Distribuição de valores extremos: da resistência do algodão às finanças quantitativas (parte 2)

Como a Teoria dos Valores Extremos molda a precificação e o controle de risco

Aplicações da EVT em finanças quantitativas

Na primeira parte dessa série, falamos um pouco da história da Teoria dos Valores Extremos e o que significam os seus teoremas. Observa-se que a presença de caudas pesadas e eventos raros de grande impacto é uma característica marcante dos dados financeiros. Na última metade do século XX e início do XXI, diversos crashes de mercado, falências inesperadas e outras crises evidenciaram que os modelos baseados em distribuições “normais” subestimavam drasticamente a frequência e magnitude de eventos extremos. A EVT entrou em cena como um ferramental para suprir essa lacuna. A seguir discutimos algumas aplicações importantes da EVT em finanças quantitativas.

Modelagem de caudas para derivativos e estratégias de hedge

Na precificação de derivativos, especialmente opções e outros instrumentos com payoffs não lineares, a forma da cauda da distribuição dos retornos do ativo subjacente é crítica. Por exemplo, o valor de uma opção de venda (put) bem fora-do-dinheiro depende fortemente da probabilidade de quedas extremas no preço do ativo. Modelos tradicionais, como Black-Scholes, assumem tipicamente retornos lognormais (cauda relativamente leve), o que pode levar a subprecificação de opções de proteção contra crashes. Não por acaso, observou-se empiricamente o fenômeno do volatility smile/skew, em que volatilidades implícitas são mais altas para strikes (preços de exercídio da opção) distantes – um reflexo de que o mercado antecipa caudas mais pesadas do que a normal. A EVT fornece ferramentas para modelar explicitamente essas caudas, permitindo calibrar distribuições de retornos com cauda pesada (por ex., através de uma distribuição t de Student, ou uma mistura de distribuições) e então precificar derivativos de forma mais acurada.

Estratégias de tail hedging – nas quais fundos ou empresas compram proteção para cenários extremos, como opções muito fora-do-dinheiro ou seguros contra default – também se beneficiam da EVT. Ao estimar a probabilidade e o impacto de eventos raros, gestores podem dimensionar hedge de forma custo-efetiva: nem pagar caro demais por proteção contra um evento exageradamente improvável, nem subestimar um risco severo. Por exemplo, um fundo que queira se proteger contra um crash anual de 40% no mercado acionário poderia, via EVT, extrapolar a distribuição de perdas anuais e obter uma estimativa da probabilidade desse evento (mesmo que tal queda nunca tenha sido observada nos dados históricos disponíveis). Essa estimativa orienta quanta proteção comprar e a que preço faz sentido comprá-la. Em suma, a EVT entra na engenharia financeira ao informar as probabilidades de cenários extremos, influenciando preços de derivativos complexos e a gestão de riscos de portfólio em situações de estresse.

Risco de cauda em finanças: VaR, EVaR, CVaR e testes de estresse

Medir e controlar o risco de cauda tornou-se uma preocupação central para bancos, gestoras e reguladores, especialmente após eventos como a crise de 2008. Várias métricas surgiram para quantificar perdas extremas em portfólios. A mais conhecida é o Value-at-Risk (VaR), que é essencialmente um quantil (por exemplo, VaR 99% é a perda mínima tal que 99% das vezes a perda não a excede). Embora popular, o VaR tradicional sofre por não fornecer nenhuma informação sobre a gravidade das perdas além desse quantil (ele diz “pelo menos X milhões”, mas não diz quanto pior pode ser se passar de X). Além disso, estimar VaR em níveis de confiança altíssimos (99,9% ou mais) a partir de dados históricos é extremamente difícil – simplesmente não há pontos suficientes na cauda para ter estimativas estáveis. Aí é onde a EVT ajuda: ao ajustar uma distribuição teórica à cauda dos dados, podemos extrapolar e estimar VaR em níveis muito altos com base nesse ajuste​s. O conceito de Extreme Value-at-Risk (EVaR) surge justamente como VaRs estimados via EVT, ou seja, quantis extremos calculados com suporte de um modelo de cauda em vez da frequência histórica direta. Estudos mostram que, comparado a pressupor uma normalidade, usar EVT captura melhor a probabilidade de perdas severas, embora introduza incerteza maior na estimativa (devido à variabilidade dos parâmetros de cauda).

Outra medida importante é o Conditional Value-at-Risk (CVaR), também chamada de Expected Shortfall (ES) – a perda média dada que se excedeu o VaR. O CVaR é sensível às caudas: é literalmente a esperança na cauda além de um quantil. Reguladores (e.g. Basel III) já adotaram o ES 97,5% como medida padrão de risco de mercado. Novamente, a EVT é útil: ao modelar a cauda acima do VaR, podemos estimar o CVaR de forma confiável mesmo quando faltam dados empíricos nessa região. Por exemplo, McNeil (1999) demonstra como incorporar o método POT num modelo GARCH para obter boas estimativas tanto de VaR quanto de ES​, ilustrando que EVT pode complementar modelos de volatilidade ao lidar com os extremos.

Além das métricas quantilitativas, testes de estresse regulatórios e internos se tornaram prática comum. Aqui, a EVT contribui na calibração de cenários plausíveis porém extremos. Um teste de estresse efetivo não deve ser puramente imaginativo; ele se baseia em eventos que, embora muito raros, podem ser vislumbrados a partir da dinâmica histórica (por exemplo, “o que acontece se o mercado cair 40% num mês?” – algo não visto recentemente, mas cuja probabilidade não é zero). A EVT permite estimar a probabilidade aproximada de um dado cenário de estresse, ou inferir qual seria a magnitude de evento correspondente a um quantil desejado. Por exemplo, se quisermos um cenário de “1 em 1000 anos”, o modelo de cauda ajustado pode indicar que isso corresponde, digamos, a uma perda de 60% em determinado portfólio. Instituições financeiras utilizam essas técnicas para construir cenários adversos coerentes com estatísticas históricas, em complemento aos cenários hipotéticos. Vale notar que, na crise de 2008, muitos modelos VaR falharam justamente por truncar a distribuição na cauda – eles não imaginavam a simultaneidade de quedas extremas em vários mercados. Hoje, com EVT e medidas como CVaR, busca-se evitar essa complacência, garantindo que as decisões de alocação de capital e limites de risco incorporem devidamente a possibilidade de perdas severas.

Aplicações em risco de crédito e risco operacional

Dois domínios de risco financeiro onde eventos extremos são particularmente relevantes são o risco de crédito (default de contrapartes, perdas em carteiras de empréstimos) e o risco operacional (perdas por fraude, erros, falhas de sistema, etc.). Nesses campos, a distribuição de perdas é altamente assimétrica e pesada na cauda: a maioria dos períodos apresenta perdas pequenas ou nulas, mas ocasionalmente ocorrem perdas catastróficas (um grande default corporativo, uma fraude bilionária, etc.).

No risco de crédito, a EVT pode ser empregada para modelar a cauda da distribuição de perdas de um portfólio de empréstimos ou de CDSs. Por exemplo, bancos estimam um Credit VaR num nível de confiança alto (99,9%) para determinar o capital econômico que deve ser reservado contra perdas de crédito. Frequentemente, esse quantil extremo está muito além da experiência histórica (poucas décadas de dados de default). Ajustando uma distribuição de cauda (como uma GPD) aos dados de perdas ou stress losses simulados, o banco consegue extrapolar até o quantil desejado​. Se a carteira tiver heavy tails (por exemplo, exposição concentrada em poucos nomes grandes), a cauda ajustada refletirá uma probabilidade não-desprezível de perdas enormes, demandando mais capital. A EVT também auxilia na precificação de produtos como tranched securities (p. ex. CDOs): a tranche super sênior sofre perda apenas em cenários extremamente adversos, então sua avaliação requer entender a probabilidade de múltiplos defaults simultâneos – algo que pode ser abordado com modelos de cauda e dependência extrema.

No risco operacional, a abordagem padrão (sob o antigo AMA do Basileia II) era coletar dados de perdas operacionais internas e externas, e ajustar distribuições para severidade e frequência das perdas. Estudos mostraram que as perdas operacionais seguem tipicamente distribuições de severidade com caudas muito pesadas (p. ex. distribuição Pareto ou log-gama). Assim, tornou-se comum o uso de EVT: ajusta-se uma GPD à cauda acima de certo limiar de perdas, obtendo-se estimativas para quantis como a perda anual de p = 0,999 (99,9% quantil anual), utilizada para capital regulatório. Grandes eventos como o escândalo de fraude do Barings Bank (1995) ou o “London Whale” da JPMorgan (2012) são exemplos de pontos extremos que influenciam drasticamente a cauda. Ao incluir tais eventos no ajuste EVT, obtém-se uma distribuição que atribui maior probabilidade a perdas gigantes, em comparação com um ajuste que ignorasse a cauda pesada. Em suma, a EVT ajuda instituições a mensurar exposições a perdas raras de crédito e operação de forma consistente, garantindo que estejam capitalizadas o suficiente para sobreviver a choques severos. Como salientado por McNeil​, seja em risco de mercado, crédito, operacional ou mesmo em seguros, o método POT fornece uma forma unificada de estimar medidas de risco de cauda (VaR, TVaR, etc.) quando estamos focados na parte extrema da distribuição de perdas.

Uso da EVT em fundos quant, bancos e gestão corporativa de riscos

Desde hedge funds até bancos globais, muitos participantes do mercado incorporaram a EVT em seu arsenal de gestão de risco. Fundos quantitativos especializados em estratégias de tail risk, por exemplo, utilizam modelos de cauda para identificar ativos subprecificados que serviriam de proteção em cenários de crise. Um caso é a compra sistemática de opções muito fora do dinheiro que pagariam enormemente em caso de crash – a chamada estratégia de “Cisne Negro”. Para calibrar tal estratégia, esses fundos avaliam, via EVT, se o prêmio pago pelas opções está barato ou caro em relação ao risco extremo que cobrem.

Nos bancos, a EVT frequentemente aparece nos departamentos de modelagem de risco. Bancos de investimento aprimoraram seus modelos internos de VaR após 2008 incorporando caudas empíricas: alguns utilizam aproximações EVT para ajustar a cauda da distribuição de retornos de suas posições, combinando técnicas de filtragem GARCH (para volatilidade) com POT (para resíduos extremos) e assim obter previsões de perda extrema mais realistas. Além disso, testes de estresse baseados em cenários históricos combinados com extrapolações EVT são usados para avaliar a robustez de portfólios a choques sem precedentes. Em gestão de risco corporativo, empresas de energia, commodities e mesmo fintechs passaram a analisar seus riscos de mercado e crédito sob a ótica de eventos extremos – por exemplo, considerando o impacto de um colapso de preços de 50% do petróleo (como visto em 2020) ou de um ataque cibernético massivo causando perdas operacionais enormes. Ferramentas de EVT fornecem às empresas um range de perdas possíveis nesses cenários para auxiliar no planejamento de contingência e na contratação de seguros ou hedges.

Por fim, reguladores e supervisores incentivam o uso de técnicas de valores extremos. Agências como o Federal Reserve e o BIS, ao exigir que bancos submetam seus portfólios a cenários severos, implicitamente fazem eco à filosofia da EVT: considerar não apenas o esperado, mas também o inesperado plausível. Assim, de hedge funds a bancos centrais, a EVT hoje figura como um componente importante de qualquer discussão séria sobre riscos extremos em finanças.

Limitações, desafios e críticas à EVT em finanças

Apesar de suas contribuições, a aplicação da Teoria dos Valores Extremos em finanças enfrenta limitações práticas e conceituais. Uma primeira questão é que os fundamentos clássicos da EVT supõem amostras independentes e identicamente distribuídas (i.i.d.). No entanto, dados financeiros usualmente violam essa suposição – retornos apresentam heterocedasticidade e dependência temporal (volatilidade em clusters, “efeito memória” em extremos). Os eventos extremos tendem a vir em sequências (e.g. vários dias de crash seguidos). Uma das principais limitações da EVT é assumir que extremos são i.i.d., o que muitas vezes não se sustenta nos mercados financeiros. Pesquisadores têm contornado isso através de abordagens de dois passos: primeiro ajusta-se um modelo de volatilidade (como GARCH) para “filtrar” a dependência de segunda ordem, obtendo resíduos aproximadamente i.i.d.; depois aplica-se EVT nesses resíduos. McNeil & Frey (2000) propuseram explicitamente esse método, pré-processando a série via um GARCH e então ajustando uma GPD aos excedentes, para melhorar a estimação de VaR condicional​. Ainda assim, essa abordagem aumenta a complexidade e não elimina totalmente incertezas – por exemplo, eventos extremos também podem exibir dependência espacial (contágio entre mercados), que é difícil de modelar. A EVT multivariada busca tratar a dependência entre extremos de diferentes séries (via cópulas ou coeficientes de tail dependence), mas é um campo notoriamente complexo e ainda em desenvolvimento.

Outro desafio grande é a escassez de dados extremos. Por definição, as maiores catástrofes financeiras são poucas – felizmente, não temos centenas de Grandes Depressões ou quebras de bolsa de 29 para analisar. Isso significa que estimar parâmetros de cauda é estatisticamente difícil e propenso a erro. Intervalos de confiança para um VaR 99,97% obtido via EVT costumam ser muito amplos. Pesquisas indicam que, embora estimadores EVT de quantis extremos possam ser assintoticamente insatisfeitos, eles apresentam alta variância finita – em termos práticos, as estimativas podem variar bastante com pequenas mudanças nos dados ou no limiar escolhido. Um estudo noticiado na Risk.net observou que, mesmo sendo em média mais acurada, a estimativa via EVT pode ter uma dispersão maior, o que faz com que em muitas amostras ela fique longe do valor real mais frequentemente que métodos tradicionais​. Ou seja, há um trade-off entre viés e variância na modelagem de cauda: EVT reduz o viés de assumir cauda normal, mas aumenta a incerteza da estimativa.

A escolha do limiar (no método POT) ou do tamanho de bloco também é delicada. Não há um critério universal ótimo – escolher “muito alto” deixa poucos dados para ajustar; “muito baixo” viola o regime assintótico. Métodos gráficos (como mean excess plot) e testes estatísticos ajudam, mas frequentemente a seleção envolve julgamento do analista, o que introduz subjetividade.

Ademais, a EVT modela a extrapolação com base no comportamento assintótico. Se o regime de mercado muda drasticamente fora do histórico observado, a extrapolação pode falhar. Por exemplo, medidas de intervenção governamental (circuit breakers, proibições de short selling, resgates financeiros) podem efetivamente truncar ou modificar a distribuição de perdas em crises futuras, invalidando projeções puramente estatísticas baseadas no passado. Alguns críticos argumentam que a EVT, sendo uma extensão de modelos estatísticos, ainda lida com “riscos conhecidos” – aqueles que podemos inferir dos dados históricos – mas não aborda os “desconhecidos desconhecidos”, eventos verdadeiramente inéditos. Nassim Taleb popularizou essa crítica com a metáfora do “Cisne Negro”: eventos fora de qualquer extrapolação confiável, que surpreendem justamente por extrapolarmos linear ou assintoticamente o passado. De fato, um modelo EVT poderia falhar em prever algo como o crash repentino de 1987 (22% de queda diária no Dow) se nada comparável tivesse ocorrido antes.

Há também considerações metodológicas: a EVT univariada foca na distribuição marginal de uma variável (e.g. perdas de um portfólio). Mas em crises sistêmicas, muitas variáveis extremas ocorrem simultaneamente – correlações aumentam (às vezes se tornam quase 1 durante pânicos). Modelar essa dependência em estados extremos é desafiador. Cópulas de cauda ou teorias de valores extremos multivariadas tentam capturar isso, mas na prática muitos modelos de risco ainda subestimam a coocorrência de problemas – exemplo: modelos que tratavam risco de mercado e liquidez separadamente antes de 2008 não previram que ambas as coisas poderiam piorar juntas drasticamente.

Por fim, a interpretação e comunicação dos resultados de EVT podem ser difíceis. Executivos e reguladores podem achar contraintuitivo lidar com previsões do tipo “perda de 10 bilhões com probabilidade 0,1% ao ano”. Enquanto a EVT enfatiza a possibilidade de cenários muito severos, decisões de negócio precisam pesar custos e benefícios – alocar muito capital para riscos extremamente raros pode ser ineficiente, mas alocar de menos pode ser desastroso se o raro ocorrer. Encontrar esse balanço é tanto arte quanto ciência. A EVT não resolve essa decisão, mas fornece insumos valiosos, ao iluminar as “zonas de sombra” das distribuições de perda.

Em resumo, as críticas à EVT em finanças vão desde limitadores matemáticos (dependências, poucos dados, incerteza alta) até questões filosóficas sobre previsibilidade de extremos. É consenso entre especialistas que a EVT não é uma panaceia – ela complementa, mas não substitui o julgamento e outras formas de análise de risco (como simulações estruturais e cenários adversos fundamentados em economia). Como qualquer modelo, deve ser usada com cautela.

Considerações finais: lições sobre eventos raros em finanças

A evolução histórica e o uso da EVT trazem uma lição clara e quase filosófica para finanças: eventos raros importam, e muito. Ignorá-los não os fará desaparecer – pelo contrário, torna-nos mais vulneráveis quando eles ocorrem. A história de Tippett no algodão ilustra uma verdade que ecoa das fábricas têxteis até Wall Street: um sistema é tão forte quanto seu elo mais fraco. Um fio de algodão arrebenta na fibra mais frágil; um banco pode quebrar no cenário de perda que ele menos estava preparado para enfrentar.

Incorporar a visão de valores extremos na tomada de decisões financeiras significa adotar um realismo prudente: reconhecer que distribuições não são infinitamente benignas nas caudas, que “6 sigmas” acontecem mais do que a distribuição Normal sugeriria, e que proteger-se contra desastres pode ser tão importante quanto otimizar ganhos em tempos normais. Essa mentalidade já mudou muitas práticas – por exemplo, seguradoras e fundos de pensão avaliam catástrofes naturais e de mercado usando modelos heavy-tail; bancos centrais impõem testes de estresse pensando em cenários severos; investidores de longo prazo mantêm liquidez extra para aguentar crises profundas.

Entretanto, a EVT também ensina humildade: mesmo com toda sofisticação estatística, ainda lidamos com incerteza extrema. Estimar uma “tempestade de 100 anos” requer assumir que o futuro se parecerá em algo com o passado, o que pode ou não ser verdade. Portanto, a EVT não é sobre determinismo, mas sobre informar a prudência. Financeiramente, isso se traduz em estabelecer colchões de capital, diversificação robusta, seguros e hedges – em suma, resiliência.

Em última análise, a grande lição da Teoria dos Valores Extremos para as finanças é a importância de esperar o inesperado. Assim como Lisboa foi devastada em 1755 por um terremoto impensável (evento que, curiosamente, motivou alguns dos primeiros estudos de extremos na engenharia), os mercados e economias podem enfrentar “terremotos” financeiros. A EVT nos dá uma linguagem e um ferramental para discutir esses eventos raros quantitativamente – transformando o medo irracional de um colapso desconhecido em um risco mensurável, ainda que incerto, que podemos decidir como gerir. Essa conjunção de consciência histórica (lembrar-se dos grandes choques) e rigor estatístico (modelar caudas) talvez seja o legado mais duradouro da EVT: manter vivas, nas fórmulas e políticas, as lições dos grandes extremos passados, para que estejamos melhor preparados para os do futuro.

Até a próxima!

Referências

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