Pseudociclos: ordem que surge dos ruídos
De manchas solares a pseudociclos: como memória estatística imita periodicidade
Ciclos econômicos exógenos vs. estocásticos
No século XIX, a visão predominante atribuía a ciclos econômicos causas externas exógenas. William Stanley Jevons (1878) notou uma periodicidade aproximadamente decenal em crises econômicas e associou-as a manchas solares (ciclos de ~10 anos). Ele supôs que variações solares afetavam clima e safras, induzindo oscilações em preços e atividade.
Embora análises posteriores tenham demonstrado que essa correlação sol–economia era em grande parte espúria, o trabalho de Jevons foi seminal ao formular os ciclos de negócios como fenômenos recorrentes e atribuíveis a fatores externos. Este paradigma motivou buscas sistemáticas por ciclos em dados econômicos e deu origem a métodos espectrais para detectar periodicidades (Schuster, 1898), mas também suscitou questionamentos sobre se essas supostas forças cíclicas eram reais ou meras ilusões estatísticas.
Em meados dos anos 1920, ganhou força um paradigma estocástico: G. Udny Yule e Eugen Slutsky mostraram que ciclos aparentes podem emergir de processos puramente aleatórios sem nenhum impulso periódico externo.
Yule (1927) introduziu o modelo autorregressivo AR(2) para dados de manchas solares, demonstrando que choques aleatórios propagados por um processo AR podem gerar oscilações amortecidas muito parecidas com ciclos observados.
Simultaneamente, Slutsky (1927) provou que a aplicação de médias móveis sobre uma série totalmente aleatória produz ondulações cíclicas artificiais. O efeito Slutsky mostrou que qualquer somatório de ruído branco (por exemplo, por uma média móvel) pode exibir flutuações regulares, indicando que muitos ciclos percebidos seriam artefatos estatísticos de agregação de choques aleatórios. Essas descobertas revolucionárias deslocaram o foco das causas externas (à la Jevons) para as dinâmicas internas estocásticas das séries temporais, sinalizando que componentes autorregressivos e de média móvel poderiam sustentar comportamentos cíclicos mesmo na ausência de forças periódicas externas.
O modelo AR(2) e os pseudociclos de Yule
O modelo autorregressivo de segunda ordem, AR(2), foi utilizado por Yule para modelar as manchas solares de Wolfer. Esse modelo é dado por:
onde Xₜ é a série no tempo t, φ₁, φ₂ são parâmetros e εₜ é ruído branco (choque aleatório). Se a série for estacionária (ver abaixo), as raízes do polinômio característico 1 - φ₁z - φ₂z² = 0 determinam a dinâmica.
Notadamente, quando as raízes são complexas conjugadas (ocorre se φ₁² + 4 φ₂ < 0), o processo AR(2) produz oscilações amortecidas em torno da média. Em termos físicos, pode-se pensar que choques aleatórios iniciam swing na série, que decai ao longo do tempo.
Yule mostrou que, ajustando adequadamente (φ₁,φ₂), o AR(2) replica padrões quase-periódicos reais de amplitude decrescente. Por exemplo, valores positivos de φ₁ e ligeiramente negativos de φ₂ induzem uma frequência própria de oscilação: mesmo que a entrada seja ruído, a série responde quase sinusoidalmente. Tais pseudociclos emergem sem hipótese de impulsos determinísticos. Em outras palavras, o AR(2) reforça o impulso recente (se φ₁>0) mas com atraso e amortecimento (via φ₂), de modo que surjam arcos de subida e queda repetitivos. Como observa Manokhin (2025), Yule (1927) empregou AR(2) justamente para explicar a periodicidade aparente dos dados de manchas solares.
Tecnicamente, um processo AR(2) estacionário satisfaz |φ₁|+|φ2|<1 (condição de estabilidade) e o correlograma (ACF) típico exibe decaimento suave, possivelmente oscilatório, enquanto a correlação parcial (PACF) apresentará corte abrupto após duas defasagens.
É desta forma que padrões regulares surgem do ruído: mesmo choques brancos geram uma sequência de valores correlacionados que imitam um ciclo estável, até que o amortecimento dos coeficientes leve o efeito a zero. Esse fenômeno confirma que teorias de ciclos (como a de Jevons) podem ser explicadas por modelos puramente autorregressivos de ruído, deslocando o foco de forças externas para dinâmicas internas do próprio sistema econômico.
O modelo MA(q) e o efeito Slutsky
De modo complementar, o modelo de média móvel de ordem q, MA(q), expressa Xₜ como soma ponderada de choques passados:
onde εₜ é ruído branco e μ a média (que pode ser zero após centralização). Aqui, cada choque ε(t-k) afeta Xₜ por k períodos na forma de um pulso de amplitude θₖ. Slutsky notou que, se tomarmos uma sequência puramente aleatória e suavizarmos por média móvel (i.e. escolher uma janela de tamanho q com θᵢ uniformes ou distribuídos), a série suavizada exibirá oscilações persistentes. Em palavras de Slutsky (1937), o que eram “causas aleatórias somadas” tornam-se “fontes de processos cíclicos” quando filtradas.
Por exemplo, mesmo θᵢ=1/(q+1), que é média simples, gera séries com tendência de oscilação: baixos e altos sucessivos alternam de modo quase periódico, apesar do ruído de base ser branco. Esse efeito Slutsky implica que muitos ciclos econômicos observados podem ser mera ilusão estatística resultante de agregação de choques (como a média móvel do índice de preços ou do PIB). Ou seja, choques aleatórios filtrados por qualquer “mecanismo de memória” – média móvel ou até mesmo funções de autocorrelação do próprio mercado podem produzir flutuações regulares.
Tal conceito reforça a visão de que as flutuações econômicas não necessitam de forças periódicas externas: a própria estrutura autorregressiva ou de média móvel embute “memória” de choques que se traduz em movimentos cíclicos de amplitudes decrescentes.
Em particular, sob MA(q) estacionário, a função de autocorrelação (ACF) corta bruscamente após q lags, mas os primeiros atrasos podem apresentar sinais negativos ou positivos fortes, gerando alternâncias típicas de oscilações. Foi dessa forma que Slutsky demonstrou, de maneira elucidativa, que “qualquer série de números aleatórios submetida a cálculos estatísticos de suavização apresenta padrões ondulatórios quase indiscerníveis de ciclos reais”.
Exemplo gráfico
Abaixo, há um vídeo com a exemplificação dos efeitos previstos por Yule e Slutsky. O código que gera os gráficos está disponível em pq_yule_slutsky.
Possíveis aplicações em finanças
Em finanças, é muito útil distinguir o que é pseudociclo estocástico do que é influência de um ciclo externo.
Uma possível aplicação interessante é a leitura de ciclos exógenos via El Niño/La Niña, especialmente aplicável em commodities agrícolas como soja e milho. O ENSO (El Niño oscilação sul) altera padrões de chuva e temperatura na América do Sul — com frequência mais úmido no Sul do Brasil e mais seco no Centro-Norte em El Niño — afetando plantio (setembro–dezembro), colheita (janeiro–abril, soja) e a safrinha do milho (abril–agosto).
Na prática, isso pode orientar três frentes ao se falar em finanças:
Spreads de safra quando há expectativa de aperto e de folga de estoques entre janelas de oferta;
Basis trades entre polos exportadores (portos) e o interior, ajustando hedge ratios conforme o risco climático aumenta o prêmio local;
Opções direcionais e de convexidade em fases críticas (floração/enchimento de grão), inclusive crush spreads (soja → farelo/óleo) se a anomalia climática desloca a rentabilidade de processamento.
O ponto-chave: usar o ENSO como motor causal para hipóteses sazonais e validar out-of-sample para não confundir onda de Slutsky (pseudociclo criado por suavização) com ciclo real. Já oscilações intrassemana sem mudança de oferta/demanda plausível tendem a ser estocásticas e melhor tratadas por filtros simples de momentum/reversão de curtíssimo prazo.
Outra possível aplicação está relacionada ao estudo de juros reais no Brasil, pois os juros da NTN-B podem ser enquadrados pelo ciclo de política monetária. Em fases de afrouxamento (queda da Selic e desinflação em curso), é comum ver compressão de prêmios de prazo reais e ganho de rolldown, que é o ganho do simples passar do tempo, na parte intermediária/longa da curva — favorecendo alocações long duration ou flatteners (receber real curto vs. pagar real longo, conforme a inclinação).
No aperto (alta da Selic), a assimetria inverte: encurtar duration, privilegiar nós intermediários e, em certos momentos, apostas na inclinação da curva se o mercado reprecifica mais a ponta curta. A leitura combina ciclo exógeno (decisões do BC, calendário do Copom, dados de inflação) com a constatação de que muitos ziguezagues entre reuniões são pseudociclos estocásticos; portanto, a execução se ancora em janelas de decisão, métricas e testes de robustez (custos, stop, volatilidade-alvo), evitando inferir ciclos a partir de séries resultantes de alisamentos.
Metodologicamente, o caminho para essa diferenciação combina: (i) pré-processamento para estacionariedade; (ii) leitura de ACF/PACF e espectro sem induzir ciclos por suavização; (iii) competição honesta entre hipóteses exógenas (sazonais, calendário, ENSO) e estocásticas (AR/ARMA, com volatilidade condicional), avaliadas out-of-sample por erro de previsão e impacto econômico após custos e (iv) controle de risco por volatilidade-alvo, limites e stops.
Mesmo quando um ciclo externo é detectado, sua força costuma ser regime-dependente e sujeita a quebras estruturais; já os pseudociclos úteis para timing tático tendem a ser frágeis e de meia-vida curta. Em suma, a utilidade prática nasce menos de achar ciclos e mais de testar hipóteses concorrentes com uso de parcimônia. Dessa forma, separa-se causalidade plausível de enganos estatísticos antes de utilizar tais resultados para montar posições.
A distinção entre ciclos exógenos e estocásticos não é apenas histórica: ela organiza o diagnóstico e a tomada de decisão. A lição de Yule e Slutsky permanece atual, pois padrões ondulatórios podem emergir de ruído quando há memória ou filtragem — e, por isso, observar um ciclo não garante que haja um motor causal externo.
Até a próxima!
Referências
BOX, G. E. P.; JENKINS, G. M. Time Series Analysis: Forecasting and Control. San Francisco: Holden-Day, 1970.
BOLLERSLEV, T. Generalized autoregressive conditional heteroskedasticity. Journal of Econometrics, v. 31, p. 307–327, 1986.
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MANOKHIN, Valery. Mastering Modern Time Series Forecasting: A Comprehensive Guide to Statistical, Machine Learning, and Deep Learning Models in Python. 1. ed. [S.l.]: Autor, 2025.
SLUTSKY, Eugen. The summation of random causes as the source of cyclic processes. Econometrica, Filadélfia, v. 5, n. 2, p. 105–146, 1937.
YULE, G. U. On a method of investigating periodicities in disturbed series, with special reference to Wolfer’s Sunspot numbers. Philosophical Transactions of the Royal Society A, Londres, v. 226, p. 267–298, 1927.