Quando essas condições se mantêm, agregar centenas de modelos fracos ou de sinais modestos produz um preditor que bate o melhor especialista individual. Quando alguma falha (como em Lorenz ou em Bikhchandani), o ensemble pode ficar pior que um único preditor, porque a diversidade virou correlação e o viés virou consenso.

O concurso de Plymouth foi um laboratório ideal, com bilhetes escritos em isolamento, 787 palpites independentes e público heterogêneo. Mercados financeiros operam em condições opostas, com feeds em tempo real, chats, relatórios sell-side e FinTwit que colapsam diversidade em horas. Construir um Random Forest, um livro de alphas ou um sistema MoE sobre relatórios corporativos é, no fundo, tentar recriar artificialmente as condições de Plymouth: bootstrap e mtry no lugar do isolamento entre palpiteiros, ortogonalização explícita no lugar de heterogeneidade espontânea, monitoramento ativo de ρ no lugar da independência presumida.

Plymouth foi um único concurso, num único dia, com um único animal, e Galton publicou a contragosto sem nunca mais voltar ao tema. O que sobrou foi a planilha, e ela continua dizendo, 119 anos depois, o que dizia em 1907. A multidão acerta quando ninguém combina antes, e toda a engenharia de ensembles construída desde então foi uma sequência de tentativas, em domínios cada vez mais hostis, de fingir que ninguém combinou.

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O artigo anterior da série, Estruturas a termo de liquidez, mostrou que indicadores pontuais de liquidez (como o LCR de 30 dias e o NSFR de 1 ano) ocultam vulnerabilidades em horizontes intermediários, e introduziu as estruturas a termo de fluxos esperados (TSECF), de fluxos cumulados (TSECCF), de ativos disponíveis (TSAA), de capacidade de geração de liquidez (TSLGC) e da liquidez esperada (TSLe). O banco estilizado aggressive_bank apresentou um vale crítico de 516,99 unidades monetárias em 9 meses, cobrível por margem de apenas 11,7. Esse diagnóstico responde uma das questões centrais da gestão de liquidez, sobre onde no horizonte o banco aperta. Resta a pergunta sobre como o banco constrói o estoque que cobre o aperto, e por que duas instituições com indicadores regulatórios em conformidade caíram em uma única semana de 2023.

O capítulo 7 de Castagna e Fede (2013) responde a essa pergunta com um arcabouço analítico próprio. Este artigo abre a série dedicada ao capítulo cobrindo as definições estruturantes do buffer de liquidez (liquidity buffer) e da capacidade de contrabalanço (counterbalancing capacity), as dimensões que caracterizam o buffer (tamanho, período de sobrevivência e composição), as causas econômicas que justificam sua existência e a leitura dos episódios recentes de 2023 à luz desse aparato. Uma implementação Julia em código aberto acompanha o texto, com o pacote pq_lb_cbc, que decompõe a saída líquida de caixa por causa econômica e dimensiona o buffer pelo cenário de estresse mais severo.

O estoque que cobre o gap diagnosticado

A TSLe apresentada no artigo anterior é uma curva diagnóstica. Em cada horizonte futuro, a curva mostra a diferença entre os fluxos de caixa cumulados esperados e a capacidade de geração de liquidez disponível. Quando a curva mergulha em valores negativos, o banco enfrenta um déficit estrutural que a operação corrente não cobre. A pergunta seguinte é como esse déficit é coberto, e quem paga pela cobertura.

O instrumento de execução imediata é o buffer de liquidez, um estoque de ativos altamente líquidos que o banco mantém pré-posicionado para honrar saídas inesperadas no curto prazo. Em torno desse estoque opera a capacidade de contrabalanço, que abrange o conjunto de estratégias de geração de fluxos positivos disponíveis ao banco, incluindo o próprio buffer mas também a capacidade adicional de levantar repo, recorrer a captação sem garantia (unsecured), vender ativos fora do buffer e, em última instância, acessar facilidades do banco central.

O modelo de Castagna e Fede formaliza essa hierarquia ao tratar o buffer de liquidez (LB) como componente curto da capacidade de contrabalanço (CBC), dimensionado para um horizonte de sobrevivência sob estresse e construído com ativos que mantêm liquidez mesmo em condições adversas. A CBC, por sua vez, contempla camadas progressivamente mais lentas e contingentes. As perguntas que organizam o restante deste artigo são as definições formais que o livro adota e como elas dialogam com a regulação europeia, americana e brasileira, as forças econômicas que geram a necessidade do buffer, e a forma como o buffer é estruturado em uma instituição real.

Definições de LB e CBC e suas variantes regulatórias

Castagna e Fede partem de duas definições.

Definição 7.2.1. Capacidade de contrabalanço (CBC). O conjunto de estratégias pelas quais o banco pode confrontar necessidades de liquidez assumindo a máxima capacidade de geração de liquidez possível. Em termos formais, a CBC identifica todas as configurações que tornam os fluxos cumulados maiores ou iguais a zero até uma data futura dada.

Definição 7.2.2. Buffer de liquidez (LB). A liquidez disponível que cobre a necessidade adicional de liquidez que possa surgir em um período curto sob condições de estresse.

A relação entre os dois conceitos não é unívoca, e os autores reconhecem que bancos adotam convenções diferentes. A versão dominante na regulação europeia e na supervisão do BCE trata o LB como subconjunto curto da CBC, enquanto algumas implementações domésticas embutem a CBC inteira no LB.

O documento de referência regulatória que estrutura essas definições é a Guidelines on Liquidity Buffers and Survival Periods, publicada em 2009 pelo Committee of European Banking Supervisors (CEBS), predecessor da European Banking Authority (EBA). O texto fixa o LB como ponta curta da CBC e introduz o arcabouço de tamanho, período de sobrevivência e composição que será adotado pela literatura subsequente. O CEBS estabelece um período mínimo de um mês sem mudança no modelo de negócio e diferencia a composição admissível por janela: para horizontes muito curtos, apenas ativos com elegibilidade dupla, em mercados privados líquidos e em facilidades permanentes do banco central. Para horizontes até um mês, outros ativos altamente líquidos podem entrar.

O Comitê de Basileia chega à mesma estrutura por outro caminho. O documento BCBS 144, Principles for Sound Liquidity Risk Management and Supervision, de 2008, articula no Princípio 12 a hierarquia regulatória entre LB e CBC.

BCBS 144 (Comitê de Basileia), Princípio 12 (paráfrase). A demonstração de capacidade de contrabalanço (CBC), isto é, a habilidade de levantar fundos sem garantia, sacar compromissos, fazer chamada em empréstimos ou acessar novas fontes garantidas no curto prazo, não substitui a manutenção de um estoque adequado de ativos líquidos.

Em termos econômicos, a CBC compreende fontes contingentes que podem falhar exatamente quando são mais necessárias, enquanto o LB é estoque pré-posicionado e disponível em condições adversas.

O LCR de Basileia III, definido pelo BCBS 238 em 2013, é uma cristalização regulatória de uma fração específica do LB. O numerador (HQLA) impõe critérios estritos de elegibilidade e haircuts, e o denominador (saídas líquidas em 30 dias) parametriza um cenário de estresse padrão. A relação entre os conceitos pode ser sintetizada como uma cadeia de inclusões, em que o HQLA é uma fatia regulamentada do LB, este é a ponta curta da CBC, e a CBC inclui todas as fontes potenciais de fluxo positivo. A cadeia importa porque uma instituição pode ter LCR confortável e ainda assim falhar caso a composição do HQLA seja vulnerável a um estresse específico, ponto que retorna na discussão do Credit Suisse adiante.

As dimensões do buffer de liquidez

O CEBS (2009) identifica as dimensões que caracterizam o LB, que são tamanho, período de sobrevivência e composição. Elas respondem a perguntas distintas e podem variar em métricas de calibração entre instituições.

Tamanho

O tamanho do LB é determinado pelo gap de captação em cenários de estresse, calibrado a um nível de confiança elevado (tipicamente 99% ou superior). O Princípio 10 do BCBS 144 exige a construção de cenários idiossincrático, sistêmico e combinado, e o LB deve cobrir o gap do cenário mais severo em um horizonte de sobrevivência definido. No cenário idiossincrático, o banco sofre rebaixamento de classificação de crédito e perde acesso parcial à captação no atacado (wholesale), mas o mercado de ativos permanece líquido. No cenário sistêmico, o mercado entra em disfunção (haircuts em ativos crescem, repo e securitização contraem), mas a confiança individual no banco se mantém. O cenário combinado supõe coexistência, e tipicamente é o que vincula o dimensionamento.

O número do LB sai diretamente do resultado do simulador. Para um banco brasileiro estilizado de grande porte, com perfil de captação diversificado entre varejo, atacado e linhas comprometidas a empresas, o gap de captação em 30 dias sob cenário combinado severo é da ordem de duas vezes o calculado pelo cenário regulatório padrão do BCBS 238. A diferença ilustra a distância entre o LB econômico, dimensionado por estresse calibrado pela tesouraria, e o piso regulatório imposto pelo LCR.

Período de sobrevivência

O período de sobrevivência é o horizonte durante o qual o banco precisa operar sem mudar o modelo de negócio. O LCR fixa 30 dias, o CEBS exige no mínimo um mês, e a regulação americana (Reg YY, 12 CFR §252.35) demanda dos grandes bank holding companies a calibração simultânea para horizontes intradia, 30 dias, 90 dias e 1 ano. O NSFR, que opera no horizonte estrutural de 12 meses, complementa a vista curta do LCR.

A escolha do horizonte tem consequências diretas para o tamanho. Um período curto (um mês) tende a subestimar o risco de descasamento de prazos longos, exatamente o ponto que motivou o NSFR. Por outro lado, um período longo demanda buffers gigantescos cuja manutenção é cara, o que cria pressão para que parte da CBC seja contingente em vez de pré-posicionada. A heurística adotada pelos grandes bancos europeus é dimensionar o LB pela janela de 30 dias para conformidade com o LCR e completar com estruturas de captação diversificadas que estabilizem horizontes mais longos.

Composição

A composição estabelece quais ativos podem integrar o buffer e quais haircuts se aplicam. O BCBS 238 organiza o HQLA em níveis. O Nível 1 contém caixa, reservas no banco central e títulos soberanos com risco zero, sem haircut e sem teto. O Nível 2A inclui covered bonds e títulos corporativos com classificação mínima AA-, com haircut de 15% e sujeito ao teto conjunto. O Nível 2B compreende residential mortgage-backed securities (RMBS) qualificados, ações listadas e títulos corporativos BBB- a A+, com haircuts entre 25% e 50%, e teto de 15% sobre o total do HQLA. O teto conjunto sobre o Nível 2 é de 40% do total, calculado como dois terços do Nível 1 após haircut.

A composição agregada do sistema bancário europeu mostra um movimento estrutural relevante. De acordo com o EBA Risk Dashboard de Q3/2025, a participação de soberanos Nível 1 no HQLA da União Europeia dobrou de 20% em junho de 2022 para 40% em junho de 2025, em parte porque o caixa nos bancos centrais perdeu remuneração relativa após o ciclo de aperto monetário. O LCR agregado da UE atinge 160,7%, mas a concentração crescente em soberanos cria exposição maior a movimentos de mercado e ao chamado doom loop entre bancos e governos. No outro extremo do espectro, o sistema bancário brasileiro mantém HQLA quase integralmente Nível 1, dominado por títulos públicos federais (Letras Financeiras do Tesouro, Notas do Tesouro Nacional) e reservas no Banco Central, fenômeno discutido com mais detalhe adiante.

As causas econômicas do buffer

Castagna e Fede (2013) identificam causas econômicas distintas que produzem a necessidade do LB. A primeira é o descasamento de prazos entre ativos e passivos (maturity mismatch), a segunda é a chamada de margem em derivativos (collateral margining), e a terceira é o saque de compromissos não contabilizados no balanço (off-balance-sheet commitments). Cada causa gera saídas inesperadas em estresse, e cada uma tem dinâmica própria de modelagem e cobertura.

Descasamento de prazos

O descasamento de prazos é a função econômica primordial do banco, e a literatura formaliza desde Diamond e Dybvig (1983) que a transformação de passivos curtos em ativos longos cria valor agregado para depositantes (que ganham liquidez em demanda) e para tomadores (que ganham horizontes longos), ao custo de gerar fragilidade financeira. O equilíbrio “bom” depende da confiança coletiva, e o equilíbrio “ruim” se materializa quando depositantes correm. O LB é o instrumento que permite ao banco honrar saídas em massa sem liquidar ativos a preços de venda forçada (fire-sale).

O Northern Rock, em 2007, é a ilustração mais didática desse mecanismo. Conforme reconstrução de Shin (2009), apenas 23% da captação do banco vinha de depósitos de varejo no verão daquele ano, e o restante era atacado, com cerca de metade vencendo em menos de um ano. A securitização Granite acumulava aproximadamente 45 bilhões de libras, e o modelo dependia da rolagem contínua dessas posições. Quando o mercado interbancário travou em agosto de 2007, a corrida silenciosa no atacado precedeu a corrida televisionada de varejo, de modo que o LB calibrado para a base histórica de varejo era irrelevante ante a magnitude do mercado atacadista que evaporou.

Chamadas de margem em derivativos

A segunda causa cresceu em relevância com a expansão da liquidação centralizada (clearing) e a entrada em vigor das Uncleared Margin Rules a partir de 2015. A margem de variação (variation margin) flui diariamente entre contrapartes em derivativos liquidados em contraparte central e bilaterais, e movimentos abruptos de mercado geram chamadas de magnitude desproporcional ao tamanho da exposição. A margem inicial (initial margin) acrescenta um colchão prospectivo, mas exige colateral onerado, indisponível para gestão de liquidez.

A crise dos fundos LDI (liability-driven investment) britânicos em setembro de 2022 dá a referência empírica recente desse risco. Conforme análise de Pinter (2024) no Bank Underground, a divulgação do mini-budget em 23 de setembro produziu salto de cerca de 100 pontos-base nos yields dos gilts (títulos do Tesouro britânico) longos em quatro dias úteis. As chamadas de margem em fundos LDI e fundos de pensão excederam 70 bilhões de libras, gerando ciclo de retroalimentação entre vendas forçadas e queda adicional de preços, até que o Bank of England interveio em 28 de setembro, comprando gilts longos por 13 dias úteis. A lição imediata foi que mesmo investidores não-bancários precisam de buffer dimensionado para a velocidade das chamadas de margem, e os gestores passaram a operar com colchão mínimo de cerca de 300 pontos-base de movimento adverso.

Compromissos off-balance-sheet

A terceira causa decorre de linhas de crédito comprometidas, garantias e liquidity puts em estruturas de securitização. O paper seminal de Sufi (2009) documentou empiricamente que linhas comprometidas funcionam como seguro contingente, mas com cláusulas restritivas (covenants) que tipicamente são acionadas em estresse, restringindo o acesso. O ponto contraintuitivo é que o exercício das linhas se concentra exatamente nos cenários em que o banco também enfrenta pressão de captação.

O choque da COVID-19 em março de 2020 entregou validação empírica em escala do tratamento BCBS 238. Acharya, Engle e Steffen (2020) mostraram que empresas sacaram entre 225 e 275 bilhões de dólares em linhas rotativas nas três primeiras semanas após o início da pandemia, com concentração em emissores BBB e high-yield. Os recursos sacados foram em grande parte mantidos como caixa em bancos, em movimento precaucional. As taxas regulatórias de saída para linhas comprometidas (5% varejo, 10% empresa não-financeira, 100% contraparte financeira) demonstraram-se calibradas para a magnitude observada, ainda que a velocidade tenha excedido as premissas em alguns casos.

O pacote pq_lb_cbc em Julia

Para tornar o arcabouço utilizável fora do papel, escrevi o pacote pq_lb_cbc em Julia 1.10+. A escolha foi por uma interface declarativa, em que o usuário descreve o banco e os cenários como dados e depois invoca as funções de cálculo, sem precisar entender a mecânica interna do simulador.

O tipo Bank guarda ativos por nível HQLA, captação por contraparte, compromissos fora do balanço (off-balance-sheet) e exposição a chamadas de margem em derivativos. Optei por usar struct imutável com campos nomeados em vez de matriz indexada, porque a manutenção de cenários no dia a dia da tesouraria depende mais de clareza dos nomes do que de microsegundos de execução.

O tipo StressScenario encapsula taxas de saída por categoria de captação, taxas de saque por tipo de contraparte, haircuts adicionais sobre HQLA e o multiplicador de chamadas de margem. Vêm pré-calibrados quatro cenários (BCBS 238 referência, idiossincrático severo, sistêmico severo e combinado severo), e quem quiser propor calibração própria define os parâmetros nomeados na construção do tipo.

A função central de diagnóstico é decompose_outflows_by_cause, que separa a saída líquida de caixa por causa econômica.

O relatório completo, gerado pela função summary_report, mostra a sensibilidade do banco a cada cenário e a composição do LB no cenário mais severo. No exemplo examples/01_basics.jl defini um banco PQ Bank Brasil com perfil de captação diversificado e exposição moderada a derivativos. Sob o cenário regulatório do BCBS 238 o banco aparece confortável, com LCR próximo de 160%; sob o cenário idiossincrático severo a razão de cobertura cai para o entorno do mínimo regulatório; e sob o combinado severo cai para o patamar de ~80%, abaixo do mínimo, situação em que a CBC adicional precisaria ser acionada. A decomposição por causa fica relativamente estável entre cenários, com descasamento de prazos respondendo pela maior parte das saídas (algo como três quartos), compromissos fora do balanço por uma parcela intermediária e chamadas de margem por uma fração menor (que cresce em derivativos).

O caso fica visualmente diferente quando o banco é intensivo em derivativos. O exemplo 02_decomposition.jl compara o banco moderado a um banco com 25 bilhões de exposição a chamadas de margem em 30 dias. No moderado, as causas mantêm a proporção típica (77% descasamento, 14% fora do balanço, 9% colateral). No banco intensivo, sob cenário combinado severo, a chamada de margem responde por 55% das saídas, com descasamento caindo a 36% e fora do balanço a 8%. Esse perfil corresponde, com aproximação razoável, ao que se observa em mesas de derivativos como o ex-Credit Suisse e o ex-Bear Stearns, instituições em que a estrutura de exposição central justifica um desenho de buffer distinto do banco comercial tradicional.

A regulação brasileira e o papel dos títulos públicos federais

O Brasil implementou o LCR pela Resolução nº 4.401/2015 do Conselho Monetário Nacional (CMN), com implementação gradual de 60% em outubro de 2015 atingindo 100% em janeiro de 2019. A norma aplica-se a instituições do segmento S1 (à época, ativos superiores a 100 bilhões de reais). A Circular BCB 3.749/2015 detalha a metodologia, incluindo o tratamento dos compulsórios remunerados como Nível 1 até o limite de 15% do total Nível 1, conforme posteriormente formalizado pelo Voto BCB 38/2020. Esse voto liberou aproximadamente 86 bilhões de reais em capacidade de LCR durante a pandemia, ilustrando o uso ativo da composição do HQLA como instrumento de política.

A particularidade estrutural do HQLA brasileiro é a dominância quase integral do Nível 1. Por escassez de títulos corporativos com classificação elegível para Nível 2A no mercado doméstico, os bancos brasileiros operam com Nível 2 reduzido, tipicamente abaixo de 5% do total. O lado positivo dessa concentração é a robustez sob cenário sistêmico severo, em que haircuts em Nível 2 são amplificados sem afetar Nível 1. O simulador mostra que um banco brasileiro estilizado com HQLA totalmente Nível 1 mantém razão de cobertura de 146,6% sob estresse de mercado, contra 124,8% para um banco europeu hipotético com 50 bilhões de Nível 2A na composição. O lado negativo é a exposição estrutural a risco soberano, e qualquer estresse fiscal severo afeta o buffer e o capital simultaneamente.

A Resolução CMN nº 4.557/2017 organiza no Brasil a estrutura de gerenciamento integrado de riscos e capital, equivalente local ao ICAAP/ILAAP (Internal Capital and Liquidity Adequacy Assessment Process) da UE. A norma exige a figura do Diretor de Risco (CRO), plano de contingência de liquidez, testes de estresse internos e limites prudenciais. O Banco Central publica semestralmente o Relatório de Estabilidade Financeira (REF), que inclui o Índice de Liquidez (IL), métrica proprietária de adequação do buffer agregado do sistema sob cenário calibrado pelo regulador, tipicamente mais severo que o LCR. O sistema brasileiro mantém IL acima de 1 com folga, condição que reflete a robustez da composição do HQLA, ainda que a exposição soberana permaneça como vulnerabilidade estrutural a longo prazo.

Lições dos colapsos de 2023

O ano de 2023 ofereceu duas falhas relevantes para a teoria do LB, em geografias e modelos de negócio distintos. O Silicon Valley Bank, segundo o relatório de Barr (Federal Reserve), tinha total de ativos de 209 bilhões de dólares e depósitos não-segurados equivalentes a 86,4% do passivo de varejo. A carteira mantida até o vencimento (held-to-maturity) havia crescido de 15 bilhões em 2018 para 98 bilhões em 2021, com duração de 6,2 anos e perda não realizada superior a 15 bilhões ao final de 2022. O banco era classificado como Categoria IV pelo regime de calibração regulatória criado pela Economic Growth, Regulatory Relief and Consumer Protection Act (EGRRCPA) de 2018, e estava isento dos requisitos integrais de LCR e NSFR. O relatório reconhece que a instituição teria sido sujeita a esses requisitos não fosse a flexibilização. Quando a corrida se materializou em 9 de março de 2023, com 42 bilhões em saídas em 24 horas e expectativa de 100 bilhões adicionais para 10 de março, o LCR informal rapidamente se descolou da capacidade de monetização. A Federal Deposit Insurance Corporation (FDIC) estimou perda ao Fundo de Garantia de Depósitos de 16,1 bilhões.

O Credit Suisse caiu na semana seguinte por mecanismo distinto. O LCR consolidado havia descido de 192% no terceiro trimestre de 2022 para 144% no fechamento do exercício, e durante a corrida ficou abaixo do mínimo regulatório. Conforme análise do BCBS no relatório d555 de 2023, parte material do HQLA do banco era consumida por necessidades correntes da operação e intradia, isto é, não estava efetivamente disponível para honrar saídas adicionais. O Banco Nacional Suíço (SNB) ofereceu uma linha emergencial de liquidez ampliada (Emergency Liquidity Assistance Plus, ELA+) de 50 bilhões de francos sem colateral, garantia pública adicional de 100 bilhões e o pico de assistência total atingiu 168 bilhões em três moedas. A autoridade reguladora suíça FINMA (Swiss Financial Market Supervisory Authority) ordenou o abatimento contábil de 16 bilhões em títulos Additional Tier 1 e o acordo com o UBS foi anunciado em 19 de março, decisão que viria a ser contestada na justiça suíça por detentores dos títulos, com desdobramentos ainda em curso.

Tanto o SVB quanto o Credit Suisse derrubam a ideia de que o tamanho agregado do HQLA é suficiente para diagnosticar o estado do buffer. Quando frações relevantes estão oneradas, sujeitas a perdas não realizadas ou consumidas por saídas do dia a dia da instituição, as métricas regulatórias entregam conforto enganoso. As corridas digitais comprimem em horas o que historicamente levava dias. O depositante move recursos pelo aplicativo a qualquer hora, sem fila de agência, e a coordenação entre depositantes acontece em tempo real em canais fechados (grupos de WhatsApp, Slack, Twitter), o que torna a saída reflexiva e amplifica em ciclos de minutos. Cipriani, Eisenbach e Kovner (2024), no NY Fed Staff Report 1104, traçam a saída de depósitos do SVB em granularidade de minutos e mostram que o ritmo de março de 2023 excede em uma ordem de grandeza o observado em corridas analógicas como Continental Illinois em 1984. As taxas de saída embutidas no LCR (5% em 30 dias para depósitos cobertos por seguro, 10% para os demais) foram calibradas pelo Comitê de Basileia entre 2010 e 2013 para esse mundo analógico, e não acompanharam a velocidade do mundo digital. Soma-se a isso a relutância dos bancos em monetizar o buffer (vender HQLA, dar em repo ou acessar facilidades do banco central) durante o estresse, por receio de que essas operações, visíveis ao mercado, sejam interpretadas como sinal de fragilidade e acelerem a corrida. Esse padrão, conhecido na literatura como estigma da janela de redesconto, reduz a CBC efetiva e virou prioridade da agenda regulatória pós-2023 no Comitê de Basileia.

Conclusão

O LB e a CBC são a interface entre o diagnóstico produzido pelas estruturas a termo de liquidez e as causas econômicas que justificam a manutenção de estoque pré-posicionado. Castagna e Fede (2013) oferecem definições econômicas robustas, calibradas pelo CEBS (2009) e pela regulação europeia subsequente, que diferenciam o estoque pré-posicionado (LB) das fontes contingentes mais amplas (CBC) e estabelecem as dimensões de tamanho, período de sobrevivência e composição, além das causas econômicas que motivam o buffer (descasamento de prazos, chamadas de margem em colateral, compromissos fora do balanço). A regulação brasileira, com o LCR introduzido em 2015 e a estrutura integrada de gerenciamento de riscos formalizada em 2017, implementa o arcabouço com particularidades estruturais (HQLA quase 100% Nível 1, compulsório remunerado como buffer) que produzem robustez sob estresse de mercado ao custo de exposição soberana concentrada.

O que 2023 evidenciou é que as features de tamanho, período de sobrevivência e composição apontam para os pontos certos quando aplicadas com cuidado: composição vulnerável no SVB, oneração do buffer no Credit Suisse, velocidade subestimada em ambos. O que ficou pendente foi a calibração regulatória, que precisa acomodar corridas digitais de alta velocidade e reduzir a fração não-utilizável do buffer, agenda em curso no BCBS com revisões sobre tratamento de carteiras mantidas até o vencimento, taxas de saída de depósitos não-segurados e granularidade do horizonte de sobrevivência. O pacote pq_lb_cbc ficou aberto justamente para isso, e qualquer leitor que queira recalibrar com dados públicos brasileiros (REF, Pilar 3 de bancos S1) ou internacionais (EBA Risk Dashboard, FR Y-15), ou estender o modelo para incorporar facilidades específicas como compulsório remunerado, pode partir do que está no repositório.

Referências

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PINTER, Gabor. What caused the LDI crisis? Bank Underground, Bank of England, 26 jul. 2024.

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SUFI, Amir. Bank Lines of Credit in Corporate Finance: An Empirical Analysis. Review of Financial Studies, v. 22, n. 3, p. 1057-1088, 2009.

Embora amplamente repetida, a história não aparece em La Science et l’Hypothèse (1902), em Calcul des Probabilités (1912) ou na correspondência de Poincaré. Na verdade, a versão mais antiga rastreável encontra-se em Puzzle-Math (Gamow e Stern, 1958), onde é atribuída a um professor alemão anônimo, de modo que a autoria de Poincaré só viria a ser fixada na era moderna por Mlodinow (2008). Ainda assim, independentemente de sua precisão histórica, a parábola se mantém útil por encapsular, numa única cena de 1890, a convergência da média amostral, o viés de seleção e a observação de que o formato da distribuição carrega informação que a média descarta.

Essa ligação entre forma e média reaparece em finanças de maneiras distintas. Fraudes em fundos, intervenções cambiais e circuit breakers alteram a distribuição observada por caminhos diferentes, mas deixam o mesmo tipo de problema inferencial, na medida em que a amostra que chega ao analista não é mais uma amostra limpa do processo que a gerou. A média pode até continuar plausível, ao passo que a cauda, a assimetria e as descontinuidades contam outra história.

Distribuições truncadas e censuradas

Truncagem e censura designam operações diferentes, e confundi-las produz erro de inferência. Uma amostra é truncada no intervalo [a, b] quando as realizações fora desse intervalo nem chegam a ser observadas, como acontece com o freguês Poincaré da parábola, que só recebe pães de 950 gramas quando um deles, por sorte, pesa mais que o limiar de seleção imposto pelo padeiro, enquanto os mais leves ficam com outros clientes. Já uma amostra censurada é aquela em que se sabe que a observação ocorreu e em que lado do limite caiu, embora não se conheça o valor exato. Circuit breakers em bolsa, por exemplo, produzem censura e não truncagem, porque o pregão é interrompido e o retorno registrado no dia passa a ser exatamente o limite regulatório, e não o preço de equilíbrio que ocorreria sem a interrupção (KLEIN; MOESCHBERGER, 2003).

Para a normal, as fórmulas são clássicas. Seja X ∼ N(μ, σ²) truncada em [a, b], com α = (a−μ)/σ, β = (b−μ)/σ e Z = Φ(β) − Φ(α). A densidade condicional à observação é:

Os momentos condicionais de primeira e segunda ordem são clássicos na literatura estatística:

No caso de truncagem unilateral à esquerda em a, com β → ∞, ambas as expressões simplificam e aparece a razão inversa de Mills, λ(α) = φ(α)/[1−Φ(α)], que Heckman (1979) usaria como termo de correção em modelos de seleção amostral. A média truncada é μ + σ·λ(α), sempre acima de μ, ao passo que a variância é σ²·[1 + α·λ(α) − λ(α)²], sempre abaixo de σ². Já a assimetria γ₁ é estritamente positiva para qualquer α finito, crescendo monotonicamente à medida que o ponto de corte se afasta à direita. Esse é o fato estatístico central que organiza todo o artigo, uma vez que a truncagem à esquerda desloca a média para cima, contrai a variância e introduz assimetria positiva, e essas três dedadas do formato são justamente o que a média sozinha esconde.

Se o analista dispõe apenas de uma amostra truncada e não sabe disso, estimar μ e σ por média e desvio padrão amostrais gera viés sistemático. A correção canônica vem de Cohen (1950), que escreveu a log-verossimilhança ajustada pela probabilidade de observação:

O terceiro termo é a correção. Ele pune o estimador por cada observação que não foi vista, impedindo que média e variância amostrais sejam tomadas como se descrevessem o processo original. Para ilustrar a magnitude do viés, simulei cinquenta mil pesos de pão sob N(950, 50²), trunquei em 970 gramas (o limiar do padeiro desconfiado, um tanto abaixo do da parábola) e apliquei os dois estimadores. Os resultados aparecem na tabela abaixo.

O estimador ingênuo desloca a média para 1.003 gramas e encolhe o desvio padrão para 27, sugerindo uma padaria que produziria pães grandes e uniformes. O estimador de Cohen, ao contrário, recupera 928 e 57, muito mais próximos dos parâmetros verdadeiros, 950 e 50. Em amostras com apenas centenas de observações, portanto, a correção da log-verossimilhança é a diferença entre enxergar o processo real e enxergar o teatro construído pelo padeiro.

A implementação em Julia segue diretamente a equação acima. A biblioteca Distributions.jl oferece a distribuição truncada como primitiva, e Optim.jl resolve o problema de otimização sem qualquer customização numérica.

Testando o formato

Quando a pergunta é se uma amostra vem de uma normal ou de uma normal truncada, há um arsenal de testes disponível, porque a truncagem à esquerda produz desvios sistemáticos em várias estatísticas ao mesmo tempo, na medida em que a assimetria amostral fica positiva, a curtose muda e a função de distribuição empírica se desvia da teórica nas proximidades do corte. Testes clássicos como Shapiro-Wilk, Anderson-Darling e Jarque-Bera capturam essas assinaturas por caminhos diferentes, embora rejeitá-los não diagnostique truncagem especificamente, e apenas sinalize que algo no formato diverge da normal assumida.

Para o problema específico de fraude em fundos, contudo, importa menos a escolha entre testes de normalidade do que detectar manipulação por descontinuidade em torno de zero, que é a assinatura típica de retornos maquiados. Nesse caso, o teste de McCrary (2008) é o mais preciso, pois estima a densidade logarítmica à esquerda e à direita de um limiar c:

Sob a hipótese nula de densidade contínua, θ̂ tem distribuição assintoticamente normal. Bollen e Pool (2009) aplicaram uma variante deste teste à distribuição agregada de retornos mensais de fundos de cobertura e encontraram um kink sistemático em zero, com muito mais pequenos ganhos reportados do que pequenas perdas. A descontinuidade, contudo, desaparece nos três meses que antecedem a auditoria anual, o que confirma que é o gestor, e não o ativo, que produz a assimetria.

Bernie Madoff e a fraude detectável pelo formato

O caso Madoff é a reencenação moderna da parábola do padeiro. Entre dezembro de 1990 e outubro de 2008, o fundo feeder Fairfield Sentry reportou 215 retornos mensais com média de 0,84%, desvio padrão de 0,71% e apenas dez meses negativos, sendo o pior deles de −0,64%. A estratégia declarada era split-strike conversion sobre o S&P 100, ou seja, uma carteira comprada em trinta a trinta e cinco ações do índice combinada com collars de opções, cujo Sharpe ratio anualizado tem limite teórico da ordem de 0,66, segundo Bernard e Boyle (2009). Madoff, no entanto, reportava 2,47.

Harry Markopolos, analista em uma corretora concorrente de Boston, viu o descasamento em 1999 e passou nove anos submetendo à Securities and Exchange Commission memorandos que ninguém leu (MARKOPOLOS, 2005). Em novembro de 2005, seu memorando intitulado The World’s Largest Hedge Fund is a Fraud listou vinte e nove red flags, quase todas de natureza distribucional. A correlação reportada com o S&P 100, por exemplo, era de seis por cento, quando a estratégia declarada implicaria algo entre quarenta e oitenta. Já o volume de puts sobre o OEX necessário para hedgear a carteira alegada excedia o open interest total da Chicago Board Options Exchange, e o próprio Sharpe era matematicamente inconsistente com a estratégia.

O que chama mais a atenção no caso, contudo, é a aritmética simples dos meses negativos. Sob a própria distribuição reportada por Madoff, com média 0,84% e desvio padrão 0,71%, a probabilidade de um mês com retorno negativo é Φ(−0,84/0,71) ≈ 11,9%, de modo que, em 215 meses, o número esperado seria cerca de 26, com desvio padrão de aproximadamente quatro. Apenas dez meses negativos corresponderiam, portanto, a uma realização quatro desvios abaixo da expectativa, com probabilidade binomial da ordem de 2×10⁻⁴. Esse número já bastaria para parar qualquer investidor institucional, lembrando que a distribuição que gerou o cálculo é a do próprio Madoff. Sob uma volatilidade honesta de split-strike, da ordem de 8% ao ano, o esperado sobe para 77 meses negativos em 215, e a probabilidade de observar dez ou menos cai para 6×10⁻²⁸. Para fins de comparação, dez elevado a vinte e oito é maior que o número de segundos transcorridos desde o Big Bang.

A comparação entre Fairfield Sentry e o S&P 500 no mesmo período, com base nos dados reconstituídos por Bernard e Boyle (2009), fica assim:

Madoff entrega 120% do retorno do S&P 500 com apenas 16% do risco do índice, sendo certo que nenhuma estratégia conhecida de long-short sobre o mercado americano chega perto desse perfil. Embora a literatura tenha catalogado outras bandeiras vermelhas de natureza de governança, entre elas custodiante interno, auditor desconhecido e ausência de staff de front-office, o ponto estatístico já seria suficiente por si só. Getmansky, Lo e Makarov (2004), por sua vez, mostraram que a série exibia autocorrelação serial positiva da ordem de 0,3 a 0,5, valor incompatível com uma estratégia executada sobre opções líquidas de S&P 100 e típico de smoothing artificial de retornos.

O padrão, contudo, não é exclusivo de Madoff. Allen Stanford, do Stanford International Bank, reportou perda de 1,3% em 2008, enquanto o S&P caía 39% e o STOXX Europe 500 caía 41%. A Weavering Capital, sob Magnus Peterson, reportou retornos sem perdas apesar de posições em swaps de taxa de juros com contraparte offshore insolvente controlada pelo próprio gestor, o que rendeu uma sentença britânica de 450 milhões de libras. De forma mais geral, Dimmock e Gerken (2012) mostraram que violações regulatórias prévias, uso de pricing interno e ausência de auditor de primeira linha têm poder preditivo sobre fraude futura. Todas essas, portanto, são variações do mesmo tema estatístico, na medida em que a cauda esquerda some ou fica implausivelmente rasa, ao passo que a cauda direita infla uma distribuição que deveria ser simétrica. É o padeiro de Poincaré em escala institucional.

Intervenção cambial como truncagem não-anunciada

O mesmo padrão se repete no mercado de câmbio, onde a intervenção de um banco central altera a distribuição de retornos por um canal diferente do da fraude, mas com efeito estatístico análogo. Desde meados dos anos 2000, o Banco Central do Brasil (BCB) intervém no mercado de câmbio usando swap cambial (em rigor, non-deliverable forwards domésticos, liquidados em reais), leilão spot e leilão de linha com compromisso de recompra. Em 22 de agosto de 2013, após o taper tantrum do Federal Reserve, o BCB anunciou um programa diário de swaps que acumularia posição da ordem de 100 bilhões de dólares ao longo de dezenove meses.

Chamon, Garcia e Souza (2017) estimaram o efeito desse programa por controle sintético, construindo um Brasil contrafactual com a combinação convexa de moedas de outros emergentes, e encontraram que o BRL observado apreciou mais de dez por cento em relação à trajetória sintética. Em termos distribucionais, isso significa que uma massa de probabilidade que deveria estar na cauda depreciada da distribuição de retornos do BRL foi deslocada para o centro da distribuição observada. Kohlscheen e Andrade (2014) refinaram o argumento em alta frequência, mostrando que, a cada leilão de swap em que o BCB vende USD, o retorno intradiário do USDBRL cai cerca de 0,33%, com assimetria entre posições vendidas e compradas do BCB. Já Viola et al. (2019), por meio de regressão quantílica, demonstraram que o efeito das intervenções sobre volatilidade se concentra nos quantis superiores, exatamente o que seria esperado se o banco central estivesse cortando a cauda direita da distribuição de retornos do dólar.

Trata-se da forma sofisticada da intervenção, em que nunca se anuncia um teto, embora a cauda some. O analista que calibra volatilidade ou Value-at-Risk do BRL sobre dados de 2013 a 2015 estará, portanto, estimando σ sobre uma amostra cuja cauda superior foi sistematicamente suavizada. Como consequência, a volatilidade implícita cai, o risk reversal de 25-delta se comprime relativamente ao fundamento macro, e opções fora-do-dinheiro ficam subprecificadas. Até aqui, o padrão se assemelha ao de Madoff, ainda que com uma diferença importante. O interventor, no caso do BCB, é conhecido, e o que se altera é a distribuição observada, e não a solvência da instituição.

O caso paradigmático da truncagem anunciada, contudo, é outro. Em 6 de setembro de 2011, o Swiss National Bank comunicou que não toleraria EURCHF abaixo de 1,20 e estaria disposto a intervir em quantidade ilimitada. Como resultado, a volatilidade implícita de um mês caiu cerca de dezesseis pontos percentuais na sessão seguinte, e, durante três anos e quatro meses, a distribuição observada de retornos do EURCHF ficou literalmente cortada. Em 15 de janeiro de 2015, no entanto, sem aviso prévio, o SNB abandonou o piso, e o par caiu vinte por cento em minutos. A Alpari UK entrou em liquidação no mesmo dia, ao passo que a FXCM, corretora de retalho listada em Nova York, precisou de resgate emergencial de 300 milhões de dólares para evitar insolvência no fechamento. Modelos de risco que tratavam a cauda direita truncada como se fosse a cauda verdadeira do processo, ao precificarem put OTM a preço de lixo durante três anos, cobraram o erro em uma única sessão.

A lição estatística é que truncagem do lado do interventor produz viés do lado do tomador de risco, pois quem calibra volatilidade sobre dados contaminados por intervenção subestima a cauda verdadeira. Quando a intervenção cessa ou é abandonada, o processo volta a operar sob sua dinâmica original, que o modelo calibrado não comporta.

Circuit breakers e censura por regra de bolsa

Regras de bolsa são o caso mais institucional em que a distribuição observada deixa de refletir o processo verdadeiro. A B3 aciona circuit breaker quando o Ibovespa cai 10%, 15% ou 20% em relação ao fechamento anterior, com interrupções de 30 minutos, uma hora e suspensão do pregão, respectivamente, ao passo que NYSE e CME usam limiares de 7%, 13% e 20% sobre o S&P 500. Há ainda limit up/limit down específicos em futuros de commodities, bem como auction halts acionados por oscilações próprias em ações individuais. A literatura teórica formalizou o chamado efeito-ímã, segundo o qual a proximidade do gatilho pode atrair ordens preventivas, elevando a volatilidade antes do halt.

Em termos distribucionais, um halt é um evento de censura, na medida em que o preço de equilíbrio do dia poderia ser −15%, mas a bolsa interrompe em −10% e só reabre no dia seguinte. O retorno registrado na série passa a ser, portanto, exatamente −10%, e não o que seria observado sem a regra. Hsieh e Yang (2009) quantificaram o viés resultante para séries asiáticas, mostrando que, sob um modelo de volatilidade estocástica censurada corretamente especificado, a razão entre σ estimado e σ verdadeiro fica dentro de um por cento. Caso o analista use os retornos observados como se não houvesse censura, subestima σ em cerca de cinco por cento, e o viés ainda dobra para cerca de catorze por cento se ele deletar os dias de halt da amostra na intenção de limpar dados.

A simulação reproduz o fenômeno com parâmetros calibrados em regime de stress. Geramos cinco mil retornos diários sob volatilidade verdadeira de 4,5% ao dia, consistente com o Ibovespa em março de 2020, e aplicamos a regra da B3 censurando em −10%. Sob normalidade, a fração esperada de dias de halt é baixa, e o viés resultante também é modesto. Sob cauda gorda, modelada por uma t-Student com quatro graus de liberdade rescalada para o mesmo desvio padrão, o mesmo procedimento produz resultado substancialmente pior, próximo dos dez por cento. Os números da simulação ficam assim:

Em março de 2020, o Ibovespa acionou circuit breaker em seis dos oito pregões entre 9 e 18 de março, contra um histórico de três acionamentos em 1997 (crise asiática), cinco em 1998 (crise russa), cinco em 2008 (subprime) e um em 2017 (Joesley Day). O analista de risco que alimenta um modelo de VaR com essa série sem tratar a censura está, em certo sentido, assinando dívida com o futuro, porque o modelo até passa no backtest, justamente por contar com poucas exceções contaminadas, embora seu comportamento em stress permaneça desconhecido, dado que o próprio comportamento em stress foi subestimado pela censura.

O caso do WTI em 20 de abril de 2020 inverte a lógica e serve como demonstração técnica de que circuit breakers são variáveis de política, e não constantes do mundo. Nos primeiros dias de abril daquele ano, o CME comunicou à Commodity Futures Trading Commission que havia ajustado seus sistemas para suportar preços negativos no contrato de petróleo, conforme documentado no relatório interino publicado pela própria CFTC em novembro seguinte. Vinte dias depois, o contrato maio fechou em −37,63 dólares por barril, com mínima de −40,32. Qualquer modelo de risco calibrado em janela anterior, portanto, não continha essa cauda, justamente porque o próprio limite regulatório havia mudado no meio da amostra. É o padeiro de Poincaré na operação inversa, no sentido de que não se cortou a cauda, e sim se removeu o piso.

O tratamento estatístico adequado de dados com halts é bem estabelecido, ainda que pouco usado em bancos brasileiros. Modelos Tobit, truncated-GARCH (como em estudos sobre A-shares chinesas) e a formulação de volatilidade estocástica censurada de Hsieh e Yang (2009) são as correções disponíveis. A regra mínima é flaggear dias de halt como censura antes de alimentar o modelo, não tratá-los como retornos regulares e tampouco descartá-los.

O histograma antes da média

O mercado brasileiro ainda trata muitos problemas de forma como se fossem apenas problemas de nível. Due diligence de fundos costuma olhar retorno, volatilidade, Sharpe e drawdown antes mesmo de perguntar se a distribuição tem descontinuidade em zero, cauda esquerda rasa demais ou autocorrelação incompatível com a estratégia declarada. Modelos de risco calibrados em regimes de intervenção cambial, por sua vez, absorvem uma cauda suavizada como se ela fosse propriedade estrutural do câmbio, ao passo que backtests alimentados por dias de circuit breaker registram retornos censurados como se fossem observações ordinárias.

O arsenal técnico para corrigir isso, no entanto, não é novo. Cohen publicou o MLE corrigido para amostras truncadas da normal em 1950, décadas antes de Bollen e Pool aplicarem a ideia a fundos de cobertura, ao passo que Heckman formalizou o viés de seleção em 1979, vinte e nove anos antes de McCrary propor um teste geral de descontinuidade em densidades. O próprio Shapiro-Wilk vem de 1965, de modo que a parte matemática está pronta há tempos. A CVM, aliás, exige divulgação de carteira e disponibiliza séries de retornos mensais que tornariam o teste de Bollen-Pool factível em escala sobre a base de fundos brasileiros, e ainda assim a literatura aplicada a essa base permanece escassa, com diagnósticos de censura por circuit breaker quase ausentes do material acadêmico e metodológico público. Os dados existem e estão abertos, portanto, e a lacuna não é de auditoria, e sim de pesquisa aplicada que mobilize esse ferramental específico sobre eles.

O ponto mais importante talvez seja o hábito de olhar. O analista que se limita à média de um conjunto de dados não tem como saber o que foi editado, porque a média afere apenas o nível, ao passo que é no formato que vive a informação de ordem superior, justamente aquela que carrega a impressão digital de quem cortou a cauda. No caso Madoff, o Sharpe de 2,47 já bastaria para pedir explicações, da mesma forma que, no EURCHF pré-2015, a volatilidade implícita artificialmente baixa já denunciava o piso. Quanto aos dias de halt da B3, a censura precisa ser flaggeada antes que contamine o modelo.

Poincaré (ou o professor alemão anônimo, ou quem tenha sido) só pegou o padeiro da segunda vez porque trocou a balança pelo histograma.

Referências

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Carteiras de crédito são o exemplo em que o desvio entre a teoria clássica e o comportamento observado aparece de forma mais sistemática e mais consequente para capital. Bolder (2022) propõe um experimento pedagógico que retomarei adiante: duas carteiras com os mesmos parâmetros de risco diferindo apenas em granularidade, cujos números surpreendem quem aprendeu diversificação na bolsa.

O arcabouço conceitual do capital econômico foi o assunto de Capital econômico: a arquitetura por trás de uma pergunta simples, em que a distinção sistêmico-idiossincrático apareceu de passagem. Este artigo aprofunda essa dimensão, examinando por que a lógica clássica de diversificação encontra limites mais severos em crédito, como Vasicek e Gordy formalizaram um modelo politicamente defensável e economicamente otimista, e como a literatura posterior e as crises recentes recolocaram a pergunta em termos que não cabem no cálculo regulatório padrão.

O que falha quando a lógica da diversificação encontra o crédito

A teoria clássica de portfólio repousa em três premissas implícitas. A primeira é que retornos têm distribuições aproximadamente simétricas, de modo que variância é uma medida informativa de risco. A segunda é que correlações entre ativos são estáveis, ou pelo menos estimáveis a partir de histórico razoável. A terceira é que a Lei dos Grandes Números opera com poucas dezenas de ativos independentes. Em qualquer classe de ativo essas premissas são imperfeitas; a questão é quanto a imperfeição custa em cada caso.

Em crédito, as três pioram juntas. O perfil de retorno de uma exposição é estruturalmente assimétrico. No melhor caso, o banco recebe o principal e os juros contratados; no pior, perde até 100% do valor multiplicado pela LGD. Uma emissão que rende 300 pontos-base de spread sobre a curva livre de risco tem ganho máximo limitado ao cupom e perda potencial de muitas dezenas de pontos percentuais. Variância, nesse mundo, não resume nada útil sobre a cauda. O analista de crédito não mede dispersão do retorno; mede probabilidade de eventos raros e o tamanho da perda quando ocorrem.

A segunda premissa também não se sustenta. Correlação de inadimplências é baixa em tempos calmos e dispara em estresse porque firmas dependem da mesma conjuntura macroeconômica, compartilham fornecedores e clientes, e têm custos de financiamento atrelados a condições agregadas. Quando o ciclo vira, muitas emissoras deterioram ao mesmo tempo. A dependência condicional ao cenário sistêmico é o que move a cauda da distribuição de perdas, e diversificar oferece menos proteção no momento em que proteção é mais necessária.

A terceira premissa é a que Bolder (2022) ataca de frente. Sob retornos contínuos e simétricos, a variância idiossincrática cai como 1/N e algumas dezenas de posições já capturam a maior parte do benefício da diversificação. Inadimplências, porém, são eventos raros e discretos; para que a Lei dos Grandes Números opere sobre a cauda, é preciso número de exposições em ordem de grandeza superior. A fronteira em que o ruído idiossincrático deixa de pesar sai de dezenas para milhares de devedores. E mesmo quando há milhares, o componente sistêmico persiste porque todas as contrapartes estão expostas ao mesmo ciclo.

O resultado é que a diversificação em crédito não segue a mesma curva conhecida da teoria de portfólio. Ela exige mais devedores distintos, tolera menos concentração e deixa sempre um residual sistêmico que nenhuma alocação resolve. Esse é o pano de fundo que a literatura de capital econômico para crédito tenta endereçar com rigor formal.

A formalização de Vasicek e o teorema de Gordy

A formalização mais influente parte do modelo de Merton para dívida corporativa e chega a Vasicek (2002) em uma construção de elegância notável. Cada devedor i tem um índice latente de valor de ativo decomposto em duas componentes:

Onde Y é um fator sistêmico gaussiano compartilhado por todos os devedores, ε_i é um choque idiossincrático independente, e ρ é a correlação de ativos. A inadimplência ocorre quando X_i cai abaixo de Φ⁻¹(PD), o quantil da normal padrão correspondente à probabilidade contratada. Essa é a versão de um fator do modelo de Merton, e organiza em duas linhas toda a mecânica subsequente.

Dada a realização do fator sistêmico Y, as inadimplências ficam condicionalmente independentes. Isso permite que Vasicek aplique a Lei dos Grandes Números numa carteira homogênea infinitamente granular e derive a distribuição-limite da taxa de perda:

Invertendo no quantil α, obtém-se a worst-case default rate, que é a fração de inadimplências da carteira num cenário sistêmico extremo:

Esta expressão é o núcleo da função supervisória de peso de risco IRB de Basileia II, também conhecida como IRB risk weight function. Vale um comentário sobre o nome. O IRB é uma abordagem na qual o banco estima internamente os parâmetros da contraparte (PD, LGD, EAD e maturidade); o que é livre é esse conjunto de insumos, não a regra que os converte em capital. A função abaixo é a mesma para todos os bancos autorizados a usar o IRB; o que muda de instituição para instituição são os parâmetros que alimentam a fórmula. Multiplicada por LGD, ajustada pela maturidade e subtraída da perda esperada PD·LGD (já coberta por provisões), ela entrega o capital regulatório por exposição:

Com ρ(PD) e b(PD) calibrados por classe de ativo conforme o documento técnico do Comitê de Basileia (BCBS, 2005). Para exposições corporativas, a correlação de ativos varia entre 12% para PDs altas e 24% para PDs baixas, uma calibração empírica discutida ao longo da Seção 5 do Explanatory Note.

O que transforma essa fórmula em arcabouço regulatório utilizável é o teorema da invariância de carteira, formalizado por Gordy (2003):

O capital marginal de uma exposição depende apenas de seus próprios parâmetros (PD, LGD, EAD, maturidade), e não da composição da carteira em que ela se insere, se e somente se existe um único fator sistêmico comum a todos os devedores e a carteira é assintoticamente granular.

Ou seja, nenhuma exposição pode representar fração não-desprezível do total. Essas duas condições definem o arcabouço ASRF (Asymptotic Single Risk Factor).

A invariância é o que torna a abordagem IRB escalável. Permite ao regulador escrever uma função aditiva por exposição, aplicável a qualquer banco, sem que o supervisor precise conhecer a composição integral da carteira de cada instituição. Politicamente, resolve o problema de escrever uma regra de capital que seja simultaneamente justa entre instituições e tratável do ponto de vista computacional.

Economicamente, porém, o ASRF é exato apenas no limite. Nenhuma carteira real é infinitamente granular, e nenhuma economia real tem um único fator sistêmico. A conta exata entrega capital menor do que a conta correta em carteiras finitas ou multi-setoriais. É essa lacuna que o resto deste artigo explora.

O experimento de Bolder

Retomando o experimento do início: duas carteiras, mesmos parâmetros (PD 0,5%, LGD 40%, α 99,97%, total € 1.000), diferindo apenas em granularidade. A diversificada tem 10.000 exposições idênticas; a concentrada tem 100 exposições heterogêneas, com a maior ocupando cerca de 5% do portfólio. Bolder (2022) calcula o capital econômico de cada uma sob dois modelos alternativos.

O modelo binomial independente trata todo o risco como idiossincrático, ignorando qualquer fator comum. Nessa hipótese irrealista, a Lei dos Grandes Números age livremente. Na carteira diversificada, o risco idiossincrático converge para 0,1% do valor, praticamente zero. Na concentrada, resta 3,1% idiossincrático, porque 100 devedores não são suficientes para diluir o peso da exposição dominante. Já o modelo gaussiano de um fator, que adiciona o componente sistêmico, entrega risco total de 7,6% na diversificada e 9,0% na concentrada.

Multiplicar o número de exposições de 100 para 10.000 deixa o capital econômico total da carteira apenas 1,4 ponto percentual abaixo (7,6% contra 9,0% do valor). O componente sistêmico, pela sua própria natureza, não se diversifica.

Três lições merecem destaque. A primeira é que sistêmico não se diversifica, resultado central do CAPM que reaparece aqui com a mesma força: 10.000 exposições ao mesmo fator econômico ainda carregam o risco desse fator. A segunda é que diversificar o componente idiossincrático em crédito é trabalhoso; 100 devedores heterogêneos deixam resíduo material, e um terço do risco total da carteira concentrada ainda é específico de contrapartes. A terceira, talvez a menos intuitiva, é que o componente sistêmico não é privilégio do risco de mercado. Trata-se de dimensão central também do risco de crédito, porque inadimplências correlacionam via ciclo econômico e redes de dependência setorial.

O experimento, como o próprio autor reconhece, foi construído. Parâmetros foram escolhidos para focar atenção exclusivamente na granularidade. Em carteiras do mundo real, as dimensões de concentração são várias: setor econômico, geografia, qualidade de crédito, tamanho de firma, hipótese de recuperação. Cada uma admite sua própria análise. Os números acima fornecem limite inferior didático, não estimativa superior.

Ajuste de granularidade e concentração multi-fator

O reconhecimento de que o ASRF é exato apenas no limite abriu uma agenda inteira de pesquisa. A primeira linha atacou a granularidade finita. A fórmula analítica de ajuste de primeira ordem foi proposta no início dos anos 2000 e sistematizada no modelo Vasicek por uma sequência de trabalhos que culmina em Gordy e Lütkebohmert (2013), versão refinada de trabalho iniciado em 2007 e hoje referência para supervisão. O ajuste de granularidade, conhecido pela sigla GA (granularity adjustment), é uma correção aditiva ao capital calculado pela função supervisória IRB, proporcional a:

Com s_i = EAD_i e f(·) dependente da função supervisória IRB. O numerador privilegia exposições grandes (pesos ao quadrado), e a divisão pelo total normaliza, resultando em um índice de Herfindahl-Hirschman ponderado por risco. Se todas as exposições fossem idênticas, o ajuste aproximaria zero (granularidade assintótica). Quando poucas exposições dominam, o ajuste cresce proporcionalmente ao quadrado do peso.

A forma simples do HHI puro, sem ponderação por risco, é útil como métrica inicial:

O inverso 1/HHI corresponde ao número efetivo de exposições. A segunda linha de pesquisa atacou o pressuposto de fator único. Pykhtin (2004) estendeu o ASRF para K fatores sistêmicos, construindo um fator composto que preserva forma analítica enquanto captura correlação heterogênea entre setores e regiões. A conta deixa de ser uma só fórmula e passa a depender da decomposição da carteira por segmento, mas ganha em fidelidade ao fenômeno real.

A literatura empírica sustenta o argumento. Düllmann e Masschelein (2007), aplicando o modelo multi-fator à base de registro de crédito alemã, mostram que a diferença entre capital que considera estrutura setorial e capital que a ignora pode chegar a 20–37% em carteiras com concentração setorial característica de bancos de atacado. O estudo anterior do Comitê de Basileia (BCBS, 2006, Working Paper 15) sugeria faixa similar de 20–40% para concentração setorial, contra 2–8% para concentração em devedores individuais (single-name) em carteiras de varejo pulverizadas. O efeito dominante em carteiras corporativas reais não é a granularidade de exposições individuais, é a exposição concentrada a setores específicos.

O arcabouço regulatório absorveu esses achados em forma de pragmatismo. Basileia abandonou o ajuste de granularidade explícito no Pilar 1 e delegou-o ao Pilar 2, via add-on supervisório. O ICAAP, processo pelo qual o próprio banco avalia seu capital interno, torna-se o local em que multi-fator, granularidade, concentração geográfica e setorial precisam ser quantificados e cobrados em capital adicional. A Tabela CR1 do Pilar 3 apresenta decomposição por setor econômico, região e prazo justamente para dar transparência a essas exposições.

Verificação numérica em Julia

As faixas que a literatura reporta são convites a reproduzir o cálculo. Implementei os três blocos do arcabouço em Julia (Vasicek analítico, HHI com ajuste de granularidade, e Monte Carlo multi-fator) e deixei o código aberto em pq_credit_concentration. A motivação não é refutar a literatura, e sim tornar concretos os efeitos e isolá-los uns dos outros, algo que resumos narrativos escondem.

O primeiro bloco reconstrói a distribuição-limite de Vasicek e a função supervisória IRB completa, variando ρ, PD e α. Para PD de 1%, LGD de 40%, α de 99,9% e maturidade 2,5, o capital IRB sai de 2,8% do EAD (ρ = 8%) até 8,4% (ρ = 24%), e cresce para 5,5% a 14,4% quando a PD sobe para 3%. Elevar o nível de confiança de 99,9% para 99,97%, patamar típico de um rating-alvo AA, adiciona cerca de 25% a 35% ao capital dependendo da PD, ilustrando por que a escolha do rating-alvo é uma decisão de negócio, não uma constante regulatória.

O segundo bloco constrói uma carteira sintética com exposições Pareto-distribuídas (parâmetro de forma 1,5), parâmetro calibrado para que a maior exposição fique próxima de 5–10% do total, perfil compatível com um banco S2/S3 brasileiro no corporate. Computa-se o HHI, o número efetivo de devedores e o ajuste de granularidade de primeira ordem. Variando N entre 50 e 5.000 e calculando a média sobre 100 sementes por ponto para eliminar ruído amostral, o GA cai de 2,8% do IRB em N = 50 para 0,15% em N = 5.000.

O terceiro bloco simula diretamente um modelo Gaussiano multi-fator com três setores, ρ intra de 20% e ρ inter de 8%, e estima o VaR 99,9% por Monte Carlo (40.000 cenários, 400 devedores por setor). O resultado acrescenta uma nuance que a narrativa simplificada omite. Numa carteira balanceada (pesos 33/33/33), o capital multi-fator fica cerca de 50% abaixo do que a fórmula ASRF com ρ uniforme de 20% prevê, porque a baixa correlação entre setores gera diversificação real. À medida que a concentração aumenta (50/30/20, depois 70/20/10, e finalmente 85/10/5), essa diversificação evapora e o capital multi-fator se aproxima do ASRF. Em carteira muito concentrada, os dois praticamente coincidem.

O famoso “+20% a +40%” da literatura não é um número único. Depende tanto do nível de concentração setorial da carteira quanto da calibração de ρ usada como referência, e carteiras bem distribuídas setorialmente podem até inverter o sinal da diferença em relação à fórmula supervisória IRB de um fator.

Quando o modelo não basta

Evidência empírica e crises recentes confirmam que concentração é dimensão que modelos elegantes capturam parcialmente. Quatro episódios ajudam a enxergar onde a formulação ASRF se afasta da prática bancária, e cada tipo de concentração tem uma resposta regulatória própria, resumida abaixo.

Em três dos quatro casos, o arcabouço de medição já estava em pé quando a concentração virou crise. O Credit Suisse tinha limite interno para Archegos, o SVB tinha indicadores de duration mismatch e os supervisores americanos acompanhavam a concentração em ADC (Acquisition, Development, and Construction) nos anos que antecederam as falências. Mesmo assim, a métrica gerou sinal sem que o sinal virasse ação corretiva, razão pela qual capital de concentração no Pilar 2, sem enforcement organizacional, fica apenas no papel, pois o que decide a história é a cadeia que parte da métrica e chega à alçada de quem pode fechar exposição.

Nenhum desses episódios, por outro lado, envolveu concentração pura numa única dimensão. Archegos combinou concentração em poucas ações, em única contraparte e alavancagem em derivativos, de modo que o risco efetivo se multiplicou em relação à exposição nominal. No SVB, somaram-se concentração de funding, base demográfica correlacionada de depositantes (venture capital e startups) e mismatch de duration no ativo. Nas falências de ADC, por fim, concentração setorial e concentração geográfica se sobrepuseram, uma vez que imóveis residenciais são intrinsecamente regionais. Daí que capital econômico univariado perde o efeito de produto entre as dimensões, e o ajuste multi-fator de Pykhtin, combinado com ILAAP para o passivo e stress tests de contraparte, ganha sentido como resposta conjugada.

Há ainda a dimensão temporal, já que concentração tende a ser fenômeno de formação lenta e de revelação rápida. A exposição do Credit Suisse a Archegos cresceu ao longo de dois anos; a participação de ADC nos bancos falidos se acumulou na fase de alta do ciclo imobiliário; e a duration do ativo do SVB foi alongada durante o regime de taxa zero. Como em nenhum desses casos o desafio foi identificar a concentração no momento da crise, e sim antes, o monitoramento precisa de métricas de regime e de gatilhos preventivos, e não apenas de relatório no dia da inspeção supervisória.

Acharya, Hasan e Saunders (2006) documentam, além disso, um efeito de natureza distinta, relativo à qualidade do monitoramento bancário. Especialização reduz a concentração medida pelo modelo, ao mesmo tempo em que aumenta o conhecimento acumulado sobre cada contraparte. Diversificar um banco forte pode, por isso, piorar o seu perfil de risco, já que o dilui para fora do perímetro de expertise. Como se trata de efeito informacional que não aparece em HHI nem em correlação de ativos, só se acessa por avaliação qualitativa. Somando os quatro episódios, concentração só vira capital útil via Pilar 2 quando a cadeia de governança faz valer o limite resultante.

A moldura brasileira

No Brasil, concentração de crédito é tratada em dois níveis. No primeiro, em forma de limite prudencial, a Resolução CMN nº 4.677/2018, alterada pela 5.077/2023, estabelece o Large Exposures Framework brasileiro, limitando a exposição total a um mesmo cliente ou grupo econômico a 25% do Nível I do Patrimônio de Referência, em linha com o padrão do Comitê de Basileia de 2014.

O segundo é o ICAAP, instituído pela Resolução CMN nº 4.557/2017 (BANCO CENTRAL DO BRASIL, 2017). O artigo 21, parágrafo 3º, incisos I e VI, exige que o processo avalie explicitamente risco de concentração e risco de crédito da contraparte. Bancos S1 e S2 rodam ICAAP completo; S3 e S4, ICAAP simplificado. Para bancos médios brasileiros com carteiras corporativas típicas de 200 a 500 devedores relevantes, o ajuste de granularidade de Gordy-Lütkebohmert deixa de ser detalhe técnico e passa a compor o capital interno efetivo.

Os indicadores do próprio sistema bancário brasileiro contextualizam. O Relatório de Estabilidade Financeira do Banco Central de novembro de 2025 reporta que o RC4 do crédito, fração detida pelos quatro maiores conglomerados (Itaú, Banco do Brasil, Bradesco, Caixa), é de 57,9%. O Brasil está entre as economias do G20 com maior concentração bancária, característica que realimenta a concentração setorial das carteiras individuais. Tabak, Fazio e Cajueiro (2011), usando dados bancários brasileiros, documentam que concentração setorial reduz simultaneamente risco e retorno, ecoando o resultado de Acharya et al. em amostra local: especialização funciona aqui também, até onde o monitoramento consegue alcançar.

A Resolução BCB nº 229/2022, que moderniza o cálculo do RWA padronizado em convergência com Basileia III finalizado, não altera o tratamento de concentração como risco de Pilar 2. Mantém o desenho pelo qual Pilar 1 captura o componente sistêmico via ASRF, e Pilar 2 cobra o resíduo de concentração via ICAAP. Para o gestor de risco brasileiro, isso significa que a conta correta do capital econômico exige, por desenho regulatório, ir além da função supervisória IRB.

Conclusão

O experimento didático de Bolder (2022) entrega uma lição compacta. A intuição clássica de diversificação, que elimina o risco idiossincrático com algumas dezenas de ativos, simplesmente não opera no mesmo regime em crédito. O perfil assimétrico do retorno, as correlações que escalam em estresse e a raridade dos eventos de inadimplência empurram a fronteira de diversificação para milhares de devedores, e ainda assim deixam um componente sistêmico que nenhuma alocação consegue eliminar.

A formalização de Vasicek (2002) e o teorema de Gordy (2003) deram ao regulador uma fórmula que é politicamente defensável, porque invariante à composição da carteira, e computacionalmente tratável, porque aditiva por exposição. Não são, porém, a descrição mais acurada do mundo. Carteiras reais são finitas, e mundos reais têm múltiplos fatores sistêmicos. A distância entre o ASRF e o capital econômico correto é preenchida pelo ajuste de granularidade (GORDY; LÜTKEBOHMERT, 2013) e pelo ajuste multi-fator (PYKHTIN, 2004), que as evidências empíricas de Düllmann e Masschelein (2007) e do próprio Comitê de Basileia (BCBS, 2006) calibram em algo entre 20% e 40% de capital adicional em carteiras setorialmente concentradas.

As crises recentes acrescentam dimensões que nenhuma fórmula cobre com elegância. Archegos lembrou que concentração em contraparte via derivativos aloja-se em pontos cegos do limite tradicional. Silicon Valley Bank expôs que concentração de funding não é parte do ASRF. As falências americanas da década passada mostraram que concentração setorial em imóveis foi melhor preditor de quebra do que o nível agregado de risco. A literatura empírica sobre bancos especializados, representada por Acharya, Hasan e Saunders (2006), sugere que diversificação nem sempre é melhor do que o conhecimento profundo da própria carteira.

Para o quant brasileiro que desenha modelo interno de crédito ou compõe o ICAAP, vale substituir a contagem de devedores por outra pergunta, de escopo mais rico:

Quanto do risco total ainda é idiossincrático? Quanto depende de concentração setorial ou geográfica? Quanto escapa à fórmula por ficar no funding ou numa relação de contraparte alavancada?

O capital econômico que responde a essas três perguntas se distancia do capital regulatório mínimo, e é nessa distância que a gestão de risco ganha o sentido que o Pilar 1 não ambiciona cobrir.

Referências

ACHARYA, V. V.; HASAN, I.; SAUNDERS, A. Should banks be diversified? Evidence from individual bank loan portfolios. Journal of Business, v. 79, n. 3, p. 1355–1412, 2006.

BANCO CENTRAL DO BRASIL. Resolução CMN nº 4.557, de 23 de fevereiro de 2017. Dispõe sobre a estrutura de gerenciamento de riscos e de capital. Brasília: BCB, 2017.

BANCO CENTRAL DO BRASIL. Resolução CMN nº 4.677, de 31 de julho de 2018. Dispõe sobre os limites máximos de exposição por cliente. Brasília: BCB, 2018.

BASEL COMMITTEE ON BANKING SUPERVISION. An explanatory note on the Basel II IRB risk weight functions. Basel: BIS, 2005.

BASEL COMMITTEE ON BANKING SUPERVISION. Studies on credit risk concentration. BCBS Working Paper No. 15. Basel: BIS, 2006.

BOLDER, D. J. Modelling economic capital: practical credit-risk methodologies, applications, and implementation details. Cham: Springer, 2022.

DÜLLMANN, K.; MASSCHELEIN, N. A tractable model to measure sector concentration risk in credit portfolios. Journal of Financial Services Research, v. 32, n. 1, p. 55–79, 2007.

FEDERAL RESERVE. Review of the Federal Reserve’s supervision and regulation of Silicon Valley Bank. Washington: Board of Governors of the Federal Reserve System, 2023.

GORDY, M. B. A risk-factor model foundation for ratings-based bank capital rules. Journal of Financial Intermediation, v. 12, n. 3, p. 199–232, 2003.

GORDY, M. B.; LÜTKEBOHMERT, E. Granularity adjustment for regulatory capital assessment. International Journal of Central Banking, v. 9, n. 3, p. 33–71, 2013.

MARKOWITZ, H. Portfolio selection. Journal of Finance, v. 7, n. 1, p. 77–91, 1952.

PAUL WEISS. Credit Suisse Group Special Committee of the Board of Directors report on Archegos Capital Management. New York: Paul, Weiss, Rifkind, Wharton & Garrison LLP, 2021.

PYKHTIN, M. Multi-factor adjustment. Risk Magazine, v. 17, n. 3, p. 85–90, 2004.

TABAK, B. M.; FAZIO, D. M.; CAJUEIRO, D. O. The effects of loan portfolio concentration on Brazilian banks’ return and risk. Journal of Banking & Finance, v. 35, n. 11, p. 3065–3076, 2011.

VASICEK, O. A. The distribution of loan portfolio value. Risk, v. 15, n. 12, p. 160–162, 2002.

Tomo como estudo de caso o pq_semantic_cvm (se quiser mais detalhes sobre o projeto, entre em contato no chat), projeto em que modelei quase a totalidade dos 24 datasets públicos da CVM (cadastros de fundos, DFPs e ITRs de companhias abertas, composição de carteiras, ofertas, securitizações, formulário de referência, processos sancionadores) em uma camada semântica baseada em YAML conectada a um data warehouse PostgreSQL e a um pipeline de geração de SQL em múltiplos estágios. A ideia é mostrar como as peças se encaixam, que tipo de conhecimento a camada semântica carrega, e por que esse padrão serve a qualquer empresa que queira oferecer acesso confiável aos próprios dados via linguagem natural.

O que está dentro dos arquivos YAML

A camada semântica do projeto é uma coleção de arquivos YAML organizados por dataset. Cada YAML documenta uma tabela ou um grupo coeso de tabelas, e o conjunto cumpre três funções: descreve o que o dado significa, onde ele mora e quando ele mente. Não é documentação técnica no sentido tradicional, é um contrato de interpretação.

Um YAML típico começa com um bloco de cabeçalho que registra o normativo aplicável, a fonte bruta, a chave de grão e uma history note que descreve mudanças regulatórias relevantes. Em seguida vêm as colunas, cada uma com rótulo legível, descrição, contexto de negócio, valores possíveis e, a parte mais valiosa, caveats: armadilhas conhecidas, assimetrias, pegadinhas que só quem já quebrou a cabeça contra aquele dado sabe. O YAML do cadastro de fundos, por exemplo, avisa ao modelo que o campo SIT = 'CANCELADA' pós-RCVM 175 pode significar tanto encerrado quanto migrado para o novo regime e ainda ativo.

Além das colunas, os YAMLs declaram relationships (caminhos de junção pré-validados entre tabelas), critical_routing (regras peremptórias sobre qual tabela usar ou não usar para um tipo de pergunta), example_questions (perguntas reais com dicas de padrão SQL correto) e dimensional_traps (pares de conceitos que parecem sinônimos e não são, como administrador versus gestor de fundo, ou coordenador líder versus agente fiduciário em securitizações).

Há ainda um conjunto de arquivos auxiliares que descrevem regras transversais ao domínio: um registra idiomas de PostgreSQL que devem ser seguidos; outro consolida marcas canônicas (Bradesco casa como BRADESCO%, não como BANCO BRADESCO S.A.); um terceiro lista as confusões dimensionais recorrentes; um quarto define o que o crítico automático deve checar depois da execução.

Três camadas de tabelas, não uma

A camada semântica só faz sentido se estiver ancorada em um modelo dimensional bem estruturado. O projeto organiza o banco em três camadas clássicas de data warehouse na tradição de Kimball (KIMBALL; ROSS, 2013), cada uma com papel próprio.

A camada raw contém cópias fiéis dos arquivos publicados pela CVM: informes diários de fundos, balanços patrimoniais, formulários de referência, cadastros de participantes. Nada é normalizado, nada é deduplicado. Os tipos são preservados como texto (todo campo em CSV chega como texto), os nomes das colunas são idênticos aos do arquivo original, e cada dataset mora em sua própria tabela. Essa camada é a fonte da verdade: se houver discrepância, é ela que vale.

A camada staging é a primeira limpeza. Aqui os tipos são convertidos, valores nulos são padronizados, CNPJs são normalizados com LPAD para 14 dígitos, e, mais importante, tabelas equivalentes oriundas de regimes regulatórios diferentes são fundidas em visões coerentes. O stg_cvm__fundos é o exemplo canônico: ele faz UNION ALL entre raw.cad_fi (cadastro legado ICVM 555) e raw.registro_classe (RCVM 175), marcando a origem de cada linha para que a próxima camada possa escolher qual prevalecer quando houver duplicata.

A camada mart contém as tabelas prontas para análise. Suas tabelas têm prefixo dim_ (dimensões cadastrais, como dim_fundos), fct_ (tabelas-fato, como fct_fundos_performance_mensal ou fct_liquidez_trimestral) e sem_ (visões semânticas agregadas, como sem_composicao_carteira_gestora). É essa a camada que o pipeline de linguagem natural procura primeiro, tanto pela ergonomia quanto porque ela já absorveu as descontinuidades regulatórias que o raw expõe cru.

A camada semântica espelha essa estrutura: há um conjunto de YAMLs descrevendo as tabelas raw mais importantes (cadastros, informes, formulários), um conjunto separado descrevendo os marts (incluindo os staging selecionados que o modelo precisa conhecer) e os arquivos transversais já mencionados. Quando o pipeline monta um prompt, ele carrega apenas os YAMLs relevantes para a pergunta, filtrando por prefixo de tabela e por dataset envolvido.

O fluxo pergunta → resposta

A camada semântica é conhecimento em repouso. O pipeline de linguagem natural é o que coloca esse conhecimento em uso. Ele recebe uma pergunta em português, consulta a camada semântica conforme o contexto, gera SQL, executa contra o PostgreSQL e devolve os dados junto com um veredito automático sobre a adequação da resposta.

A implementação usada tem dez estágios encadeados, desenhados para empilhar defesas em profundidade. Não é a única maneira de montar um sistema assim: frameworks como Vanna AI, Wren AI, Cube e dbt Semantic Layer seguem caminhos diferentes, ora mais próximos de RAG puro, ora mais próximos de compiladores de metrics (CHI, 2024; CANNER INC., 2024). A literatura acadêmica também documenta famílias distintas: decomposição com autocorreção (POURREZA; RAFIEI, 2023), decoding com gramática restrita (SCHOLAK; SCHUCHER; BAHDANAU, 2021), fine-tuning específico sobre corpora de SQL (LI et al., 2024; SUN et al., 2023), mistura de few-shot e recuperação (LIU et al., 2024). Cada escolha tem consequências em latência, custo de tokens e tipos de erro residual. O arranjo abaixo é o que, em experimentação sobre o domínio da CVM, deu melhor relação entre acurácia e tempo de resposta; ele deve ser visto como um ponto no espaço de projeto, não como receita universal.

Question Critic, Resolve Requirements e Ensure Data

A primeira etapa, Question Critic, decide se a pergunta é respondível com dados da CVM e se está dimensionalmente clara. Perguntas fora do escopo retornam um disclaimer em vez de um SQL, o que evita que o modelo alucine SQL para assuntos impossíveis. Perguntas ambíguas passam por uma clarificação automática que, quando o domínio permite, reescreve a pergunta de forma canônica (por exemplo, substitui “fundos da XP” por “fundos sob gestão da XP”, ou registra que “lucro” nessa pergunta provavelmente significa lucro líquido societário).

Em seguida, Resolve Requirements consulta a camada semântica e devolve a lista de datasets necessários com seus recortes temporais, por exemplo dfp:2024,2023; cia_aberta_cad:snapshot para uma pergunta sobre evolução de lucro de uma companhia aberta. Esse resultado alimenta o estágio Ensure Data, responsável por baixar ou atualizar na camada raw apenas os arquivos necessários. Se o dataset já estiver em cache, o estágio passa em um milissegundo.

Table Selector e System Prompt

O Table Selector é um segundo estágio de LLM cuja única função é escolher, dentre todas as tabelas candidatas, o subconjunto mais provável para responder à pergunta. Ele recebe descrições sucintas de cada tabela (extraídas dos YAMLs) e devolve uma lista curta, tipicamente de duas a cinco tabelas. Esse filtro reduz drasticamente o tamanho do prompt principal.

Com as tabelas escolhidas, Build System Prompt monta o contexto que vai alimentar o gerador de SQL: regras de PostgreSQL, YAMLs das tabelas selecionadas (com colunas, caveats, critical_routing e example_questions), marcas canônicas relevantes, armadilhas dimensionais pertinentes ao domínio e uma amostra de valores enumerados para colunas categóricas. O prompt fica tipicamente entre 30 e 50 mil tokens, contra centenas de milhares se todos os YAMLs fossem carregados.

Creator LLM, SQL Validator e Intent Alignment

O Creator LLM é o gerador propriamente dito. Ele recebe o prompt e a pergunta, e devolve SQL em saída estruturada (JSON com um único campo sql), o que elimina toda uma classe de erros de parsing associados a respostas em markdown livre (GENG et al., 2025). A escolha do modelo responsável por esse estágio é uma decisão de custo-benefício: modelos maiores tendem a acertar mais em perguntas complexas, mas custam mais e são mais lentos. A configuração usada aqui combina um modelo principal de nível intermediário com dois níveis de fallback mais capazes, acionados apenas se o anterior falhar. Os marcadores específicos importam menos do que a forma da cascata.

O SQL Validator roda checagens determinísticas sobre o SQL gerado: sintaxe, bloqueio de operações perigosas, reescrita de tabelas alucinadas (se o modelo inventou staging.stg_cvm__fundos quando o Table Selector só havia autorizado marts.dim_fundos, a substituição é automática e registrada). É barato e rápido, e pega erros cirúrgicos antes de encostarem no banco.

O Intent Alignment é uma segunda passagem de LLM, barata, que pergunta: “esse SQL, se executado, responde à pergunta original?”. Quando a resposta é não, o SQL é regenerado com feedback específico sobre o que está faltando. Esse estágio captura a diferença entre right data, wrong dimension: SQL que compila, executa e retorna números plausíveis, mas responde a uma pergunta diferente da que foi feita.

Execute, recuperação e Answer Critic

Se tudo passa, o SQL vai para Execute. Quando o banco devolve erro, entra uma cadeia de recuperação: primeiro o SQL Reviewer (modelo pequeno, correção cirúrgica, latência abaixo de um segundo); depois o Fallback LLM (modelo maior, recebe o SQL errado junto com o erro e regenera); por fim, o Fallback LLM 2 (modelo ainda mais capaz, recebe as duas tentativas anteriores e seus respectivos erros). Cada nível só é acionado se o anterior falhar, e a cascata abre mão de tentativas quando os erros sugerem problema estrutural insolúvel.

Quando a execução produz linhas, o Semantic Checks roda verificações determinísticas simples: por exemplo, se a pergunta pedia um ranking de cinco itens e o resultado tem apenas um, ou se todos os valores voltaram NULL. Em seguida, o Answer Critic (outra chamada de LLM, com modelo diferente do gerador para reduzir viés correlacionado) lê a pergunta, o SQL e as primeiras linhas do resultado, e emite um veredito em três níveis: GREEN (resposta adequada), YELLOW (resposta provavelmente correta com ressalvas) ou RED (resposta inadequada, seja por SQL incorreto, seja por interpretação equivocada da pergunta). O veredito é exibido junto do resultado; o usuário vê não apenas o número, mas uma segunda opinião automatizada sobre se aquele número responde ao que foi perguntado.

O paradigma de usar um modelo como juiz de outro foi popularizado por Zheng et al. (2023) com o MT-Bench, e a ideia de autoconsistência por múltiplas amostragens, por Wang et al. (2023). Aqui não há amostragem múltipla: há um juiz único com acesso ao resultado, que é mais barato e, para o domínio, tem se mostrado adequado.

Um exemplo executado

A descrição acima fica mais palpável quando se acompanha a execução. Abaixo está o fluxo completo para uma pergunta simples, registrada pela interface do projeto:

Dois elementos merecem atenção. O SQL gerado aponta para marts.dim_fundos e não para raw.cad_fi. Essa escolha é consequência do critical_routing documentado no YAML do cadastro, que instrui o LLM a nunca contar fundos ativos diretamente em cad_fi após a RCVM 175. Sem essa instrução, o mesmo modelo escreveria, com a mesma confiança, um SQL contra cad_fi e devolveria três fundos multimercado, não 13.787, como o próximo exemplo mostra.

O segundo elemento é o veredito. O Answer Critic não apenas valida: ele explicita a justificativa (”a SQL usa a dimensão cadastral adequada, filtra a classe certa e restringe aos fundos em funcionamento”) e aponta as fontes consultadas. É essa explicitação que transforma “número de um LLM” em “resposta com cadeia de custódia visível”.

As vantagens claras da camada semântica: dois exemplos reais

Os dois casos a seguir foram executados contra a base de produção, em PostgreSQL 17, com dados públicos da CVM. Não são cenários didáticos: são o tipo de falha silenciosa que a ausência de uma camada semântica produz no dia a dia de uma mesa de dados.

Exemplo 1: o colapso silencioso pós-RCVM 175

Em 28 de outubro de 2024, a RCVM 175 substituiu a ICVM 555 na regulação de fundos. A mudança foi a migração de identificador: o informe diário passou a usar CNPJ da classe do fundo em vez do CNPJ do fundo. Em novembro de 2024, 22.895 de 25.866 CNPJs ativos (88,6%) já eram CNPJs de classe, invisíveis para qualquer consulta que fizesse JOIN raw.inf_diario → raw.cad_fi, o padrão legado.

A pergunta “Qual foi a captação líquida dos fundos de ações da XP em 2024, mês a mês?” gerada por um modelo sem acesso à camada semântica produz um SQL sintaticamente perfeito, que roda sem erro e devolve uma tabela coerente. O problema é que a contagem de fundos cai de 69 em janeiro para 22 em dezembro, o valor de captação fica 5,9× menor que o real em dezembro, e o analista tende a interpretar o declínio como decisão de negócio da XP quando, na verdade, é artefato da migração regulatória que fez 82% dos fundos sumirem do JOIN.

Com a camada semântica, o mesmo LLM passa a receber, junto da pergunta, a instrução de que dim_fundos consolida cadastros do regime legado e do novo, e que a tabela-fato fct_fundos_performance_mensal já absorve essa migração. O SQL gerado então faz JOIN contra as tabelas certas. Em dezembro, o resultado passa a mostrar 140 fundos e captação líquida de -R$ 164,1 milhões, refletindo a realidade.

Exemplo 2: quando o significado da coluna muda

A segunda armadilha é ainda mais sutil. A mesma RCVM 175 fragmentou o cadastro de fundos: os fundos migrados aparecem como SIT = 'CANCELADA' no cadastro legado raw.cad_fi, mesmo em plena operação. O campo SIT não mudou de nome. Os valores possíveis não mudaram. Mas o significado de 'CANCELADA' expandiu: agora pode ser encerrado ou migrado e ativo sob RCVM 175.

Uma pergunta comum, “Quantos fundos multimercado estão em funcionamento no Brasil em março de 2025?”, gera sem camada semântica o SQL óbvio: SELECT COUNT(*) FROM raw.cad_fi WHERE classe = 'Multimercado' AND sit = 'EM FUNCIONAMENTO NORMAL'. O resultado é 3. Apenas três fundos multimercado em funcionamento no Brasil. Sem erro, sem aviso: a consulta é sintaticamente perfeita.

Com a camada semântica, o critical_routing no YAML do cadastro proíbe esse padrão: “NUNCA conte fundos ativos usando raw.cad_fi WHERE SIT = 'EM FUNCIONAMENTO NORMAL'. Use marts.dim_fundos.situacao, que consolida cad_fi e registro_classe em uma dimensão coerente”. O SQL gerado passa a contar pelo mart e retorna 13.787, cerca de 4.600 vezes mais fundos do que o primeiro caminho.

Os dois erros têm escalas diferentes mas a mesma natureza: uma consulta hardcoded é um contrato com o esquema físico de ontem; toda vez que a CVM publica uma nova instrução normativa (e foram muitas, de ICVM 302 a RCVM 175), o contrato quebra. Uma camada semântica é um contrato com o significado do dado. A regulação muda uma vez; o YAML é atualizado uma vez; dessa forma as consultas geradas automaticamente passam a refletir a nova realidade.

Que tipo de pergunta esse sistema responde

A camada semântica modelada cobre oito grandes domínios, e o pipeline tem histórico de respostas validadas como corretas em todos eles. Para dar a medida do escopo, seguem exemplos reais abaixo que tal sistema é capaz de responder utilizando somente dados da CVM.

A amplitude decorre de que cada domínio exigiu construção de YAMLs específicos, com seus próprios caveats, critical_routing e dimensional_traps. Perguntas sobre composição de carteira, por exemplo, só funcionam bem porque o mart sem_composicao_carteira_gestora pré-agrega 1,47 milhão de linhas do informe CDA por gestor e tipo de ativo, e porque o YAML correspondente deixa claro que essa tabela existe, que granularidade por fundo deve cair no staging, e que a coluna gestor se refere à gestora do fundo, não ao emissor do título.

Mas qual seria a diferença de tentar responder usando um chat LLM “inteligente” com capacidade de busca, considerando que os dados da CVM são públicos? Mesmo que os dados sejam públicos, o chat LLM não executa consulta analítica sobre eles: na melhor hipótese ele lê páginas descritivas do portal da CVM, ou tenta montar um script ad hoc a cada pergunta, sem garantia de que baixou os arquivos certos, fez o join certo e agregou corretamente. Mesmo que o chat consiga rodar o SQL, ele não carrega o conhecimento acumulado sobre as armadilhas do domínio que citamos. A camada semântica é esse conhecimento destilado, pronto para ser injetado em qualquer modelo que gere SQL. Além disso, o custo da consulta e o tempo de execução serão significativamente menores com o uso da camada semântica.

Quando a mesma arquitetura vai para dentro de uma empresa

A CVM é um laboratório conveniente: dados públicos, descontinuidades regulatórias bem documentadas, zero preocupação com autorização por linha ou com LGPD. Dentro de uma empresa, a mesma arquitetura precisa absorver três atritos adicionais.

O primeiro é o conhecimento tribal. No caso da CVM, todo caveat que entra no YAML pode ser justificado por uma instrução normativa que qualquer um consegue ler. Dentro da empresa, os caveats moram na cabeça da pessoa que há oito anos sabe que o campo status_venda = 7 significa “cancelado pelo cliente, mas com multa paga” e não “cancelado pelo backoffice”. Modelar bem a camada semântica exige sentar com essas pessoas, transcrever o que elas sabem e versionar. É um trabalho arqueológico antes de virar trabalho de engenharia, mas que pode ser auxiliado também com o uso de LLMs.

O segundo é o controle de acesso. A mesma pergunta (”margem de contribuição por SKU no trimestre”) pode ser legítima para o diretor comercial e proibida para um estagiário do financeiro. A camada semântica precisa casar com row-level security, views filtradas por perfil e trilhas de auditoria que a CVM, por natureza pública, dispensa. Isso transforma a camada semântica em um artefato de governança, não apenas de modelagem.

O terceiro é a velocidade do esquema. A CVM muda regras a cada alguns anos; times de produto mudam o esquema de dados a cada sprint. O YAML passa a ser um contrato que precisa ser atualizado junto do pull request que renomeia uma coluna, sob pena de o crítico começar a reprovar respostas de um dia para o outro.

Quando esses três atritos são endereçados, o que sobra é um padrão com conexão natural aos princípios de agregação e reporte de dados de risco do BCBS 239 (BCBS, 2013) e da Resolução CMN 4.557/2017 (BCB, 2017): fonte autoritativa única, definição consistente, capacidade de responder rapidamente a solicitações não padronizadas. O YAML documentado, versionado e conectado a um mart torna a auditoria mais barata, e o crítico automático fornece uma segunda leitura que o reporte manual não tem.

Os contratempos

A arquitetura não é livre de problemas, e os mais persistentes vêm do próprio LLM. Três merecem destaque.

O primeiro é o não-determinismo. Mesmo com temperatura zero e resposta estruturada, a mesma pergunta pode produzir SQLs diferentes em execuções distintas, por razões que remontam à não-associatividade de ponto flutuante em GPU e à dependência do resultado com o tamanho do batch de inferência (ATIL et al., 2024; HE, 2025). A mesma pergunta que recebeu GREEN em uma execução pode receber RED em outra, com SQLs sutilmente diferentes. No exemplo 2 acima, durante a gravação deste artigo, a mesma pergunta foi executada duas vezes em menos de uma hora: uma vez gerou COUNT(*) com filtro de data e o crítico aprovou; outra vez gerou COUNT(DISTINCT cnpj) sem filtro de data e o crítico reprovou por não respeitar o recorte temporal pedido. A saída foi próxima, mas a cadeia de raciocínio divergiu.

O segundo é a alucinação residual. LLMs ainda inventam colunas, tabelas, funções de janela e sintaxes que não existem no PostgreSQL, e o fazem com fluência suficiente para passarem por válidas em uma leitura rápida (JI et al., 2023; HUANG et al., 2023). O SQL Validator elimina uma fração, o Intent Alignment outra, o crítico pega o que sobra, mas nenhum desses mecanismos elimina o problema por completo. Mesmo no benchmark BIRD, que usa bancos reais e sujos, os melhores modelos proprietários chegam perto de 55% de acurácia contra 93% humana (LI et al., 2023); em benchmarks enterprise recentes como Spider 2.0, a taxa cai para algo em torno de 20% (LEI et al., 2024). A camada semântica eleva o piso, não o teto.

O terceiro é o custo de modelagem. A camada semântica não é automática: ela exige conhecimento de domínio que alguém precisa destilar em YAMLs. Cada caveat só chega ao arquivo depois que alguém quebrou a cabeça contra aquele dado e entendeu a armadilha. Para uma empresa com centenas de tabelas herdadas, a modelagem inicial pode levar meses, e a manutenção é contínua: toda mudança de schema, toda nova fonte, toda renomeação exige atualização correspondente no YAML. É o custo de transformar conhecimento tribal em infraestrutura.

Existe ainda o viés de cobertura: o sistema só responde bem ao que foi modelado. Perguntas que caem fora dos domínios mapeados tendem a receber respostas genéricas ou a serem rejeitadas pelo Question Critic. Isso é uma qualidade, não defeito (rejeitar é muito melhor que responder mal), mas a fronteira entre domínio coberto e domínio descoberto precisa ser visível ao usuário.

Conclusão

O investimento em uma camada semântica paga-se em três moedas diferentes.

A primeira é tempo, pois as perguntas que antes entravam numa fila de BI e voltavam dois dias depois voltam em segundos, com a resposta estruturada e pronta para discussão. Um diretor que pergunta e já recebe a contagem correta de fundos, a evolução da margem, o ranking do trimestre, deixa de esperar pelo analista e pede diretamente. O analista, por sua vez, sai de operador de consulta e volta a ser investigador de padrões.

A segunda é confiança, pois quando duas áreas discordam sobre um número, a discussão hoje costuma ser sobre qual definição foi usada. Com uma camada semântica bem modelada, a definição está escrita em um lugar só, é versionada, é auditável e acompanha cada resposta gerada. O tempo de reunião antes gasto em “qual planilha é a certa” migra para o que realmente importa: o que fazer com o que o número mostra.

A terceira é resiliência, pois quando a regulação muda, sistemas fonte são renomeados, produtos ganham novos campos. Sem camada semântica, cada mudança dispara uma caçada manual por consultas quebradas em planilhas, dashboards e relatórios. Com ela, a mudança é registrada uma vez, no YAML, e todas as perguntas futuras passam a refletir a nova realidade. O conhecimento institucional deixa de morrer quando o analista sênior sai.

Nenhum desses ganhos depende de acreditar que os modelos de linguagem já são confiáveis o bastante para serem soltos sozinhos, e é exatamente aí que a abordagem se torna atrativa: ela coleciona o conhecimento da casa em um artefato estável, e usa o LLM apenas como tradutor supervisionado. Quando o modelo seguinte chegar e for ainda mais confiável, a camada semântica está pronta para receber; quando chegar e alucinar de forma nova, as verificações já existirão.

A pergunta a fazer antes de começar não é se vale montar a infraestrutura, é quanto tempo mais a empresa pode continuar pagando o custo invisível de operar sem ela: divergência de número, analista caro resolvendo ad hoc, diretor que decide no escuro, auditoria que demora semanas. Quando esse custo é medido com honestidade, o investimento na camada semântica pode se tornar intessante.

Referências

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No texto anterior sobre o assunto de liquidez em bancos, a discussão sobre risco de liquidez terminou em um ponto delicado. A taxonomia de Castagna e Fede organizou os fluxos de caixa do banco por tempo e valor, distinguiu determinísticos de estocásticos, catalogou as quatro subclasses dos últimos (credit-related, indexed/contingent, comportamentais e de new business), e introduziu a separação entre causas de liquidez (fluxos do negócio ordinário) e fontes (instrumentos de gestão). O conceito de Liquidity Generation Capacity (LGC) foi apresentado como a capacidade residual do banco de transformar ativos e acessos ao mercado em caixa além do que os contratos prevêem.

Faltou, porém, a resposta à pergunta que interessa ao tesoureiro: em que horizonte exato a liquidez aperta, e com que instrumentos o banco consegue cobrir o aperto? A taxonomia é um catálogo; a LGC é um potencial. Nenhum dos dois, isoladamente, diz ao banco quando ele quebra.

A resposta de Castagna e Fede (2013) está nas estruturas a termo de liquidez: quatro curvas indexadas pelo horizonte temporal que, combinadas, produzem um veredito por bucket: tudo em ordem, aperto administrável ou crise de fato. Este artigo constrói as quatro curvas, formaliza a integração em um liquidity gap e ilustra o resultado com um banco estilizado.

Do indicador pontual à curva de horizontes

O supervisor pós-crise preferiu indicadores pontuais. O Liquidity Coverage Ratio (LCR) do BCBS 238 (2013) pergunta se o estoque de High-Quality Liquid Assets cobre as saídas líquidas estressadas em 30 dias; o Net Stable Funding Ratio do BCBS 295 (2014) pergunta se o funding estável cobre os ativos de prazo superior a um ano. Ambos são números únicos, cada um em seu horizonte fixo.

Um indicador pontual é útil para tráfego regulatório, mas perde a forma da curva de risco no intervalo entre os horizontes monitorados. Um banco pode ter LCR saudável a 30 dias, NSFR confortável acima de um ano e ainda assim abrigar, entre os dois pontos, um vale de saldo acumulado que exige levantar caixa em três ou nove meses, exatamente o horizonte que nenhum dos dois indicadores captura. A mesma crítica aparece no BCBS 144 (2008), cujo Princípio 5 exige projeções multi-horizonte de fluxos de caixa como base do maturity ladder interno; no Brasil, essa projeção é operacionalizada pelo Demonstrativo de Risco de Liquidez (DRL 2160) do Banco Central.

As estruturas a termo de Castagna e Fede têm vocação justamente para essa lacuna. Em vez de agregar tudo em um horizonte, declaram uma grade de horizontes (overnight, 1w, 1m, 3m, 6m, 9m, 1y, 2y, 5y, >5y) e desenham sobre ela quatro curvas complementares. A primeira é a curva dos fluxos esperados; a segunda, do saldo acumulado; a terceira, dos ativos disponíveis; a quarta, da capacidade de gerar caixa. O gap final é uma combinação linear das curvas.

O banco estilizado que ilustra o resto

Para tornar o framework concreto, todo o artigo acompanha um banco hipotético nomeado aggressive_bank: total de ativos 1.050 u.m., alavancagem elevada em crédito, financiado principalmente em mercado curto. O balanço estilizado tem 800 u.m. em livro de empréstimos ilíquidos, 250 u.m. em securities (cash, tesouros 3M/2Y/5Y, corporate bond, equity) e um passivo com 450 u.m. em interbancário 3M+6M, 400 u.m. em depósitos (à vista e a prazo) e 50 u.m. em dívida sênior 3Y. Uma linha de crédito concedida de 150 u.m. pende off-balance. É um banco plausível, calibrado para revelar o ponto fraco que nenhum indicador pontual mostraria sozinho.

TSECF: a escada dos fluxos esperados

A primeira curva, a Term Structure of Expected Cash Flows (TSECF), coleciona fluxos esperados por data. Formalmente, para um conjunto de N contratos ou posições, o fluxo positivo esperado em t_i, observado da data de referência t₀, é a soma das esperanças individuais:

com expressão simétrica para cfe-. A TSECF é simplesmente a coleção de entradas e saídas esperadas para cada data relevante até o horizonte terminal t_b, tipicamente coincidente com a maturidade do contrato mais longo (eq. 6.4 do livro):

A parte da curva até um ano é o maturity ladder tradicional; a parcela além de um ano é conhecida como liquidez estrutural. A natureza esperada das grandezas não é cosmética, pois a maior parte dos fluxos é estocástica: depósitos à vista são comportamentais (Jarrow e van Deventer, 1998; Kalkbrener e Willing, 2004), empréstimos a taxa flutuante são indexados, hipotecas carregam opção de pré-pagamento (Schwartz e Torous, 1989; Stanton, 1995). A TSECF é o valor médio da distribuição; a dispersão exige instrumentos distintos.

No pacote, os contratos são projetados por regras específicas em CashFlowEngine.jl: bullet loans pagam juros periódicos e amortização em maturidade; amortizing loans seguem o padrão de prestação constante (sistema francês); depósitos à vista são decompostos em núcleo estável (55% do saldo, no banco agressivo) e non-core com runoff exponencial (2% ao mês na calibração padrão). A consolidação para a curva propriamente dita acontece na função TSECF, que aloca cada fluxo ao bucket adequado relativo a t₀:

Trecho de src/TermStructures.jl.

Para o banco agressivo com t₀ = 1° de janeiro de 2026 e horizonte de dez anos, o resultado da projeção está resumido abaixo.

Tabela 1. TSECF por bucket (aggressive bank).

A leitura por bucket é didática. Nada acontece nas três primeiras semanas. O primeiro pulso negativo vem em 2m, com os −5,35 u.m. de juros do interbancário 3M, rápida antessala da saída principal: os 354,34 u.m. que deixam o banco em 3m quando o interbancário vence. Após 9m, outra saída relevante (−152,27 u.m.) pela maturidade do interbancário 6M. A partir de um ano, os sinais se invertem: o bullet loan corporativo de 300 u.m. retorna com juros, o term deposit é devolvido ao cliente e o saldo do bucket 1y fecha positivo em 349,16 u.m. A tendência se mantém: entradas de amortização das carteiras substanciais em 2y e 5y, e o bloco >5y é dominado pelos fluxos finais da hipoteca.

O bucket crítico, o valor mais negativo em 3m, coincide com a vulnerabilidade que os indicadores pontuais já sinalizariam. A TSECF não se resume, entretanto, a confirmar o ponto óbvio. Ela mostra quando a pressão se repete (2m, 6m, 9m) e quando se alivia (a partir de 1y). O plot gerado pelo exemplo do repositório torna a sequência visível.

Figura 1. TSECF decomposta em entradas (verde) e saídas (vermelho) por bucket. Gerada pelo exemplo examples/02_tsecf.jl.

TSECCF: o saldo acumulado e o horizonte mais vulnerável

A leitura bucket a bucket da TSECF diz pouco sobre sobrevivência. Um déficit de 354 u.m. em 3m pode ser, em princípio, neutralizado pelo saldo superavitário acumulado de meses anteriores; um superavit de 349 u.m. em 1y só cobre o vale se chegar a tempo. A métrica adequada é o saldo acumulado, formalizado como Term Structure of Expected Cumulated Cash Flows (TSECCF), eq. 6.5 do livro:

onde CF(t₀, t_a, t_b) é a soma algébrica de todos os fluxos líquidos entre t_a e t_b. No pacote, a função TSECCF é uma soma acumulada ingênua da coluna cf_net da TSECF. Nenhum compromisso matemático é perdido nisso: a interpretação é a mesma.

Tabela 2. TSECCF. A linha destacada marca o horizonte mais vulnerável.

O saldo acumulado do banco agressivo cruza o zero em 2m com −5,35 u.m., despenca em 3m para −359,69 u.m. e continua deteriorando até o fundo em 9m com −516,99 u.m. Esse é o horizonte mais vulnerável: o banco precisa, até o nono mês de 2026, encontrar pelo menos 516,99 u.m. de liquidez adicional, vindas de algum lugar que não seja o fluxo contratual do balanço. Só em 1y a deterioração se inverte (o retorno do bullet de 300 u.m. e os cupons do term deposit reduzem o vermelho para −167,84 u.m.) e o saldo acumulado só volta a ser positivo em 5y.

A TSECCF transforma a pergunta do tesoureiro em um problema quantitativamente explícito: qual é o vale, em que bucket ocorre, e quanto tempo dura. O gráfico do exemplo 03 mostra simultaneamente a TSECF e a TSECCF.

Figura 2. TSECF (acima) e TSECCF (abaixo) do banco agressivo. Região sombreada = déficit acumulado. Gerada pelo exemplo examples/03_tseccf.jl.

O que a TSECCF não diz, porém, é com o quê o banco cobre o vale. As duas curvas restantes preenchem essa parte.

TSAA: os ativos disponíveis, ownership versus possession

Para levantar caixa além do que os contratos prevêem, o banco depende de seus ativos. Mas nem todo ativo no balanço está, a qualquer momento, disponível. O livro introduz a Term Structure of Available Assets (TSAA) como a coleção, a cada horizonte, da quantidade em posse do banco, independentemente de quem detém a propriedade legal:

A distinção entre posse e propriedade importa porque o efeito de cada transação sobre as curvas depende da combinação das duas. Um repo transfere a posse do título à contraparte enquanto o banco mantém a propriedade, de modo que os cupons continuam do banco (sem alteração em TSECF) mas o título não pode ser vendido nem dado em garantia durante o contrato (queda em TSAA). Um reverse repo é o caso simétrico: o banco paga, recebe posse temporária e pode repassar o título, sem, no entanto, receber os cupons. Buy/sellback e sell/buyback, na versão tradicional (anterior ao anexo do GMRA vigente), transferem também a propriedade. Operações de lending e borrowing de ativo trocam posse sem troca de caixa, apenas uma fee periódica.

A Tabela 3 consolida o efeito de cada tipo de operação sobre as três curvas, replicando a Tabela 6.4 do livro.

Tabela 3. Efeitos sobre as curvas por tipo de operação.

A implementação do repositório simplifica a realidade. Cada Asset carrega um campo encumbered_until: uma data até a qual o ativo está comprometido em repo e, portanto, indisponível para sacar liquidez. O cálculo da TSAA reduz-se a somar, em cada bucket, o valor de mercado dos ativos cujo encumbered_until já expirou. Para o banco estilizado, como todos os ativos começam desonerados, a TSAA é uma linha horizontal em 1.050 u.m. por toda a grade. Um exercício mais rico entraria em repo rotativo, feedback sobre a TSECF (os juros do título dado em repo deixam de aparecer) e haircut suplementar — hipóteses capturadas pela função repo_capacity do módulo LiquidityGeneration.jl.

TSLGC: geração de liquidez sob haircut

A TSAA é contábil, em valor de mercado; não responde quanto caixa o banco de fato consegue extrair dos ativos. Parte do valor se perde no haircut da contraparte que compra à vista, do mercado de repo que aceita o título como colateral, ou da contraparte do interbancário que decide conceder funding unsecured. A curva que integra esses três canais é a Term Structure of Liquidity Generation Capacity (TSLGC), formalizada pela eq. 6.6 como coleção das três fontes:

com AS (asset sales) proveniente da venda direta dos títulos, RP do repo, e USF (unsecured funding) de linhas interbancárias e emissões não colateralizadas. Os três canais têm sensibilidades distintas ao stress. A componente AS depende do haircut do mercado, que é pró-cíclico (Brunnermeier e Pedersen, 2009; Gorton e Metrick, 2012): quando a volatilidade sobe, o ágio que os compradores exigem também sobe, e o caixa líquido que o banco recebe cai. A componente RP carrega um haircut marginal sobre AS, refletindo a dupla função do colateral como garantia e ativo que pode ter que ser reposto em margem. A componente USF é a mais frágil das três: em 2007–2008, o interbancário unsecured praticamente desapareceu (Acharya e Merrouche, 2013), e a mesma dinâmica ameaçou Credit Suisse e SVB em março de 2023.

O pacote modela o haircut como função linear simples da volatilidade de mercado, com um piso por classe de ativo e uma sensibilidade β:

Essa linearização permite calibrar diferentes classes com dois números cada (h₀, β). Em cenário calmo (σ = 2%), o haircut do cash é zero, do tesouro 3M é 1,1%, do equity é 19,0%. Em cenário estressado (σ = 15%), o equity atinge 45%, o corporate bond salta para 23%, e mesmo o tesouro longo 5Y vai a 14%. O empréstimo comum (LOAN_BOOK) fica fora do universo elegível: com haircut estrutural de 50% e sensibilidade nula, é tratado como ilíquido.

Tabela 4. Haircuts dinâmicos por ativo em três níveis de σ.

A função TSLGC percorre cada bucket, identifica os ativos disponíveis na janela, soma as capacidades de venda e repo conforme o tipo do ativo e adiciona o teto de funding unsecured definido pelo banco:

Trecho de src/LiquidityGeneration.jl.

Duas simulações convivem na mesma consulta. A baseline assume σ = 2% e teto de unsecured funding integral. O estresse combinado leva σ a 15% e corta o teto de unsecured por um fator 0,2. A tabela compara o resultado por bucket.

Tabela 5. TSLGC decomposta por fonte em dois cenários.

No bucket de 1y, a LGC cai de 548,7 para 425,3 u.m. entre os dois cenários, uma redução de 22,5%. O AS encolhe 25,6 u.m., o RP 17,8 u.m. (haircuts dinâmicos mais altos) e o USF 80,0 u.m. (o funding unsecured desaparece quase todo). A dinâmica procíclica que Brunnermeier e Pedersen formalizam aparece aqui como geometria das três séries. O gráfico mostra a contração agregada.

Figura 3. TSLGC no cenário baseline

Figura 4. TSLGC no cenário de estresse combinado.

Liquidity gap: o veredito integrado

A síntese das curvas é a Term Structure of Expected Liquidity (TSL_e), eq. 6.10 do livro: a cada horizonte, o saldo acumulado somado à capacidade total de gerar caixa até aquele ponto.

com condição inicial TSECCF(t₀, t₀) igual ao caixa disponível no instante da análise. O valor em cada bucket é o liquidity gap: se positivo, o banco é solvente no horizonte correspondente; se negativo, falta caixa mesmo depois de esgotada a LGC. Uma trajetória que contenha qualquer bucket com gap negativo descreve, em princípio, insolvência esperada no horizonte do bucket.

A implementação do repositório reduz a síntese a uma combinação linear de colunas:

Trecho de src/StressScenarios.jl.

Quatro cenários foram construídos em StressScenarios.jl: baseline, market crash (σ sobe a 10%, depósitos em runoff 20% maior, USF a 50% do teto), deposit run (σ 4%, runoff 3× maior, USF 70%) e combined (σ 15%, runoff 3,5×, USF 20%). A aplicação determinística de cada cenário retorna a mesma grade de buckets, mas com a carga estressada por apply_scenario_deterministic.

Tabela 6. Gap por cenário.

No baseline, o banco sobrevive, mas por pouco: o gap mínimo é de +11,7 u.m. no bucket de 9m, e um ajuste marginal de calibração faria o valor cruzar o zero. A margem é um fio da navalha: 516,99 u.m. de déficit acumulado em 9m são cobertos por 528,7 u.m. de LGC, sobrando esses 11,7 u.m. de folga. Os indicadores pontuais diriam que o banco está adequado; a curva inteira mostra um estado frágil.

A fragilidade se materializa sob qualquer dos estresses. O market crash leva o gap a −58,7 u.m.: o haircut mais alto encolhe a LGC mais rápido do que o déficit acumulado alivia. O deposit run, mesmo com haircut quase normal, leva o gap a −51,5 u.m. pelo aumento do runoff dos depósitos à vista (3× a velocidade de dreno). O combined, que ativa os três choques simultaneamente, produz gap de −135,0 u.m. no mesmo bucket de 9m. O gráfico compara as duas situações extremas.

Figura 5. Integração das quatro curvas sob estresse combinado.

Três observações seguem do exercício. A primeira é que o horizonte crítico é consistente entre cenários (9m em todos os quatro), o que é coerente com a concentração do descasamento no interbancário 6M somada ao runoff comportamental dos depósitos. A segunda é que a redução da LGC entre os cenários é, em grande parte, pela componente USF, que Brunnermeier (2009) já havia descrito como o primeiro canal a fechar em crise. A terceira é que, mesmo no baseline, o banco depende de vender ou dar em repo 517 u.m. em nove meses para sobreviver: a dependência do mercado de repo é uma característica estrutural, não conjuntural, deste balanço.

O que o framework ainda não mostra, e por que importa

As quatro estruturas construídas até aqui são esperadas. Cada número é a média de uma distribuição, não um quantil extremo. A Seção 6.6 do livro introduz as estruturas análogas sob incerteza: o cash-flow-at-risk a um nível de confiança α, a Term Structure of Cash Flow-at-Risk e, por fim, a Term Structure of Liquidity at Risk (TSLaR). A construção não pode ser obtida somando separadamente a TSECCF estressada e a TSLGC estressada, porque cash flows negativos extremos são, em parte, netados pela LGC estressada, e a soma separada superestima o risco. A forma mais adequada é simular conjuntamente os fatores de risco com um modelo estocástico — no livro, a simulação usa Cox, Ingersoll e Ross (1985) para fixings de taxa — e agregar em cada bucket antes de tomar o quantil.

A TSLaR completa, dessa forma, o arco conceitual do capítulo 6: parte da taxonomia dos fluxos, estrutura as quatro curvas esperadas no tempo e, por fim, estressa cada fluxo sob choques simultâneos de mercado, crédito e comportamento. Os três passos são, ao mesmo tempo, a lógica interna do ILAAP (Resolução CMN 4.557 no Brasil; BCBS d450 internacionalmente) e a espinha analítica do DRL 2160 do Banco Central.

Dados e implementação

Todas as tabelas e gráficos do artigo vêm do repositório pq_ltc (Julia 1.10+, dependências: DataFrames.jl, CairoMakie). O arquivo data/aggressive_bank.toml carrega a configuração usada e os exemplos examples/02_tsecf.jl a examples/05_liquidity_gap.jl reproduzem cada figura. O pacote é didático por escolha: cada curva é uma função pura sobre uma Portfolio, e os cenários de estresse aplicam transformações explícitas sobre σ de mercado, runoff de depósitos e teto de funding unsecured. Quem quiser explorar o efeito de, por exemplo, aumentar o núcleo dos depósitos para 80% ou adicionar um novo bucket de 1m ao interbancário pode modificar o TOML e rodar os cinco exemplos em sequência.

Do veredito numérico ao uso em gestão

As quatro estruturas a termo resolvem a lacuna que o artigo anterior deixou. Transformam a pergunta abstrata “o banco tem liquidez?” em três perguntas instrumentáveis: qual é o fluxo esperado em cada horizonte (TSECF), qual é o saldo acumulado e onde está o vale (TSECCF), e com o quê esse vale pode ser coberto (TSAA → TSLGC). O gap de liquidez agrega a resposta em uma curva única que respeita a geometria do balanço.

Do ponto de vista do regulador, essa estrutura é o que existe de mais próximo, no framework de Castagna e Fede, da filosofia por trás do LCR, do NSFR e, no Brasil, do DRL 2160. O ponto mais importante, porém, é o que a estrutura desnuda em vez de agregar. Nenhum indicador pontual mostraria, no banco agressivo do repositório, que há apenas 11,7 u.m. de folga em 9m no cenário tranquilo. Nenhum teste regulatório tradicional evidenciaria que o mesmo banco precisa de 517 u.m. de caixa ativamente gerado em nove meses para honrar seus compromissos, antes mesmo de qualquer choque. O veredito multi-horizonte é o que permite ao tesoureiro antecipar a crise antes que ela apareça no LCR.

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O conceito que dá nome a esse problema é capital econômico (economic capital, EC). A expressão não é neologismo acadêmico. Surge no final dos anos 1970, no Bankers Trust, quando a área de Resources Management do banco desenvolve o RAROC para alocar capital com base em risco por linha de negócio (GUILL, 2016). Torna-se terminologia corrente nos anos 1990, com o RiskMetrics, o CreditMetrics, o CreditRisk+ e os modelos KMV (GUPTON; FINGER; BHATIA, 1997; CROSBIE; BOHN, 2003). E entra no vocabulário regulatório em 2006, com o Pilar 2 de Basileia II, que institui o Internal Capital Adequacy Assessment Process (ICAAP), o processo pelo qual cada banco avalia internamente se seu capital cobre todos os riscos materiais da sua carteira, para além dos mínimos calculados pelo Pilar 1. É nesse processo que o capital econômico e o capital regulatório precisam conversar (BCBS, 2006).

O objetivo deste artigo é tomar a formulação introdutória de Bolder como ponto de partida e articular, com a literatura fundadora e o arcabouço regulatório contemporâneo, por que a resposta à pergunta original exige uma arquitetura em camadas. Vamos do capital contábil até a distribuição de perdas, passando pela formalização do capital econômico como um número entre zero e um, pela taxonomia que separa risco de mercado e de crédito, pelas medidas de risco coerentes, pela alocação por linha de negócio e pelos limites conceituais que o capital econômico reconhece mas não resolve.

Do balanço contábil à distribuição de perdas

O primeiro instinto, ao perguntar se um banco tem capital suficiente, é olhar para o patrimônio líquido. A definição é conhecida desde Adam Smith: capital é aquela parte do estoque de uma firma da qual seu dono espera extrair rendimento. No balanço moderno, essa ideia aparece como a diferença entre ativos e passivos, o resíduo que sobra depois que obrigações são deduzidas dos recursos (BOLDER, 2022, p. 4). Quanto maior esse resíduo, maior a distância confortável entre o que o banco possui e o que o banco deve. Quanto menor, mais próximo de um tropeço fatal.

A contabilidade moderna já faz um esforço considerável para levar risco ao balanço. Instrumentos classificados a valor justo têm variações que fluem para o resultado. Empréstimos sujeitos ao arcabouço da IFRS 9 recebem uma provisão de perdas esperadas (expected credit loss, ECL) baseada em cenários prospectivos. Essas duas mecânicas, segundo Bolder (2022), capturam o lado esperado da distribuição de perdas. Incorporam o valor médio e a tendência. Mas não endereçam o que Bolder chama, sem eufemismo, de really ugly: o comportamento do balanço no dia em que vários contrapartes importantes quebram ao mesmo tempo, em que juros e câmbio se movem contra a instituição simultaneamente, em que uma falha de sistemas expõe uma fraude acumulada.

A assimetria entre o que o balanço mostra e o que a cauda da distribuição de perdas ameaça é o problema central. McNeil, Frey e Embrechts (2015) formalizam essa tensão no início do que se tornou o tratado canônico sobre gestão quantitativa de risco: o capital econômico é uma medida ρ aplicada sobre a distribuição da perda agregada do horizonte de análise, escolhida justamente para ir além do valor esperado. A formulação habitual, consolidada em Jorion (2007, cap. 28) e em Bolder (2022, eq. 1.1), compara o pior caso (em um dado nível de confiança) ao valor esperado:

Onde L é a perda agregada da instituição no horizonte Δt (usualmente um ano), VaR_1−α(L) é o quantil (1−α) da distribuição de L, E[L] é a perda esperada e α é o nível de confiança. A diferença entre o quantil extremo e a média, chamada de perda não esperada (unexpected loss), é o montante que precisa ser carregado como capital, acima e além das provisões contábeis, para cobrir o cenário ruim que não se repete todo mês mas, como mostram os últimos trinta anos, tampouco é hipotético.

Essa reformulação coloca a questão em novos termos. Em vez de perguntar se o patrimônio líquido é grande, passamos a perguntar se o patrimônio líquido (chamado no jargão de oferta de capital ou capital supply) cobre a demanda de capital econômico implícita na riscosidade dos ativos. Essa distinção entre oferta e demanda de capital, formalizada por Matten (2000) como capital allocation e reiterada pelo ECB no guia do ICAAP de 2018, é a linguagem padrão em que se discute adequação de capital no mundo pós-Basileia II.

Formalização: o número entre zero e um

A equação acima diz o que o capital econômico é em nível de portfólio, mas não diz como pensá-lo no nível do ativo individual. Bolder (2022, p. 13) propõe um dispositivo conceitual útil: imaginar que cada ativo do balanço recebe um número entre zero e um. Zero corresponde a risco nulo; um corresponde a perda total. Quando esse número é multiplicado pelo valor contábil do ativo e somado por toda a carteira, reproduz-se o capital econômico do banco. O racional remete, não por acaso, ao conceito regulatório de risk weight, em que cada exposição contribui proporcionalmente a um coeficiente calibrado ao seu risco.

Para transformar essa intuição em uma regra de cálculo é preciso escolher α. A escolha não é livre, embora se apresente como se fosse. O nível de confiança está atrelado ao rating-alvo da instituição, ou ao rating que a instituição deseja alcançar. Um banco que pretende sustentar uma classificação AAA precisa de capital suficiente para sobreviver ao cenário de perdas cuja probabilidade anual corresponda à taxa histórica de default de emissores AAA. Moody’s e S&P publicam anualmente essas séries históricas, e as ordens de magnitude são estáveis há décadas.

As taxas implicam níveis de α sensivelmente distintos entre qualidades de crédito. Um banco calibrado para AAA usa algo como 99,97%–99,99%; um banco A aceita 99,9%; um banco BBB trabalha em torno de 99,8%. O arcabouço IRB de Basileia II adotou explicitamente 99,9% como padrão mínimo, justificado no documento técnico do comitê como consistente com uma PD anual ligeiramente abaixo de AA (BCBS, 2005). Não é coincidência: o regulador escolhe o nível de confiança que deseja que o sistema bancário sustente, e os modelos internos seguem.

Fica um ponto importante. Sob distribuições bem-comportadas, escolher α pouco importa para a interpretação; quanto menor α, maior o capital requerido, e pronto. Em distribuições assimétricas e de cauda pesada, típicas de carteiras de crédito concentradas, a sensibilidade a α se torna desconfortável. Uma pequena mudança de 99,9% para 99,97% pode dobrar o capital exigido sem que o portfólio tenha mudado. Essa fragilidade motiva os questionamentos sobre a medida de risco a ser usada (VaR ou ES) e sobre a estabilidade dos parâmetros (through-the-cycle ou point-in-time), temas que voltarão adiante.

Para fixar ideias, vale olhar um exemplo concreto. Bolder (2022, tab. 1.5) reporta o capital econômico do Nordic Investment Bank no final de 2020. A instituição não é um banco comercial tradicional, mas ilustra bem a lógica de composição.

Do total de € 3,1 bilhões de capital econômico, cerca de € 2,0 bilhões vêm do risco de crédito, divididos entre default (€ 1.534 milhões) e migração de rating (€ 487 milhões). O risco de mercado contribui com € 567 milhões. Os buffers regulatórios adicionam € 426 milhões. Comparando com um ativo total de € 35,4 bilhões, o número entre zero e um para a carteira inteira é cerca de 8,8%. A oferta de capital do banco, € 3,8 bilhões, supera a demanda em € 697 milhões, que é o headroom disponível para assumir novos riscos ou absorver deterioração de carteira. Essa é a anatomia em três linhas do que significa responder à pergunta inicial.

Taxonomia de risco e modelos

Observar a decomposição do capital econômico do NIB deixa claro que não existe um único modelo para calculá-lo. Tipos distintos de risco exigem ferramentas distintas. McNeil, Frey e Embrechts (2015) organizam essa pluralidade em torno de uma taxonomia clássica: risco de mercado, risco de crédito (default e migração), risco de contraparte, risco operacional e buffers regulatórios. Cada um desses compartimentos comporta-se de maneira própria, e a literatura moderna construiu modelos sob medida para cada um.

Por trás da taxonomia há um princípio comum. Qualquer movimento no valor de um ativo pode ser decomposto em dois componentes: um fator sistêmico, que afeta todos os ativos na mesma direção; e um fator idiossincrático, específico de cada contraparte. A ideia remonta ao CAPM e ao APT (SHARPE, 1964; ROSS, 1976) e ao insight de Markowitz (1952) de que a diversificação elimina o componente idiossincrático mas não o sistêmico. O ponto relevante para o capital econômico é que risco de mercado é predominantemente sistêmico e facilmente diversificável na parte idiossincrática; já o risco de crédito é fortemente idiossincrático no nível da contraparte individual, mas não é trivial diversificá-lo. Replicar um portfólio de ações com dezenas de posições elimina quase todo o risco idiossincrático; fazer o mesmo em crédito pode exigir milhares de exposições, e mesmo assim o componente sistêmico persiste nas épocas em que defaults se correlacionam por meio do ciclo econômico.

Essa diferença implica estratégias de modelagem divergentes. Risco de mercado é tipicamente modelado por abordagens reduced-form, em que fatores de risco observáveis (taxas, câmbio, spreads, volatilidades) são alimentados com dados históricos e suas distribuições conjuntas estimadas sem pretensão teórica sobre a causa de seus movimentos. A tradição nasce com o RiskMetrics (MORGAN/REUTERS, 1996) e culmina na revisão do arcabouço regulatório para risco de mercado, a FRTB (BCBS, 2019), que substitui VaR 99% por ES 97,5% calibrado a períodos de estresse.

Risco de crédito segue outra rota. Os modelos dominantes são estruturais, no sentido de que derivam o evento de default de uma dinâmica econômica interna. A raiz está em Merton (1974): o patrimônio de uma firma alavancada é uma opção de compra sobre seus ativos, com strike igual ao valor de face da dívida; o default ocorre quando, no vencimento, o valor dos ativos está abaixo do valor das obrigações. Vasicek (2002), partindo dessa intuição, derivou a distribuição limite de perdas para uma carteira infinitamente granular de empréstimos com um único fator sistêmico gaussiano, formulação que ficou conhecida como modelo Asymptotic Single Risk Factor (ASRF). Gordy (2003) provou formalmente a propriedade de portfolio invariance que permite ao regulador escrever uma fórmula de capital em que cada exposição depende apenas dos próprios parâmetros (PD, LGD, correlação com o fator sistêmico), o que viabiliza o IRB de Basileia II. A fórmula, por trás da aparência densa, é apenas a inversa da normal acumulada aplicada à condição de default sob estresse sistêmico.

Dois outros frameworks competiram com o ASRF e permanecem influentes. O CreditMetrics (GUPTON; FINGER; BHATIA, 1997) generaliza Vasicek para um modelo multifatorial mark-to-market que captura migração de rating além de default, usando matrizes de transição empíricas combinadas a correlações de ativos. O CreditRisk+ (Credit Suisse Financial Products, 1997) toma uma rota atuarial, tratando defaults como um processo Poisson com intensidade estocástica, o que entrega uma fórmula recursiva semi-analítica sem simulação. Os três caminhos, junto com o KMV Portfolio Manager de Crosbie e Bohn (2003), constituem a geração fundadora dos modelos de capital econômico para crédito.

Nenhum desses frameworks é suficiente por si só em carteiras comerciais reais. Lütkebohmert (2008) dedica um livro inteiro ao problema de concentração em crédito, mostrando que o resultado assintótico de Vasicek exige ajustes de granularidade quando o número de exposições é pequeno ou quando há setores ou regiões dominantes. O ponto é que capital econômico de crédito envolve mais do que escolher um modelo: envolve escolher ajustes, calibrar correlações e reconhecer explicitamente a composição do portfólio.

Medindo a cauda: VaR, ES e alocação

Dada uma distribuição de perdas bem especificada, a pergunta imediata é qual funcional usar para extrair o capital econômico. Por muito tempo a escolha padrão foi o VaR, e há razões históricas para isso: é simples de interpretar, fácil de comunicar ao conselho e direto de estimar. Mas Artzner, Delbaen, Eber e Heath (1999) mostraram que o VaR falha num requisito que parece inegociável em um mundo de portfólios agregados: a subaditividade. Em um conjunto coerente de axiomas (monotonicidade, subaditividade, homogeneidade positiva, invariância translacional), o VaR satisfaz três mas não a subaditividade, o que significa que em certas configurações a soma do VaR de dois portfólios pode ser menor do que o VaR do portfólio combinado. Na prática, um gestor pode reduzir o VaR total desagregando o portfólio artificialmente, o que viola a intuição de que diversificar nunca deve piorar a medida de risco.

O Expected Shortfall (também chamado CVaR ou TVaR) corrige o problema. ES_α(L) é a média condicional da perda dado que ela excede o quantil α. Acerbi e Tasche (2002) provam que ES é coerente em espaços de probabilidade gerais, resolvendo o problema técnico deixado por definições ingênuas de tail conditional expectation. Rockafellar e Uryasev (2000) apresentam a representação convexa que torna o ES tratável em problemas de otimização. Yamai e Yoshiba (2005) mostram empiricamente que, em distribuições de cauda pesada típicas de crédito, VaR pode subestimar materialmente o risco de cauda e exibir comportamento não subaditivo, enquanto o ES captura tanto a existência da cauda quanto o seu tamanho.

A FRTB (BCBS, 2019) institucionaliza essa migração no capital regulatório de risco de mercado, substituindo VaR 99% por ES 97,5%. No arcabouço interno de capital econômico, o movimento análogo vem acontecendo: novos modelos são construídos em torno de ES, e modelos legados são progressivamente reajustados. O trade-off técnico é conhecido: estimadores de ES têm maior variância amostral do que estimadores de VaR, o que pressiona simulações Monte Carlo para tamanhos maiores ou para técnicas de importance sampling (GLASSERMAN; LI, 2005).

Uma vez escolhida a medida, vem a pergunta de alocação. O capital econômico é calculado em nível de portfólio, mas precisa ser devolvido aos sub-portfólios, linhas de negócio e, no limite, contratos individuais para servir de base a RAROC, limites e precificação. A teoria da alocação coerente, desenvolvida por Tasche (2008) e Kalkbrener (2005), mostra que existe uma única forma de alocação compatível com performance ajustada ao risco quando a medida é homogênea positiva: o princípio de Euler. Se aumentar todas as posições na mesma proporção λ multiplica o capital por λ (a medida é homogênea de grau 1), então a derivada direcional do capital em relação ao peso de cada posição entrega a contribuição daquela posição ao capital total, e a soma dessas contribuições reproduz o total. É consequência direta do teorema de Euler sobre funções homogêneas.

O que essa derivada significa depende da medida escolhida. Para o VaR, a contribuição da posição i é o valor esperado da perda de i sob o evento raro em que a perda total do portfólio é exatamente igual ao VaR, isto é, E[L_i | L = VaR_α(L)]. Conceitualmente, olha-se para os cenários em que o portfólio atingiu precisamente o seu quantil crítico e mede-se, nesses cenários, quanto i contribuiu em média para chegar lá. O problema é que esse conjunto de cenários é fino: em distribuições contínuas o evento tem probabilidade zero e, em simulações Monte Carlo, quase nenhum sorteio cai sobre o ponto exato, o que torna a estimativa instável.

Para o ES, a condição é mais estável e mais intuitiva. A contribuição de i é o valor esperado da perda de i sobre todos os cenários em que a perda total do portfólio excede o VaR, isto é, E[L_i | L ≥ VaR_α(L)]. Em vez de condicionar sobre um único ponto, condiciona-se sobre a cauda inteira. Separando os dias ruins do portfólio, aqueles em que a perda agregada cruza o limiar crítico, calcula-se a média da perda que i produz exatamente nesses dias. Esse número é quanto de capital econômico a posição i está consumindo pelo fato de agravar os piores cenários do banco. Três propriedades tornam a definição atraente: ela é naturalmente aditiva (as contribuições individuais somam o ES total do portfólio por construção), é robusta mesmo quando “perda total igual ao VaR” tem probabilidade zero, e é diretamente utilizável para RAROC, limites e precificação de novos empréstimos.

Denault (2001) chegou ao mesmo resultado por um caminho completamente distinto, usando teoria de jogos cooperativos e valores de Aumann-Shapley, o que dá à alocação de Euler uma justificativa dupla: uma analítica e uma baseada em noções de justiça entre linhas de negócio.

Limites: prociclicidade, risco de modelo e o que não se modela

Nem tudo na arquitetura do capital econômico resolve o que promete resolver. Uma crítica clássica, de Repullo, Saurina e Trucharte (2010), mostrou empiricamente, com dados espanhóis entre 1987 e 2008, que exigências de capital baseadas em PDs point-in-time oscilam entre 7,6% na bonança e 11,9% na crise, amplificando o ciclo econômico exatamente quando os bancos menos conseguem levantar capital. O problema da prociclicidade deu origem a uma parte importante da regulação pós-crise, em particular ao buffer contracíclico de Basileia III, mas a dualidade entre estimadores through-the-cycle e point-in-time permanece sem síntese. Parâmetros TTC reduzem prociclicidade, porém diluem o sinal conjuntural; parâmetros PIT são informativos, mas amplificam o ciclo. A escolha tornou-se um problema de governança, não apenas de econometria.

Um segundo conjunto de críticas olha para os próprios modelos. Derman (1996), no texto seminal das Quantitative Strategies Research Notes do Goldman Sachs, formula a taxonomia do risco de modelo: modelo errado, modelo certo mal implementado, modelo certo mal calibrado, dados obsoletos. Rebonato (2003) generaliza a discussão, argumentando que gestão de risco sem teste de estresse do próprio modelo é incompleta. A institucionalização dessas preocupações veio com a SR 11-7 do Federal Reserve e do OCC, emitida em abril de 2011, que codificou as três linhas de defesa para modelos quantitativos e se tornou referência global de governança de modelos, inclusive no Brasil.

O terceiro limite é mais profundo e menos tratável. Knight (1921) distinguiu risco (probabilidades mensuráveis) de incerteza (probabilidades desconhecidas). Capital econômico vive inteiramente no primeiro domínio: uma vez especificada a distribuição de perdas, toda a maquinaria funciona. Mas a especificação da distribuição é, ela própria, uma aposta. Taleb (2007) popularizou o ponto ao denunciar que distribuições calibradas em séries históricas subestimam sistematicamente eventos cujo processo gerador não foi observado. A crítica ganhou roupagem contemporânea em Bolton et al. (2020), que cunham o termo green swan para riscos climáticos caracterizados por incerteza radical, não-linearidade e irreversibilidade. Modelos de capital econômico backward-looking não conseguem calibrar risco climático a partir do passado, e o complemento indispensável é análise de cenários prospectivos, que não substitui capital econômico mas o informa.

Um comentário final sobre limites: o BCBS (2009), no documento 152, fez um retrato dos frameworks de capital econômico logo após a crise financeira global. O diagnóstico foi desconfortável. A dispersão de metodologias entre bancos era ampla, as dependências de cauda eram inadequadamente modeladas e a incerteza paramétrica era raramente traduzida em buffer explícito. O documento não aposentou o conceito; reafirmou que ele é indispensável, desde que acompanhado de humildade metodológica e de governança. É exatamente o espírito com que Bolder (2022) conduz o resto do seu livro.

A aplicação brasileira

O arcabouço descrito até aqui não é estrangeiro ao sistema bancário brasileiro. A Resolução CMN nº 4.557, de 23 de fevereiro de 2017, do Conselho Monetário Nacional, consolidou sob um único instrumento a estrutura de gerenciamento de riscos e de capital das instituições autorizadas pelo Banco Central do Brasil. Os bancos classificados no segmento S1 são obrigados a executar um ICAAP completo; os do S2 rodam um ICAAP simplificado. A lógica segue a do Pilar 2 de Basileia: avaliar a suficiência de capital para riscos que o Pilar 1 não captura integralmente, como concentração, IRRBB, risco estratégico e reputacional, e demonstrar, diante do supervisor, que o capital disponível cobre essas exigências sob cenários plausíveis.

Os grandes bancos brasileiros publicam trimestralmente seus relatórios de Pilar 3 com informações sobre RWA e gestão de capital. A granularidade das divulgações sobre capital econômico interno é menor do que na Europa, onde o ECB (2018) exige no guia do ICAAP a articulação simultânea de uma perspectiva normativa (projeção de índices regulatórios em múltiplos anos, sob cenários base e adversos) e de uma perspectiva econômica (identificação de todos os riscos materiais em base de valor presente). O modelo brasileiro aproxima-se do ECB, mas o grau de transparência sobre a metodologia interna ainda varia bastante entre instituições.

Vale notar um ponto contraintuitivo sobre Basileia III final. A introdução do output floor de 72,5% pelo BCBS (2017) limita o quanto o capital regulatório calculado por modelos internos pode ficar abaixo do capital padronizado. Em um primeiro olhar, a restrição parece tornar o capital econômico interno irrelevante, já que o mínimo regulatório passa a ser dominado por cálculos mais uniformes. Na verdade, a consequência é oposta: justamente porque o capital regulatório se torna um backstop padronizado e menos sensível à composição específica do portfólio, o capital econômico interno se consolida como ferramenta de gestão, precificação e alocação, separada do número regulatório. É o argumento central de Bolder (2022) e da tradição instalada pelo ECB.

Conclusão

A pergunta original, um banco tem capital suficiente, continua simples. A resposta, passado meio século desde o RAROC do Bankers Trust, continua sendo construída. O que a literatura de capital econômico oferece é menos um número e mais uma disciplina: escolher o horizonte, especificar a distribuição de perdas, decidir o nível de confiança como função do rating-alvo, adotar uma medida coerente (de preferência ES), alocar por Euler, separar componentes sistêmicos e idiossincráticos, estimar parâmetros ao longo do ciclo, reconhecer concentração, expor o modelo a validação independente, e documentar tudo com cuidado suficiente para que críticas externas sejam possíveis.

Cada etapa abre uma porta para outra especialização. Os capítulos subsequentes de Bolder (2022) percorrem essa arquitetura no detalhe, mostrando como se calibram as correlações do modelo de Vasicek, como se aproximam os resultados para precificação rápida de empréstimos, como se integram stress tests macroeconômicos e como se tratam exposições de derivativos. A arquitetura é extensa porque o problema é grande.

Permanece, ao final, o que Bolder (2022) chama de ambição do analista quantitativo: produzir análise defensável, replicável, robusta e conservadora que possa, efetivamente, informar a decisão da alta administração. O capital econômico é a melhor aproximação quantitativa disponível para essa ambição, sem nunca ser a resposta final. Ele reduz a complexidade sem eliminá-la. Ele força escolhas explícitas sem resolvê-las. E, talvez o mais importante, ele transforma uma pergunta simples em um problema consciente de si mesmo, o que é a condição necessária para que a resposta mereça confiança.

Referências

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Quase ao mesmo tempo, a Sakana AI publicou a segunda versão do AI Scientist (LU et al., 2024; YAMADA et al., 2025), um pipeline que percorre o ciclo completo da pesquisa científica, da geração de ideias à redação de artigos, incluindo execução de experimentos e revisão simulada por pares. O AIDE, da Weco AI, demonstrou que um agente baseado em busca em árvore no espaço de código podia alcançar quatro vezes a taxa de medalhas do melhor agente autônomo seguinte em 75 competições Kaggle (JIANG et al., 2025). O MLAgentBench propôs um benchmark sistemático para avaliar agentes de linguagem no ciclo completo de experimentação em aprendizado de máquina (HUANG et al., 2024).

Essas iniciativas compartilham uma ambição comum: substituir o ciclo manual hipótese-experimento-análise por um laço autônomo. Mas todas operam com uma limitação estrutural que raramente é discutida. O autoresearch de Karpathy modifica iterativamente o arquivo train.py de um problema já definido e instrumentado. O AI Scientist gera artigos dentro de subáreas estreitas de aprendizado de máquina, e seus revisores automatizados classificaram apenas um trabalho como aceitável para workshop (LU et al., 2024). O AIDE busca soluções em competições Kaggle cujo formato é padronizado. Em todos os casos, a definição do problema, a construção do target, os critérios de validade e o significado do resultado ficam de fora do laço automatizado. O LLM executa bem a busca dentro de um espaço já delimitado, mas a delimitação permanece humana.

Este artigo propõe uma abordagem diferente, desenvolvida pelo autor e testada em um problema real de finanças quantitativas. Em vez de automatizar apenas o código de treinamento, a proposta separa o problema em dois documentos com responsabilidades distintas, PROBLEM.md e PROGRAM.md, e entrega ao LLM um contrato de pesquisa completo: definição formal do target, regras de validação, critérios de promoção, restrições causais e política de parada. O resultado é um agente que não apenas treina modelos, mas formula hipóteses, registra aprendizados, critica seus próprios resultados e sabe quando parar. Para demonstrar a abordagem, aplicamos esse processo ao IRCC, um índice de risco comportamental do cotista para fundos multimercado brasileiros. O foco aqui, porém, não está no problema financeiro em si, mas no método que permitiu a um LLM conduzi-lo do zero até uma solução operacional em seis waves de experimentação.

A arquitetura: separar o que do como

A abordagem proposta se materializa em quatro componentes, todos de autoria do analista humano, que juntos formam o contrato entre quem define o problema e o agente que o investiga.

O primeiro componente é o PROBLEM.md. Esse documento funciona como um contrato de tarefa que define, com precisão, o que está sendo otimizado. Ele especifica o target e sua construção, as fontes de dados permitidas e proibidas, o protocolo de validação, as métricas primárias e secundárias, os guardrails, os riscos de vazamento (leakage), os riscos de variáveis proxy e pós-tratamento, e, quando aplicável, um contrato causal completo com perguntas prioritárias, escopo de DAG (grafo acíclico direcionado, a ferramenta padrão para representar relações de causa e efeito entre variáveis) e regras de interpretação. O PROBLEM.md do IRCC, por exemplo, contém 189 linhas e 52 campos contratuais, desde TASK_TYPE: classification até COUNTERFACTUAL_REQUIREMENT. O humano escreve esse documento antes do primeiro experimento. O LLM não pode alterá-lo.

O segundo componente é o PROGRAM.md. Esse documento define como a pesquisa é conduzida: fases do laço iterativo, regras de planejamento de waves, papéis internos do agente (cientista, engenheiro, crítico e auditor de validade), formato dos registros, critérios de promoção de candidatos a champion e condições de parada. O PROGRAM.md é genérico. Ele não menciona fundos de investimento, fluxo de caixa nem mercado financeiro. Poderia ser aplicado a qualquer problema supervisionado, desde previsão de churn até detecção de fraude ou classificação de imagens médicas, bastando trocar o PROBLEM.md.

O terceiro componente é o train.py, um script de baseline obrigatório. Antes de qualquer exploração, o agente executa esse script para estabelecer um piso reproduzível de desempenho. No caso do IRCC, o baseline é uma regressão logística com pesos balanceados sobre todas as features numéricas brutas, avaliada por purged K-Fold expanding window com cinco folds e purga de 44 dias úteis. O baseline ancora todas as comparações subsequentes e impede que o agente declare progresso sem referência concreta.

O quarto componente é o diretório data/, que contém os dados e o dicionário de dados (DATA_DICTIONARY.md). O dicionário lista cada variável com tipo, fonte e descrição, servindo como contrato de interface entre o problema e a implementação.

O PROGRAM.md é o componente que impede o agente de se comportar como otimizador cego, porque exige quatro papéis internos a cada iteração: o Scientist lê o registro de experimentos e formula hipóteses explícitas; o Engineer implementa o menor experimento capaz de testá-las; o Critic separa sinal de ruído e classifica cada hipótese como suportada, refutada ou inconclusiva; o Validity Critic audita vazamento, variáveis proxy, pós-tratamento e fragilidade temporal. Nenhum experimento pode existir sem hipótese prévia, e nenhuma wave pode terminar sem síntese.

Comparação com abordagens existentes

A diferença em relação ao autoresearch de Karpathy não está na sofisticação do modelo, mas na amplitude do contrato. O autoresearch opera como um laço de otimização sobre um único arquivo: modifica train.py, treina por cinco minutos, verifica se a métrica de validação melhorou, faz commit das boas mudanças e reverte as ruins (KARPATHY, 2026). O problema já está resolvido no sentido de que a métrica, o dataset e o protocolo de validação são dados. Aqui, o LLM recebe também a responsabilidade de entender por que uma hipótese falhou, de classificar blocos de features por papel causal, de decidir se o champion é promovível mesmo quando seu score é o melhor, e de justificar a parada pelo registro de aprendizados, não por impressão subjetiva.

A diferença em relação ao AI Scientist (LU et al., 2024) é de escopo e veracidade. O AI Scientist produz artigos completos, mas seus revisores automatizados não conseguem distinguir gráficos malformados de resultados válidos, e a qualidade do raciocínio experimental foi descrita como “míope” na versão original. A abordagem aqui proposta não tenta redigir o artigo: ela entrega evidência estruturada, hipóteses classificadas e artefatos causais verificáveis para que o humano interprete. O LLM faz a pesquisa; o humano faz o julgamento final.

O AIDE (JIANG et al., 2025) usa busca em árvore no espaço de código para competições Kaggle e maximiza uma métrica. O PROGRAM.md exige que a maximização passe por quatro portas antes de promover um candidato: desempenho, estabilidade, validade e custo. Um modelo que vence em score mas depende de variáveis com alto risco de pós-tratamento não pode ser promovido.

O problema demonstrativo: IRCC

Para ilustrar como essa arquitetura funciona, o problema escolhido foi a construção de um indicador antecedente de estresse de passivo em fundos de investimento brasileiros da classe Multimercado. A escolha não é arbitrária: o estresse de passivo é um dos riscos menos instrumentados na gestão de fundos, apesar de sua relevância. Quando cotistas resgatam em volume, o gestor precisa desmontar posições, às vezes em mercados ilíquidos, gerando perdas que retroalimentam novos resgates (COVAL; STAFFORD, 2007). A literatura documenta amplamente a assimetria da relação fluxo-desempenho: saídas são muito mais sensíveis a retornos negativos do que entradas a retornos positivos (CHEVALIER; ELLISON, 1997; SIRRI; TUFANO, 1998), e a fragilidade é especialmente aguda em fundos com ativos ilíquidos e base concentrada de cotistas (CHEN; GOLDSTEIN; JIANG, 2010; GOLDSTEIN; JIANG; NG, 2017).

O IRCC (Índice de Risco Comportamental do Cotista) é formulado como um problema de classificação binária supervisionada. O target não é o estado de estresse, mas o seu início (onset): o primeiro dia de um episódio de saída líquida relevante, definido como um drawdown de passivo superior a 1% do patrimônio líquido em 14 dias corridos. Cada observação é um par (CNPJ do fundo, data da decisão de resgate), com a data ajustada pelo prazo total de conversão e pagamento, de modo que o modelo prevê quando o cotista decidiu resgatar, não quando o dinheiro aparece no informe diário da CVM.

O target é construído em três camadas. A primeira calcula o drawdown de 14 dias normalizado pelo patrimônio líquido:

A segunda define o estado de estresse: raw_stress(t) = 1 se drawdown_14d(t) < −1%. A terceira identifica o início de cada episódio, com uma janela de ±2 dias úteis e um período de silêncio (cooldown) de 14 dias úteis entre episódios. O resultado é um target binário esparso, com prevalência entre 1% e 5%, que captura o momento em que um novo episódio de estresse começa a se formar.

O dataset utiliza exclusivamente dados públicos da CVM e fontes de mercado abertas, totalizando 5,8 milhões de observações e 82 variáveis antes da engenharia de features. O código completo, incluindo PROBLEM.md, PROGRAM.md, ledger e artefatos causais, está disponível em github.com/andrecamatta/pq_ircc. As famílias de sinal incluem fluxo histórico do fundo, performance recente da cota, composição da carteira, perfil do cotista, características estruturais de resgate, dados de mercado exógeno e sentimento sistêmico (incluindo Google Trends e dispersão das projeções Focus). A validação segue um purged K-Fold expanding window com cinco folds e purga de 44 dias úteis, e a métrica primária é o PR-AUC (área sob a curva precisão-recall), com ponderação exponencial entre folds, dando mais peso aos períodos recentes. A escolha dessa métrica, em vez da ROC-AUC mais comum, reflete a natureza do problema: quando a classe positiva representa menos de 5% das observações, a ROC-AUC pode parecer alta mesmo com modelos que acertam poucos eventos reais, porque o grande volume de negativos verdadeiros infla a taxa de verdadeiros negativos. A PR-AUC ignora os negativos verdadeiros e avalia apenas o quanto o modelo consegue encontrar os positivos sem inundar o gestor de alarmes falsos.

Como o LLM progrediu: seis waves de aprendizado

O LLM não recebeu instruções sobre qual modelo usar, quais features criar nem como calibrar hiperparâmetros. Recebeu quatro arquivos e um dataset. É o equivalente computacional de entregar a um consultor sênior o escopo do projeto, o dicionário de dados e a frase “nos vemos na sexta com os resultados”, com a diferença de que esse consultor não cobra por hora, não dorme e documenta cada decisão que toma. Em seis waves, rodou 25 experimentos, registrou cada hipótese em um ledger central e, ao final, sabia explicar por que parou. A tabela a seguir resume a conclusão de cada wave.

O ponto de inflexão ocorreu na wave 2. Até ali, o agente havia testado regressão logística, XGBoost e LightGBM sobre features de snapshot (brutas e engenheiradas) e concluído que gradient boosting era superior, mas que as variáveis disponíveis eram quase inúteis: o melhor PR-AUC* estava em 0,0594, próximo da prevalência. A decisão registrada na síntese da wave 1, “priorizar representação temporal, não variedade de modelos”, levou o agente a criar médias móveis de fluxo, acelerações de resgate, retornos acumulados, z-scores de performance e variações de mercado em múltiplas janelas. O PR-AUC* saltou para 0,1121 (+89%). Uma ablação mostrou que o fluxo sozinho carregava 92% do ganho.

As waves 3 a 5 exploraram três eixos sobre essa direção: representação (janelas mais ricas, z-scores de fluxo, interações), regime de treino (undersampling 5:1, que melhorou simultaneamente score e calibração) e capacidade (média de sementes, ensemble). A wave 4 merece nota porque o undersampling não apenas elevou o PR-AUC* para 0,1324, mas reduziu o Brier score de 0,16-0,20 para 0,06, um ganho de calibração relevante para o uso. O ensemble LightGBM + XGBoost, testado na wave 5, não superou o melhor individual.

A wave 6 confirmou a estabilidade do candidato (0,1338 contra 0,1337 da wave anterior), quantificou por ablação que 78% do sinal vem de features de fluxo, e reproduziu o baseline de undersampling com resultado idêntico. Com o platô confirmado, o agente declarou o critério de parada e passou à análise causal e de validade dos sinais que sustentam o modelo.

O PR-AUC* saiu de 0,0507 para 0,1338, uma melhoria de 164% sobre o baseline. Mas o valor da wave 6 não está no ganho marginal de 0,1% em score: está nos artefatos de validade que ela produziu, e que a seção seguinte examina.

Insights obtidos: o que o treinamento revelou sobre o IRCC

A análise de validade da wave 6 formalizou em um DAG com 11 nós conceituais os papéis causais de cada bloco de features, classificando-os por risco de proxy, risco de pós-tratamento e elegibilidade para a narrativa. Embora o foco deste artigo seja a abordagem metodológica, esses achados ilustram o tipo de evidência que o processo produz.

O achado dominante, já antecipado pela ablação da wave 6, é que features temporais de fluxo carregam cerca de 78% do sinal preditivo. Médias móveis de fluxo líquido em janelas de 3, 5, 10, 21, 63 e 126 dias, acelerações de resgate e z-scores de fluxo normalizado são, coletivamente, o motor do modelo. Sem essas variáveis, o PR-AUC* cai de 0,1338 para 0,075, perdendo a maior parte do poder discriminativo. Performance recente da cota contribui com cerca de 10% do sinal, dados de mercado e sentimento com 5%, e variáveis estruturais e de perfil do cotista com outros 5%.

O DAG da wave 6 classificou cada bloco por papel causal, robustez e elegibilidade para o uso.

Fluxo de curto prazo (3 a 5 dias) é o caso mais delicado na tabela: embora preditivamente poderoso, pode capturar parcialmente o onset já em formação, configurando risco de pós-tratamento. A construção do dt_pedido (data ajustada pelo prazo de conversão e pagamento) mitiga, mas não elimina, esse risco em fundos com prazos de resgate muito curtos. O perfil do cotista (proporção de pessoa física, institucional, previdência) funciona como indicador indireto do tipo de fundo, não como causa do estresse: um fundo com 80% de cotistas pessoa física não sofre resgates por causa desse perfil, mas porque fundos assim tendem a ter menor prazo, maior sensibilidade a perdas e distribuição por plataformas de varejo. A variável é preditivamente útil, mas o mecanismo real está em outro lugar. Por fim, sentimento (Google Trends, dispersão Focus) é fortemente confundido por variáveis de mercado. Esses dois últimos blocos permanecem no modelo por valor preditivo, mas o processo explicitamente proíbe que sustentem narrativas isoladas.

Os guardrails definidos no PROBLEM.md também produziram aprendizado. A meta de precisão ≥ 30% em recall ≥ 50% não foi atingida (precisão observada de ~13% nesse ponto). Contudo, no topo de 3% das predições, o lift alcança 7-8 vezes a prevalência, indicando que o modelo é mais útil como ferramenta de priorização (quais fundos monitorar) do que como classificador binário rígido. A calibração por Brier score (0,056-0,068) é boa para ranking, mas os diagramas de confiabilidade mostram que o modelo superestima a probabilidade de onset nos bins superiores, sugerindo necessidade de recalibração (Platt ou isotônica) antes de usar probabilidades absolutas.

O que a abordagem muda para o cientista de dados

A mudança mais visível que a separação entre PROBLEM.md e PROGRAM.md produz é a inversão da alocação de tempo. No fluxo tradicional de ciência de dados, a maior parte do esforço humano concentra-se na implementação: escrever código de pré-processamento, treinar modelos, ajustar hiperparâmetros, iterar sobre features. A definição do problema, frequentemente, ocupa uma fração menor do tempo e fica implícita em decisões espalhadas pelo código. Com essa abordagem, o esforço humano concentra-se inteiramente na redação do PROBLEM.md: definir o target com precisão, especificar regras de validação, declarar riscos de validade e formular o contrato causal. A implementação é delegada ao LLM. O cientista de dados se torna, na prática, um especificador de contratos de pesquisa.

A segunda mudança é a formalização de restrições que normalmente ficam tácitas. Em projetos tradicionais, a distinção entre variáveis causais e proxies estruturais costuma residir na cabeça do analista sênior. Riscos de pós-tratamento são discutidos em reuniões, mas raramente codificados. Critérios de parada são subjetivos. O PROBLEM.md força a escrita explícita de todas essas restrições antes do primeiro experimento. O efeito colateral é que o documento serve como memória institucional: qualquer pessoa que leia o PROBLEM.md do IRCC entende exatamente o que o target captura, quais variáveis carregam quais riscos e por que certas features não podem sustentar as decisões.

A terceira mudança é a rastreabilidade do raciocínio. O ledger de 25 experimentos, com hipóteses, mecanismos esperados, sinais de falha, vereditos do crítico e notas de validade, constitui um registro completo da evolução do conhecimento ao longo do projeto. Em um fluxo tradicional, essa informação existe em cadernos Jupyter parcialmente comentados, em mensagens de Slack e na memória dos analistas. Aqui, ela é um artefato estruturado, auditável e reutilizável.

Essa rastreabilidade também impõe disciplina ao agente. O PROGRAM.md lista explicitamente antipadrões proibidos: tratar o laço como busca em grade, disparar waves sem análise intermediária, repetir ideias equivalentes sem nova justificativa, promover candidatos apenas por média agregada ignorando o fold crítico, declarar platô por intuição. Cada um desses antipadrões corresponde a um erro comum em projetos de ciência de dados conduzidos manualmente. A diferença é que, ao codificá-los como regras do motor de pesquisa, eles se tornam violações verificáveis, não apenas boas práticas que podem ou não ser seguidas.

Generalidade e limitações

A abordagem foi projetada para ser genérica. O PROGRAM.md não contém referências ao domínio financeiro, a fundos de investimento nem a variáveis específicas. Sua aplicabilidade depende de dois pré-requisitos: o problema precisa ser formulável como aprendizado supervisionado (classificação ou regressão) e o humano precisa ser capaz de escrever um PROBLEM.md suficientemente completo. A segunda condição é a mais restritiva. Um PROBLEM.md mal especificado, com target ambíguo, riscos de vazamento não declarados ou critérios de sucesso vagos, produzirá uma pesquisa automatizada igualmente vaga. A qualidade do processo é limitada pela qualidade do contrato.

A abordagem também herda limitações dos LLMs atuais. O agente não possui intuição genuína sobre o domínio: sua capacidade de formular hipóteses depende da combinação entre o PROBLEM.md e o conhecimento geral absorvido durante o pré-treinamento. Em domínios muito especializados ou com convenções não documentadas na literatura pública, o agente pode formular hipóteses superficiais ou perder oportunidades que um especialista identificaria. A wave 2 do IRCC ilustra tanto o potencial quanto a limitação: o agente “descobriu” que features temporais são transformativas, mas um especialista em risco de liquidez provavelmente teria começado por aí.

Outra limitação é computacional. O PROGRAM.md exige orçamento de 30 minutos por experimento e limita as waves a 3-6 experimentos, mas o custo total do laço inclui o tempo de inferência do LLM para formular hipóteses, escrever código, interpretar resultados e produzir sínteses. Em problemas com datasets grandes e modelos lentos, o custo acumulado pode ser significativo.

Há também uma tensão entre generalidade e profundidade causal. O PROGRAM.md inclui suporte para análise causal (DAG, conjuntos de ajuste, sensibilidade, contrafactuais), mas essa análise é qualitativa e baseada em argumentos de plausibilidade, não em identificação causal formal com limites de Rosenbaum ou E-valores. Para problemas onde a interpretação causal é o objetivo principal, a camada causal do processo serve como filtro de interpretações ruins, não como substituta para métodos quase-experimentais rigorosos.

Considerações finais

Que LLMs conseguem treinar modelos de aprendizado de máquina já está demonstrado em múltiplos contextos. A questão que importa é outra: a forma como o problema é apresentado ao LLM determina a qualidade da pesquisa resultante. Um LLM com acesso a train.py e uma métrica otimiza código. Um LLM com acesso a um contrato de pesquisa completo, com definição formal do target, restrições de validade, papéis internos de crítica e política de parada justificada, conduz algo mais próximo de ciência de dados.

O IRCC serviu como caso de teste, e os resultados são úteis: um modelo que melhora 164% sobre o baseline, com sinais primários causalmente robustos, calibração razoável e limitações explicitamente documentadas. Mas o artefato mais valioso do projeto não é o modelo final, é o ledger de 25 experimentos com hipóteses classificadas, o DAG causal com elegibilidade por bloco e a síntese por wave que permite a qualquer auditor reconstruir o raciocínio do processo.

O tempo investido em escrever um PROBLEM.md preciso, com riscos explícitos e critérios formais, retorna multiplicado pela capacidade do LLM de explorar o espaço de soluções com disciplina. O gargalo deixa de ser a implementação e passa a ser a especificação. E, como qualquer engenheiro sabe, especificações boas produzem sistemas melhores do que implementações heroicas sobre especificações vagas.

Referências

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CHEVALIER, J.; ELLISON, G. Risk taking by mutual funds as a response to incentives. Journal of Political Economy, v. 105, n. 6, p. 1167-1200, 1997.

COVAL, J.; STAFFORD, E. Asset fire sales (and purchases) in equity markets. Journal of Financial Economics, v. 86, n. 2, p. 479-512, 2007.

GOLDSTEIN, I.; JIANG, H.; NG, D. T. Investor flows and fragility in corporate bond funds. Journal of Financial Economics, v. 126, n. 3, p. 592-613, 2017.

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SIRRI, E. R.; TUFANO, P. Costly search and mutual fund flows. The Journal of Finance, v. 53, n. 5, p. 1589-1622, 1998.

Até 2007, o risco de liquidez ocupava posição secundária na hierarquia das preocupações dos gestores de risco, atrás do risco de crédito e de mercado. Bancos financiavam ativos de longo prazo com passivos de curtíssimo prazo, o custo de funding mal figurava nos modelos de precificação e a liquidez parecia inesgotável. A crise financeira de 2007-2008 inverteu essa percepção: o diferencial Libor-OIS saltou de 8 para 365 pontos-base, o CDS iTraxx Financial saiu de 5-10 para mais de 200 pontos-base, e episódios como o Northern Rock e o Lehman Brothers demonstraram que a liquidez poderia evaporar de forma abrupta e sistêmica (BCBS, 2008).

A partir dessa constatação, a gestão de liquidez passou a exigir um arcabouço conceitual rigoroso. O presente artigo apresenta esse arcabouço, com base em Castagna e Fede (2013), enriquecido pela literatura acadêmica e regulatória. Percorremos quatro etapas: a taxonomia dos fluxos de caixa, o conceito de opções de liquidez, três definições formais de risco de liquidez e a distinção entre causas e fontes de liquidez, culminando no conceito de capacidade de geração de liquidez (Liquidity Generation Capacity, LGC).

Para analistas de finanças ligados a bancos, dominar esses conceitos é muito importante. A taxonomia dos fluxos de caixa é a base para construir projeções de liquidez e testes de estresse. As definições formais de risco de liquidez orientam a construção de métricas regulatórias (LCR, NSFR) e internas. A distinção entre causas e fontes de liquidez estrutura a análise do balanço em termos de vulnerabilidades e colchões disponíveis. E o conceito de LGC permite avaliar, de forma objetiva, a resiliência de uma instituição frente a cenários adversos. Sem esse vocabulário técnico, o analista não consegue interpretar corretamente os indicadores de liquidez, nem dialogar com áreas de tesouraria, ALM e regulação prudencial.

1. Classificação dos fluxos de caixa

Qualquer instrumento de gestão de liquidez depende, antes de tudo, de uma classificação adequada dos fluxos de caixa gerados pela atividade bancária. Castagna e Fede (2013) propõem uma taxonomia bidimensional que organiza esses fluxos segundo duas dimensões: tempo (o instante em que o fluxo ocorre) e montante (o valor do fluxo). Em cada dimensão, o fluxo pode ser determinístico, quando conhecido com certeza na data de referência, ou estocástico, quando sujeito a incerteza. A combinação dessas duas dimensões produz uma matriz que captura a diversidade dos produtos de um balanço bancário.

Na dimensão temporal, um fluxo é determinístico quando a data de ocorrência está fixada contratualmente (por exemplo, o pagamento de cupom de um título de renda fixa em data predefinida). É estocástico quando o momento de ocorrência depende de eventos futuros imprevisíveis, como o exercício antecipado de uma opção ou o saque de um depósito à vista. Na dimensão do montante, fluxos determinísticos são aqueles cujo valor é fixado em contrato. Fluxos estocásticos, por sua vez, admitem quatro subcategorias, cada uma refletindo uma fonte distinta de incerteza.

A primeira subcategoria é a de fluxos relacionados a crédito (credit-related): a incerteza decorre de eventos de inadimplência. Quando um cliente entra em default, os fluxos contratuais futuros (juros e amortizações) deixam de ser recebidos, e o valor de recuperação é incerto. A segunda subcategoria compreende fluxos indexados ou contingentes (indexed/contingent), cujo montante depende de variáveis de mercado. Cupons flutuantes atrelados à Libor ou ao CDI, payoffs de opções europeias e fixações de índices de preços pertencem a esta categoria. A terceira subcategoria é a de fluxos comportamentais (behavioural), determinados por decisões de clientes ou contrapartes que não seguem padrões puramente racionais: pré-pagamentos de hipotecas, saques de depósitos à vista e utilizações de linhas de crédito rotativo são os exemplos mais relevantes. A quarta e última subcategoria é a de novos negócios (new business), que engloba fluxos originados por contratos futuros planejados pela instituição, como a concessão de novos empréstimos, a emissão de novos títulos ou a captação de novos depósitos.

Para ilustrar: um empréstimo a taxa fixa com cronograma definido de amortização possui fluxos determinísticos em ambas as dimensões. Uma opção one-touch, cujo payoff é um valor fixo pago ao atingir determinada barreira, apresenta montante determinístico mas tempo estocástico. Um cupom flutuante indexado à Libor, pago em data conhecida, tem tempo determinístico mas montante estocástico. O pré-pagamento de uma hipoteca envolve incerteza em ambas as dimensões: o cliente decide quando e quanto pagar antecipadamente, com base em fatores que o banco só pode estimar estatisticamente.

Uma observação relevante, enfatizada por Castagna e Fede (2013), é que a classificação depende do ponto de vista temporal. Um fluxo pode mudar de categoria quando se desloca a data de referência: o cupom flutuante de um título, que hoje é estocástico (pois a taxa Libor futura é desconhecida), torna-se determinístico após a data de fixação da taxa. Essa dependência temporal exige que os sistemas de gestão de liquidez recalculem periodicamente a classificação dos fluxos. Bessis (2015) captura essa dinâmica no seu framework de liquidity gap, distinguindo fluxos contratuais (certos) de comportamentais (modelados). Choudhry (2012) organiza os fluxos em uma maturity ladder com buckets por vencimento contratual, tratando depósitos sem vencimento definido como estocásticos. Matz e Neu (2007), por sua vez, classificam os fluxos em conhecidos (known) e incertos (uncertain), com ênfase nos testes de estresse aplicados aos buckets estocásticos.

2. Opções de liquidez

Vários dos fluxos comportamentais identificados na seção anterior estão vinculados ao exercício de opções de liquidez, um conceito que Castagna e Fede (2013) distinguem com cuidado das opções financeiras tradicionais. Uma opção de liquidez pode ser definida como o direito de um titular de receber caixa de, ou entregar caixa a, uma instituição financeira em datas e condições predefinidas. A distinção fundamental em relação a opções financeiras convencionais reside na motivação do exercício: uma opção financeira (uma call europeia sobre ação, por exemplo) é exercida quando há lucro financeiro, independentemente dos fluxos de caixa subsequentes. Uma opção de liquidez, por outro lado, é exercida por necessidade de caixa ou excesso de liquidez do titular, mesmo quando o exercício não é financeiramente vantajoso.

Essa distinção tem implicações profundas para a modelagem. Opções financeiras podem ser precificadas com modelos baseados em exercício ótimo (maximização de lucro). Opções de liquidez exigem modelos comportamentais que incorporem fatores não racionais e variáveis exógenas como eventos de vida dos clientes (JARROW; VAN DEVENTER, 1998). Schwartz e Torous (1989) formalizaram essa abordagem ao tratar o pré-pagamento de hipotecas como uma opção estocástica dirigida por taxas de juros, mas também influenciada por fatores não financeiros.

O exercício de uma opção de liquidez produz um duplo impacto sobre o banco. O primeiro é o impacto de liquidez: a variação no balanço correspondente ao montante sacado ou reembolsado. O segundo é o impacto financeiro: a diferença entre as taxas e spreads contratuais e as condições de mercado no momento do exercício. Em alguns casos o impacto financeiro é pequeno (um cliente que encerra uma conta poupança gera perda marginal de margem para o banco); em outros, é substancial (o pré-pagamento de uma hipoteca a taxa fixa após queda de juros força o banco a reinvestir a taxas menores).

Três exemplos ilustram o conceito. O primeiro são as linhas de crédito comprometidas: o tomador pode sacar qualquer montante, até o limite da linha, a qualquer momento, sob condições predefinidas (tipicamente taxa flutuante acrescida de spread fixo por risco de crédito). O saque pode ocorrer por conveniência financeira (o spread de crédito do tomador se deteriorou, tornando a linha mais barata que o mercado aberto) ou por pura necessidade de caixa. Sufi (2009) documentou empiricamente que firmas em dificuldade financeira sacam suas linhas de crédito com intensidade, confirmando o caráter de opção de liquidez desses compromissos. Acharya, Almeida e Campello (2013) demonstraram, contudo, que em crises sistêmicas essas linhas podem falhar como instrumento de seguro de liquidez, pois os próprios bancos concedentes enfrentam restrições.

O segundo exemplo são os depósitos à vista e de poupança: o cliente pode sacar todo ou parte do saldo com aviso curto ou nulo, por necessidade transacional ou por oportunidade de investimento em ativos com retorno mais atrativo. Jarrow e van Deventer (1998) foram pioneiros na modelagem de depósitos à vista como opções americanas embutidas, com valoração arbitrage-free. O terceiro exemplo é o pré-pagamento de hipotecas e empréstimos a taxa fixa: a liquidação antecipada pode ser motivada por queda nas taxas de juros (incentivo financeiro) ou por eventos de vida (fatores exógenos). No primeiro caso, o banco sofre perda financeira ao repor o ativo em condições piores de mercado.

Kashyap, Rajan e Stein (2002) propõem uma explicação elegante para a coexistência das atividades de captação de depósitos e concessão de empréstimos nos bancos: ambas envolvem a venda de opções de liquidez (saque de depósitos e drawdown de linhas de crédito) que são dirigidas por necessidades de liquidez e imperfeitamente correlacionadas. Essa correlação imperfeita permite ao banco explorar sinergias, diversificando o risco de demanda simultânea por liquidez.

3. Risco de liquidez: três definições

Com a taxonomia dos fluxos de caixa e o conceito de opções de liquidez estabelecidos, podemos agora definir formalmente o risco de liquidez. Castagna e Fede (2013) apresentam três definições progressivamente mais abrangentes, cada uma capturando uma dimensão distinta do problema.

A primeira definição trata da dimensão quantitativa:

Risco de liquidez — definição quantitativa (Liquidity Risk). O evento de que, no futuro, o banco receba montantes de fluxos de caixa menores que o esperado para honrar suas obrigações de pagamento.

Esta definição engloba tanto o risco de liquidez de funding (a incapacidade de captar recursos junto a clientes, no mercado interbancário ou junto ao banco central) quanto o risco de liquidez de mercado (a incapacidade de vender ativos a preço justo com imediatismo). Brunnermeier e Pedersen (2009) formalizaram o vínculo reforçador entre essas duas formas de risco: restrições de funding forçam vendas de ativos a preços deprimidos, o que deteriora os preços de mercado, o que por sua vez agrava as restrições de funding, formando as chamadas espirais de liquidez (liquidity spirals). Drehmann e Nikolaou (2013) definem o risco de liquidez de funding como o risco de não liquidar obrigações no prazo, propondo uma medida baseada em leilões do banco central como indicador de estresse.

Essa definição, porém, captura apenas a dimensão de quantidade. Uma segunda dimensão, igualmente relevante, é o custo de captação:

Risco de custo de funding (Funding Cost Risk). O evento de que, no futuro, o banco tenha de pagar custo (spread) acima da taxa livre de risco maior que o esperado para receber fundos das fontes de liquidez disponíveis.

Antes de 2007, o custo de funding era quase constante e baixo, de modo que o rollover de passivos era atividade praticamente livre de risco. Após a crise, a volatilidade dos spreads aumentou de forma dramática e o volume de funding disponível declinou, tornando a dimensão de custo incontornável na gestão de liquidez. Esse reconhecimento alimentou o debate sobre o Funding Valuation Adjustment (FVA) — Piterbarg (2010) versus Hull e White (2012) — e consolidou o papel do Funds Transfer Pricing (FTP) como mecanismo pelo qual a tesouraria cobra das unidades de negócio o custo de liquidez embutido em cada operação, assegurando que a precificação reflita adequadamente o consumo de liquidez imposto ao balanço.

As duas definições anteriores convergem na terceira, que sintetiza ambas as dimensões:

Risco de liquidez — definição abrangente (Liquidity Risk — Comprehensive Definition). O montante de perdas econômicas decorrentes do fato de que, em uma data futura, a soma algébrica dos fluxos de caixa positivos e negativos e do caixa existente naquela data seja diferente de algum nível esperado (desejado).

Esta definição abarca três manifestações distintas. A primeira, de natureza quantitativa, é a incapacidade de captar recursos suficientes para honrar obrigações, forçando o banco a vender ativos em condições desfavoráveis (fire sales), com alocação subótima de recursos e, no caso extremo, insolvência. A segunda manifestação, de natureza de custo, é a capacidade de captar recursos, porém a custos acima dos esperados. A terceira, mais rara na prática bancária (pois bancos tipicamente operam com duração de ativos superior à de passivos), é a capacidade de investir excesso de liquidez apenas a taxas abaixo do esperado, gerando custos de oportunidade. O arcabouço regulatório de Basileia III, com o LCR (BCBS, 2013) e o NSFR (BCBS, 2014), pode ser interpretado como uma resposta institucional a essas três manifestações, exigindo que os bancos mantenham buffers de ativos líquidos de alta qualidade (HQLA) e estruturas de funding estável.

4. Causas, fontes e capacidade de geração de liquidez

Definido o risco de liquidez em suas múltiplas dimensões, o passo seguinte é distinguir o que gera esse risco do que permite gerenciá-lo. Castagna e Fede (2013) formalizam essa distinção com duas definições complementares.

Causas de liquidez (Causes of Liquidity). Todos os fatores referentes a contratos existentes e previstos, originados pela atividade ordinária da instituição financeira. Fluxos de caixa gerados pelas causas de liquidez podem ser tanto positivos quanto negativos.

Fontes de liquidez (Sources of Liquidity). Todos os fatores capazes de gerar fluxos de caixa positivos para gerenciar e fazer hedge do risco de liquidez, que possam ser mobilizados prontamente pelo banco.

A distinção entre causas e fontes é central para a gestão de liquidez. As causas compreendem todos os fluxos produzidos pela atividade bancária ordinária: recebimentos e pagamentos de juros, amortizações de empréstimos, vencimentos de depósitos, rollover de passivos, novos negócios. Esses fluxos, classificados conforme a taxonomia da primeira seção, geram o risco de liquidez. As fontes, por outro lado, são instrumentos que o banco pode acionar para produzir fluxos de caixa positivos adicionais, além dos contratuais, com o objetivo específico de cobrir déficits de liquidez. O BCBS (2008) reflete essa distinção ao separar as origens do risco (descasamento de maturidade, chamadas de colateral, compromissos fora do balanço) dos instrumentos de gestão (buffers de ativos líquidos, facilidades do banco central, planos de contingência de funding).

A partir da noção de fontes de liquidez, define-se o conceito mais operacional desta seção:

Capacidade de Geração de Liquidez (Liquidity Generation Capacity, LGC). A capacidade de um banco de gerar fluxos de caixa positivos, além dos contratuais, a partir das fontes de liquidez disponíveis no balanço e fora dele, em uma dada data.

A LGC se manifesta por três vias. A primeira é a expansão do balanço, por meio de funding garantido (secured) ou não garantido (unsecured): captação de depósitos interbancários, saques de linhas de crédito recebidas de outras instituições, emissão de novos títulos. A segunda via é a contração do balanço, pela venda de ativos: títulos públicos, títulos corporativos e ações (ativos mais líquidos) ou empréstimos e imóveis (ativos menos líquidos, com horizonte de liquidação mais extenso). A terceira via são as operações neutras em termos de balanço, representadas pelas transações de repo, nas quais o banco obtém caixa cedendo temporariamente a posse de um ativo como colateral. Uma observação relevante: a nova dívida da LGC não se confunde com o funding planejado para rollover de passivos existentes ou para financiar novos negócios, pois esses fluxos pertencem às causas, não às fontes. Cada uma dessas vias tem um custo associado (spread de captação, haircut de repo, desconto na venda de ativos), e é por meio do Funds Transfer Pricing (FTP) que a tesouraria repassa esses custos às unidades de negócio, fechando o ciclo entre a gestão de liquidez e a precificação de produtos.

Castagna e Fede (2013) propõem classificações complementares para a LGC, cada uma iluminando um aspecto distinto. A primeira distinção separa a liquidez do balanço (BSL, Balance Sheet Liquidity) da liquidez residual. A BSL é a liquidez que pode ser gerada pelos ativos existentes no balanço, seja por venda, seja por operações de repo. Trata-se da base sobre a qual se constroem os liquidity buffers exigidos pela regulação prudencial. A liquidez residual, por sua vez, é aquela originada pela expansão do balanço (novos depósitos, novas emissões). A segunda distinção separa a liquidez vinculada a ativos (security-linked) da liquidez não vinculada (security-unlinked). A primeira inclui saques garantidos de linhas de crédito, emissões de dívida garantida, vendas de ativos e repos. A segunda compreende a captação unsecured (novos depósitos, linhas não garantidas, títulos sem colateral).

De modo mais sintético, três fontes de liquidez podem ser identificadas: (i) venda de ativos (AS, asset sale), (ii) funding garantido via colateral e operações de repo (RP), e (iii) funding não garantido via linhas comprometidas e depósitos interbancários (USF, unsecured funding). As fontes AS e RP geram BSL security-linked, por contração ou neutralidade no balanço. A fonte USF gera liquidez security-unlinked, por expansão do balanço.

O arcabouço regulatório do LCR (BCBS, 2013) operacionaliza parte desses conceitos ao definir os ativos líquidos de alta qualidade (HQLA) em três níveis: Nível 1, composto por caixa, reservas no banco central e títulos soberanos com 0% de haircut; Nível 2A, incluindo títulos de agências e covered bonds com haircut de 15% e limite de 40% do buffer; e Nível 2B, com títulos corporativos e ações elegíveis, sujeitos a haircut de 25% a 50% e limitados a 15% do buffer. Esses níveis refletem diretamente a hierarquia de BSL: quanto mais líquido e seguro o ativo, menor o haircut e maior sua contribuição para a LGC. Choudhry (2012) oferece uma perspectiva de praticante sobre a construção de buffers de ativos líquidos, o uso de funding secured versus unsecured e o papel das facilidades do banco central como fonte de liquidez de last resort.

Cabe, contudo, uma ressalva sobre a confiabilidade das fontes em cenários de estresse. Acharya, Shin e Yorulmazer (2011) demonstram que o risco sistêmico de liquidez se materializa quando múltiplos bancos enfrentam estresse simultaneamente: os compradores potenciais de ativos e os provedores de funding unsecured estão, eles próprios, sob pressão, de modo que as fontes falham coletivamente. Acharya e Viswanathan (2011) formalizam o feedback loop entre risco de crédito e risco de liquidez: perdas em ativos reduzem o valor do colateral, provocando vendas forçadas e retirada de funding. Essas dinâmicas reforçam a necessidade de calibrar os buffers de liquidez considerando correlações de estresse entre fontes.

Conclusão

O arcabouço conceitual apresentado neste artigo fornece as fundações sobre as quais se constroem as ferramentas operacionais de um Departamento de Tesouraria. A taxonomia bidimensional dos fluxos de caixa permite mapear, para cada produto do balanço, a natureza e a fonte de incerteza. O conceito de opções de liquidez exige que o banco reconheça os direitos embutidos nos produtos que origina e modele o comportamento de exercício dos clientes. As três definições de risco de liquidez orientam a mensuração em duas dimensões complementares: a quantidade de funding disponível e o custo desse funding. A distinção entre causas e fontes organiza a análise entre o que gera o risco e o que permite gerenciá-lo, convergindo no conceito de LGC e suas classificações (BSL, AS, RP, USF).

Uma implicação prática se destaca: qualquer framework de gestão de liquidez depende, em última análise, de modelos de taxa de juros (para projetar fluxos indexados e precificar colateral), modelos de crédito (para estimar perdas por inadimplência e ajustar haircuts) e modelos comportamentais (para projetar pré-pagamentos, saques de depósitos e utilização de linhas de crédito). A qualidade da gestão de liquidez está, portanto, indissociavelmente ligada à sofisticação e à calibração desses modelos. Do ponto de vista da rentabilidade, o elo entre esse arcabouço e a operação do banco se materializa no Funds Transfer Pricing (FTP): sem uma mensuração adequada do custo de liquidez por produto e por prazo, o FTP transmite sinais distorcidos às áreas de negócio, comprometendo tanto a precificação quanto a alocação de capital.

Referências

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Em 1986, Martin Leibowitz publicou pela Salomon Brothers um estudo em duas partes no Financial Analysts Journal que formalizou o que mesas de operações de renda fixa já praticavam de forma intuitiva: montar carteiras de títulos cujos fluxos de caixa cobrissem, período a período, as obrigações de um fundo de pensão (LEIBOWITZ, 1986). A ideia recebeu o nome de dedication, ou, mais tecnicamente, cash flow matching. Diferente da imunização por duration, que depende de premissas sobre o comportamento da estrutura a termo, a dedicação é uma estratégia determinística: se os títulos não têm risco de crédito e os passivos são conhecidos, a carteira dedicada elimina o risco de mercado por construção.

Quatro décadas depois, a crise de Liability-Driven Investment (LDI) do Reino Unido em setembro de 2022 renovou o interesse nessa abordagem. Fundos de pensão britânicos que usavam estratégias alavancadas de LDI sofreram chamadas de margem em cascata quando os gilts (títulos soberanos britânicos) caíram abruptamente, forçando o Bank of England a intervir. Carteiras dedicadas, mantidas até o vencimento sem alavancagem, teriam sido imunes.

O problema de dedicação se formula naturalmente como um programa linear: minimizar o custo de aquisição de uma carteira de bonds sujeito a restrições de que os fluxos de caixa gerados cubram os passivos em cada período. Quando impomos que os títulos sejam comprados em lotes inteiros, como ocorre no mercado secundário, o problema se torna um programa linear inteiro misto (MILP). Este artigo explora essa formulação e, sobretudo, o que se revela quando relaxamos a restrição de integralidade: os shadow prices das restrições de passivo, que codificam a estrutura a termo implícita da carteira ótima.

Formulação matemática

O problema de dedicação como programa linear

Considere um fundo de pensão com obrigações conhecidas L₁, L₂, …, L_T nos próximos T anos e um universo de J títulos de renda fixa. O excesso de caixa de um período pode ser reinvestido a uma taxa conservadora r até o período seguinte. A formulação como programa linear é (FABOZZI; FONG, 1985; ZENIOS, 1993):

onde p_j é o preço do título j, cf_j,t é o fluxo de caixa gerado por uma unidade do título j no período t, s_t é o surplus ao final do período t e r é a taxa de reinvestimento. Cada título j com cupom c_j, valor de face F_j e vencimento m_j gera:

Quando o mercado exige compra em lotes inteiros, as variáveis x_j passam a ser inteiras (x_j ∈ ℤ₊) e o problema se torna um MILP.

Os shadow prices como fatores de desconto

Pela teoria de dualidade em programação linear, cada restrição de igualdade possui uma variável dual associada, o shadow price (KOOPMANS, 1951). No modelo de dedicação, o shadow price π_t da restrição de balanço do período t mede o acréscimo no custo mínimo da carteira caso o passivo aumente em uma unidade monetária. Essa grandeza é exatamente um fator de desconto implícito, do qual se extrai a taxa spot:

Na prática, a extração desses valores exige um procedimento em duas etapas. A primeira é resolver o MILP original para obter a carteira implementável (com lotes inteiros). A segunda é resolver a relaxação LP do mesmo problema, removendo a restrição de integralidade. O resolvedor LP produz, junto com a solução primal (as quantidades fracionárias ótimas), a solução dual: um vetor de multiplicadores associados às restrições de balanço. Cada componente desse vetor é o shadow price π_t do período correspondente. A operação é computacionalmente trivial, pois resolvedores como HiGHS calculam as variáveis duais automaticamente como subproduto do método simplex (o algoritmo padrão para programação linear).

O artigo de 1990 nos Transactions of the Society of Actuaries (SOA, 1990) demonstra que os duais do LP de cash matching produzem fatores de desconto que tornam os títulos na base ótima “justamente precificados”, enquanto os excluídos ficam “sobrevalorizados” pelo critério da carteira. Dahl, Meeraus e Zenios (1993) mostram que essa estrutura a termo é específica ao universo de títulos disponíveis e difere da curva de mercado “livre”. Como veremos na seção de limitações, esses shadow prices são propriedades da relaxação LP, não do MILP, o que impõe cautelas na interpretação.

Dedicação, imunização e horizon matching

A imunização por duration, formalizada por Fong e Vasicek (1984), protege contra deslocamentos paralelos na curva de juros igualando a duration da carteira à dos passivos. A cobertura é aproximada: funciona para choques paralelos, mas falha diante de rotações da curva. A dedicação, por exigir cobertura período a período, elimina essa dependência, mas a um custo inicial tipicamente maior. A escolha depende de três fatores:

• Previsibilidade dos passivos: fluxos fixados contratualmente favorecem dedicação; passivos estocásticos (mortalidade, inflação, opções de resgate) favorecem imunização.

• Maturidade do plano: planos jovens buscam retorno via imunização; planos maduros e bem capitalizados migram para dedicação como estratégia terminal no glide path de LDI (a trajetória gradual de uma carteira de retorno para uma de passivos).

• Risco de liquidez: a crise de 2022 mostrou que estratégias alavancadas são vulneráveis a chamadas de margem; a dedicação, sem alavancagem, é imune.

Na prática, a maioria dos gestores combina as duas abordagens. Leibowitz e Weinberger (1986) propuseram o horizon matching: dedicação para passivos até um horizonte definido (tipicamente 5 a 10 anos) e imunização para os restantes. A Mercer (2024) compara o cash flow matching ao Pension Risk Transfer (a transferência integral dos passivos a uma seguradora, via compra de anuidades), observando que, embora o cash flow matching tenha ressurgido como alternativa potencialmente viável, o PRT permanece o hedge mais completo. A Western Asset (PIETERSE, 2023) argumenta que, com a alta de juros pós-2022, até planos subfinanciados conseguem fazer cash flow matching dos primeiros anos com menos ativos do que em qualquer momento da última década e meia. O modelo LP/MILP deste artigo se adapta naturalmente ao horizon matching: basta aplicar as restrições de cash flow matching aos períodos até o horizonte e uma restrição de duration agregada para os restantes.

Dados e implementação

O exemplo trabalha com um fundo com passivos projetados ao longo de 8 anos, um universo de 8 títulos e taxa de reinvestimento r = 2% ao ano. O perfil de passivos é irregular (picos nos anos 3, 5, 6 e 7), forçando o otimizador a equilibrar títulos de diferentes vencimentos. A implementação usa Julia com JuMP e HiGHS; em JuMP, a única diferença entre o LP e o MILP é a palavra-chave Int na declaração das variáveis. Os shadow prices são extraídos com dual(model_lp[:balance][t]). O código completo está no repositório público.

Resultados

Carteira MILP e relaxação LP

O resolvedor encontra a solução MILP ótima com custo de R$ 57.969 para passivos totais de R$ 82.000, selecionando 5 dos 8 títulos: 12 lotes de T3, 12 de T5, 21 de T6, 15 de T7 e 2 de T8. A relaxação LP encontra custo de R$ 57.514, resultando em um gap de integralidade de 0,79%. As soluções são qualitativamente semelhantes, com a LP usando frações de lotes para distribuir a cobertura de forma mais eficiente.

O gráfico de fluxo de caixa mostra a contribuição de cada título por ano. Nos anos de vencimento, o principal devolvido aparece como barra expressiva; nos demais, apenas os cupons contribuem. A linha preta indica o passivo a cobrir.

A estrutura a termo implícita

Os shadow prices extraídos da relaxação LP revelam a curva de desconto implícita na carteira dedicada.

O fator de desconto para o ano 1 é 0,878, correspondendo a uma taxa spot implícita de 13,9%, enquanto a curva de mercado indica 5,0% para o mesmo prazo. Para os anos seguintes, as taxas implícitas situam-se entre 5,8% e 8,7%. A taxa do ano 1 é desproporcionalmente alta porque cobrir um passivo de curtíssimo prazo com títulos que também pagam cupons em períodos futuros é relativamente caro: parte do investimento “escoa” para períodos com menor necessidade. A curva implícita é uma função do universo de instrumentos disponíveis, não da curva de mercado livre, como observaram Dahl, Meeraus e Zenios (1993).

Confronto com a curva de mercado

Para situar a curva implícita, extraímos a curva de mercado por extração iterativa dos fatores de desconto a partir dos preços e fluxos dos títulos:

A curva de mercado é suave e crescente (5,0% a 9,0%), refletindo a estrutura de rendimentos dos títulos. A curva implícita diverge no curto prazo (+891 bps no ano 1, +230 bps no ano 2) e apresenta um desvio no ano 4 (+157 bps). Dos anos 5 a 8, as curvas convergem, com spreads entre -20 e -24 bps. O custo de dedicação se concentra nos prazos curtos, onde o universo de títulos é menos eficiente para cobertura.

Análise de sensibilidade e limitações

Para verificar os shadow prices, simulamos um aumento de R$ 400 no passivo do ano 5. A previsão via dual é exata: Δcusto = π₅ × 400 = 0,7168 × 400 = R$ 286,73, coincidindo com a re-resolução do LP. Mas até que ponto podemos confiar nessa precisão?

Limitações dos shadow prices obtidos por relaxação

DeJans Jr. (2025) dedica uma seção do The MILP Optimization Handbook a este ponto, identificando três alertas:

• Validade local: os shadow prices são derivadas que valem enquanto a base ótima permanece inalterada. Perturbações maiores podem gerar respostas não-lineares.

• Ausência de dualidade em MILPs: a dualidade forte é propriedade de LPs contínuos. Ao impor integralidade, a estrutura convexa se perde. A relaxação LP é um substituto cujo gap mede a qualidade da aproximação (0,79% neste exemplo).

• Degenerescência: quando múltiplas restrições estão simultaneamente ativas, bases ótimas diferentes geram duais diferentes, e a estrutura a termo implícita pode depender de detalhes numéricos do resolvedor.

Para contornar essas limitações, DeJans propõe construir a curva de sensibilidade real do problema, resolvendo o MILP repetidamente para diferentes valores do parâmetro de interesse. A ideia é que em vez de confiar na derivada local fornecida pelo shadow price (que pode não valer fora de uma vizinhança pequena), o gestor perturba o passivo de um período específico, re-resolve o MILP inteiro para cada perturbação, e tabula como o custo ótimo varia. A curva resultante captura tanto a linearidade local (onde os shadow prices são válidos) quanto as transições discretas que a relaxação LP não consegue prever.

Análise paramétrica: LP versus MILP sob estresse

Implementamos essa abordagem variando o passivo do ano 5 de -6.000 a +10.000, resolvendo LP e MILP em cada ponto. O gráfico sobrepõe três curvas: o custo LP (que varia linearmente, pois é a reta implícita nos shadow prices), a previsão do shadow price (que coincide com o LP enquanto a base não muda), e o custo MILP real.

O custo MILP varia em degraus: a solução inteira permanece estável em faixas largas (porque o surplus absorve a perturbação) e salta para um novo patamar quando a perturbação força troca de lotes. Cada degrau corresponde a uma re-composição discreta da carteira.

O contraste entre as duas abordagens fica evidente num exemplo concreto. Se o passivo do ano 5 aumenta em R$ 4.000 (de 16.000 para 20.000), o shadow price prevê um acréscimo de custo de π₅ × 4.000 = 0,7499 × 4.000 ≈ R$ 3.000. Essa é a previsão linear da relaxação LP. Já a re-resolução do MILP mostra que o custo permanece em R$ 62.000, inalterado: a carteira inteira absorve a perturbação via surplus sem precisar ser reestruturada. O erro do shadow price é de R$ 3.000 (a previsão superestima porque assume que a carteira precisaria ser recomposta, quando na verdade o excedente de caixa já é suficiente). Quando a perturbação é ainda maior e ultrapassa a capacidade do surplus (por exemplo, Δ = +8.000), o MILP salta para R$ 63.000, enquanto o shadow price prevê R$ 67.058. Neste caso, o erro é de R$ 4.058, ou 6,5% do custo real.

Essa divergência ilustra por que DeJans recomenda a re-resolução: o shadow price é uma reta, mas o custo real do MILP é uma escada. A reta aproxima bem o patamar atual, mas não antecipa o próximo degrau. A análise paramétrica funciona como validação: se os degraus do MILP acompanham a reta do shadow price, o gestor pode confiar nos duais. Se divergirem, a re-resolução é indispensável.

Custos reduzidos: quais títulos estão próximos da solução?

O custo reduzido de uma variável não-básica (um título que ficou fora da solução ótima) indica quanto seu preço precisaria cair para que passasse a ser selecionado pelo otimizador.

Quatro títulos ficam fora da solução LP: T1 (custo reduzido 66,09), T2 (34,95), T4 (98,38) e T7 (25,05). T7 é o mais próximo da fronteira de inclusão: seu preço precisaria cair cerca de R$ 25 para entrar na carteira. O gestor pode usar custos reduzidos como alertas para títulos que merecem atenção quando condições de mercado mudam.

Implicações práticas

As análises realizadas ao longo do artigo ilustram três usos concretos dos shadow prices e das ferramentas de sensibilidade.

• Precificação interna de passivos: os fatores de desconto implícitos permitem estimar o custo marginal de obrigações adicionais em cada horizonte. A validação what-if confirmou precisão exata para perturbações que não alteram a base ótima, e a análise paramétrica mostrou que, com gap de 0,79%, a previsão linear dos duais aproxima bem o comportamento real do MILP.

• Diagnóstico do universo de títulos: a comparação entre as curvas implícita e de mercado revelou spreads de +891 bps no ano 1 e +157 bps no ano 4, sinalizando onde o universo de instrumentos é insuficiente. Os custos reduzidos complementam esse diagnóstico, indicando quais títulos estão mais próximos da fronteira de inclusão.

• Custo da integralidade como métrica: o gap de 0,79% nesta escala confirma que, para carteiras de porte realista, a restrição de lotes inteiros tem impacto modesto. Se persistir elevado (como em carteiras menores), justifica-se buscar instrumentos mais divisíveis.

Conclusão

A formulação de carteiras dedicadas como programa linear, combinada com a análise dual, fornece mais do que uma carteira ótima. Os shadow prices das restrições de passivo revelam uma estrutura a termo implícita que diverge da curva de mercado nos prazos onde o universo de instrumentos é escasso (+891 bps no ano 1) e converge nos horizontes bem servidos. A comparação por extração iterativa permite ao gestor diagnosticar onde a carteira dedicada impõe custo adicional em relação ao “preço livre” do dinheiro.

As limitações dessa abordagem, discutidas a partir do trabalho de DeJans Jr. (2025), delimitam seu alcance sem invalidá-la. A análise paramétrica mostra que, em carteiras de escala realista (com gap de integralidade de 0,79%), a relaxação LP é uma boa aproximação do MILP, e os shadow prices funcionam como indicadores confiáveis de custo relativo entre prazos. Os custos reduzidos complementam o diagnóstico, identificando títulos na fronteira de inclusão.

A implementação em Julia com JuMP e HiGHS mostra que todo esse instrumental é computacionalmente acessível e pode ser estendido para universos maiores, horizontes mais longos ou restrições adicionais como limites de concentração por emissor.

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Cenários como esse são rotineiros. Uma pesquisa da McKinsey de 2019 revelou que mais de 70% dos grandes bancos possuíam ao menos três sistemas calculando métricas de risco sobrepostas com inconsistências, especialmente em VaR, retornos e spreads. O caso mais emblemático é o do JPMorgan em 2012: o Chief Investment Office utilizava um modelo de VaR com parâmetros diferentes do modelo firm-wide, e quando as perdas começaram a aparecer, a equipe alterou o modelo no meio do trimestre, efetivamente redefinindo a métrica. Limites de risco foram violados mais de 330 vezes em quatro meses sem que houvesse alguma ação, porque o dashboard consolidado não detectou a inconsistência. Perda total: US$ 6,2 bilhões (US SENATE, 2013).

A raiz do problema é a falta de significado compartilhado sobre o que cada dado representa. A convergência entre camadas semânticas e modelos de linguagem (large language models, LLMs) promete preencher esse vazio, codificando uma única vez a definição canônica de cada métrica e permitindo que qualquer consumidor (um dashboard, um relatório regulatório, ou uma pergunta em linguagem natural) obtenha exatamente o número correto para aquela definição.

O problema semântico em dados financeiros internos

Instituições financeiras operam com uma complexidade de dados que poucos setores enfrentam. Uma tesouraria de banco de médio porte mantém dezenas de tabelas de posições, instrumentos, preços, curvas, calendários, limites, contrapartes e eventos corporativos. Sobre essa base, diferentes áreas calculam métricas que, embora compartilhem o mesmo nome, diferem em definição.

Considere o conceito aparentemente simples de “retorno mensal de um ativo”. Existem ao menos três definições válidas:

O retorno aritmético simples. Mas “P_t” é o preço de fechamento do último dia do mês, ou do último dia útil? Ajustado por proventos ou não? E o retorno logarítmico

E o retorno total, que incorpora dividendos reinvestidos:

Um analista de front-office pode usar o retorno aritmético sobre preços de fechamento sem ajuste. O gestor de portfólio usa retorno total com dividendos reinvestidos. O time de risco usa retorno logarítmico para modelagem de distribuições. Se cada um escreve sua própria consulta SQL diretamente contra o banco de dados, o resultado são três números diferentes que, reportados sem contexto, geram confusão e desconfiança.

Mas a ambiguidade das fórmulas é apenas a superfície do problema. Antes de decidir qual fórmula usar, o analista (ou o LLM) precisa encontrar os dados certos dentro de uma topologia que raramente é autoexplicativa.

Uma tesouraria típica de banco de médio porte opera com 80 a 200 tabelas no data warehouse. Os nomes refletem convenções internas acumuladas ao longo de décadas: TB_POSICAO_D0, VW_RISCO_CARTEIRA_HIST, DIM_INSTRUMENTO_RF, FT_MTM_DERIVATIVO, STG_ANBIMA_PRECOS.

Os nomes das colunas são igualmente opacos: dt_ref, dt_pos, dt_liq e dt_cot representam datas diferentes (referência, posição, liquidação e cotação), mas nenhuma documentação inline explica a diferença. vl_mtm, vl_curva, vl_contabil e vl_mercado parecem sinônimos, mas refletem critérios de valorização distintos que afetam diretamente o P&L reportado.

Os relacionamentos entre essas tabelas são o obstáculo mais sério. Para calcular o VaR de uma carteira de renda fixa, por exemplo, não basta consultar uma tabela de “risco”. O caminho real envolve cinco ou seis joins: partir de risk_metrics, encontrar a carteira correta em portfolios, mapear os instrumentos via portfolio_instruments, buscar classificações em instrument_classification para filtrar “renda fixa”, e ainda cruzar com calendars para resolver a data de referência como dia útil.

Um analista que conheça o esquema faz isso sem pensar. Um LLM que receba apenas os nomes das tabelas tem chances consideráveis de escolher o join errado ou ignorar uma tabela intermediária, produzindo um número sintaticamente válido mas semanticamente incorreto.

Essa complexidade estrutural se soma à ambiguidade das fórmulas. O Sharpe ratio pode ser calculado com taxa livre de risco fixa ou variável, com volatilidade histórica ou EWMA. O VaR pode ser paramétrico, histórico ou Monte Carlo, com janelas de 252 ou 504 dias úteis. O duration pode ser Macaulay, modificado ou efetivo. Cada combinação é legítima em seu contexto; o problema surge quando não existe uma autoridade central que defina qual combinação se aplica a qual contexto.

A Gartner estimou em 2021 que organizações perdem, em média, US$ 12,9 milhões por ano (para bancos é ainda maior), devido a problemas de qualidade de dados (GARTNER, 2021). Em finanças, onde um erro de 5% em um relatório regulatório pode gerar multas e sanções, o custo da inconsistência semântica é ainda maior.

Anatomia de uma camada semântica

Uma camada semântica é uma abstração declarativa que se posiciona entre os dados brutos (tabelas, colunas, esquemas físicos) e os consumidores desses dados (dashboards, relatórios, APIs, perguntas em linguagem natural). Sua função é codificar o significado de negócio dos dados, descrevendo o que eles representam independentemente de como estão armazenados.

Tim Berners-Lee propôs em 2001 a visão da Semantic Web: uma extensão da web onde “a informação recebe significado bem-definido, permitindo que computadores e pessoas cooperem melhor” (BERNERS-LEE; HENDLER; LASSILA, 2001). Embora a Semantic Web completa não tenha se materializado como previsto, sua percepção central, de que dados precisam de uma camada descritiva de significado para serem universalmente compreendidos, é exatamente o que as camadas semânticas modernas implementam para dados analíticos.

No mundo de data warehousing, a herança conceitual vem de Ralph Kimball: a modelagem dimensional com tabelas de fatos (medidas numéricas) e tabelas de dimensões (atributos descritivos) é a precursora direta das camadas semânticas modernas (KIMBALL; ROSS, 2013). O que mudou é que a camada semântica atual torna esse modelo lógico agnóstico de banco de dados e agnóstico de ferramenta, com definições que existem independentemente de onde os dados estão armazenados ou de qual ferramenta os consome.

Na prática, uma camada semântica codifica quatro tipos de informação:

Métricas — fórmulas de negócio com definição precisa. Exemplo: var_99_1d é definido como o percentil 1% da distribuição de P&L simulado, sobre a tabela risk_metrics, filtrado por holding_period = 1 e confidence_level = 0.99. Não há ambiguidade: todo consumidor que referencia var_99_1d obtém exatamente esse cálculo.

Dimensões — atributos de corte e filtro. Exemplo: asset_class (renda fixa, renda variável, câmbio), desk (tesouraria, proprietário, hedge), business_date (com lógica de dias úteis embutida).

Relacionamentos — joins pré-definidos entre entidades. A camada semântica sabe que positions se conecta a instruments via instrument_id, que instruments se conecta a issuers via issuer_id, e que prices se conecta a instruments e calendars. Esses caminhos de join são declarados uma vez e reutilizados em qualquer consulta.

Hierarquias — caminhos de drill-down. Exemplo: ano → trimestre → mês → dia útil, ou classe de ativo → subclasse → instrumento.

Uma analogia útil vem da ciência da computação: a camada semântica funciona como um type system para dados analíticos. Assim como um type checker em uma linguagem de programação rejeita a operação string + int em tempo de compilação, antes que o erro chegue à execução, uma camada semântica rejeita combinações inválidas de métricas e dimensões antes que a consulta chegue ao banco de dados. Robin Milner cunhou o princípio de que “programas bem-tipados não dão errado” (MILNER, 1978); analogamente, consultas bem-tipadas pela camada semântica não produzem números errados.

LLMs e text-to-SQL: a promessa e as armadilhas

A ideia de consultar dados em linguagem natural (NLQ, Natural Language Query, ou text-to-SQL) ganhou viabilidade prática com o avanço dos LLMs. Em vez de escrever SQL ou depender de uma equipe de dados para construir cada relatório, o analista simplesmente pergunta “Qual a exposição total a crédito corporativo com rating abaixo de AA?” e recebe a resposta.

Os LLMs são genuinamente bons na compreensão de intenção. Entendem que a pergunta acima pede uma agregação, um filtro e uma dimensão temporal implícita. O problema é traduzir essa compreensão em SQL correto contra um esquema real.

Os benchmarks acadêmicos dimensionam o desafio. O Spider, benchmark fundacional para text-to-SQL (YU et al., 2018), mostrou acurácia de ~86% com os melhores modelos em esquemas limpos. O BIRD, com dados reais e sujos (LI et al., 2023), derruba para 54-72%. O FINCH, primeiro benchmark dedicado a dados financeiros (33 databases, 292 tabelas, 75.725 pares NL-SQL), mostra quedas adicionais de 15-30% em relação aos genéricos.

Uma análise sistemática de erros (FLORATOU et al., 2024) identificou as principais categorias de falha:

Para dados financeiros, o quadro é agravado por fatores que benchmarks genéricos não capturam. Alinhamento temporal é o desafio número um: consultas financeiras quase sempre envolvem dias úteis, anos fiscais, datas de liquidação e as-of dates. Um LLM que gera WHERE date = '2026-03-06' sem verificar se é dia útil pode retornar dados inexistentes. Ações corporativas (splits, bonificações, grupamentos) criam descontinuidades que exigem ajuste nos preços. Esquemas massivos com centenas de tabelas multiplicam as chances de erro.

Na prática, acurácia de 80% em benchmarks genéricos pode significar 50% ou menos em dados financeiros reais. E em finanças, um número aproximado frequentemente é pior que nenhum número, porque gera falsa confiança.

A convergência: camada semântica como guardrail do LLM

Em vez de expor o esquema bruto ao LLM, a abordagem que vem ganhando tração é restringir o espaço de atuação do modelo com um pipeline semântico estruturado em etapas:

1. Pergunta em linguagem natural — a entrada do usuário

2. Intent extraction — o LLM identifica tipo de consulta, entidades e contexto temporal

3. Entity mapping contra o modelo semântico — cada termo é resolvido contra definições pré-existentes. “VaR 99%” é mapeado à métrica var_99 já definida com fórmula, tabela-fonte e filtros canônicos

4. SQL generation restrita — o LLM gera SQL apenas com referências a métricas e dimensões do modelo semântico

5. Validação e execução — a consulta é verificada contra as regras do modelo

6. Resposta formatada + linhagem — resultado com definição da métrica, consulta gerada e linhagem do dado

Em 2024, a AtScale publicou um benchmark usando o dataset TPC-DS com 40 perguntas de negócio que quantifica esse ganho (ATSCALE, 2024):

O salto de 20% para 92,5% confirma o que a análise de erros já sugeria: a camada semântica elimina categorias inteiras de erro. Schema linking incorreto desaparece porque o LLM só referencia entidades mapeadas. Joins errados são raros porque os caminhos são pré-definidos. Ambiguidade de métricas desaparece porque cada métrica tem uma única definição.

Exemplos concretos

Exemplo 1: VaR da carteira de renda fixa

Pergunta do gestor de risco: “Qual foi o VaR 99% da carteira de renda fixa ontem?”

Sem camada semântica, o LLM recebe o esquema bruto com dezenas de tabelas e precisa navegar uma topologia que não é autoexplicativa. Só no perímetro de risco, há tabelas como risk_metrics, risk_scenarios, risk_params_hist e risk_limits. “VaR” aparece como coluna em risk_metrics (vl_var_99, vl_var_95), mas também em risk_daily_summary (var_1d, var_10d), com diferenças sutis de periodicidade e escopo. Para filtrar “renda fixa”, o LLM precisa decidir entre asset_class em portfolios, tp_classe em instrument_classification, ou cd_segmento em DIM_INSTRUMENTO_RF, cada um com granularidades diferentes.

O caminho de join correto envolve cinco tabelas: risk_metrics → portfolios → portfolio_instruments → instruments → instrument_classification. Se o LLM pula a tabela intermediária portfolio_instruments e tenta ligar risk_metrics diretamente a instruments, o resultado é um produto cartesiano ou um filtro que não restringe a carteira corretamente.

E “ontem” precisa ser resolvido como dia útil, consultando calendars (onde dt_ref é diferente de calendar_date). O LLM gera seu melhor palpite, que pode retornar o VaR de toda a carteira sem filtro, usar um dia que não é útil, ou confundir VaR 1-dia com 10-dias. Sem inspecionar a consulta, não há como saber se o número está certo.

Com camada semântica, cada termo é resolvido contra definições pré-existentes:

• “VaR 99%” → métrica var_99_1d: value FROM risk_metrics WHERE metric_type = 'VAR' AND confidence_level = 0.99 AND holding_period = 1

• “carteira de renda fixa” → portfolio_asset_class = 'fixed_income', join pré-definido risk_metrics → portfolios → portfolio_classification

• “ontem” → MAX(business_date) FROM calendars WHERE is_business_day = TRUE AND calendar_date < CURRENT_DATE

Resultado: “O VaR 99% 1-dia da carteira de renda fixa em 06/03/2026 foi de R$ 12,4 milhões. Fonte: risk_metrics, D-1 útil, simulação histórica 504 dias.” O número vem com linhagem.

Exemplo 2: P&L segregado por tratamento contábil

Pergunta do controller: “Qual foi o resultado do desk de câmbio no mês, segregando trading e hedge accounting?”

Sem camada semântica, o LLM não tem como inferir que “resultado” neste contexto significa duas métricas distintas que vivem em locais diferentes do esquema. O P&L de trading vem de FT_RESULTADO_TRADING, calculado com marcação a mercado intraday contra preços de tela, enquanto o P&L de hedge accounting vem de VW_RESULTADO_HEDGE, que aplica preços de fechamento ANBIMA e filtros de classificação IFRS 9 (cd_hedge_type IN ('FAIR_VALUE', 'CASH_FLOW')).

As duas views compartilham colunas de mesmo nome (vl_resultado, dt_ref, cd_desk), mas com semânticas diferentes: vl_resultado em trading inclui ajustes de spread, enquanto em hedge accounting exclui. Um LLM que encontra apenas uma das tabelas retorna uma soma geral que mistura tratamentos contábeis, ou pior, soma as duas views gerando dupla contagem.

Com a camada semântica, o sistema reconhece que “segregando” aciona duas métricas pré-definidas (pnl_trading com regra de mark-to-market intraday, e pnl_hedge_accounting com regra IFRS 9), cada uma com sua tabela-fonte e filtros específicos, e as apresenta lado a lado.

O ecossistema de ferramentas: quem materializa esses conceitos

Os exemplos acima ilustram como camada semântica e NLQ funcionam conceitualmente; na prática, esse pipeline é implementado por plataformas que variam em arquitetura e abrangência. O mercado se organiza em três camadas, cada uma com contrapartidas distintas.

Warehouse-native: a camada semântica embutida no banco

Um exemplo é o Snowflake Cortex Analyst, que permite definir modelos semânticos em YAML diretamente no Snowflake. O LLM (Mistral ou Meta Llama, hospedado dentro do Snowflake) recebe a pergunta em linguagem natural, consulta o modelo semântico para resolver entidades e métricas, e gera SQL executado no warehouse do próprio cliente. O dado nunca sai do perímetro de governança, nem metadata nem prompts. O custo é zero para clientes Snowflake existentes. O Databricks LakehouseIQ segue abordagem similar, mas com diferencial: aprende automaticamente do uso do ambiente de trabalho (notebooks, consultas, dashboards), construindo contexto organizacional de forma incremental. O Google BigQuery + Gemini integra text-to-SQL via Gemini diretamente no console do GCP (Google Cloud Platform).

A vantagem dessa abordagem (warehouse-native) é a fricção zero: se a empresa já usa o warehouse, a camada semântica é uma extensão natural. A limitação é a dependência de fornecedor, pois o modelo semântico é proprietário e preso ao ecossistema do fabricante.

Se a abordagem warehouse-native amarra a camada semântica ao banco, a alternativa é posicioná-la como middleware independente.

Middleware semântico: a camada universal independente

O Cube (D3 platform) é o líder em headless BI, uma camada semântica API-first que serve métricas consistentes via SQL, REST, GraphQL e MDX para qualquer interface. Lançou em 2025 suporte a AI agents nativos e ao MCP (Model Context Protocol), permitindo que agentes de IA consumam métricas governadas. O semantic caching e as pre-aggregations otimizam performance sem sacrificar consistência.

O AtScale posiciona-se como camada semântica universal sobre Snowflake, Databricks e BigQuery. Criou o SML (Semantic Modeling Language), primeira linguagem de código aberto para modelos semânticos, e mantém compatibilidade com Excel e Tableau via MDX/DAX, o que importa para instituições financeiras onde Excel ainda é a interface dominante. Foi a AtScale que publicou o benchmark mostrando o salto de 20% para 92,5% de acurácia com camada semântica.

O dbt Semantic Layer (MetricFlow), código aberto sob Apache 2.0, define métricas junto aos modelos de transformação do dbt. O foco é na definição consistente de métricas, sem NLQ direto, mas serve como fundação semântica que outras ferramentas de NLQ podem consumir.

O Looker (LookML) foi pioneiro em “camada semântica como código” e continua maduro e com forte governança, embora preso ao ecossistema Google Cloud.

Além dessas plataformas estabelecidas, um ecossistema de código aberto vem expandindo as fronteiras do que é possível.

Código aberto e startups: inovação na fronteira

O Wren AI é o projeto de código aberto mais alinhado com a visão de camada semântica + NLQ integrados. Desenvolveu o MDL (Modeling Definition Language), formato em JSON que define modelos semânticos com entidades, relacionamentos, cálculos reutilizáveis e macros. A arquitetura é com privacidade como prioridade: apenas metadata vai ao LLM, nunca dados reais. O Wren Engine transpila “WrenSQL” para o dialeto do banco de destino (PostgreSQL, BigQuery, Snowflake). Com mais de 13 mil stars no GitHub e integração com Apache DataFusion, representa a democratização dessas capacidades.

O Vanna AI usa RAG (Retrieval-Augmented Generation) para text-to-SQL: recupera esquemas, documentação e consultas de exemplo como contexto para o LLM. É mais simples de configurar que uma camada semântica completa, mas não oferece garantias semânticas, pois as definições são implícitas nos exemplos, não declaradas formalmente.

O que todas essas abordagens compartilham é o reconhecimento de que o LLM sozinho não é suficiente e precisa de uma camada de significado de negócio para gerar resultados confiáveis. A diferença entre elas está em onde essa camada vive (no data warehouse, como middleware, ou como serviço independente) e quão formalmente o modelo semântico é especificado.

Governança e auditabilidade: BCBS 239 e o elo com a camada semântica

Uma pergunta natural surge ao adotar essas ferramentas: quem garante que as definições no modelo semântico estão corretas? A resposta passa por governança, e a regulação financeira já oferece um framework para isso.

O Comitê de Basileia publicou em 2013 os princípios BCBS 239 para agregação de dados de risco e reporte, motivado pelas falhas da crise de 2008. O princípio 2 exige que cada elemento de dado tenha uma fonte autoritativa única. O princípio 3 exige agregação automatizada para minimizar erros, com reconciliação explícita entre dados de risco e contábeis. O princípio 6 exige capacidade de gerar dados de risco para requisições ad-hoc, exatamente o que NLQ sobre camada semântica entrega (BIS, 2013).

Mais de uma década depois, a adoção ainda é incipiente: apenas 2 dos 31 G-SIBs (Global Systemically Important Banks) avaliados estavam plenamente em compliance com todos os princípios. O BIS observou que bancos frequentemente mantinham “múltiplas fontes da camada ouro” para a mesma métrica, contradição que persiste (BIS, 2023).

A camada semântica oferece solução estrutural para essa lacuna. Quando métricas são definidas programaticamente, como código versionado, testado e aplicado em tempo de consulta, a definição é a computação. Não há descolamento entre glossário e cálculo real. E como toda consulta gerada por NLQ passa pelo modelo semântico, a linhagem de dados é nativa: de onde veio o número, qual fórmula, quais filtros, qual data de referência.

No Brasil, a Resolução CMN 4.557/2017 incorporou os princípios BCBS 239, exigindo gerenciamento integrado de riscos com definições consistentes. A Circular BACEN 3.678 estabelece divulgação padronizada de métricas de risco. Uma camada semântica que codifica essas definições regulatórias corresponde à compliance embarcada na infraestrutura de dados.

Padronização e futuro

A história das finanças é, em grande parte, uma história de padronização. O FIX Protocol (1992) padronizou ordens eletrônicas. O FpML (ISDA, 1999) padronizou derivativos de balcão. O XBRL (SEC, 2009; CVM, Brasil) padronizou demonstrações financeiras. Em cada caso, o padrão levou anos para ser definido e mais para ser adotado, mas reduziu drasticamente o custo de integração e os erros de interpretação.

A iniciativa Open Semantic Interchange (OSI), lançada em setembro de 2025 por uma coalizão que inclui Snowflake, BlackRock, dbt Labs, Salesforce, ThoughtSpot e mais de 20 organizações, segue essa mesma trajetória. A spec v1.0, publicada em janeiro de 2026 sob Apache 2.0, define um formato agnóstico de fornecedor para métricas, dimensões, relacionamentos e contexto semântico. O objetivo é definir uma métrica uma vez e consumi-la em qualquer ferramenta (SNOWFLAKE, 2025). A presença da BlackRock sinaliza que o setor financeiro reconhece a urgência.

A próxima fronteira é o que a Gartner denominou agentic analytics (GARTNER, 2026): agentes que não apenas consultam, mas monitoram, alertam e recomendam ações com base em métricas governadas. Em vez de o gestor perguntar “Quais fundos estão acima de 90% do limite?”, um agente monitora continuamente e emite alertas proativos, com a confiabilidade da camada semântica garantindo que o cálculo está correto. A Gartner estima que 57% dos times de finanças já estão implementando ou planejando agentic AI (GARTNER, 2025).

Limitações e riscos

A consistência que as camadas semânticas proporcionam vem acompanhada de desafios próprios que merecem atenção.

O viés de cobertura é o mais significativo: o sistema só responde sobre o que está modelado. Se uma métrica não foi definida, a pergunta não funciona ou é respondida de forma incompleta. O usuário pode concluir que “se respondeu, está certo”, quando o modelo cobria apenas parte do necessário.

O custo de manutenção é significativo. Esquemas legados de instituições financeiras são massivos, com centenas de tabelas que evoluíram ao longo de décadas. Modelar esse patrimônio é projeto de meses ou anos, e o modelo precisa ser mantido continuamente com novos produtos, métricas regulatórias e mudanças contábeis.

Os LLMs, mesmo restritos, ainda podem gerar SQL sintaticamente correto mas semanticamente errado nas faixas de alta complexidade. O benchmark da AtScale mostra 70% no nível máximo, melhora expressiva sobre 0%, mas longe da infalibilidade. A revisão humana continua necessária para decisões de alta consequência.

E há o risco organizacional: se o modelo semântico é mantido por uma equipe técnica sem validação das áreas de negócio, as definições podem não refletir o entendimento correto. A camada semântica transfere o problema de inconsistência distribuída para governança centralizada, mas não elimina a necessidade de julgamento humano sobre o que cada métrica deve significar.

Implicações para o profissional de finanças

A convergência entre camadas semânticas e LLMs muda o contrato entre o dado e seu consumidor. Em vez de “pergunte ao analista de dados e espere o relatório”, o contrato passa a ser “pergunte diretamente, em linguagem natural, e receba uma resposta auditável, com a mesma definição que qualquer outro consumidor receberia”. Trata-se de construir uma infraestrutura de confiança.

Na prática, gestores de risco ganham acesso a perguntas ad-hoc sobre VaR, exposição e limites sem depender de relatórios pré-construídos, com a garantia de que os números são consistentes com o que é reportado ao regulador. Controllers passam a reconciliar P&L entre tratamentos contábeis de forma transparente, com linhagem do dado. Compliance pode monitorar continuamente em vez de auditar periodicamente. E tesoureiros consultam posições e liquidez em tempo real com a mesma confiabilidade dos relatórios formais.

O valor concreto está na eliminação daquela reunião improdutiva da segunda-feira: quando todos os consumidores de dados obtêm o número a partir da mesma definição canônica, a discussão deixa de ser “qual número está certo” e passa a ser “o que fazemos a respeito”.

Referências

ATSCALE. Unveils Breakthrough in Natural Language Processing with Semantic Layer and Generative AI. AtScale Press Release, 2024.

BERNERS-LEE, Tim; HENDLER, James; LASSILA, Ora. The Semantic Web. Scientific American, v. 284, n. 5, p. 34-43, maio 2001.

BIS — BANK FOR INTERNATIONAL SETTLEMENTS. Principles for effective risk data aggregation and risk reporting (BCBS 239). Basileia: BIS, jan. 2013.

BIS — BANK FOR INTERNATIONAL SETTLEMENTS. Progress in adopting the Principles for effective risk data aggregation and risk reporting. Basileia: BIS, nov. 2023.

DAMA INTERNATIONAL. DAMA-DMBOK: Data Management Body of Knowledge. 2. ed. Denville: Technics Publications, 2017.

FLORATOU, Avrilia et al. Text-to-SQL Error Analysis and Taxonomy. Proceedings of the VLDB Endowment, v. 17, 2024.

GARTNER. Data Quality Market Survey. Stamford: Gartner, 2021.

GARTNER. Market Guide for Agentic Analytics. Stamford: Gartner, 2026.

GARTNER. Agentic AI Will Transform Finance: What CFOs Should Do Now. Stamford: Gartner, 2025.

KIMBALL, Ralph; ROSS, Margy. The Data Warehouse Toolkit: the definitive guide to dimensional modeling. 3. ed. Indianapolis: Wiley, 2013.

LI, Jinyang et al. Can LLM Already Serve as A Database Interface? A BIg Bench for Large-Scale Database Grounded Text-to-SQL. In: NeurIPS 2023 Datasets and Benchmarks Track, 2023.

MILNER, Robin. A Theory of Type Polymorphism in Programming. Journal of Computer and System Sciences, v. 17, n. 3, p. 348-375, 1978.

SNOWFLAKE. Snowflake, Salesforce, dbt Labs, and More, Revolutionize Data Readiness for AI with Open Semantic Interchange Initiative. Press Release, set. 2025.

US SENATE PERMANENT SUBCOMMITTEE ON INVESTIGATIONS. JPMorgan Chase Whale Trades: A Case History of Derivatives Risks and Abuses. Washington: US Senate, mar. 2013.

YU, Tao et al. Spider: A Large-Scale Human-Labeled Dataset for Complex and Cross-Domain Semantic Parsing and Text-to-SQL Task. In: EMNLP 2018, p. 3911-3921, 2018.

ZHANG, Qianren et al. FinSQL: Model-Agnostic LLMs-based Text-to-SQL Framework for Financial Analysis. arXiv:2401.10506, 2024.

Em instituições bancárias modernas, a determinação precisa do custo de oportunidade para a precificação de ativos e gestão de passivos passou de mera função de conformidade contábil para se tornar um dos pontos mais importantes da estratégia de rentabilidade e solvência.

O paradigma tradicional, que tratava o banco como um intermediário estático entre depositantes e tomadores, tornou-se obsoleto diante da volatilidade dos mercados de juros, da sofisticação dos produtos financeiros e da rigorosa regulação de liquidez imposta por Basileia III. A administração do Funds Transfer Pricing (FTP) evoluiu de um simples repasse interno de custos para um instrumento central de gestão de riscos de taxa de juros e liquidez, bem como de medição de rentabilidade ajustada ao risco (ROLAND BERGER, 2017).

Em outras palavras, o FTP permite transferir os custos e benefícios de liquidez e risco de taxa para as unidades geradoras de negócio, influenciando diretamente a composição do balanço e a precificação dos produtos financeiros (CADAMAGNANI; HARIMOHAN; TANGRI, 2015).

No banco moderno, as operações de crédito e tesouraria são financiadas por um passivo híbrido e dinâmico e é uma amálgama complexa que inclui depósitos sem vencimento (Non-Maturity Deposits, NMDs), depósitos de poupança, Certificados de Depósito Bancário (CDBs), Letras Financeiras (LFs), dívida subordinada e capital próprio. A composição desse mix não é estática; evolui organicamente conforme o balanço se expande, os produtos amadurecem e as estratégias comerciais são executadas.

A problemática central reside no fato de que o custo marginal de financiamento de um banco se altera conforme a estrutura do balanço se modifica. Por exemplo, um banco em fase de expansão agressiva de crédito frequentemente exaure sua capacidade de captar depósitos de varejo baratos (os chamados core deposits) e é forçado a recorrer a fontes de mercado mais onerosas e voláteis.

Como será discutido, modelos de precificação de transferência de fundos que ignoram essa dinâmica, baseando-se apenas em custos médios históricos ou em curvas de atacado puras, falham em capturar a realidade econômica da instituição, levando a decisões subótimas de alocação de capital e riscos à rentabilidade de longo prazo.

Este artigo detalha a construção de uma curva de transferência de preços baseada no mix de funding prospectivo. Esta metodologia busca superar as limitações das abordagens tradicionais ao incorporar projeções dinâmicas da estrutura futura de capital na derivação da taxa de transferência. O objetivo é fornecer um arcabouço teórico e prático para instituições que buscam alinhar seus incentivos internos de precificação com a realidade projetada de seus custos de liquidez, garantindo a sustentabilidade da margem financeira no longo prazo. Em especial, destacamos as vantagens do método de mix prospectivo de funding em relação às duas abordagens convencionais (custo médio histórico e custo marginal único), evidenciando como o modelo dinâmico captura melhor os riscos e incentivos envolvidos.

Superando modelos simplistas na gestão de ALM

Para justificar a implementação de um modelo com maior complexidade computacional e teórica como o mix de funding prospectivo, é imperativo analisar criticamente as metodologias predecessoras e compreender onde elas falham na gestão moderna de Ativos e Passivos (ALM - Asset Liability Management). A persistência de modelos subótimos em muitas instituições deve-se frequentemente à simplicidade operacional, mas o custo oculto dessa simplicidade manifesta-se na forma de seleção adversa de portfólio, destruição de valor na originação de crédito e exposição não monitorada a riscos de liquidez.

A falha do “average cost” (custo médio histórico)

A abordagem do custo médio ponderado histórico (Weighted Average Cost of Funds - WACF) calcula o custo dos fundos dividindo-se a despesa total de juros paga sobre o estoque atual de passivos pelo volume médio desses passivos. Esse valor único, geralmente refletindo uma taxa média dos fundings obtidos no passado, é então utilizado como a taxa de transferência (FTP) para precificar novos empréstimos e avaliar unidades de negócio. Embora simples de implementar, essa abordagem incorre em um viés retrospectivo severo, atuando como uma visão pelo retrovisor.

Análise crítica e riscos:

A desconexão entre o custo do estoque legado e o custo marginal da nova tranche de ativos é o problema fundamental do método de custo médio. O uso de uma única taxa histórica implica em subprecificação dos ativos novos em cenários de crescimento, e superprecificação em cenários de contração, por não refletir as condições correntes de mercado (HOVIK, 2012).

Em uma fase de expansão acelerada, por exemplo, a instituição tende a consumir a maior parte de seus depósitos transacionais de baixo custo e precisa captar a custos marginais de mercado em fontes mais onerosas (como LFs ou mercado interbancário). Ao precificar novos empréstimos com base na média histórica, artificialmente baixa devido à contribuição de depósitos antigos baratos, o banco incorre em perda de valor econômico, pois o retorno do novo ativo pode ficar aquém do custo real da dívida marginal contraída para financiá-lo.

Esse fenômeno citado leva a destruição de valor na expansão: ativos crescem com margem econômica negativa na ponta, mascarada por um FTP muito baixo. Além disso, o FTP de custo médio provoca subsídios cruzados opacos: o benefício econômico gerado por depositantes antigos e estáveis (o valor da franquia de passivos de varejo) é transferido para subsidiar taxas de empréstimos artificialmente baixas para novos tomadores.

Essa diluição da realidade de custos mascara a rentabilidade real da originação de crédito e distorce incentivos internos, desestimulando áreas de captação a buscar funding a taxas de mercado, já que o custo “interno” permanece baixo. De forma geral, especialistas consideram o modelo de taxa média única excessivamente simplista e desconectado das condições atuais de mercado (WYLE; TSAIG, 2011; HOVIK, 2012).

A falha do “single marginal cost” (custo marginal único de atacado)

Em resposta às falhas evidentes do custo médio, muitas instituições migraram para o FTP de custo marginal de atacado, onde cada novo empréstimo é precificado como se fosse financiado integralmente no mercado de capitais, casando o prazo do ativo com o prazo do passivo (matched maturity). Essa abordagem, por construção, incorpora o conceito de custo de oportunidade e a estrutura a termo da taxa de juros (curva de yield), atribuindo a cada operação o custo marginal vigente de captação para aquele prazo.

Análise crítica e riscos:

Apesar de conceitualmente superior ao custo médio por olhar para frente, o modelo de custo marginal único padece de excesso de conservadorismo quando aplicado a bancos comerciais de varejo com bases significativas de depósitos. Ao assumir que todo funding marginal provém de dívida emitida no atacado (como LFs ou bonds), ignora-se deliberadamente o valor da franquia de depósitos de varejo que o banco construiu. Bancos universais investem capital significativo em agências, plataformas digitais, marketing e marca para atrair depósitos transacionais e de poupança a custos muito inferiores aos do mercado interbancário; desprezar essas fontes estáveis é tratar o banco como uma financeira pure play de atacado, sem base de clientes.

A abordagem citada resulta em perda de competitividade comercial: ao carregar o FTP com todo o spread de crédito institucional do banco (o prêmio de risco idiossincrático que o mercado exigiria para emprestar àquela instituição), o custo de transferência torna-se artificialmente alto. Unidades de negócio de crédito tenderão a rejeitar operações que, na realidade do mix de funding do banco, seriam rentáveis, ou terão de cobrar taxas finais muito acima do mercado para atingir o hurdle rate interno.

O resultado é a perda de participação de mercado para concorrentes que utilizam modelos mais ajustados à sua estrutura de custo real, ou a concentração em perfis de risco de crédito mais elevados (para justificar o FTP alto). Evidências empíricas confirmam essa distorção: um estudo de caso recente mostrou que um modelo FTP baseado exclusivamente em custo de atacado apresentou margens projetadas inconsistentes com as margens reais observadas, principalmente sob condições de alta de juros, revelando subprecificação do valor dos depósitos e ineficiência na alocação de capital (KNOWLES; SUNDBERG, 2024). Em suma, o FTP marginal puro ignora o benefício econômico dos depósitos estáveis, resultando em preços internos demasiadamente conservadores e desalinhados do perfil real de custos do banco (CADAMAGNANI et al., 2015).

Além disso, o single marginal cost abstrato desconsidera as próprias restrições de mercado para alongar passivos no mesmo prazo dos ativos, o que é particularmente agudo em economias como a brasileira, onde ainda faltam referenciais líquidos de taxa de juros de muito longo prazo e a profundidade do mercado de debêntures e bonds corporativos é limitada em comparação ao volume de crédito bancário (FGV CERI, 2017).

Na prática, mesmo grandes bancos financiam carteiras longas por meio da rolagem sucessiva de instrumentos de prazo mais curto (depósitos a prazo, LFs, compromissadas, captações externas), gerindo risco de refinanciamento, prêmio de liquidez e risco de base em janelas discretas; um FTP que precifica cada operação como se fosse “travada” hoje, de ponta a ponta, em dívida bullet perfeitamente casada, abstrai dessas dinâmicas intertemporais de rolagem e de sua interação com cenários de estresse (SEGURA; SUAREZ, 2016; BCBS, 2013).

Ao mesmo tempo, o modelo marginal puro ignora que o descasamento de prazos entre ativos e passivos é justamente uma característica inerente e economicamente desejável da intermediação bancária, que é a transformação de maturidade e que deve ser limitada e precificada por capital, limites e métricas de liquidez como LCR e NSFR, e não eliminada por hipótese de casamento perfeito de prazos (BANCO CENTRAL DO BRASIL, 2011; SEGURA; SUAREZ, 2016; BCBS, 2013).

Com isso, ao impor um custo marginal único de atacado de longo prazo como se fosse replicável para todo o balanço, o FTP marginal puro tende simultaneamente a superestimar o custo econômico de funding de longo prazo em mercados rasos e a subestimar o valor da franquia de depósitos e da capacidade do banco de gerar, de forma controlada, transformação de maturidade ao longo do tempo.

A solução: mix de funding prospectivo (prospective blended mix)

A metodologia proposta de mix de funding prospectivo emerge como uma síntese dialética superior entre o custo médio (que olha para o passado) e o custo marginal de atacado (que ignora a base barata de varejo). Ela reconhece que a “última unidade monetária” captada para financiar o crescimento futuro não é puramente atacado nem puramente varejo, mas sim um novo mix híbrido que evolui no tempo conforme o balanço se expande ou se contrai.

Este modelo assume que o banco possui uma capacidade finita de saturação para diferentes fontes de liquidez. Conforme o balanço cresce, as fontes baratas e inelásticas (como depósitos à vista) se diluem proporcionalmente, e a dependência de fontes sensíveis a preço (CDBs de grandes investidores e dívida de atacado) aumenta progressivamente.

O FTP, portanto, não deve ser tratado como um ponto estático, mas como uma curva a termo dinâmica que reflita essa mudança na estrutura de capital ao longo da vida de cada operação. Diferentemente do FTP tradicional, o custo de funding atribuído a um ativo de prazo longo já incorpora, na data de originação, o encarecimento esperado do passivo ao longo dos anos futuros.

Vantagens do mix de funding prospectivo:

Em contraste com as abordagens simplistas anteriores, o modelo prospectivo oferece diversos benefícios estratégicos e operacionais:

• Alinhamento com a realidade econômica: Combina o melhor do método do custo médio e do custo marginal, evitando as distorções de ambos. O preço de transferência passa a refletir tanto o benefício do funding atual barato quanto o custo incremental das fontes futuras necessárias, alinhando os incentivos internos com os verdadeiros custos de liquidez projetados (CADAMAGNANI et al., 2015).

• Precificação competitiva e sustentável: Permite precificar ativos de forma competitiva no presente (aproveitando a base de depósitos de baixo custo disponível) sem subprecificar o risco de liquidez de longo prazo. Assim, evita-se tanto a complacência perigosa do FTP histórico quanto o conservadorismo excessivo do FTP 100% de spreads de mercado, assegurando que o banco ganhe negócios hoje sem abrir mão da margem de amanhã.

• Valorização da franquia de depósitos: Reconhece explicitamente o valor econômico gerado pelos depósitos estáveis de varejo, creditando às unidades captadoras um FTP condizente com esse valor e, ao mesmo tempo, protege a margem das unidades de crédito contra a futura escassez de funding barato. Diferentemente do FTP marginal único, o modelo prospectivo remunera adequadamente a rede de captação pela estabilidade proporcionada (CADAMAGNANI et al., 2015).

• Proteção da margem financeira no longo prazo: Ao antecipar o efeito da migração do mix de funding (de fontes baratas para caras) na precificação atual, o banco imuniza sua margem de juros contra a provável deterioração dos índices de liquidez em cenários de crescimento. Em outras palavras, o spread de transferência torna-se robusto a mudanças estruturais do balanço, contribuindo para a perenidade da rentabilidade.

Em resumo, o FTP por mix prospectivo não é um ponto ou porcentagem fixa, mas sim uma trajetória de taxas internas que se alteram conforme o horizonte do fluxo de caixa. A adoção dessa abordagem permite ao banco equilibrar finemente a necessidade de competitividade (no curto prazo) com a de solvência e rentabilidade sustentável (no longo prazo), superando as armadilhas dos modelos simplistas precedentes.

Estrutura e modelagem do mix de funding prospectivo

A construção da curva de funding prospectiva parte da decomposição do passivo em grandes blocos de captação – depósitos sem vencimento (contas à vista e poupança), depósitos a prazo de varejo/private, funding de atacado e capital próprio. Cada bloco tem dinâmica própria de prazo, custo e estabilidade; o FTP agregado só faz sentido se essas premissas comportamentais e de mercado forem tratadas de forma consistente.

Nos depósitos sem vencimento (NMDs), o desafio é óbvio: não há vencimento contratual, mas os saldos se mostram estáveis no agregado. A prática consolidada é usar uma carteira de replicação que separa os saldos em:

• parcela volátil, sensível a saques de curto prazo e sazonalidade, tratada como passivo de curtíssimo prazo remunerado a uma taxa flutuante (ex.: CDI overnight);

• parcela core, pouco sensível à taxa, com duração comportamental de médio ou longo prazo, replicada por uma carteira “ladder” de títulos, suavizando o impacto de choques de juros sobre a margem (WYLE; TSAIG, 2011).

O custo dos NMDs não é zero: mesmo com taxa nominal nula em conta corrente, existem custos operacionais e de hedge/replicação para transformar um passivo comportamentalmente longo em liquidez diária. Em termos simplificados:

Assim, o FTP reconhece simultaneamente o valor da franquia de depósitos e a opcionalidade de saque embutida.

Nos depósitos a prazo (CDB, RDB, LCI, LCA), o prazo contratual é definido, mas a capacidade de renovação e de captação incremental depende da taxa oferecida frente ao mercado. O modelo prospectivo projeta tanto o estoque quanto o “dinheiro novo” a partir de uma elasticidade-preço:

onde β mede o apetite dos clientes por migração de recursos. Além da elasticidade direta, há o efeito de canibalização interna: ao elevar a taxa para atrair novos recursos, o banco tende a aumentar o custo de rolagem da base existente. No FTP, essa captação é precificada por uma curva de juros de mercado acrescida de um spread comercial que reflete o prêmio necessário para sustentar e expandir volumes, calibrado por dados históricos e pela elasticidade estimada.

Já o funding de atacado (Letras Financeiras, dívida subordinada, empréstimos sindicalizados, bonds, linhas profissionais) atua como fonte marginal de última instância. Em geral, é mais caro e mais volátil, com custo para um prazo (m) decomposto como:

No contexto prospectivo, não basta observar o spread atual: é preciso projetar como o risco da instituição e o ambiente macro podem alterar spreads futuros, incorporando um forward credit spread nos prazos mais longos. Essa abordagem está alinhada às discussões recentes sobre o papel da tesouraria e da curva de funding marginal na precificação interna (CADAMAGNANI et al., 2015).

Curva prospectiva de funding, FTP completo e governança

Uma vez modelados os componentes, o passo seguinte é projetar o balanço futuro e transformar essas premissas em uma única curva de transferência. Para cada período (t), o banco projeta os volumes das fontes de recursos.

Uma maneira simplificada é adotar que funding de atacado necessário aparece como gap residual, supondo que os outros volumes sejam conhecidos e determinísticos.

Esse exercício deixa claro em que medida o crescimento dos ativos “empurra” o banco para fontes mais caras ao longo do horizonte. Em muitos casos, o mix sai de uma predominância de varejo para maior dependência de atacado em cenários de forte expansão.

A partir dos volumes projetados, definem-se pesos dinâmicos para cada silo (i):

Associando-se a cada fonte uma curva de custo específica (taxa de referência + spread), obtém-se, em cada período (t), um custo blendado do funding:

A taxa base prospectiva aplicada hoje a um ativo com prazo é a taxa interna de retorno dessa sequência de custos futuros:

O resultado é uma curva forward de funding específica do banco, distinta da curva de juros de mercado. Dois bancos sob o mesmo cenário macro, mas com bases de depósitos e perfis de atacado distintos, terão curvas FTP prospectivas diferentes. Em termos econômicos, se hoje o custo blendado é CDI + 0,5 p.p., mas as projeções indicam que, em alguns anos, o banco dependerá mais de atacado a CDI + 1,2 p.p., o FTP de um empréstimo de 5 anos deve ser uma taxa intermediária composta, e não simplesmente o nível atual nem o nível futuro isoladamente.

Sobre essa curva base são empilhadas camadas adicionais que produzem o FTP completo:

O custo regulatório incorpora, por exemplo, compulsórios que reduzem a fração de recursos utilizável e podem ser pouco ou não remunerados, além de contribuições ao FGC em depósitos elegíveis. Ignorar esses efeitos superestima a margem dos produtos lastreados em depósitos regulados e contraria práticas recomendadas em guias de FTP voltados a risco de funding e liquidez (FEDERAL RESERVE; FDIC; OCC, 2016).

O prêmio de liquidez contingente reflete o carry negativo de manter ativos de alta liquidez (HQLA) para cumprir LCR e NSFR e o fato de que operações longas “travam” o balanço por mais tempo. Em geral, materializa-se como um term liquidity premium crescente com o prazo do ativo e um buffer cost disseminado sobre as operações que consomem liquidez estrutural.

O custo de hedge reflete custos decorrentes da necessidade de imunizar a diferença de moeda e indexadores entre ativos e passivos, pode-se referir a custos de transação acima das curvas de mercado e, também, para remunerar outros riscos decorrentes da necessidade do hedge, como escorregamento de taxas, entre outros.

Por fim, entram os ajustes de política: descontos de FTP em produtos estratégicos (subsídio no ativo) ou FTP interno mais generoso para certas captações (incentivo na origem de funding). Esses ajustes devem ser explícitos e temporários, aprovados em fóruns de governança como o ALCO, e apresentados separadamente do FTP “técnico”, para que se saiba exatamente onde a instituição está abrindo mão de resultado em prol de objetivos estratégicos (CADAMAGNANI et al., 2015; FEDERAL RESERVE; FDIC; OCC, 2016).

Claro, há outras coisas a considerar no custo do empréstimo final além dos citados, como opcionalidades embutidas e oferecidas aos clientes, o spread de risco e o spread do banco para pagar despesas administrativas e tributárias e remunerar o capital dos acionistas.

Um exemplo numérico simples ajuda a fixar a lógica no custo FTP mencionado: considere um empréstimo bullet de 2 anos de R$ 100 milhões, com CDI a 10% a.a., depósitos de varejo a 6% a.a. e atacado a 10% a.a. Suponha que, no Ano 1, o banco consiga financiar metade com depósitos e metade com atacado, mas, no Ano 2, dependa basicamente de atacado.

• Um FTP de custo médio histórico (6% a.a.) tornaria a operação aparentemente muito rentável hoje, mas comprimida no Ano 2, quando o funding efetivo migrar para 10%.

• Um FTP marginal único de atacado (10% a.a.) levaria o negócio a ser recusado ou precificado fora do mercado, embora seja economicamente viável com uso adequado de depósitos (CADAMAGNANI et al., 2015).

• O FTP de mix prospectivo calcula uma taxa intermediária (próximo de 8% a.a.) que incorpora o benefício inicial do funding barato e o encarecimento futuro, preservando margem ao longo da vida da operação.

Para que tudo isso funcione, a governança é crucial. O ALCO passa a ser guardião das premissas de crescimento, estrutura de funding e subsídios internos realizando backtesting sistemático entre o mix projetado e o realizado e ajustando as curvas FTP para novas originações sempre que o balanço real se afastar do plano. Do lado tecnológico, o banco precisa de motor de cálculo capaz de lidar com curvas forward múltiplas, pesos dinâmicos e simulações de cenários (what-if), além de relatórios gerenciais que separem claramente: margem dos ativos, margem dos passivos, resultado de tesouraria (transformação de prazos e liquidez) e efeitos de subsídios.

Em síntese, o mix de funding prospectivo desloca o FTP de um exercício estático para um framework intertemporal: precifica hoje as operações com base na trajetória esperada de funding, nos limites de captação e nas restrições regulatórias e de liquidez. Dessa forma, evita as armadilhas do custo médio e do custo marginal único, alinha incentivos internos à realidade econômica do balanço e aproxima a prática de gestão de resultados das melhores referências internacionais em ALM e FTP (CADAMAGNANI et al., 2015; FEDERAL RESERVE; FDIC; OCC, 2016; WYLE; TSAIG, 2011).

Referências bibliográficas

BANCO CENTRAL DO BRASIL (BCB). (2011). Comunicado nº 20.615, de 17 de fevereiro de 2011 – Orientações preliminares e cronograma relativos à implementação, no Brasil, das recomendações de Basileia III. Brasília: Banco Central do Brasil.

BASEL COMMITTEE ON BANKING SUPERVISION (BCBS). (2013). Basel III: The Liquidity Coverage Ratio and liquidity risk monitoring tools. Basel: Bank for International Settlements.

BASEL COMMITTEE ON BANKING SUPERVISION (BCBS). (2014). Basel III: The Net Stable Funding Ratio. Basel: Bank for International Settlements.

CADAMAGNANI, F.; HARIMOHAN, R.; TANGRI, K. (2015). A bank within a bank: how a commercial bank’s treasury function affects the interest rates set for loans and deposits. Bank of England Quarterly Bulletin, 2015 Q2, p. 153–161.

FEDERAL RESERVE; FDIC; OCC. (2016). Interagency Guidance on Funds Transfer Pricing Related to Funding and Contingent Liquidity Risks. Supervision and Regulation Letter 16-3, Board of Governors of the Federal Reserve System, March 2016.

FGV CERI. (2017). Long-term Finance and Risk Allocation. Rio de Janeiro: Fundação Getulio Vargas, Centro de Estudos em Regulação e Infraestrutura (FGV CERI).

HOVIK, T. (2012). Revisiting Funds Transfer Pricing. Conference Paper, SSRN Electronic Journal, DOI: 10.2139/ssrn.1980186.

KNOWLES, A.; SUNDBERG, E. (2024). Investigating Funds Transfer Pricing in Banking: A Comprehensive Case Study of a Swedish Medium Sized Mortgage Bank. Master’s Thesis, KTH Royal Institute of Technology, Stockholm.

RITCHIE, F. (2016). Funding Liquidity Risk and Fund Transfer Pricing in Banking. MSc Dissertation, Heriot-Watt University.

SEGURA, A.; SUAREZ, J. (2016). How excessive is banks’ maturity transformation? Temi di Discussione (Working Papers), n. 1065, Bank of Italy.

WYLE, R.; TSAIG, Y. (2011). Implementing High Value Funds Transfer Pricing Systems. Moody’s Analytics (White Paper).

As pensões por morte representam um benefício vitalício ou temporário pago aos dependentes de um participante falecido em planos previdenciários de Benefício Definido (BD). Calcular de forma precisa o custo atuarial desses benefícios é fundamental para fundos de pensão (EFPC) e seguradoras, pois afeta a solvência e o pricing de produtos de risco.

A avaliação de encargos e reservas de pensão por morte auxilia na gestão de riscos biométricos: por exemplo, quantificar quantos anos de benefício, em média, custará a pensão dos dependentes de um participante que venha a falecer em determinada idade.

Este artigo explora a metodologia implementada no projeto pq_heritor, que calcula de forma granular o encargo atuarial e a reserva matemática associados à pensão por morte, com base em dados demográficos brasileiros.

Serão abordadas as fontes de dados utilizadas (PNAD Contínua), as metodologias desenvolvidas em cada etapa (tábua de conjugalidade, distribuição de diferença etária – age gap –, distribuição de filhos dependentes) e as premissas atuariais adotadas para o cálculo do encargo (benefício por morte) e da reserva técnica correspondente.

Convém destacar que tais cálculos são úteis em situações como: projeção do passivo atuarial de planos BD com pensão por morte, definição de prêmios de seguro ou contribuições necessárias para cobrir o risco de morte de participantes, e análise de sensibilidade a mudanças demográficas (por exemplo, tendências de menores taxas de casamentos ou fecundidade) no contexto previdenciário.

Função de heritor é a função que, dada a idade/sexo do participante e a composição familiar estimada (conjugalidade, age gap e filhos), retorna o valor presente esperado das pensões por morte em “anos de benefício”, base para o cálculo de encargo e reserva em planos BD/EFPC.

Em suma, a função de heritor desenvolvida visa aprimorar as bases técnicas para avaliação de pensão por morte, fornecendo subsídios a analistas quantitativos e atuários na tomada de decisões informadas em EFPC e regimes previdenciários BD.

O presente trabalho é somente um exercício para servir de referência. A realidade de cada fundo de pensão é um caso particular, a ser analisado com cuidado.

Fonte de dados e população alvo

A base de informações demográficas utilizada é a Pesquisa Nacional por Amostra de Domicílios (PNAD), conduzida pelo IBGE. Especificamente, foi empregada a PNAD Contínua anual, tomando os microdados de 2023 como referência para a composição familiar da população brasileira.

Este rico conjunto de dados amostrais inclui características de todos os membros do domicílio, permitindo identificar relações de parentesco, condição conjugal, número de filhos, etc. A fim de derivar hipóteses atuariais realistas, o projeto analisa tanto a população geral do Brasil quanto o subgrupo de servidores públicos estatutários.

Os servidores públicos civis são foco de interesse por possuírem perfis demográficos um pouco distintos da média da população. Por exemplo, podem apresentar taxas de casamento diferentes ou padrões familiares específicos. No entanto, como a amostra de servidores dentro da PNAD é relativamente menor, as estimativas diretas para esse grupo podem ser voláteis.

Por isso, emprega-se um modelo de credibilidade para combinar informações da população geral com as dos servidores, garantindo estimativas robustas e sem vieses. Todos os cálculos utilizam os pesos amostrais do IBGE para assegurar representatividade populacional.

Em síntese, a fonte de dados confere base empírica às hipóteses atuariais de proporção de participantes casados, distribuição de idades de cônjuges e existência de filhos dependentes, fundamentais para o cálculo do encargo de pensão por morte.

Tábua de conjugalidade (probabilidade de cônjuge por idade)

A primeira etapa da modelagem consiste em construir uma tábua de conjugalidade, isto é, estimar a probabilidade P₍c₎(x) de um indivíduo de idade x ter cônjuge (esposo/a ou companheiro/a) vivo. A PNAD fornece diretamente a condição no domicílio: considera-se que um participante possui cônjuge se no domicílio houver alguém classificado como cônjuge/companheiro(a). Os códigos 02 ou 03 na variável de relação domiciliar, que abrangem cônjuges de sexo diferente ou do mesmo sexo.

Calcula-se então, para cada idade e sexo, a proporção de pessoas casadas ou em união estável. Essa proporção varia conforme a idade: em idades jovens é baixa, devido ao grande número de solteiros, atinge um pico na meia-idade quando a maioria das pessoas já casou, e tende a cair em idades muito avançadas, especialmente para mulheres, devido à viuvez.

No projeto, obteve-se, por exemplo, que na população geral masculina a prevalência de casados atinge cerca de 80-85% por volta dos 50 anos de idade, enquanto para mulheres atinge um pico um pouco menor e declina mais acentuadamente após os 70 anos, devido ao falecimento de cônjuges homens, que possuem menor longevidade média.

Para o subgrupo de servidores públicos, essas probabilidades brutas por idade sofrem muita variabilidade em idades extremas, devido ao menor tamanho amostral. Por exemplo, se entre servidores de 25 anos houve poucos casos casados na amostra, a taxa poderia sair artificialmente baixa.

Para obter uma tábua mais confiável, aplicou-se um modelo de credibilidade Bühlmann-Straub (Bühlmann; Straub, 1970) combinando a experiência dos servidores com a da população geral. Em essência, assume-se que a curva de proporção casados dos servidores difere da geral por um deslocamento (shift) aproximadamente constante em certas faixas etárias. De fato, ao analisar os dados se identificou um pequeno diferencial: servidores do sexo masculino apresentam taxa de casamento ligeiramente superior à média (+1,55 ponto percentual), enquanto servidoras femininas exibem taxa ligeiramente inferior à média da população (-0,64 p.p.). Com base nisso, para idades com pouca representatividade de servidores (<30), ajusta-se a curva geral adicionando Δ (esses diferenciais) e então calcula-se uma combinação credível:

onde n_serv,x é o tamanho amostral (ponderado) de servidores na idade x e k é um parâmetro relacionado à variância. No projeto, adotou-se k como a raiz do número de médio de servidores. A proporção final credível fica

Com poucas observações, n pequeno, tipicamente em idades extremas, Z será baixo e a estimativa puxará mais para a curva geral ajustada; com muitos dados n grande, idades medianas, Z fica alto e preserva-se mais a experiência específica dos servidores Após essa etapa, aplica-se uma suavização por média móvel ponderada para eliminar serrilhados restantes. Utilizou-se uma janela de 5 anos e realizou-se 3 iterações, combinando a curva suavizada parcialmente com 30% da curva geral para ancorar as extremidades. Esse procedimento de graduação segue princípios atuariais clássicos (Spencer, 1904) para garantir que a tábua final de conjugalidade seja monótona e bem-comportada, sem flutuações irregulares, tornando-a apropriada para uso atuarial. O resultado é uma tábua de probabilidades de possuir cônjuge por idade P₍c₎(x), diferenciada por sexo, específica para servidores, mas fundamentada em dados populacionais nacionais, preenchendo uma lacuna importante, já que tábuas conjugais publicadas geralmente refletem outras populações.

Diferença de idade entre cônjuges (age gap)

De posse da probabilidade de existência de cônjuge em cada idade, o próximo passo é modelar a diferença de idade entre os cônjuges, variável crucial para projeção de pensão por morte. Em planos previdenciários, costuma-se adotar uma hipótese simplificadora, por exemplo, “esposas são 4 anos mais jovens que os maridos”, para estimar a expectativa de vida do cônjuge dependente.

Contudo, a realidade apresenta uma distribuição de diferenças de idade (age gap) mais complexa. Usando os microdados da PNAD, o projeto extraiu, para cada casal identificado (pessoa de referência do domicílio e seu cônjuge), a diferença de idade.

Por convenção, um age gap positivo indica que o participante (referência) é mais velho que seu cônjuge; negativo indica cônjuge mais velho. Em nossa sociedade, é mais comum maridos serem mais velhos que as esposas, resultando em age gaps positivos na maioria dos casos.

No grupo de servidores analisado, verificou-se, por exemplo, que um servidor homem de 60 anos tem em média uma esposa cerca de 5 anos mais jovem, ou seja, age gap médio de +5 anos; já uma servidora mulher de 60 anos tende a ter marido ligeiramente mais velho ou de idade próxima, resultando em age gap médio próximo de -1 ano, ou seja, marido ~1 ano mais velho. Esses valores médios, entretanto, variam conforme a idade do participante. O projeto calculou o age gap médio condicionado à idade do participante e ao seu sexo, incorporando novamente um modelo de credibilidade para ajustar eventuais diferenças sistemáticas entre servidores e população geral.

Além da média, avaliou-se o desvio-padrão dessa diferença, pois a dispersão é relevante – alguns casais têm diferença de 10, 15 anos ou mais. Análises exploratórias compararam o ajuste da distribuição do age gap à uma curva Normal versus uma distribuição t-Student, dado que esta última possui caudas mais pesadas e poderia capturar a incidência de casos com grande diferença de idade. Ao final, optou-se por usar t-Student com cinco graus de liberdade, porém, com truncamento da idade do cônjuge entre 15 e 100 anos, para que não fossem gerados números absurdos, já que a distribuição é ilimitada.

A abordagem por distribuição permite calcular de forma acurada a expectativa de vida remanescente do cônjuge usando tábuas biométricas, em vez de supor um diferencial fixo arbitrário para todas as idades. Além disso, o modelo de age gap alimenta simulações Monte Carlo no projeto: é possível sortear diferenças de idade conforme a distribuição observada para propagar incerteza nos cálculos, por exemplo, gerar cenários de cônjuge muito mais jovem ou mais velho e ver impacto no encargo.

Filhos dependentes

Filhos dependentes influenciam o custo da pensão por morte e, portanto, são importantes no modelo. Adotamos elegibilidade até 24 anos e, com base na PNADC 2023, identificamos convivência e idades; assim, considera-se dependente quem tem ≤24 anos no domicílio. Além disso, a PNAD não distingue biológicos de enteados; logo, ambos contam como filhos.

Estimamos, por idade e sexo do participante, (1) a probabilidade de ter ≥1 dependente, (2) o número médio de dependentes condicionado à existência, (3) a idade média do caçula e (4) o desvio-padrão das idades. Desse modo, capturamos não apenas a presença, mas também a estrutura etária.

Os padrões para ter pelo menos um filho dependente seguem a intuição demográfica: a probabilidade atinge pico entre 30 e 40 anos: para homens em torno dos 40, supera 60%. Após os 50, inicia-se queda contínua; antes dos 25, permanece baixa; e após os 60, torna-se praticamente nula. Entre os que possuem dependentes, o número médio é ≈2 filhos, embora haja dispersão relevante (casos com 1 e também com 3 ou mais).

Em seguida, nas simulações sorteiam-se presença, quantidade e idades conforme distribuições condicionais (por exemplo, aos 35 anos: ~40% nenhum, ~30% um, ~20% dois, ~10% três+; valores ilustrativos). Para o cálculo atuarial, priorizamos o filho mais novo; consequentemente, a duração do benefício por filhos vai até ele completar 24 anos, ao passo que os demais cessam antes. Com base nisso, extraímos, por idade do participante, a distribuição da idade do caçula (ex.: aos 45 anos, tipicamente 10–15 anos). Ademais, aplicou-se credibilidade apenas residual entre servidores e população geral.

Dessa forma, obtemos uma tábua que, para morte aos x anos, fornece a probabilidade de deixar filhos, sua quantidade esperada e a duração estimada das pensões, que é insumo direto para encargo e reserva que calcularemos ao final. Abaixo, um exemplo de gráfico dessa análise. Outros gráficos podem ser consultados diretamente no repositório do projeto.

Encargo atuarial de pensão por morte (função heritor)

Com as etapas anteriores, conseguimos montar um panorama completo do possível grupo de dependentes de um participante que venha a falecer em determinada idade: se terá cônjuge e qual a idade deste, se terá filhos menores e quantos/quantos anos terão.

A função heritor então calcula o encargo atuarial condicional à morte nessa idade, ou seja, o valor presente esperado do fluxo de pensões que serão pagas aos dependentes dado que o participante falece na idade x.

Esse encargo é expresso em anos de benefício para facilitar a interpretação. Em outras palavras, em vez de dar o valor monetário exato (que depende do salário ou benefício do participante), expressa-se o custo como um múltiplo do benefício anual. Por exemplo, um encargo de 9,8 anos significa que o valor presente total das pensões a serem pagas equivale a 9,8 vezes o benefício anual do participante falecido. Para converter isso em moeda, bastaria multiplicar pelos valores de benefício anual (BEN) em reais: Custo (R$) = Encargo (anos) × BEN (R$/ano).

Cálculo: O encargo atuarial é composto de duas partes principais: pensão ao cônjuge e pensões aos filhos dependentes, que dependem da presença ou não de tais dependentes. Matematicamente, podemos descrever:

• Se o participante era casado no óbito: será devida uma anuidade vitalícia ao cônjuge, ou seja, um benefício pago enquanto o cônjuge sobrevivente estiver vivo. O valor presente atuarial dessa anuidade equivale a ä₍y₎, onde y é a idade do cônjuge no óbito. Formalmente,

  representando a soma dos fatores de desconto multiplicados pela probabilidade de sobrevivência do cônjuge por T anos.

  Em termos práticos, essa anuidade é aproximadamente a expectativa de vida remanescente do cônjuge em anos, porém ajustada pela taxa de desconto. No projeto, foi assumida uma taxa de desconto i = 6% ao ano

• A tábua de mortalidade utilizada para os cônjuges (e participantes) foi a AT-2012 Basic Individual Annuity Mortality (SOA, 2012), com segregação por sexo.

• Se o participante tinha filhos dependentes elegíveis: para cada filho haverá uma anuidade temporária até o filho atingir 24 anos. O valor presente de uma pensão temporária que começa na idade atual do filho z e cessa em n anos (quando ele faria 24) é dado por:

  onde n = 24 - z, que é o tempo restante até perder elegibilidade. Na prática, considera-se que crianças e jovens quase sempre sobrevivem ao período curto analisado. Assim, o fator que resume os pagamentos anuais fica muito próximo da própria duração do benefício. Com taxa de desconto anual de seis por cento, um filho de dez anos (catorze anos restantes) gera fator em torno de onze; já um filho de vinte anos (quatro anos restantes) gera fator perto de quatro. Portanto, quanto mais novo o filho, maior o encargo, pois os pagamentos se estendem por mais tempo.

• Percentual de pensão: adotou-se a regra introduzida na legislação brasileira a partir de 2015. Desde 2015 (Brasil, 2015), a pensão por morte é calculada como 50% do benefício básico + 10% por dependente (cônjuge e filhos), limitada a 100%. Sem dependentes: 0%; um dependente: 60%; dois: 70%; … cinco ou mais: 100%. A cota familiar de 50% é compartilhada entre os beneficiários, e cada dependente adiciona 10% próprio. Atuariamente, o valor presente soma parcelas de cônjuge e filhos ponderadas por esses percentuais.

• Em termos práticos para o cálculo atuarial, o valor presente das pensões deve somar as parcelas de cônjuge e filhos ponderadas por esses percentuais. O projeto calcula isso explicitamente via simulação Monte Carlo: para cada idade x do participante (de 30 a 80 anos analisada), simula-se um grande número de cenários consistentes com as probabilidades estimadas, sorteia-se se o participante tem cônjuge e filhos e quais as idades correspondentes. Para cada cenário simulado de composição familiar no óbito, calcula-se o valor presente das pensões:

  • Se não há dependentes, VP = 0;

  • Se há cônjuge e/ou filhos, aplica-se a fórmula de percentual para obter % do benefício a pagar; depois calcula-se VP = % × (valor presente da anuidade cônjuge + valor presente das anuidades temporárias de cada filho).
    Nesse cálculo, quando há múltiplos dependentes, considera-se que o pagamento cessa proporcionalmente quando cada filho perde elegibilidade – por exemplo, se cônjuge + 1 filho recebem 70% juntos, quando o filho atingir 24 anos a pensão dele cessa e o cônjuge passaria a receber apenas 60% (a cota do filho não reverte). Assim, o fluxo de pagamento ao longo do tempo é modelado com um patamar menor após cada filho sair, seguindo a regra de não reversão das cotas (Brasil, 2015). A simulação captura essas dinâmicas individuais. Repetindo milhares de vezes, obtém-se uma distribuição do encargo atuarial Hx para idade x.

Os resultados para o encargo atuarial ou função de heritor mostram tendências intuitivas. Para idades jovens, o encargo médio é relativamente baixo, pois apesar de um eventual óbito jovem gerar pensão por muitos anos (cônjuge jovem e filhos pequenos poderiam receber por décadas), a maioria dos jovens não tem dependentes – o que puxa a média para baixo.

Em torno dos 30–40 anos, o encargo esperado cresce rapidamente, alcançando seu pico em faixas de meia-idade. Isso ocorre porque nesta fase muitos participantes têm tanto cônjuge quanto filhos pequenos simultaneamente, constituindo o cenário de maior custo.

Conforme a idade do participante aumenta além dos 50–60 anos, o encargo esperado diminui gradualmente: embora seja quase certo que haja um cônjuge dependente, os filhos já não são elegíveis (todos adultos), reduzindo bastante o custo, e o cônjuge do participante idoso também já terá idade avançada – o que reduz a duração esperada da pensão conjugal. Em idades extremas, próximas à longevidade limite, o encargo tende a zero, pois ou o participante não deixa ninguém (cônjuge já falecido, nenhum outro dependente) ou deixa um cônjuge muito idoso cuja expectativa de vida é baixa.

Os gráficos acima ilustram essas tendências. Para participantes masculinos, o encargo médio atinge valores em torno de 8–10 anos de benefício no pico, que ocorre aproximadamente entre 40 e 50 anos de idade (por exemplo, pode-se notar no gráfico que o pico ~9 anos ocorre aos ~45 anos, dependendo do resultado exato) – depois cai para cerca de 4 anos ou menos aos 80 anos.

Já para femininos, o encargo médio máximo é menor, em torno de 6–8 anos no pico, e declina para perto de 2 anos ou menos aos 80. Essa diferença reflete o fato de que homens tendem a deixar esposas mais jovens e que receberão pensão por mais tempo, aumentando o custo e frequentemente têm filhos menores quando morrem em meia-idade; além disso, virtualmente todos os homens casados deixarão uma viúva, enquanto muitas mulheres idosas não deixam viúvo (já eram viúvas elas próprias).

No conjunto, o encargo médio dos homens ao longo de 30–80 anos ficou cerca de 0,5–1 ano de benefício maior que o das mulheres (diferença média de aproximadamente 0,7 ano, pelas simulações) – confirmando a necessidade de separar por sexo.

A banda P10–P90 dos gráficos mostra a variabilidade: em idades onde o encargo médio é alto, também há enorme dispersão. Por exemplo, para homens em ~45 anos, o percentil 10% do encargo é próximo de 0 (casos de participantes sem dependentes nenhum, que não geram custo) enquanto o percentil 90% pode chegar a 15 anos de benefício ou mais (casos de participante com esposa jovem e vários filhos pequenos, gerando pensão máxima por longos períodos). Essa amplitude diminui em idades altas, onde cenários de muitos dependentes não ocorrem.

Também foi gerado um gráfico comparando diretamente as curvas de encargo médio de homens e mulheres em um mesmo painel, evidenciando que até cerca de 60 anos a curva masculina fica superior à feminina em 1–2 anos de benefício, mas após os ~70 anos ambas convergem a valores baixos (as mulheres ultrapassam ligeiramente os homens em encargo >75 anos, mas em níveis muito baixos, <1 ano, dado que algumas poucas ainda podem ter esposo vivo naquela idade).

Outro resultado interessante do modelo é o percentual médio de pensão por idade, ou seja, qual fração do benefício seria paga em média considerando a chance de não ter dependentes. O projeto apurou que em idades jovens (20 e poucos anos), esse percentual médio fica abaixo de 20%, pois a maioria dos falecimentos nessa faixa não geraria pensão (por falta de dependentes).

O valor sobe rapidamente conforme aumenta a proporção de pessoas casadas/ com filhos: por volta de 40 anos, o percentual médio de pensão já ultrapassa 60%. Em idades próximas à aposentadoria (60 anos), o percentual médio se estabiliza em torno de 60–70% para homens (a maioria casados, recebendo pelo menos 60%), e cerca de 50–60% para mulheres (uma parcela significativa não deixa cônjuge). Em idades muito altas (>80), o percentual médio para mulheres chega a cair abaixo de 50% novamente, pois muitas não têm dependente sobrevivente. Esses valores abaixo de 50% podem ocorrer sem contradição com a fórmula porque incluem o caso de zero dependentes (pensão 0%) na média.

Por fim, avaliou-se a sensibilidade do encargo à taxa de juros atuarial. Juros mais baixos aumentam o valor presente das rendas futuras, encarecendo o encargo (e vice-versa). O projeto simulou o encargo médio em diferentes taxas (por exemplo, 4%, 6%, 8%) para algumas idades representativas (digamos 30, 50, 70 anos). Observou-se que reduzir a taxa de desconto de 6% para 4% a.a. pode elevar o encargo em torno de 15–25%, dependendo da idade – o impacto é maior para mortes jovens (encargos mais longos). Isso reforça que a premissa de juros é crucial na avaliação de reservas e deve ser escolhida conforme o regime financeiro do plano.

Reserva matemática para pensão por morte

Enquanto o encargo atuarial Hx calculado acima é um valor condicional (custo dado o falecimento na idade x), do ponto de vista da reserva técnica de um plano previdenciário precisamos do valor incondicional esperado do benefício por morte, dado que o participante está vivo na idade x. Em outras palavras, a reserva, ou provisão matemática, R(x), associada à cobertura de pensão por morte para um participante de x anos é a esperança do valor presente de todas as pensões futuras que serão pagas em caso de morte, considerando a incerteza de quando ele irá falecer. Atuariamente, essa reserva corresponde ao prêmio puro de um seguro de morte embutido no plano na idade x. Matematicamente, pode-se expressar:

onde tPx é a probabilidade do participante sobreviver de x até x+t, q(x+t) é a probabilidade de morte no intervalo (x+t, x+t+1], e H(x+t) é o encargo (valor condicional) se a morte ocorrer nessa idade futura. Essa fórmula nada mais é do que a aplicação do princípio do valor presente esperado, integrando sobre todas as idades possíveis de falecimento.

Intuitivamente, R(x) é muito menor que H(x) para idades x onde a pessoa tem muita vida pela frente, pois a morte pode não ocorrer senão muito mais tarde, ou pode ocorrer bem mais tarde quando o encargo será menor.

O projeto calcula R(x) utilizando a tábua de mortalidade AT-2012 mencionada. Como E(x+t) já foi pré-calculado na faixa de idades (30–80), a integração é realizada numericamente somando cada parcela anual de probabilidade de morte vezes encargo descontado.

Os resultados para a Reserva Matemática confirmam que ela é bem mais baixa que os encargos condicionais. Enquanto o encargo condicional variava na faixa de ~5 a 10 anos de benefício para idades ativas, a reserva típica para um participante ainda vivo fica da ordem de 0,2 a 0,8 anos de benefício apenas. Em outras palavras, em valor presente a companhia precisa reservar menos de 1 ano de benefício, durante a vida ativa do participante, para cobrir o risco de pensão por morte, o que faz sentido, pois a probabilidade de morte em cada ano é pequena.

Note que essa conclusão é específica para a tábua AT-2012 IAM Basic, o resultado pode variar se considerarmos outras tábuas e outras taxas de desconto. A tábua AT-2012 IAM Basic é considerada conservadora para fundos de pensão no Brasil, por ter expectativas de vida maior, por outro lado, há menos falecimentos em idade ativa, quanto o encargo de pensão é alto e, por conseguinte, isso reduz a reserva necessária para a pensão por morte.

A figura abaixo apresenta a reserva por idade atual comparada entre sexos:

A reserva cresce com a idade no início, atinge pico por volta dos 50 e poucos anos e, depois, declina nas idades muito avançadas. O pico ocorre onde probabilidade de morte × encargo é máximo. Em idades jovens, a probabilidade de morte é muito baixa e, portanto, a reserva é pequena; na meia-idade, probabilidade já não desprezível e encargo elevado produzem o máximo; após 60–70, embora a mortalidade suba, o encargo cai (menos filhos e cônjuge mais velho), e o valor esperado recua. Além disso, o desconto temporal reduz contribuições de eventos distantes. No gráfico, a reserva máxima é cerca de 0,7–0,8 ano de benefício para homens e 0,5–0,6 para mulheres, ambos por volta dos 50; acima de 80, aproxima-se de zero.

Comparando sexos, apesar da maior longevidade feminina, a reserva masculina é maior na vida ativa, principalmente pela maior probabilidade de deixar dependentes, em especial viúvas mais jovens. Em média, excede a feminina em cerca de 0,1–0,2 ano; ao fim da vida laboral (por volta dos 60), ambas já ficam abaixo de 0,5 ano.

Medidas auxiliares ajudam a interpretar: a reserva equivale a pequena fração da expectativa de vida remanescente (na ordem de 2–4% no caso avaliado), indicando custo relativo modesto do benefício por morte em um plano BD típico. Outro resultado mostra a probabilidade de eventualmente deixar ao menos um dependente: embora um jovem solteiro de 25 anos raramente tenha dependentes hoje, sua probabilidade ao longo da vida de vir a falecer deixando alguém é bem maior (cerca de 40–50% para homens e 30–40% para mulheres), atingindo máximo entre 40–50 anos.

Em média de coorte, estima-se 60–70% para homens e 50–60% para mulheres, o que também implica chance não trivial de não deixar pensionista (30–40% homens; até 50% mulheres), reforçando o papel de regras que reduzem o benefício quando não há dependentes. Por fim, a comparação “Reserva vs Encargo” evidencia que a reserva é muito inferior ao encargo condicional em todas as idades, porque integra encargos futuros ponderados por mortalidade e descontados. Isso reflete: (1) baixa incidência de mortes em idades produtivas; (2) efeito dos juros no longo prazo; e (3) redução do encargo potencial conforme os filhos envelhecem e perdem elegibilidade.

Conclusão

O pq_heritor aplica dados demográficos atuais e técnicas atuariais para quantificar pensões por morte em planos BD: tábuas de conjugalidade e fecundidade da PNADC, credibilidade para subgrupos, premissas biométricas (AT-2012) e taxa de juros real de referência. Os resultados, expressos em anos de benefício, oferecem base objetiva para precificação, provisões e comunicação de riscos. Na prática, o risco de morte tem alto impacto em casos individuais, mas custo médio relativamente baixo ao plano. A abordagem pode ser atualizada com novas rodadas da PNADC e adaptada a mudanças regulatórias ou demográficas, mantendo transparência e rastreabilidade nas avaliações.

Referências

• BRASIL. (2015). Medida Provisória nº 664/2014 convertida na Lei nº 13.135, de 17 de junho de 2015. Altera as regras de concessão da pensão por morte no RGPS. Diário Oficial da União, Brasília, DF, 18 jun. 2015.

• BÜHLMANN, H.; STRAUB, E. (1970). Glaubwürdigkeit für Schadensätze. Mitteilungen der Vereinigung Schweizerischer Versicherungsmathematiker, 70.

• SPENCER, J. (1904). On the Graduation of Rates of Sickness and Mortality. Journal of the Institute of Actuaries, 38(8), 334–343.

• SOCIETY OF ACTUARIES (SOA). (2012). 2012 Individual Annuity Mortality Basic Table. Society of Actuaries, Schaumburg, IL.

Este estudo investiga, em dados reais, como diferentes formas de otimizar o risco se comportam fora da amostra quando submetidas a restrições práticas de investimento e custos. O ponto central não é “qual estimador usar”, mas o que se ganha (ou perde) ao escolher entre minimizar a variância (Min-Var) e minimizar perdas de cauda (Min-CVaR), dado um universo amplo, janelas móveis de estimação e políticas realistas de rebalanceamento.

Compararmos duas famílias de carteiras sob as mesmas restrições (long-only, orçamento, limite de concentração por ativo e penalização de turnover) e com custos de transação explícitos. A formulação Min-Var representa a abordagem clássica de Markowitz, dependente da matriz de covariância; já a Min-CVaR segue a formulação de Rockafellar-Uryasev, baseada em cenários e focada diretamente nas perdas extremas. Para dar contexto e um piso de desempenho, incluímos benchmark simples e governável, o (1/N), útil para comparar a complexidade das estratégias otimizadas com regras parcimoniosas.

O desenho empírico é deliberadamente out-of-sample: usamos janelas móveis para estimar parâmetros e gerar pesos, testando rebalanceamento mensal e por bandas de tolerância, de modo a capturar o trade-off entre estabilidade dos pesos, custo de negociação e controle de drawdown. A avaliação considera um conjunto amplo de métricas (retorno e volatilidade anualizados, Sharpe/Sortino, máximo drawdown, VaR/CVaR e medidas de turnover) para comparar não só “quanto rendeu”, mas como a carteira chega a esse resultado.

Os estimadores robustos aparecem como ferramentas para viabilizar a abordagem Min-Var em ambientes com caudas pesadas, assimetrias e alta dimensionalidade, problemas típicos em finanças. Eles estabilizam a covariância e reduzem sensibilidade a outliers.

Em resumo, o objetivo é responder, com evidência empírica e métricas comparáveis, quando e a que custo cada método entrega melhor equilíbrio entre risco, retorno e governança. Nas seções seguintes detalhamos as formulações de otimização, o conjunto de dados, o protocolo de backtest, os resultados e suas implicações práticas.

Observação: todo código utilizado está no repositório PQ MinCVar.

Modelos de otimização

Para contextualizar as estratégias comparadas, definimos abaixo cada método de otimização e estratégia de alocação considerada, bem como suas bases teóricas:

Portfólio de variância mínima (Min-Var)

A estratégia Min-Var visa encontrar a alocação de ativos que minimize a variância do retorno do portfólio, sujeita a restrições (por exemplo, soma dos pesos igual a 1, sem posições short, etc.). Trata-se de um caso particular da otimização média-variância de Markowitz (1952), focado exclusivamente em reduzir o risco (desvio-padrão) sem considerar explicitamente o retorno esperado, o que seria equivalente a assumir retornos iguais ou sem preferência por retorno. Matematicamente, podemos formular o problema clássico de mínima variância como:

onde w é o vetor de pesos do portfólio, Σ é a matriz de covariância dos retornos dos ativos, e w máximo é um limite superior (opcional) para cada peso, por exemplo, 30% em cada ativo, para evitar concentração. Restrições de long-only (wᵢ ≥ 0) e de orçamento (∑ wᵢ = 1) são comuns em carteiras. Em implementações realistas, também pode-se incluir uma penalização de turnover (mudança dos pesos em relação ao período anterior) para reduzir custos de transação, adicionando um termo λ ∑ᵢ ∣wᵢ − wᵢᵖʳᵉᵛ∣ na função objetivo, com λ controlando a aversão a custos.

O portfólio de variância mínima explora as correlações entre ativos para obter a maior diversificação possível do risco. Como resultado, tende a enfatizar ativos de menor volatilidade e baixa correlação. Contudo, uma crítica comum é sua sensibilidade a erros de estimação na covariância: pequenos erros podem levar a alocações muito instáveis ou concentradas. Por isso, costuma-se empregar estimadores aprimorados de covariância (discutidos adiante) para viabilizar o uso do Min-Var.

Além disso, em nosso estudo limitamos o peso máximo em 30% por ativo, o que evita soluções degeneradas (e.g. alocar quase 100% em um único ativo de baixíssima volatilidade, como um título público). Com tais restrições, o Min-Var resulta num trade-off entre minimização de risco e diversificação imposta.

Portfólio de CVaR mínimo (Min-CVaR)

A estratégia Min-CVaR propõe minimizar o Conditional Value-at-Risk do portfólio, em vez da variância. O CVaR a um nível de confiança α (por exemplo, 95% ou 99%) corresponde à perda média esperada na cauda superior dos piores (1-α)% retornos. Em termos simples, é o valor médio das perdas extremas além do VaR. Diferentemente da variância, o CVaR é uma medida de risco assimétrica focada nas perdas, sendo considerada uma medida coerente de risco (no sentido de Artzner et al., 1999) e mais alinhada à intuição de gestores que querem limitar perdas catastróficas. Rockafellar e Uryasev (2000) demonstraram uma formulação eficaz para otimizar CVaR, introduzindo uma variável auxiliar para o VaR dentro de um problema linear. A formulação típica é:

onde η representa o VaR no nível α e zₜ são variáveis auxiliares para excedentes de perda além do VaR em cada cenário t, assumindo um conjunto de T cenários de retorno ou histórico. Intuitivamente, o solver ajusta η (VaR) e w para minimizar η + 1∕(1−α) · 𝔼[excesso de perda], o que é equivalente ao CVaR₍α₎. Essa formulação é resolvida como um programa linear, tornando a otimização de CVaR viável mesmo para universos de ativos maiores e contornando dificuldades típicas de métodos não lineares.

Ao minimizar o CVaR, o portfólio tende a reduzir a exposição a eventos de cauda, normalmente alocando menos peso a ativos com distribuições muito assimétricas ou de cauda pesada (alta curtose). No estudo, consideramos níveis de confiança α = 95 % e α = 99 % para avaliar o impacto em diferentes severidades de cauda. Assim como no Min-Var, impusemos soma = 1, wᵢ ≥ 0, wₘₐₓ = 30 % e penalização de turnover na otimização do Min-CVaR, garantindo comparabilidade entre as estratégias.

Um ponto importante é que, apesar do Min-CVaR focar em cauda, na prática observamos que portfólios de CVaR mínimo também apresentam variância baixa, pois, afinal, reduzir as perdas extremas frequentemente reduz a volatilidade total. Rockafellar & Uryasev notaram que “portfólios com baixo CVaR necessariamente têm VaR baixo também”.

Outras estratégias de alocação

Alternativamente ao Min-Var e ao Min-CVaR, destacam-se Risk Parity (RP) e Strategic Asset Allocation (SAA) ou 1/N por combinarem parcimônia e robustez a erro de estimação. Ambas facilitam governança, pois possuem regras simples, comunicação clara, rebalanceamento previsível, têm baixo custo operacional e costumam entregar desempenho ajustado ao risco competitivo em dados ruidosos. RP tende a estabilizar o risco e ser mais resiliente em crises, já o SAA estabelece um piso realista para medir o ganho marginal das técnicas otimizadas. Dessa forma, poderiam servir como benchmark.

Paridade de risco (risk parity)

Busca igualar as contribuições de risco de cada ativo para a volatilidade do portfólio. A condição de Equal Risk Contributions (ERC) é wᵢ (Σw)ᵢ = κ, ∀ i, o que implica pesos menores para ativos mais voláteis e maiores para os mais seguros. Encontrar w é um problema não linear, usualmente resolvido por métodos iterativos ou como variante do Min-Var com restrições de ERC.

O Risk Parity (RP) promove diversificação em unidades de risco e costuma ficar próximo ao Min-Var, sem exigir a estimação de retornos esperados. Ao balancear, por exemplo, risco de ações e títulos, tende a manter estabilidade de risco ao longo do ciclo e maior resiliência em crises. Esse racional é frequentemente associado ao All Weather da Bridgewater pós-2008. Para o RP, espera-se volatilidade semelhante à do Min-Var e composição mais inclinada a títulos para equilibrar o risco, reduzindo indiretamente a exposição às caudas de ações.

Alocação estratégica com pesos fixos (SAA – buy and hold)

Como baseline, usamos um portfólio equally weighted (EW ou 1/n) com rebalanceamento anual; entre rebalanceamentos, os pesos derivam com os retornos. Essa referência é simples, transparente e robusta a erro de estimação (não otimiza parâmetros, apenas mantém pesos alvo). A evidência clássica sugere que 1/N rivaliza modelos otimizados out-of-sample quando os inputs são ruidosos. No backtest, o EW inclui os mesmos 16 ETFs (~6,25% cada). Espera-se volatilidade intermediária: acima do Min-Var por ignorar correlações e drawdowns maiores que Min-CVaR, pois não mira caudas, servindo para quantificar o ganho marginal da otimização.

Estimadores robustos de covariância e média

Um componente crítico na implementação prática do portfólio Min-Var é a estimação dos parâmetros de risco, notadamente, a matriz de covariância dos retornos e, em menor grau, as médias ou outros parâmetros de distribuição. Estimativas ingênuas, como a covariância amostral simples, sofrem quando o número de ativos é grande em relação ao histórico disponível, ou quando os dados contêm outliers e distribuições com caudas pesadas. Para contornar esses problemas, recorremos a estimadores robustos e técnicas de redução de dimensionalidade. O repositório emprega três estimadores principais de covariância/média, que explicamos a seguir:

Shrinkage de Ledoit–Wolf (OAS)

O estimador Ledoit-Wolf OAS (Oracle Approximating Shrinkage) é uma forma de shrinkage linear da matriz de covariância amostral em direção a uma matriz estrutural mais simples (tipicamente, a matriz diagonal de variâncias ou a matriz identidade escalada). A ideia, conforme proposta por Ledoit e Wolf (2004), é combinar a matriz de covariância empírica Σ_sample com uma matriz bem condicionada (por exemplo, I · σ²) de forma ótima, diminuindo o efeito de ruídos na estimação. Em fórmula simplificada:

onde σ² é a variância média dos ativos (traço da amostral dividido por p) e δ ∈ [0,1] é o parâmetro de shrinkage.

Ledoit & Wolf demonstram como calcular δ analiticamente para minimizar o erro de estimação (assintoticamente, conforme p e T crescem). O resultado é um estimador viés-variância otimizado, que produz uma matriz invertível e estável mesmo em alta dimensionalidade.

A denominação OAS se refere a uma versão melhorada do shrinkage de Ledoit-Wolf que assume uma distribuição normal multivariada e obtém uma forma fechada para o shrinkage ótimo. Em resumo, esse estimador reduz a propensão do método de Markowitz clássico de superestimar a diversificação com base em correlações espúrias. Ao usar Σ_LW, esperamos portfólios mais estáveis e desempenho out-of-sample superior ao usar Σ_sample pura.

M-Estimador de Huber (média e covariância)

Peter Huber (1964) introduziu uma classe de estimadores robustos conhecidos como M-estimadores, que generalizam a média e covariância para serem menos sensíveis a outliers. No nosso caso, usamos o Huber M-estimator para a média, calculando uma média truncada/ponderada: intuitivamente, ele atribui menor peso a observações distantes (outliers) além de um certo limite c, que geralmente escolhido para 95% de eficiência sob normalidade. A função de perda de Huber para um resíduo r é:

o que significa que resíduos dentro de c usam quadrático (como média quadrática) e resíduos muito grandes são linearizados (reduzindo sua influência). Ao resolver arg min_μ ∑ᵢ ρ_c(xᵢ − μ) iterativamente, obtemos μ_Huber, a média robusta. Para a covariância, combinamos a média de Huber com o shrinkage OAS na covariância dos resíduos, produzindo um estimador robusto para Σ.

Estimador de Tyler (scatter matrix)

O Tyler’s estimator (1987) é um estimador robusto não paramétrico para a matriz de scatter (covariância até uma constante) que possui a propriedade notável de ser invariante à distribuição elíptica. Em outras palavras, mesmo se os retornos tiverem uma distribuição de cauda pesada (por ex. t-Student multivariada), o estimador de Tyler continua válido, ao contrário da covariância amostral que seria muito influenciada por observações extremas. A equação implícita que define a matriz de scatter de Tyler Σ_Tyler para dados xᵢ (i=1,…,T; média assumida 0 para simplificar) é:

onde p é a dimensionalidade (número de ativos). Essa equação é resolvida iterativamente via fixed-point, normalizando a cada passo para fixar um escalar, já que Σ_Tyler é definida a menos de um multiplicador. O resultado é uma matriz que ignora a magnitude absoluta das observações, focando apenas na sua direção, o que torna o estimador imune a outliers arbitrariamente grandes, ideal para dados de retornos com distribuições de cauda pesada (grandes kurtoses).

Em contrapartida, ele não fornece uma escala (variância total) consistente, então no projeto combinamos o scatter de Tyler com a escala amostral (variância média) para recuperar as unidades corretas, e então aplicamos um pequeno shrinkage à identidade (similar a Ledoit-Wolf) para evitar problemas numéricos.

Configuração do backtest e dados

Metodologias de otimização

As estratégias de portfolio foram implementadas através de métodos de otimização convexa. O Min-Var utiliza programação quadrática resolvida via OSQP, um solver especializado em problemas QP que emprega métodos de ponto interior com decomposição operator splitting para alta performance computacional.

O Minimum CVaR adota a formulação linear de Rockafellar-Uryasev, que reformula o CVaR como problema de programação linear, resolvido eficientemente pelo solver HiGHS baseado no método simplex revisado dual.

Universo considerado

Conduzimos um backtest histórico para comparar as estratégias acima, utilizando dados de 16 ETFs abrangendo diversas classes de ativos (ações americanas de várias características, ações internacionais desenvolvidas e emergentes, títulos de renda fixa de diferentes prazos e créditos, ouro, prata, imóveis (REITs), commodities e petróleo). Todos os ativos possuem pelo menos 15 anos de histórico de preços (2002–2023 aprox.), garantindo que enfrentaram múltiplos ciclos de mercado, incluindo crises como 2008 e 2020.

Os dados foram obtidos via API da Tiingo e processados para calcular retornos diários (log-returns), com tratamento de outliers de preço (quality control) para evitar erros nos dados. Abaixo, a lista de ETFs considerados.

• Ações US (4 ETFs)

  • SPY - SPDR S&P 500 (Large Cap)

  • IWD - iShares Russell 1000 Value

  • IWF - iShares Russell 1000 Growth

  • IWM - iShares Russell 2000 (Small Cap)

• Ações Internacionais (3 ETFs)

  • EFA - iShares MSCI EAFE (Developed Markets ex-US)

  • EEM - iShares MSCI Emerging Markets

  • VWO - Vanguard FTSE Emerging Markets

• Bonds Treasuries (2 ETFs)

  • TLT - iShares 20+ Year Treasury Bond

  • IEF - iShares 7-10 Year Treasury Bond

• Bonds Corporativos (2 ETFs)

  • LQD - iShares Investment Grade Corporate Bond

  • HYG - iShares High Yield Corporate Bond

• Metais (2 ETFs)

  • GLD - SPDR Gold Trust

  • SLV - iShares Silver Trust

• Imóveis (1 ETF)

  • VNQ - Vanguard Real Estate Index Fund

• Commodities (2 ETFs)

  • DBC - Invesco DB Commodity Index Tracking Fund

  • USO - United States Oil Fund

Janela de estimação e rebalanceamento

Usamos uma janela móvel de 756 dias (~3 anos) para estimar parâmetros (covariâncias e médias robustas). A cada dia, o modelo olha os 3 anos anteriores e resolve o problema de otimização Min-Var ou Min-CVaR (dependendo da estratégia) para obter os pesos ótimos w⋆. Duas políticas de rebalanceamento foram testadas:

• Rebalanceamento mensal (MONTHLY) – os pesos são ajustados para w⋆ no último dia de cada mês;

• Rebalanceamento por bandas (BANDS) – os pesos só são ajustados quando a deriva ultrapassa um certo limite (band) em relação aos pesos estratégicos. No caso, consideramos bandas de 2%, 5% e 10%. Essa política simula uma abordagem de tolerância à deriva: deixa-se o portfólio seguir mercado até que as alocações se desviem significativamente, então rebalanceia de volta.

Além disso, rodamos também um caso de rebalanceamento anual para o benchmark de Equal Weight.

Custos de transação

Para tornar o backtest realista, incluímos um custo de transação de 6 pontos-base (0,06%) em cada rebalanceamento, além da penalização de turnover λ na otimização como hiperparâmetro. Isso desencoraja trocas excessivas de posição. A taxa livre de risco (3-month T-Bill proxy via SHY ETF) foi incorporada para cálculo de métricas de retorno ajustado ao risco (Sharpe e Sortino ratios). Os portfolios permanecem 100% investidos nos ativos elencados, não há alocação em caixa.

Combinação de hiperparâmetros

O grid search avaliou 60 configurações testando três valores de penalização de turnover (lambda: 0,0, 0,0003, 0,001) combinados com dois métodos de otimização (MINVAR e MINCVAR), três estimadores robustos de covariância (Ledoit-Wolf, Huber, Tyler), dois níveis de confiança para CVaR (α=95%, 99%), e quatro políticas de rebalanceamento (mensal e bandas de 2%, 5%, 10%). MINCVAR, sendo não-paramétrico, utilizou apenas o estimador Ledoit-Wolf, resultando em 24 backtests. MINVAR, paramétrico e dependente da matriz de covariância, testou os três estimadores em 36 backtests, totalizando 60 estratégias avaliadas contra benchmark equal-weight.

Métricas avaliadas

Avaliamos cada estratégia pelos critérios usuais: retorno anualizado, volatilidade anualizada, Sharpe Ratio, Sortino Ratio, Max Drawdown, VaR e CVaR (95% e 99%), Ulcer Index (volatilidade de downside) e medidas de turnover, como o turnover anualizado e número de rebalanceamentos. Essas métricas dão um panorama completo de desempenho ajustado ao risco e custos.

Resultados

As duas estratégias líderes (uma em Sharpe Ratio e outra em menor max drawdown) obtidas nos resultados revelam filosofias distintas de gestão de risco.

A TYLER-MINVAR BANDS-10% (Sharpe 0,576, lambda 0,0003) demonstrou estabilidade com apenas um rebalanceamento em 18,5 anos, mantendo alocação constante de 78% em renda fixa (principalmente IEF 30%, LQD 22%, HYG 18%), 13% em ações (IWF, SPY) e 9% em diversificadores (ouro e commodities). Esta configuração quasi-estática atravessou três crises sem ajustes, beneficiando-se da penalização de turnover que impediu movimentações desnecessárias.

Já a LW-MINVAR BANDS-5% (drawdown 15,74%, lambda 0,0) adotou postura defensiva com livre adaptação, realizando 16 rebalanceamentos ao longo do período. Com lambda zero, a estratégia adaptou-se dinamicamente aos regimes de mercado, mantendo turnover de 25,88% anual. Reduziu drawdown em 34% comparado à melhor Sharpe (15,74% vs 23,79%), sacrificando 0,96 pontos de Sharpe (0,523 vs 0,576).

A estratégia de melhor drawdown paga 1,11% a.a. a mais em custos de transação devido ao lambda=0,0 (sem penalização), que permite livre adaptação, mas gera turnover 3.6× superior. Esse custo adicional é o preço da proteção contra drawdown (redução de 23,79% → 15,74%).

Surpreendentemente, MINCVAR não liderou em drawdown apesar de otimizar diretamente perdas extremas na cauda. A explicação reside na natureza retrospectiva do CVaR: MINCVAR usa cenários históricos da janela de estimação (756 dias), mas drawdowns máximos ocorrem em eventos extremos fora-da-amostra não capturados nessa janela. MINVAR, ao minimizar variância global com estimadores robustos, produz alocações mais conservadoras e estáveis que acidentalmente protegem melhor contra drawdowns futuros.

As estratégias otimizadas superaram o benchmark equal-weight (1/N). A melhor estratégia (TYLER-MINVAR) alcançou Sharpe de 0,576, 2,6× superior ao benchmark de 0,218, com retorno de 5,92% a.a. versus 4,72% do 1/N, e volatilidade de apenas 7,11% contra 13,3%. O drawdown máximo caiu de 44,60% (benchmark) para 15,74-23,79% nas estratégias líderes. A otimização robusta com penalização de turnover entregou proteção superior contra perdas extremas enquanto aumentou substancialmente o retorno ajustado ao risco.

Para mais detalhes, consulte os resultados diretamente no repositório.

Até mais!

Referências

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O Certificado de Operações Estruturadas (COE) é um instrumento financeiro criado no Brasil em 2010 e é equivalente às structured notes internacionais, que combinam características de renda fixa e derivativos dentro de um só produto (BRASIL, 2010).

Sua regulamentação permitiu a distribuição pública desde 2014, sob normas do Conselho Monetário Nacional e da CVM, com exigência de um documento de informações essenciais (DIE) para transparência. Os COEs são emitidos por bancos e aparecem no balanço como dívidas estruturadas a pagar pelo emissor (similar a uma nota ou debênture), lastreadas em posições em derivativos ou ativos correspondentes no ativo do banco.

Existem duas modalidades principais autorizadas: Valor Nominal Protegido, em que o investidor tem garantia de receber pelo menos 100% do principal investido no vencimento, e Valor Nominal em Risco, em que há possibilidade de receber menos que o principal (podendo até perder parte do capital). Em ambos os casos, o investidor fica exposto ao risco de crédito do banco emissor.

Importante notar que o COE não conta com cobertura do Fundo Garantidor de Créditos (FGC), ou seja, em caso de falência do banco, o investidor não tem proteção securitária além do patrimônio do emissor.

A estrutura de autocall prevê resgate antecipado em datas pré-fixadas sempre que os critérios da lâmina forem atendidos. Esses critérios podem tomar formas distintas (ex.: pior ativo da cesta acima de um gatilho em % do nível inicial, ou média da cesta acima de certo patamar). Nesses casos, o produto é encerrado e o investidor recebe o principal acrescido do cupom daquele período e, se houver, cupons acumulados por memória.

Se a condição não for cumprida, o COE segue em vigor. O cupom só acumula quando existir memória de cupons, caso contrário é perdido. No vencimento, se não houve resgate antecipado, o pagamento depende da modalidade: em valor nominal protegido, devolve-se 100% do principal (podendo haver cupom condicionado, se previsto), já em valor nominal em risco, aplica-se a barreira de proteção, podendo ocorrer devolução parcial do principal.

Operacionalmente, os COEs são registrados e custodiados na B3, e as instituições devem seguir regras de suitability (adequação ao perfil do investidor) e divulgação de cenários. Por ter complexidade elevada, costuma ser indicado para perfis moderado a arrojado, que entendam os riscos e a estrutura do produto.

Nos últimos anos, houve críticas quanto à transparência e precificação dos COEs oferecidos ao varejo: estudos indicam que a esmagadora maioria apresenta retorno esperado inferior à taxa livre de risco. Encontrou-se que cerca de 90% dos COEs pagavam menos que o Tesouro Direto equivalente. Essas estruturas incorporam custos embutidos e comissões que por vezes não ficam claros ao investidor, e a montagem sintética (combinação de títulos públicos e opções) não é detalhada nas ofertas, o que já rendeu ao COE apelidos como "Cavalo de troia financeiro" em artigos de mercado.

Reguladores têm aumentado as exigências de divulgação e suitability para mitigar esses problemas, mas é fundamental que analistas quant e investidores entendam a engenharia por trás da precificação de COEs para avaliar sua relação risco-retorno.

Estudo de caso específico

Vamos analisar um COE Autocall com capital protegido vinculado a uma cesta de 4 ações de tecnologia: AMD, Amazon (AMZN), Meta (META) e TSMC (TSM). O instrumento é analisado no repositório GitHub pq_garch_coe. Tal COE foi disponibilizado por uma instituição financeira em 2024.

As características principais incluem um prazo de 5 anos e observações semestrais (totalizando até 10 observações). O investimento inicial considerado foi de R$ 5.000 (valor nominal protegido) e o COE oferece um cupom semestral na faixa de 7,0% a 8,8% ao semestre (equivalente a ~14%–18% ao ano) caso seja disparado o autocall. O valor exato do cupom é definido no booking do produto.

A condição de autocall, em cada data de observação, é que todas as quatro ações estejam com preço ≥ o preço inicial fixado na data de emissão. Em caso afirmativo, ocorre o resgate antecipado: o investidor recebe o principal (R$ 5.000) acrescido do cupom daquele semestre, e a operação se encerra.

Caso alguma das ações esteja abaixo do inicial, o COE continua vigente sem pagamento naquele momento e o cupom previsto acumula para a próxima verificação. Importante destacar que, como este COE tem proteção de capital, mesmo que nunca ocorra autocall durante os 5 anos, o investidor terá direito a receber de volta 100% do principal no vencimento final. Neste produto, não há evento de knock-out que resulte em perda do principal, ao contrário de COEs de valor nominal em risco.

Em contrapartida, se nenhuma observação atingir a condição, o investidor terá passado todo o período sem receber nenhum rendimento, ou seja, apenas com seu dinheiro devolvido, perdendo para a inflação e para a SELIC do período, incorrendo em perda no custo de oportunidade.

Segundo o material publicitário do COE Autocall Tech, o racional de investimento oferecido ao cliente enfatizava “a rentabilidade da renda variável com a segurança da renda fixa”. Os benefícios apontados incluíam: a possibilidade de ganhos semestrais elevados em cenário de alta ou estabilidade das ações, eliminação do risco cambial (o produto era estruturado para pagar em reais independentemente da variação do dólar), chance de vencimento antecipado com cupom mínimo de 7% a.s. (14,25% a.a.) já na primeira observação, e capital protegido no vencimento.

Em suma, o investidor abriria mão de retornos ilimitados na alta dessas ações em troca de cupons fixos predeterminados, recebendo nada além do principal caso as ações tenham desempenho negativo ou apenas modesto durante todo o período.

GARCH

Modelos tradicionais de séries temporais, como ARIMA, enfrentam limitações ao lidar com dados financeiros, especialmente por assumirem variância constante (homocedasticidade). Essa hipótese é irrealista diante do fenômeno de volatilidade clusterizada, em que períodos de grande oscilação tendem a ser seguidos por outros de alta volatilidade.

Para contornar esse problema, Robert Engle (1982) introduziu o modelo ARCH (Autoregressive Conditional Heteroskedasticity), permitindo que a variância do erro fosse condicionada a choques passados. No ARCH(q), a variância condicional é modelada, por exemplo, como:

onde εₜ₋ᵢ são os resíduos passados e σₜ² a variância no tempo t. Posteriormente, Tim Bollerslev (1986) generalizou essa abordagem para GARCH (Generalized ARCH), ao incluir também lags da própria variância. O modelo GARCH(1,1) típico é dado por:

em que os parâmetros α e β capturam, respectivamente, o efeito de choques de volatilidade recentes e a persistência da volatilidade de longo prazo. Esses modelos revolucionaram a análise de risco e precificação de ativos, pois incorporam a heterocedasticidade condicional observada nos mercados financeiros, algo não alcançado pelos modelos ARIMA lineares tradicionais (CURTO et al., 2007).

Modelo DCC-GARCH

Apesar dos avanços com GARCH multivariados, modelos iniciais como o de Correlação Condicional Constante (CCC) de Bollerslev (1990) assumiam correlação estática entre ativos. Engle (2002) propôs então o modelo DCC (Dynamic Conditional Correlation), que permite correlações variando no tempo. O DCC-GARCH opera em duas etapas: primeiro estima-se, para cada ativo, um modelo GARCH univariado (capturando a volatilidade condicional individual); em seguida, modelam-se as correlações dinâmicas entre os resíduos padronizados desses ativos.

Formalmente, seja 𝐇t a matriz de covariância condicional no tempo t, e 𝐃ₜ = diag(√h₁ₜ, …, √hᴺₜ) a matriz diagonal das volatilidades individuais (derivadas dos GARCH(1,1) univariados). A matriz de correlações condicionais 𝐑ₜ é obtida normalizando a matriz 𝐐ₜ, que segue a dinâmica:

onde 𝐳ₜ₋₁ é o vetor de resíduos padronizados de cada ativo (ou seja, zᵢ,ₜ = εᵢ,ₜ / σᵢ,ₜ) é a matriz de correlação média de longo prazo, e a e b são os parâmetros DCC. Intuitivamente, a é o controle o peso dado ao choque de correlação do último período, enquanto b determina a persistência da correlação ao longo do tempo, usualmente impondo-se a+b<1 para garantir correlação média-reversora (ENGLE, 2002). Assim, o modelo DCC captura o fato estilizado de que as correlações entre ativos também apresentam cluster: tendem a aumentar após choques comuns de mercado e gradualmente retornam a níveis médios.

Abordagem GARCH-DCC com Monte Carlo

A abordagem GARCH-DCC com Monte Carlo é adequada para o problema de precificação do COE Autocall analisado porque alinha a modelagem aos fatos estilizados de retornos: volatilidade condicional (capturada por GARCH), caudas pesadas e correlações que variam no tempo (via DCC).

O COE autocall é um derivativo multivariado e dependente de trajetória: o gatilho “pior-da-cesta ≥ nível/percentual” e a eventual memória de cupons introduzem não linearidades e descontinuidades que inviabilizam fórmulas fechadas. A simulação Monte Carlo, sob medida neutra ao risco, permite os valores desses payoffs condicionais em cada data de observação.

O esquema GARCH-DCC gera cenários consistentes com a dinâmica conjunta dos ativos, preservando clusters de volatilidade e co-movimentos em estresse. Por meio da simulação é possível incorporar curvas a termo, dividendos e tratamento do numerário/câmbio. Além do preço teórico e do cupom justo, o método produz a distribuição de payoffs, probabilidades de autocall por semestre e, por choques marginais, gregas numéricas para suporte a hedge e análise de margem do emissor.

A precificação de um COE complexo como o Autocall requer simular conjuntamente a evolução dos múltiplos ativos subjacentes e as regras de pagamento. No projeto pq_garch_coe, adotou-se o método de simulação de Monte Carlo sob medida de risco-neutra, gerando 10.000 cenários possíveis para as trajetórias diárias de AMD, Amazon, Meta e TSM ao longo dos 5 anos.

Para cada ativo, foi calibrado um modelo GARCH(1,1) com inovações t-Student, capturando assim tanto a persistência de volatilidade quanto eventuais caudas pesadas dos retornos.

Em seguida, aplicou-se o modelo DCC(1,1) para estimar a correlação dinâmica entre os quatro ativos, isso permitiu gerar vetores de retornos diários correlacionados a cada passo do tempo, preservando a estrutura de dependência estimada historicamente. Ou seja, em cenários de crise, as ações tenderam a cair juntas na simulação, refletindo correlações elevadas estimadas pelo DCC.

Crucialmente, a simulação foi feita sob a medida de martingale neutra ao risco, apropriada para precificação: os retornos esperados dos ativos foram ajustados para refletir os carry e custos de oportunidade. Em termos práticos, utilizou-se a seguinte fórmula para o drift diário de cada ativo:

onde r₍USD₎(t) é a taxa de juros livre de risco em dólar para o horizonte t (obtida de uma curva a termo de Treasuries dos EUA), yᵢ,div é o dividend yield anual do ativo i, se aplicável e σᵢ,ₜ² a variância condicional instantânea do ativo conforme o GARCH calibrado. Essa é a fórmula clássica de drift sob medida Q, equivalente à hipótese de não-arbitragem (Black-Scholes-Merton), garantindo que o preço esperado descontado de cada ativo siga um martingale.

Note que o modelo considerou dividendos constantes estimados – por exemplo, TSM tinha um yield anual de ~1,5% enquanto AMD, Amazon e Meta foram simuladas sem pagamento de dividendos, yield zero.

Com os retornos diários simulados, foi possível construir as trajetórias de preços Sᵢ(t) para cada ativo, aplicando a dinâmica multiplicativa:

onde εᵢ,ₜ são os choques aleatórios padronizados (correlacionados entre si segundo Rₜ do DCC). Cada trajetória foi então “alimentada” nas regras do COE: a cada 126 dias, verificava-se a condição de autocall (todas Sᵢ ≥ Sᵢ, inicial?). Se sim, registrava-se o pagamento de um cupom de 8%, valor usado no modelo base, e encerrava-se a simulação daquela trajetória; se não, prosseguia-se até a próxima observação, acumulando o cupom. Ao fim de 10 semestres, caso nenhuma observação tenha atendido o gatilho, a trajetória resultava no pagamento apenas do principal, sem cupom.

Para precificar corretamente em Reais, foi necessário incorporar o fator cambial, já que os ativos são cotados em USD. A abordagem adotada foi escolher o numéraire em USD, ou seja, simular todo o processo no mundo em dólar, descontar os fluxos pelo juros em dólar e depois converter para reais usando a taxa de câmbio de equilíbrio (paridade de juros)

Especificamente, se X for o payoff em USD obtido pela estrutura (cupom + principal entregue em alguma data), seu valor presente em USD é

com T em anos até o pagamento. A conversão para BRL é feita pelo forward de câmbio correspondente:

e é derivado da paridade descoberta de juros. Assim, X USD recebidos em T anos equivalem a X × FX₍fwd₎(T) em reais naquele vencimento; trazendo a valor presente em BRL, multiplica-se pelo desconto em dólar já aplicado, ficando:

onde FX₍spot₎ é a cotação BRL/USD na data de avaliação (no caso, aproximadamente 5,06 BRL/USD). Note que nessa fórmula simplificada assumimos a taxa local r₍BRL₎ embutida no termo forward. No projeto, carregou-se uma curva de juros brasileira do tipo Nelson-Siegel-Svensson para estimar r₍BRL₎(T).

Dado que o COE em questão não tinha proteção contra variação cambial para o investidor (era estruturado como quanto em BRL), o banco emissor presumivelmente montaria posições para se cobrir de oscilações no câmbio, mas do ponto de vista da precificação do fluxo isso foi tratado via paridade de juros.

Resumindo, a metodologia de precificação envolveu (i) calibrar GARCH-DCC nos retornos históricos das 4 ações, (ii) simular 10 mil cenários de trajetória conjunta diária sob Q, (iii) aplicar as regras do COE em cada cenário para obter o payoff em USD (cronograma de cupons pagos ou não e principal), (iv) descontar e converter cada payoff a valor presente em BRL, e então (v) tirar a média desses valores presentes para obter o preço teórico do COE.

Foram feitas ainda análises complementares como a obtenção do “cupom justo” – isto é, qual percentual de cupom semestral equilibraria o valor presente esperado ao valor nominal (ou seja, qual cupom torna o preço teórico = R$ 5.000).

Também considerou-se alguns aprimoramentos e simplificações: por exemplo, não foram modelados efeitos de impostos sobre o investidor (IR sobre cupons), custos de transação ou eventuais ajustes finos de mercado (como volatilidade implícita distinta da histórica). A volatilidade local dos ativos foi assumida estacionária conforme GARCH calibrado, ou seja, não se considerou volatilidade implícita de opções das empresas, o que seria uma alternativa. Essas escolhas mantêm o foco na dinâmica de risco neutro de maneira consistente, embora na prática um banco poderia usar volatilidades implícitas e ajustes de crédito no modelo.

Resultados para o investidor

Após a simulação Monte Carlo, obteve-se a distribuição de possíveis payoffs em valor presente para o investidor do COE. A média do valor presente ficou em torno de R$ 4.060, representando aproximadamente 81% do capital protegido, ou seja, o preço teórico do COE (com cupom de 8% a.s.) seria ~R$ 4.060, bem abaixo do principal de R$ 5.000. Isso indica que, pelo modelo, o investidor deveria exigir um cupom maior para atingir um valor justo. A figura abaixo ilustra a distribuição de VPs dos payoffs simulados: nota-se um comportamento bastante concentrado em alguns pontos discretos.

A figura representa a distribuição do valor presente dos payoffs para o investidor (histograma de 10.000 cenários). A barra alta à esquerda corresponde aos cenários em que nenhum cupom foi pago (aproximadamente 54% dos casos), resultando no pagamento apenas do principal no final, cujo valor presente é por volta de R$ 3.000. As barras à direita refletem cenários em que houve autocall em algum semestre, resultando em recebimento de cupons (um ou mais); por exemplo, o segundo pico corresponde a autocall no 1º semestre (principal + 1 cupom semestral), e assim por diante. A média (linha tracejada vermelha) ficou em R$ 4.061.

Observando a distribuição, mais da metade dos cenários resultou em não pagamento de cupons (apenas principal ao vencimento, VP ≈ R$ 3.000). Isso ocorre porque é relativamente provável que pelo menos uma das 4 ações esteja abaixo do inicial em todas as dez observações semestrais, principalmente se o período incluir alguma queda significativa de mercado. Em cerca de 19% dos cenários houve autocall já na 1ª observação (180 dias) – nesses casos ele recebeu 8% em 6 meses, o que em valor presente equivale a ~R$ 5.400 nominais. Outros ~8-9% dos cenários terminaram no 2º semestre com pagamento de cupom acumulado (16% total), e frações menores nos semestres subsequentes, decrescendo até ~1% no último semestre. A figura abaixo apresenta as probabilidades estimadas de autocall em cada observação.

Probabilidade de autocall por semestre, estimada via simulação (10k cenários). Nota-se que há quase 20% de chance de encerramento já no 1º semestre, 28% acumulada até o 2º semestre, e aproximadamente 46% de chance do COE “ser chamado” antes do vencimento final. Consequentemente, em ~54% dos cenários o COE vai até o fim (5 anos) sem nunca acionar o gatilho, o que significa nenhum cupom pago ao investidor e apenas o principal de volta.

Para o investidor, esses resultados quantitativos reforçam o perfil de payoff assimétrico do COE Autocall: há uma probabilidade significativa de não receber rendimento algum (nesse modelo, ~54% dos casos), enquanto os ganhos quando ocorrem são limitados aos cupons fixos (no máximo 80% acumulado ao longo de 5 anos, no cenário de autocall somente no último semestre).

Estruturas worst-of são guiadas pela co-queda em estresse. DCC gaussiano tende a subestimar essa cauda conjunta. Interprete a chance de não pagar cupons como possivelmente maior se a dependência de cauda real for mais forte.

Em resumo, a estrutura favorece o emissor em termos de expectativa: o investidor só atinge o principal cheio (VP=R$5.000) ou mais em uma minoria de casos, e paga, via precificação, por essa garantia de capital e possibilidade de rendimento, recebendo em média bem menos do que investiu em valor presente.

Resultados de margem para o emissor

Do ponto de vista do banco emissor, a diferença entre o preço teórico do COE (calculado pelo modelo) e o valor efetivamente cobrado do investidor representa a margem bruta da operação. No caso estudado, o banco oferecia ao investidor no máximo um cupom de 8,8% a.s. (ligeiramente acima dos 8% usados na simulação base)

As estimativas sugerem que o cupom de equilíbrio necessário para que o valor presente alcance R$ 5.000 seria bem mais alto — cerca de 25% a.s. Ainda assim, não faria sentido a instituição praticar esse cupom, pois precisa ser remunerada pela estrutura: retorno sobre o capital, custos de distribuição e operação, além da carga tributária. Somam-se a isso os riscos inerentes aos hedges, como veremos adiante.

Ou seja, havia uma folga muito grande incorporada. Com cupom de 8,8% (pior caso oferecido), o modelo apontou um preço de mercado do COE por volta de R$ 4.106 (VP), gerando uma margem bruta próxima de R$ 894 por certificado para o banco, que deve ser suficiente para remunerar os custos de distribuição, operacionais, tributários e o próprio capital.

Isso ilustra uma prática comum: COEs frequentemente são estruturados com folga considerável a favor do emissor, de modo que o investidor está pagando um prêmio elevado pela proteção do capital e pelo potencial de ganho condicionado. Já o banco, por sua vez, lucra caso o desempenho médio dos ativos não seja excepcional. Esse caso, sob medida neutra ao risco, é justamente o cenário base.

Para gerenciar os riscos, o banco emissor tem duas opções extremas: (a) não fazer hedge, ou seja, ficar com posição nua (naked) – nesse caso, ele embolsa inicialmente o valor pago pelo investidor (R$ 5.000) e se compromete a pagar os eventuais cupons e principal no futuro, arcando com esses pagamentos caso ocorram; (b) fazer um hedge replicante da estrutura, montando posições em ativos e derivativos cujo payoff replique o do COE, de modo que qualquer pagamento ao investidor esteja coberto pelos ganhos dessas posições.

Na prática, os bancos costumam optar por uma estratégia intermediária, fazendo hedge parcial: por exemplo, podem investir a maior parte do principal em títulos públicos (garantindo os R$ 5.000 no vencimento) e usar o restante para comprar opções que cubram os cupons devidos nos cenários de alta das ações.

No caso deste COE Autocall, o hedge replicante ideal envolveria comprar uma cesta de opções digitais/barreira que pagassem o cupom necessário quando todas as ações estivessem acima do strike inicial em cada data, instrumentos exóticos não triviais. Em vez disso, o banco pode aproximar o hedge comprando as ações subjacentes e vendendo calls ou comprando puts de cada uma, ajustando as posições ao longo do tempo conforme as probabilidades de autocall mudassem.

Uma métrica importante para o banco é acompanhar as gregas desse instrumento estruturado, que são as sensibilidades a variações dos fatores de risco. Como não há fórmula fechada simples para precificar um COE Autocall, uma alternativa é usar o próprio modelo de simulação: por exemplo, calcular o delta aproximado fazendo um pequeno aumento (ex.: +1%) nos preços iniciais das ações e refazendo a simulação para ver o quanto o preço do COE varia; similarmente, obter o vega chocando a volatilidade ou rho chocando taxas de juros.

A instituição financeira, mesmo ao buscar o hedge, corre riscos não desprezíveis de modelo e de execução, incluindo risco de base entre subjacentes e proxies, erro de especificação (smile/termo, dependência de cauda, regimes), desalinhamento de calendário e fixings, gap risk em gatilhos discretos, liquidez e impacto de mercado e slippage, custos de funding e XVA, além de risco operacional e de sistemas. Ou seja, o hedge é inerentemente imperfeito e o P&L residual pode ser material.

Os modelos GARCH podem ser calibrados para simular cenários de stress com pequenos choques nos parâmetros, obtendo assim as variações no valor do COE e inferindo as gregas de forma numérica. Com isso, conseguem montar um hedge dinâmico mais eficaz, por exemplo, ajustando a posição em cada ação (delta-hedging) conforme o tempo passa e determinadas barreiras não sejam tocadas, ou comprando volatilidade (opções) se o vega do COE for significativo.

Leia os resultados como um exercício de precificação sob medida neutra ao risco (Q). A calibração partiu de séries históricas (P). Em mesas, exóticos costumam usar vols implícitas e dependência calibrada a preços de opções; encare os números aqui como diagnóstico, não como marca de mercado.

Caso o banco não faça hedge (posição naked), ele essencialmente aposta que não terá que pagar muitos cupons. Se as ações caírem ou andarem de lado (nenhum autocall), ele lucra integralmente a margem; se todas dispararem em alta (autocall cedo), ele pagará os cupons mais cedo, limitando a sua perda.

Em suma, a análise mostra que o banco tinha uma margem significativa embutida no COE Autocall Tech e que é reflexo do cupom oferecido bem inferior ao “fair”. Do lado do investidor, trata-se de um produto de payoff complexo, no qual a probabilidade de ganhos atraentes é relativamente baixa, enquanto a chance de retorno nulo (só capital) é alta, o que pode não justificar o custo de oportunidade quando comparado a investimentos mais simples de perfil equivalente. A modelagem GARCH-DCC mostrou ser útil para quantificar essas probabilidades e valores esperados de forma realista, permitindo tanto uma precificação técnica quanto a avaliação de risco (distribuição de resultados) para suporte à decisão.

Riscos de modelo identificados

Mesmo que tenhamos utilizado um método com alto nível de sofisticação para resolver esse problema, que é complexo, ainda restam algumas arestas que podem precisar de atenção. Listamos algumas abaixo.

1. Risco de especificação de volatilidade: ao limitar cada ativo a um GARCH(1,1) calibrado com inovações normais e, depois, aplicar um único parâmetro de cauda t-Student médio na simulação, empobrecemos a descrição das assimetrias e das caudas de cada série. Choques idiossincráticos ou clustering de volatilidade mais complexo podem ficar subestimados, afetando tanto o preço quanto métricas de risco.

2. Risco de correlação dinâmica: a estimação dos parâmetros DCC por heurísticas simples (autocorrelação de primeira ordem, valores de fallback) privilegia estabilidade numérica, mas pode produzir uma trajetória de correlações que não reflete a realidade de mercado. Em períodos de stress, a dependência cruzada pode ser maior do que o modelo capta, levando a uma visão excessivamente otimista de cenários conjuntos negativos.

3. Risco cambial estrutural: a taxa de câmbio spot utilizada é inferida via paridade de juros com amortecimento ad hoc do diferencial. Essa suavização reduz ruído, porém gera um viés sistemático sempre que o spread BRL–USD se afasta do equilíbrio de mercado ou quando há prêmios de risco implícitos. Como o valor presente é sensível ao FX, esse desvio propaga-se diretamente para o preço do COE e para as métricas de margem.

4. Risco de regime e dados: a calibração se apoia em histórico relativamente curto, com data de corte fixa e ainda recorre a preços mock quando a API falha. Regimes mais recentes ou mudanças estruturais (novos patamares de dividendos, intervenções cambiais, shifts de volatilidade) podem ficar fora da amostra, deixando o modelo míope para o ambiente atual.

5. Risco operacional de discretização: o motor de simulação usa passos diários, agenda sem feriados e verifica autocall apenas em datas semestrais com comparação direta ao preço inicial. Na prática, fixings podem ocorrer em dias úteis específicos, há ajustes de carry/strike e barreiras podem atuar intradiariamente. Esse desalinhamento entre o “payoff modelado” e o payoff contratual pode gerar erros de valuation ou cobertura.

Até mais!

Referências

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Um teste com ranking simples e dados recentes

Investigamos a anomalia de baixa volatilidade no S&P 500 entre 2010 e 2025 com uma montagem point-in-time, evitando viés de sobrevivência. A cada mês, as ações foram ranqueadas pela volatilidade histórica de 12 meses, formamos carteiras por quintis (de P1, mais defensiva, a P5, mais arriscada), em pesos iguais e com rebalanceamento mensal. A base veio do Stooq com complemento da API do Tiingo, garantindo cobertura ampla do universo do índice. O código utilizado está em PQ Novy-Marx. Os resultados obtidos estão na tabela a seguir.

Os resultados long-only mostram que a anomalia aparece sobretudo em eficiência. A carteira de menor volatilidade preserva capital melhor em crises e converte risco em retorno de modo mais consistente: o Sharpe de P1 gira em torno de 1, enquanto o de P5 fica claramente abaixo (≈0,65). Essa diferença se reflete também no risco extremo: o pior mergulho de P1 é da ordem de um quinto do capital, ao passo que P5 chega a dobrar essa perda. Em termos absolutos, P5 cresce mais em fases eufóricas, mas o faz “gastando” muito risco; nos quintis intermediários, o desempenho é próximo entre si, com leve destaque para P2. A tabela abaixo mostra comparação visual dos resultados dos portfolios e a evolução dos retornos acumulados.

A exploração direcional da anomalia, que corresponde a comprar baixa vol e vender alta vol, não funcionou no agregado. O fator foi neutro até meados da década passada e degringolou depois, terminando o período com retorno anual negativo (≈-3,6% a.a.). O ponto de inflexão foi a pandemia: o tombo de março de 2020 inicialmente ajudou quem estava vendido em alta volatilidade, mas a recuperação explosiva imediatamente seguinte inverteu o sinal. Em abril, o quintil mais arriscado saltou mais de um terço no mês, enquanto o quintil defensivo avançou bem menos da metade disso, impondo ao fator uma perda mensal próxima de 25 pontos percentuais e um drawdown histórico (≈-59%) difícil de recuperar nos anos seguintes. Abaixo, a figura expressa o drawdown da estratégia P1-P5.

Para julgar a atratividade prática da postura defensiva, comparamos P1 a um mix simples de ETFs calibrado para ter mesma volatilidade da carteira P1. Foram utilizados os ETFs RSP(Invesco S&P 500 Eql Wght ETF) e AGG (iShares Core US Aggregate Bond ETF). Em análise ex-post, o mix fixo que obteve mesma volatilidade da carteira P1 no período (11,83% ao ano) foi composto de 73,5% de RSP e 26,5% de AGG.

Observou-se que a carteira passiva com ETFs cumpriu seu papel, mas P1 superou tal carteira no período: entregou relação risco-retorno melhor e fecha o período com cerca de 1,7 ponto percentual a mais ao ano, mantendo um comportamento de queda máxima semelhante. Intuitivamente, a seleção de ações menos voláteis capturou boa parte do prêmio de ações com menor ruído idiossincrático, enquanto a diluição via renda fixa reduziu o risco ao custo de abrir mão de retorno. Não foram considerados custos de transação, o que poderia reduzir a diferença observada.

Em síntese: como postura long-only, baixa volatilidade entregou, no período de 15 anos analisado, o que promete: defesa em estresse e boa relação risco-retorno. Já a via long–short obteve resultados ruins evidenciando que mesmo anomalias com resultados robustos de décadas podem falhar em janelas de longo prazo.

A seguir, veremos quais ideias podem melhorar a estratégia inicial considerada.

Metodologias de construção: ranking simples vs otimização

Duas metodologias principais disputam espaço em estratégias de baixa volatilidade: a seleção simples por ranking e a otimização de portfólio mínima variância. Na primeira abordagem, o investidor simplesmente classifica as ações por sua volatilidade histórica (ou beta) e seleciona as X% mais baixas, possivelmente com pesos proporcionais inversos à volatilidade. Já a otimização envolve resolver um problema de mínima variância global dado um universo de ações, respeitando restrições.

Estudos indicam que a otimização pode oferecer um desempenho um pouco superior ao método simples de ranking. Clarke, de Silva e Thorley (2006), ao introduzirem carteiras de variância mínima nos EUA, mostraram que tais carteiras alcançaram cerca de 75% da volatilidade do mercado com retornos similares ou maiores (CLARKE; DE SILVA; THORLEY, 2006). Já uma pesquisa da MSCI (2016) comparou retroativamente estratégias low vol por ranking vs. por otimização e concluiu que a otimização captura melhor os benefícios de diversificação (correlações entre ações) que o ranking simples ignora. Como resultado, o portfólio otimizado obteve um excesso de retorno anual 100-200 pontos-base superior ao portfólio formado apenas pelo ranking de volatilidade (MSCI, 2016). Em suma, embora ambas as abordagens possam confirmar a anomalia, métodos quantitativos mais sofisticados podem adicionar valor extra.

Frequência de rebalanceamento e custos de transação

Outro aspecto prático crucial é com que frequência rebalancear o portfólio low vol. A volatilidade relativa das ações muda ao longo do tempo, então ajustes periódicos são necessários para manter o perfil defensivo. Entretanto, rebalanceamentos frequentes implicam custos de transação e slippage que podem corroer os ganhos.

A maioria das pesquisas sugere que rebalanceamentos pouco frequentes tendem a funcionar melhor para low vol. Estudos internos da Vanguard indicam que um rebalanceamento anual é ótimo para muitos perfis de investidor, pois equilibra a necessidade de atualizar o portfólio com a minimização de custos (VANGUARD, 2020). Alguns trabalhos recomendam rebalancear semestralmente, o que é um compromisso razoável entre acompanhar mudanças de volatilidade e evitar giro excessivo. Além do intervalo fixo de tempo, há a opção de rebalanceamento por bandas de tolerância: por exemplo, ajustar somente quando a composição do portfólio desviar mais que 5-10% do alvo original. Esse método baseado em thresholds pode ser mais eficiente do que um calendário fixo, evitando operações desnecessárias quando as mudanças são pequenas.

Em qualquer caso, deve-se limitar o turnover. Estratégias low vol sem controles podem incorrer em turnover alto (por exemplo, se determinadas ações se tornam repentinamente voláteis e são removidas). Implementações bem-sucedidas costumam impor um cap de turnover anual, tipicamente na faixa de 10-20%, para assegurar que os custos de corretagem e impacto de mercado não superem o benefício do fator.

Estudos empíricos quantificam que rebalancear muito frequentemente (trimestral ou mensalmente) pode reduzir os retornos líquidos em ~2-3% ao ano devido a custos (quando comparado a rebalanceamentos anuais). Tal impacto facilmente engole a vantagem do fator low vol em muitos mercados. Portanto, um investidor deve buscar um equilíbrio ótimo, e a prática comum hoje entre gestores é revisar carteiras low vol semestralmente ou anualmente, salvo mudanças drásticas no mercado.

Diversificação setorial e limites de concentração

Um efeito colateral conhecido de estratégias de baixa volatilidade é a concentração setorial. Ações menos voláteis tendem a se agrupar em setores defensivos tradicionais, como Utilities (serviços públicos), Consumer Staples (bens de consumo básico) e Healthcare, enquanto setores cíclicos e de crescimento (tecnologia, energia, financeiro) costumam ter volatilidades mais altas e, portanto, ficam sub-representados.

De fato, carteiras low vol não restritas podem apresentar pesos extremos em alguns setores. Dados históricos mostraram exemplos de portfólios com 40-60% de alocação em Utilities e Consumo Básico – níveis muito superiores aos ~10-15% típicos desses setores em índices amplos (MSCI, 2023). Essa concentração pode ser problemática, pois expõe o investidor a riscos não-diversificados (por exemplo, risco regulatório afetando Utilities, ou risco de mudanças nos hábitos de consumo). Além disso, altas concentrações setoriais aumentam o tracking error em relação ao benchmark de referência, o que pode ser indesejado para alguns investidores.

A prática recomendada é introduzir restrições de concentração durante a construção do portfólio low vol. Por exemplo, muitos índices e fundos de mínima volatilidade limitam o peso setorial a, digamos, ±5% em relação ao peso daquele setor no índice amplo. Assim, se tecnologia é 20% do S&P 500, o portfólio low vol não poderia ter menos de 15% ou mais de 25% em tecnologia, independentemente da volatilidade das ações do setor. Isso força uma diversificação mais alinhada ao mercado. Outra restrição comum é limitar o peso de qualquer ação individual, frequentemente um máximo de 5% a 8% por ação, para evitar que uma única empresa domine o risco do portfólio.

Além disso, busca-se garantir um número efetivo de ações suficiente. Uma métrica utilizada é o número efetivo de posições (que considera pesos desiguais). Estratégias recomendam que o número efetivo de ações no portfólio low vol seja pelo menos 30% do número de ações do índice de origem. Por exemplo, se o universo é o S&P 500 (500 ações), o portfólio low vol deveria ter efetivamente ~150 ações diversificadas, mesmo que selecione apenas as mais estáveis. Isso impede que a estratégia se torne excessivamente concentrada a ponto de virar quase stock-picking de uns poucos papéis.

Em resumo, a implementação prática da anomalia de baixa volatilidade envolve reconciliar teoria (maximizar o fator) com realidade de mercado (custos, concentrações, limites institucionais). Os melhores resultados tendem a surgir de abordagens equilibradas: otimizações ou seleções cuidadosas que respeitam restrições de diversificação e mantêm o turnover controlado.

E você? Acha que vale à pena testar a evolução do teste realizado para os últimos 15 anos com as melhorias sugeridas pela literatura?

No próximo artigo da série, vamos explorar as críticas ao fator low volatility e como ela se relaciona com os outros fatores.

Até mais!

Referências

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